熱點09相似三角形（原卷版）

熱點09相似三角形考察方向考察方向中考中，相似三角形主要考察相似三角形的基本概念、性質及判定三角形相似的證明及計算相似三角形與四邊形、圓的綜合運用相似三角形與函數(shù)的綜合運用滿分技巧滿分技巧相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似.判定方法（三）：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似.【注意】此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤的.判定方法（四）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.

相似三角形的性質：（1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；（2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.【注意】要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.(3)相似三角形周長的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。位似（1）位似圖形定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．（2）位似圖形的性質:（1）位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；

（2)位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比；

（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應線段平行.基礎訓練基礎訓練A卷（建議用時：60分鐘）一、單選題1．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）在中（如圖），點、分別為、的中點，則（

）A． B． C． D．2．（2021·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，于點，，，，則的長是（

）A． B． C． D．3．（2022·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是（

）（結果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．4．（2021·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，是的中點，，交于點，如果，那么菱形的周長是（）A． B． C． D．5．（2020·湖南永州·中考真題）如圖，在中，，四邊形的面積為21，則的面積是（

）A． B．25 C．35 D．636．（2019·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，以點O為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到，以下說法中錯誤的是（

）A． B．點C、點O、點C′三點在同一直線上C． D．7．（2015·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的長是(

)A． B． C． D．二、填空題8．（2020·湖南婁底·中考真題）若，則________．9．（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點在邊上，點在邊上，請?zhí)砑右粋€條件_________，使．10．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若S△ADE＝2，則S△ABC＝_____．11．（2021·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點D，E分別為邊，上的點，試添加一個條件：_____，使得與相似．（任意寫出一個滿足條件的即可）12．（2021·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）下圖是一架梯子的示意圖，其中，且．為使其更穩(wěn)固，在，間加綁一條安全繩（線段），量得，則________．13．（2018·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，點E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點，連接AE，交CD于點F，連接BF，寫出圖中任意一對相似三角形：_____．14．（2020·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，將以點為位似中心，為位似比作位似變換，得到．已知，則點的坐標是__________．15．（2019·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點F是△ABC的重心，連接BF并延長，交AC于點E，連接CF并延長，交AB于點D，過點F作FG∥BC，交AC于點G．設三角形EFG，四邊形FBCG的面積分別為S1，S2，則S1：S2＝_____．16．（2018·湖南岳陽·中考真題）《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有下列問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為5步，股（長直角邊）長為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步？”該問題的答案是______步．三、解答題17．（2021·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，軸，O為坐標原點，A的坐標為，反比例函數(shù)的圖象的一支過A點，反比例函數(shù)的圖象的一支過B點，過A作軸于H，若的面積為．（1）求n的值；（2）求反比例函數(shù)的解析式．18．（2021·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在半徑為5cm的中，AB是的直徑，CD是過上點C的直線，且于點D，AC平分，E是BC的中點，．（1）求證：CD是的切線；（2）求AD的長.19．（2020·湖南永州·中考真題）如圖，內(nèi)接于是的直徑，與相切于點B，交的延長線于點D，E為的中點，連接．（1）求證：是的切線．（2）已知，求O，E兩點之間的距離．20．（2020·湖南湘西·中考真題）如圖，是⊙O的直徑，是⊙O的切線，交⊙O于點E．（1）若D為的中點，證明：是⊙O的切線；（2）若，，求⊙O的半徑的長．21．（2021·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，N是邊上的一點，D為的中點，過點A作的平行線交的延長線于T，且，連接．（1）求證：；（2）在如圖中上取一點O，使，作N關于邊的對稱點M，連接、、、、得如圖．①求證：；②設與相交于點P，求證：．難點突破難點突破B卷（建議用時：60分鐘）一、單選題1．（2018·湖南永州·中考真題）如圖，在△ABC中，點D是邊AB上的一點，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，則邊AC的長為（）A．2 B．4 C．6 D．82．（2020·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，點是雙曲線上任意一點，連接，過點作的垂線與雙曲線交于點，連接．已知，則（）A． B． C． D．3．（2019·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰三角形中，，圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形面積為1，的面積為42，則四邊形DBCE的面積是（

）A．20 B．22 C．24 D．264．（2021·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）已知點在第一象限，且，點在軸上，當為直角三角形時，點的坐標為（

）A．，或 B．，或C．，或 D．，或5．（2015·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過點C作CF∥AB，在CF上取一點E，使DE=CD，連接AE，對于下列結論：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE為⊙O的切線，一定正確的結論全部包含其中的選項是（）A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④6．（2017·湖南長沙·中考真題）如圖，將正方形折疊，使頂點與邊上的一點重合（不與端點重合），折痕交于點，交于點，邊折疊后與邊交于點，設正方形的周長為，的周長為，則的值為（）A． B．C．D．隨點位置的變化而變化二、填空題7．（2018·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，于點，于點，于點，，則__________.8．（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知等腰的頂角的大小為，點D為邊上的動點（與、不重合），將繞點A沿順時針方向旋轉角度時點落在處，連接．給出下列結論：①；②；③當時，的面積取得最小值．其中正確的結論有________（填結論對應的序號）．9．（2021·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，將繞A點順時針方向旋轉角得到，連接，，則與的面積之比等于_______．10．（2021·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，的垂直平分線分別交、于點、，，為的外接圓，過點作的切線交于點，則下列結論正確的是______．（寫出所有正確結論的序號）①；②；③若，則的長為；④；⑤若，則．11．（2011·湖南益陽·中考真題）如圖(1)，將一個正六邊形各邊延長，構成一個正六角星形AFBDCE，它的面積為1；取△ABC和△DEF各邊中點，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖(2)中陰影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各邊中點，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如圖(3)中陰影部分；如此下去…，則正六角星形A4F4B4D4C4E4的面積為_________________．12．（2018·湖南岳陽·中考真題）如圖，以AB為直徑的⊙O與CE相切于點C，CE交AB的延長線于點E，直徑AB＝18，∠A＝30°，弦CD⊥AB，垂足為點F，連接AC，OC，則下列結論正確的是______．（寫出所有正確結論的序號）①；②扇形OBC的面積為π；③△OCF∽△OEC；④若點P為線段OA上一動點，則AP?OP有最大值20.25．三、解答題13．（2020·湖南湘潭·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，菱形的頂點的坐標為．（1）求過點的反比例函數(shù)的解析式；（2）連接，過點作交軸于點，求直線的解析式．14．（2020·湖南婁底·中考真題）如圖，點C在以為直徑的上，平分交于點D，過D作的垂線，垂足為E．（1）求證：與相切；（2）若，求的長；（3）請用線段、表示的長，并說明理由．15．（2020·湖南懷化·中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，延長AB到點D，使CD=CA，且．（1）求證：是⊙O的切線．（2）分別過A、B兩點作直線CD的垂線，垂足分別為E、F兩點，過C點作AB的垂線，垂足為點G．求證：．16．（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A在以為直徑的⊙上，的角平分線與相交于點E，與⊙相交于點D，延長至M，連結，使得，過點A作的平行線與的延長線交于點N．（1）求證：與⊙相切；（2）試給出之間的數(shù)量關系，并予以證明．17．（2019·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點，點，與y軸交于點C，且過點．點P、Q是拋物線上的動點．(1)求拋物線的解析式；(2)當點P在直線OD下方時，求面積的最大值．(3)直線OQ與線段BC相交于點E，當與相似時，求點Q的坐標．18．（2021·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線：經(jīng)過點和．（1）求拋物線的對稱軸．（2）當時，將拋物線向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線．①求拋物線的解析式．②設拋物線與軸交于，兩點（點在點的右側），與軸交于點，連接．點為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點作于點．設點的橫坐標為．是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形與相似，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．19．（2021·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點為的中點，連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，且交線段于點，的平分線交于點．（1）如圖1，若，則線段與的數(shù)量關系是________，________；（2）如圖2，在（1）的條件下，過點作交于點，連接，．①試判斷四邊形的形狀，并說明理由；②求證：；如圖3，若，，過點作交于點，連接，，請直接寫出的值（用含的式子表示）．20．（2019·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)相似多邊形的定義，我們把四個角分別相等，四條邊成比例的兩個凸四邊形叫做相似四邊形．相似四邊形對應邊的比叫做相似比．（1）某同學在探究相似四邊形的判定時，得到如下三個命題，請判斷它們是否正確（直接在橫線上填寫“真”或“假”）．①條邊成比例的兩個凸四邊形相似