3.2函數(shù)與方程不等式之間的關(guān)系（4知識點(diǎn)6題型鞏固訓(xùn)練）

3.2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念2、二次函數(shù)的零點(diǎn)及其對應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系3、函數(shù)零點(diǎn)存在定理1.理解函數(shù)零點(diǎn)的概念以及函數(shù)零點(diǎn)與方程的關(guān)系2.會根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)3.結(jié)合二次函數(shù)的圖像，會判斷一元二次方程根的存在性及一元二次不等式的解法4.了解二分法是求定理近似解的方法，會用二分法求一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)近似值知識點(diǎn)01函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的概念一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f(α)＝0，則稱α為函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．（2）函數(shù)零點(diǎn)的意義不難看出，α是函數(shù)f(x)零點(diǎn)的充分必要條件是，(α，0)是函數(shù)圖像與x軸的公共點(diǎn)．因此，由函數(shù)的圖像可以方便地看出函數(shù)值等于0的方程的解集，以及函數(shù)值與0比較相對大小的不等式的解集．因此我們有：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．注：(1)函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝g(x)的根，也就是函數(shù)y1＝f(x)與y2＝g(x)的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)如果方程f(x)＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x，那么x稱為函數(shù)y＝f(x)的二階零點(diǎn)(二重零點(diǎn)).如x＝2就是函數(shù)f(x)＝(x－2)2的二階零點(diǎn)．【即學(xué)即練1】（2024·江蘇揚(yáng)州·高一揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于函數(shù)，下列說法中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為、B．函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)可能無零點(diǎn)D．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1或2【答案】D【分析】由零點(diǎn)的定義判斷A；討論、確定對應(yīng)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷B、C、D.【詳解】由函數(shù)的零點(diǎn)是時(shí)對應(yīng)值，而不是坐標(biāo)，A錯(cuò)；若時(shí)，顯然只有一個(gè)零點(diǎn)，若，，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以B、C錯(cuò)，D對.故選：D知識點(diǎn)02一元二次不等式與對應(yīng)函數(shù)、方程三個(gè)“二次”之間的關(guān)系從函數(shù)觀點(diǎn)來看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a>0)的解集，就是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x軸上方的圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x軸下方的圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集就是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合，也就是二次函數(shù)的零點(diǎn)構(gòu)成的集合．從方程觀點(diǎn)來看，一元二次方程的根是二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是大于大根或者小于小根的實(shí)數(shù)x的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是大于小根且小于大根的實(shí)數(shù)x的集合．簡記為“大于取兩邊，小于取中間”．因此，利用二次函數(shù)的圖像和一元二次方程根的情況就可以解一元二次不等式．具體如下表所示：Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(x1＜x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(x1＝x2＝－eq\f(b,2a))無實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??注：(1)圖表具體表明了一元二次不等式的解集與對應(yīng)的二次函數(shù)圖像、一元二次方程的親密關(guān)系，此圖表是解一元二次不等式的依據(jù)之一．(2)x1，x2具有三重身份：對應(yīng)的一元二次方程的實(shí)根；對應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)；對應(yīng)的一元二次不等式解集區(qū)間的端點(diǎn)．【即學(xué)即練2】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列不等式的解集：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】根據(jù)解一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于，所以解得，所以不等式的解集為.（2）因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于，所以解得或，所以不等式的解集為或.（3）因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于，所以，解得，所以不等式的解集為.（4）因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于，所以解得，所以不等式的解集為.知識點(diǎn)03函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的，并且f(a)f(b)＜0(即在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)中至少有一個(gè)零點(diǎn)，即?x0∈(a，b)，f(x0)＝0.注：(1)一般地，解析式是多項(xiàng)式的函數(shù)的圖像都是連續(xù)不斷的．需要注意的是，反比例函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖像不是連續(xù)不斷的．(2)一個(gè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)必須同時(shí)滿足：①函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線；②f(a)·f(b)＜0.這兩個(gè)條件缺一不可．(3)若函數(shù)y＝f(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則由f(a)·f(b)＜0可以推出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)；但是，由函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)＜0.(4)如果單調(diào)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．【即學(xué)即練3】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，由零點(diǎn)的存在性定理，即可求解.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由，即，所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：D.知識點(diǎn)04二分法（1）二分法的概念對于圖像在區(qū)間[a，b]上不間斷，且滿足f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．（2）用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值先確定零點(diǎn)的初始區(qū)間(a，b)(依據(jù)是：如果函數(shù)y＝f(x)的圖像在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的，并且f(a)與f(b)的符號相反，則f(x)在(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn))，然后多次將區(qū)間(a，b)一分為二，直至找到零點(diǎn)的準(zhǔn)確值或滿足題中的精度要求的零點(diǎn)的近似值．注：即用區(qū)間中點(diǎn)eq\f(a＋b,2)將區(qū)間(a，b)一分為二，從而得到兩個(gè)區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(a＋b,2)))和eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，b))，其中一個(gè)區(qū)間一定包含零點(diǎn)．如果feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＞0，f(a)＜0，我們便認(rèn)為區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(a＋b,2)))包含零點(diǎn)，如下圖所示：不斷重復(fù)相似步驟，直到找到零點(diǎn)的準(zhǔn)確值或滿足題中的精度要求的零點(diǎn)的近似值．注：(1)我們把x＝eq\f(a＋b,2)稱為區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)．在這里，區(qū)間的中點(diǎn)是個(gè)實(shí)數(shù)，而不是點(diǎn)．(2)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點(diǎn)(曲線通過零點(diǎn)，且在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號)適用，對函數(shù)的不變號零點(diǎn)(曲線通過零點(diǎn)，且在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值同號)不適用．如函數(shù)f(x)＝(x－1)2的零點(diǎn)就不能用二分法求解．(3)二分法采用逐步逼近的思想，使區(qū)間逐步縮小，即使函數(shù)的零點(diǎn)所在的范圍逐步縮小，也就是逐漸逼近函數(shù)的零點(diǎn)．【即學(xué)即練4】（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下：，，，，，，，要使零點(diǎn)的近似值精確度為，則對區(qū)間的最少等分次數(shù)和近似解分別為（

）A．6次， B．6次，C．7次， D．7次，【答案】D【分析】根據(jù)題目條件結(jié)合二分法得到最少等分了7次，并求出近似解.【詳解】由題中數(shù)據(jù)知，零點(diǎn)區(qū)間變化如下：，此時(shí)區(qū)間長度小于，在區(qū)間內(nèi)取近似值，最少等分了7次，近似解取.故選：D.難點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用示例：已知函數(shù)f(x)＝x，x≤m，x2?2mx+4m，x＞m，其中m＞0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b【解析】作出f(x)的圖像如圖所示．當(dāng)x>m時(shí)，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.[方法小結(jié)】已知函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)的步驟及方法(1)步驟：①判斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式(組)；③解不等式(組)，即得參數(shù)的取值范圍．(2)方法：常利用數(shù)形結(jié)合法．【題型1：利用二次函數(shù)解不等式】例1．（2024·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)校考階段練習(xí)）解不等式(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）利用一元二次不等式的解法即可求解；（3）利用分式不等式的解法即可求解.【詳解】（1）由，得，即，解得，所以不等式的解集為；（2）由已知：，，，解得或，所以不等式的解集為.（3）由，得，即，解得或．所以不等式的解集為：變式1．（2024·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先求解一元二次不等式，再由集合的包含關(guān)系得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，或，所以，所以是的充分不必要條件.故選：A.變式2．（2024·湖南常德·高一臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的解集是，(1)求實(shí)數(shù)與的值(2)求的解集．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得到和是方程的兩個(gè)，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解；（2）由（1）得不等式為，結(jié)合一元二次不等式的解法，即可求解.【詳解】（1）解：由的解集是，可得和是方程的兩個(gè)，所以，解得.（2）解：由，則不等式，即為，又由，解得，所以不等式的解集為.【方法技巧與總結(jié)】二次函數(shù)的零點(diǎn)與不等式解集之間的關(guān)系借助相對應(yīng)的二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，可提煉出一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)(a≠0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(a≠0)的求解方法．當(dāng)a＞0時(shí)，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分為三步：①確定對應(yīng)方程ax2＋bx＋c＝0的根；②畫出對應(yīng)函數(shù)圖像的簡圖；③由圖像得出不等式的解集．求解過程中，必須考慮對應(yīng)的二次函數(shù)圖像的開口方向(a＞0或a＜0)，對應(yīng)的一元二次方程的判別式符號、兩根的大小關(guān)系，不等號的方向(＞，≥，＜，≤)，即一看(看二次項(xiàng)系數(shù)正負(fù))，二算(求對應(yīng)一元二次方程的根)，三寫(利用對應(yīng)二次函數(shù)的圖像寫出對應(yīng)不等式的解集).【題型2：求函數(shù)的零點(diǎn)】例2．（2024·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解方程，可得函數(shù)的零點(diǎn).【詳解】解方程，即，解得或，因此，函數(shù)的零點(diǎn)為、.故選：C.變式1．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的零點(diǎn)：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)無零點(diǎn)(4)1【分析】由函數(shù)零點(diǎn)定義可知，在函數(shù)表達(dá)式中令解關(guān)于方程即可.【詳解】（1）在中令，得，解得或，所以函數(shù)的零點(diǎn)為.（2）在中令，得，解得或，所以函數(shù)的零點(diǎn)為.（3）在中令，得，又此方程無解，所以函數(shù)無零點(diǎn).（4）在中令，得，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)為1.變式2．（2024·廣東梅州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)有個(gè)．【答案】2【分析】根據(jù)給定條件，解方程求出零點(diǎn)作答.【詳解】由，得，即，解得或，所以函數(shù)的零點(diǎn)有2個(gè).故答案為：2變式3.（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)是【答案】/【解析】令，則，解得，故答案為：.變式4．（2024·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是1，則它的另一個(gè)零點(diǎn)是．【答案】3【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義，求解方程的根即可.【詳解】由，所以令或，故另一個(gè)零點(diǎn)為3故答案為：3變式5．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）求下列函數(shù)的零點(diǎn)．(1)；(2)；(3)，其圖象如圖所示．

【答案】(1)和(2)答案見解析(3)－1和3【分析】（1）解方程可得結(jié)果；（2）分類討論，解方程可得結(jié)果；（3）由圖象可得結(jié)果.【詳解】（1）由，解得或，所以函數(shù)的零點(diǎn)為和.（2）①當(dāng)時(shí)，，由得，所以函數(shù)的零點(diǎn)為.②當(dāng)時(shí)，由得，解得或，又，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有唯一的零點(diǎn).當(dāng)且時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和.綜上所述：，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為；當(dāng)且時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和.（3）由圖象可知，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和.變式6.（2024·全國·高一專題練習(xí)）若求函數(shù)的零點(diǎn)．【答案】和1．【解析】函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根．當(dāng)時(shí)，方程，變形為，即，解得或，因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，方程，變形為，符合題意．綜上，函數(shù)的零點(diǎn)為和1．【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)零點(diǎn)的求法(1)代數(shù)法：求出方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．(2)幾何法：對于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以將它與對應(yīng)函數(shù)的圖像聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)求零點(diǎn)．【題型3：求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)】例3．（2023春·陜西西安·高二?？计谥校┲本€與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為．【答案】4【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象變換，作圖，可得答案.【詳解】令，，解得或，將代入，解得，可作圖如下：

由圖可知，直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故答案為：.變式1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的對應(yīng)值表，那么函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有（

）x1234567123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6A．2個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)值符號變化，由零點(diǎn)存在性定理可得.【詳解】由數(shù)表可知，.則，，，又函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)分別在上至少各一個(gè)零點(diǎn)，因此在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有3個(gè)．故選：B.變式2．【多選】（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）對于函數(shù)，下列說法中正確的是（）A．函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)B．時(shí)，函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)C．時(shí)，函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)D．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1或2【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義求解可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，故A不正確；當(dāng)時(shí)，由，，所以函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)，故B、C正確；所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1或2，故D正確.故選：BCD變式3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)作出函數(shù)的圖象；(2)就a的取值范圍討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】(1)作圖見解析(2)答案見解析【分析】（1）先作出的圖象，然后將其在x軸下方的部分翻折到x軸上方；（2）數(shù)形集結(jié)合，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】（1）先作出的圖象，然后將其在x軸下方的部分翻折到x軸上方，原x軸上及其上方的圖象及翻折上來的圖象便是所要作的圖象．

.

（2）由圖象易知，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)與時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.變式4.（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】由，則可作出函數(shù)的圖象如下：由方程，得或，所以方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為3．故選：A．變式5．【多選】（2024·湖北荊門·高一鐘祥市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則（

）A．B．且C．若，則D．函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)或兩個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系可判斷A，根據(jù)一元二次方程韋達(dá)定理可判斷BC，根據(jù)特殊情況可判斷D.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)可知：，故，故A正確；由韋達(dá)定理可得，由于，故可正可負(fù)可為0，因此無法判斷的正負(fù)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，故C正確；由，當(dāng)時(shí)，令，可得，此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選：AC變式6．（2024·云南大理·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，定義域和值域均為的函數(shù)和的圖象如圖所示，給出下列四個(gè)結(jié)論，不正確結(jié)論的是（

）

A．方程有且僅有三個(gè)解 B．方程有且僅有兩個(gè)解C．方程有且僅有五個(gè)解 D．方程有且僅有一個(gè)解【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象判斷復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)情況，即可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】A：由題意時(shí)，或或，故時(shí)，則或或，，則，又在上單調(diào)遞減，故都有唯一解，即有且僅有三個(gè)解，正確；B：由圖知時(shí)，故時(shí)，而，由圖象知有一個(gè)解，即有且僅有一個(gè)解，不正確；C：時(shí)，或或，由得：或或，而，，故和各有唯一解，有3個(gè)解，故有且僅有五個(gè)解，正確；D：時(shí)，由得，而在上單調(diào)遞減，故有唯一解，故有且僅有一個(gè)解，正確.故選：B變式7．【多選】（2024·全國·高一課堂例題）已知，關(guān)于的方程，則下列四個(gè)命題是真命題的為（

）A．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解B．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解C．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解D．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解【答案】BCD【分析】令（），則原方程可化為，作出的圖象和（）的圖象，兩函數(shù)圖象結(jié)合分析判斷即可.【詳解】（1）令（），則原方程可化為．作出的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知：

①當(dāng)或時(shí)，方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；②當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；③當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．（2）作出函數(shù)（）的圖象如圖所示．

①當(dāng)，即時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)數(shù)解，且．②當(dāng)，即時(shí)，方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，（），則，．③當(dāng)，即時(shí)，方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，（），則．④當(dāng)，即時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)數(shù)解，且．⑤當(dāng)，即時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解．綜合（1）（2）可知，當(dāng)時(shí)，原方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，原方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，原方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，原方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)解．所以B，C，D都是真命題．故選：BCD【方法技巧與總結(jié)】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判斷解的個(gè)數(shù)，可通過方程的解來判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(2)圖像法：由f(x)＝g(x)－h(huán)(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的圖像，根據(jù)兩個(gè)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(3)定理法：函數(shù)y＝f(x)的圖像在區(qū)間[a，b]上是一條連續(xù)不斷的曲線，由f(a)·f(b)<0即可判斷函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．【題型4：判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間】例4.（2023秋·北京·高一校考期中）函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間存在零點(diǎn)（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數(shù)定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)恒成立，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增且大于零恒成立，單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，又，，即，所以的零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi).故選：C變式1．（2024秋·四川廣安·高三四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在（

）內(nèi).A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合零點(diǎn)存在性定理列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在連續(xù)不斷，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理另一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi).故選：C.變式2．（2024·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）函數(shù)與圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大致區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)的大致區(qū)間，然后利用零點(diǎn)存在性定理求解即可.【詳解】根據(jù)題意令，則問題轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)零點(diǎn)的大致區(qū)間，因?yàn)椋?，，，，所以，因?yàn)榈膱D象在上連續(xù)，所以的零點(diǎn)大致在區(qū)間，即函數(shù)與圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大致區(qū)間為，故選：C變式3．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知唯一的零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間和內(nèi)，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn) B．函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)C．函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn) D．函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)【答案】A【分析】利用零點(diǎn)所在的區(qū)間之間的關(guān)系，將唯一的零點(diǎn)所在的區(qū)間確定出，進(jìn)行選項(xiàng)的正誤篩選即可．【詳解】因?yàn)槲ㄒ坏牧泓c(diǎn)同時(shí)在區(qū)間和內(nèi)，則該函數(shù)唯一的零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間內(nèi)，可知B，C，D正確，對于A，函數(shù)唯一的零點(diǎn)可能在內(nèi)，也可能在內(nèi)，故A錯(cuò)誤.故選：A變式4．【多選】（2024·新疆·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應(yīng)值表：135724131則一定包含的零點(diǎn)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理結(jié)合表中的數(shù)據(jù)分析判斷即可【詳解】因?yàn)榈膱D象是一條連續(xù)不斷的曲線，且，所以一定包含的零點(diǎn)的區(qū)間是．故選：BCD【方法技巧與總結(jié)】判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個(gè)步驟(1)代入：將區(qū)間端點(diǎn)值代入函數(shù)求出函數(shù)值．(2)判斷：把所得的函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號判斷．(3)結(jié)論：若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，若符號為負(fù)且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．【題型5：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍】例5．（2024·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)校考期末）已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，常數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理即可解決問題.【詳解】∵函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，∴，∴，故答案為：.變式1．（2024·廣西北?！じ咭唤y(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】【分析】先列出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式，解之即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，則.即，解之得，故答案為：變式2．（2024·全國·高三對口高考）方程在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)在區(qū)間端點(diǎn)的正負(fù)列式求解即可.【詳解】考查，因?yàn)?，且開口向上，故在區(qū)間上最多有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得，若方程在區(qū)間上有解，則，即，解得.故答案為：變式3．（2024·江蘇南通·高一?？计谥校┖瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，解得，，即可求得m的取值范圍．【詳解】令，即，解得，，又因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，，所以，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．故選：C．變式4．（2024·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】配方后得到函數(shù)的單調(diào)性，從而結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意得：為連續(xù)函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，，，所以只需或，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：變式5．（2024·安徽淮北·高一淮北一中?？计谀┮阎瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】把函數(shù)兩點(diǎn)零點(diǎn)都在轉(zhuǎn)化為函數(shù)值正負(fù),列不等式求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在內(nèi)，所以即解得，所以的取值范圍為故答案為:變式6．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，由零點(diǎn)的存在性定理知要使在上存在零點(diǎn)，需要滿足，求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且的圖象是連續(xù)不斷的，所以，解得．故選：B.變式7．（2024·廣西梧州·校考一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)判別式結(jié)合零點(diǎn)存在原理分類討論即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的判別式為：，若，此時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)為，符合題意；當(dāng)時(shí)，只需，所以且；當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：變式8．（2024·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】等價(jià)于在區(qū)間上有解，設(shè)，，求出函數(shù)的最值即得解.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，即在區(qū)間上有解，所以在區(qū)間上有解，設(shè)，，由于在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以所以，即故答案為：變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)零點(diǎn)的意義轉(zhuǎn)化為求方程根的問題，再分類討論求解作答.【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的根，當(dāng)時(shí)，方程化為：，當(dāng)時(shí)，方程化為：，依題意，方程有3個(gè)不等的負(fù)根，而方程兩根之積為負(fù)，必有一正根一負(fù)根，于是得在上有一個(gè)負(fù)根，在上有兩個(gè)相異負(fù)根，因此，即，由在上有兩個(gè)相異負(fù)根得，，解得，在中，，即方程在上有且只有一個(gè)負(fù)根，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：變式10．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知二次函數(shù)，求下列條件下，實(shí)數(shù)的取值范圍．(1)零點(diǎn)均大于1；(2)一個(gè)零點(diǎn)大于1，一個(gè)零點(diǎn)小于1；(3)一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意只需對稱軸大于1，即可，（2）根據(jù)題意只需即可，（3）根據(jù)題意結(jié)合零點(diǎn)存在性定理列不等式組求解即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)均大于1，所以，解得，（2）因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)大于1，一個(gè)零點(diǎn)小于1，所以，解得，（3）因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，所以，解得.變式11．（2024·全國·高一期末）已知函數(shù)，.若存在，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出與值域，由題意可知，由此即可求解【詳解】時(shí)單調(diào)遞增函數(shù)，的值域是，的對稱軸是，在上，函數(shù)單調(diào)遞減，的值域是，因?yàn)榇嬖?，，使得，所?若，則或，解得或，所以當(dāng)時(shí)，，故選：A變式12.（2023秋·北京·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)若關(guān)于的函數(shù)有且只有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)殛P(guān)于的函數(shù)有且只有三個(gè)不同的零點(diǎn)，所以函數(shù)與函數(shù)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出圖象，如圖：由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B【題型6：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值(方程的近似解)】例6.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)二分法的思想，函數(shù)在區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，且，即函數(shù)的零點(diǎn)是變號零點(diǎn)，才能將區(qū)間一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值．對各選項(xiàng)的函數(shù)圖象分析可知，A，B，D都符合條件，而選項(xiàng)C不符合，因?yàn)閳D象經(jīng)過零點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的符號沒有發(fā)生變化，因此不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)．故選：C.變式1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)，那么下一個(gè)有根區(qū)間是．【答案】【分析】利用零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)果.【詳解】令，則，，由因?yàn)椋虼?，下一個(gè)有根的區(qū)間為.故答案為：.變式2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列是函數(shù)在區(qū)間上一些點(diǎn)的函數(shù)值.由此可判斷：方程的一個(gè)近似解為(精確度0.1)．x11.251.3751.40651.4380.165x1.51.6251.751.87520.6251.9822.6454.356【答案】1.438(答案不唯一)【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理及二分法求解即可.【詳解】由題設(shè)有，于是，所以，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，此時(shí)，取區(qū)間的中點(diǎn)，又，因?yàn)椋?，此時(shí)，再取的中點(diǎn)，又，因?yàn)椋?，此時(shí)，再取的中點(diǎn)，又，因?yàn)?，所以，此時(shí)，再取的中點(diǎn)，又，因?yàn)?，所以，此時(shí)，再取的中點(diǎn)，又，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)精確度為0.1時(shí)，方程的一個(gè)近似解為1.438．故答案為：1.438．(答案不唯一)變式3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個(gè)近似根（精確度0.1）為（

）A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5【答案】B【分析】根據(jù)二分法求零點(diǎn)的步驟以及精確度可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以不滿足精確度；因?yàn)椋?，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以不滿足精確度；因?yàn)?，所以，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以不滿足精確度；因?yàn)?，所以，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以滿足精確度；所以方程的一個(gè)近似根（精確度）是區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)值（包括端點(diǎn)值），根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)可知選B.故選：B【方法技巧與總結(jié)】1.二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)的步驟在函數(shù)零點(diǎn)存在定理的條件滿足時(shí)，給定近似的精度，用二分法求零點(diǎn)的近似值，使得的一般步驟如下：第一步：檢查是否成立。如果成立，取，計(jì)算結(jié)果；如果不成立，轉(zhuǎn)到第二步；第二步：計(jì)算區(qū)間的中點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值，若，則取，計(jì)算結(jié)束；若，轉(zhuǎn)到第三步；第三步：若，將的值賦值給（用表示，下同），回到第一步；否則必有，將將的值賦值給，回到第一步.【注意】用可知，令，與函數(shù)的零點(diǎn)之間的誤差一定小于，原因是，也可以是2.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則①需依據(jù)圖像估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間[m，n](一般采用估計(jì)值的方法完成).②取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)c，計(jì)算f(c)，確定有解區(qū)間是[m，c]還是[c，n]，逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)符合精確度要求，終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值．3.二分法求函數(shù)零點(diǎn)步驟的記憶口訣定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看．同號丟，異號算，零點(diǎn)落在異號間．重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來把關(guān)口．一、單選題1．（2223高一上·北京·期末）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】分解因式求解方程的根即可.【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的實(shí)數(shù)根.由解得，或.故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.故選：D2．（2122高三下·四川德陽·期末）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是（

）A． B．C．或 D．【答案】A【分析】由題意求出a的取值范圍，結(jié)合選項(xiàng)判斷哪個(gè)選項(xiàng)對應(yīng)集合為其真子集，即可確定答案.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即或，由于，故為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件，顯然，均不能推出或，不符合題意；或是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的充分必要條件，故選：A3．（2425高一上·全國·課堂例題）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷方程的一個(gè)根所在的區(qū)間是（

）x101230.3712.727.3920.0912345A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)零點(diǎn)概念及零點(diǎn)存在定理判斷即可.【詳解】設(shè)，由表格中的數(shù)據(jù)得，，，，，，所以，又的圖象是連續(xù)不斷的，所以在內(nèi)有零點(diǎn)．故選：.4．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，則t的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用冪函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)y=fx【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)y=fx在，上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，只需，解得或，所以t的取值范圍為.故選：B．5．（2324高一上·浙江杭州·期中）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動點(diǎn)定理的基石.布勞威爾不動點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（L·E·J·Brouwer），簡單的講就是對于滿足一定條件的圖象不間斷的函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點(diǎn)”函數(shù).下列為“不動點(diǎn)”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題，若方程在函數(shù)定義域內(nèi)有解，則函數(shù)為“不動點(diǎn)”函數(shù)，據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】A選項(xiàng)，，方程無解，則不是“不動點(diǎn)”函數(shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，方程判別式，方程無解，則不是“不動點(diǎn)”函數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，方程無解，則不是“不動點(diǎn)”函數(shù)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，方程有兩解，則是“不動點(diǎn)”函數(shù)，D正確.故選：D6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：轉(zhuǎn)化成一元二次方程在0,+∞上有兩個(gè)不同的解的問題；法二：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖像在0,+【詳解】法一：因?yàn)椋矣袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以方程在0,+∞上有兩個(gè)不同的解，所以解得．法二：由得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)．函數(shù)的圖像如圖，由圖可知．故選：D．7．（2024·上海松江·二模）已知某個(gè)三角形的三邊長為、及，其中.若，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由a，b為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)可得，即可得、，由兩邊之和大于第三邊，結(jié)合題意可得.【詳解】由為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，故有，即恒成立，故，，則，，由a，b，c為某三角形的三邊長，且，故，且，則，因?yàn)楸厝怀闪?，所以，即，解得，所以，故的取值范圍是?故選：B.8．（2024高三下·全國·競賽）當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別作出，，的圖象，找到取得最小值時(shí)所對應(yīng)的點(diǎn)，建立方程求解即可．【詳解】解：分別作出，，的圖象，根據(jù)，如下圖：由圖象可得取得最小值時(shí)，點(diǎn)為，即為和的交點(diǎn)，，解得：，由圖可知點(diǎn)在第二象限，，故選：A．9．（2324高三下·河南鄭州·階段練習(xí)）若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】運(yùn)用奇函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合周期函數(shù)性質(zhì)，賦值即可求解.【詳解】由是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)可得，再由可得函數(shù)周期為1,，中取得，所以，，，，所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為7．故選：C．10．（2425高三上·廣東廣州·開學(xué)考試）已知函數(shù)，若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m取值范圍值是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求解二次方程，即可求得的結(jié)果，根據(jù)的圖像，數(shù)形結(jié)合，即可容易求得參數(shù)的范圍，屬中檔題.【詳解】由，得或，作出的圖象，如圖所示，由圖可知，要使方程有3個(gè)不同的實(shí)根，當(dāng)，即時(shí)，，符合題意，當(dāng)，即時(shí)，，符合題意，所以所求范圍是.故選：C.二、多選題11．（2324高一下·云南曲靖·期中）已知不等式的解集為，則以下選項(xiàng)正確的有（

）A．B．C．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)2和3D．的解集為或x>12【答案】ACD【分析】由題意，方程的根為和，由韋達(dá)定理可知，，判斷；結(jié)合二次函數(shù)的圖象知當(dāng)時(shí)，，判斷；由不等式的解集為，判斷；由韋達(dá)定理可知，，代入，求解不等式即可.【詳解】不等式的解集為，所以根據(jù)一元二次不等式解法可知，且，，，，則，正確；由二次函數(shù)的圖象知當(dāng)時(shí)，，故，錯(cuò)誤；方程的根為和，顯然正確；由,可知:，，代入，得，由可得，解得或，故的解集為或，正確；故選：.12．（2324高二下·河北滄州·期末）已知函數(shù)關(guān)于的方程有從小到大排列的四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，若，則（

）A． B．C．的最小值為 D．的最大值為【答案】AC【分析】對于A和B，根據(jù)題意畫出分段函數(shù)的圖像，將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)即可，通過觀察圖象直接判斷；對于C和D，可以借助二次函數(shù)的對稱性，得到運(yùn)用將未知數(shù)減少，轉(zhuǎn)化為函數(shù)后用基本不等式可求出的范圍即可解決.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=fx關(guān)于的方程有從小到大排列的四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,等價(jià)于與有四個(gè)不同交點(diǎn),則，顯然正確.令，則或，所以或，所以，當(dāng)時(shí)最小，數(shù)形結(jié)合有，故B不正確.運(yùn)用二次函數(shù)對稱性，可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故C正確.根據(jù)圖象，則無最大值，故D不正確.故選：AC.13．（2425高三上·吉林長春·階段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足不恒為零，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．是奇函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對稱D．在上有6個(gè)零點(diǎn)【答案】AB【分析】根據(jù)題設(shè)確定函數(shù)的周期和對稱中心，利用這兩個(gè)條件可得推出B正確；結(jié)合函數(shù)定義域，可得A正確；利用函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在上有8個(gè)零點(diǎn)，排除D項(xiàng)；對于C，結(jié)合D的結(jié)果，通過舉例說明排除即可.【詳解】由①可得，函數(shù)的周期為6；由可得，②，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱；又由②式可得，，結(jié)合①式可得，，故B正確；又因是定義域?yàn)镽的函數(shù)，故，即得，，故A正確；對于D，由上分析，，，由的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，是定義域?yàn)镽的函數(shù)可知，，，，，，，故函數(shù)在上有8個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；對于C，因，且，而的值不能確定，即得不到，故C錯(cuò)誤.故選：AB.14．（2324高一上·陜西寶雞·期末）若函數(shù)在時(shí)，值域也為，則稱為的“保值區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)不存在保值區(qū)間B．函數(shù)有無數(shù)多個(gè)保值區(qū)間C．若函數(shù)存在保值區(qū)間，則D．若函數(shù)存在保值區(qū)間，則【答案】BCD【分析】對于A，結(jié)合的單調(diào)性，令，解方程即可；對于B，由題可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)可能存在保值區(qū)間，結(jié)合函數(shù)fx=1x的單調(diào)性，可得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的保值區(qū)間為，最后由的任意性即可判斷；對于C，分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解；對于D，由函數(shù)的單調(diào)性知，即方程在上有兩解，令，換元得在上有兩解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】對于A，在和0,+∞上單調(diào)遞增，令，得，解得或，故存在保值區(qū)間，故A錯(cuò)誤；對于B，由，可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)可能存在保值區(qū)間，因?yàn)楹瘮?shù)fx=1則有，可得，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的保值區(qū)間為，由的任意性，可知函數(shù)有無數(shù)多個(gè)保值區(qū)間，故B正確；對于C，若存在保值區(qū)間，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，解得；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，解得（舍去），綜上，，故C正確；對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，若存在保值區(qū)間，則，可知方程在上有兩解，令，有，則方程可化為，所以在上有兩解，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，因?yàn)樵谏嫌袃山?，所以在上有兩解，即函?shù)的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了新定義問題與函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是充分理解“保值區(qū)間”的概念，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與值域，結(jié)合換元法求解即可.三、填空題15．（2324高一上·上海·期末）若函數(shù)在區(qū)間的一個(gè)零點(diǎn)的近似值用二分法逐次計(jì)算列表如下：那么方程的一個(gè)近似解為（精確到0.1）【答案】【分析】根據(jù)題意，由表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合二分法的規(guī)則，由近似解的要求分析，即可求解.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)，可得函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間之間，結(jié)合題設(shè)要求，可得方程的一個(gè)近似解為.故答案為：.16．（2324高一上·江西撫州·期末）在用二分法求方程的正實(shí)數(shù)跟的近似解（精確度）時(shí)，若我們選取初始區(qū)間是，為達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算的次數(shù)是．【答案】7【分析】利用二分法的定義列出不等式求解即可.【詳解】設(shè)至少需要計(jì)算次，則滿足，即，由于，故要達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算7次.故答案為：717．（2324高一上·海南?？凇るA段練習(xí)）已知，在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，則.若用二分法求的近似值（精確度0.1），則至少需要將區(qū)間等分次.【答案】14【分析】根據(jù)零點(diǎn)、二分法等知識求得正確答案.【詳解】在上為減函數(shù)，又，∴的零點(diǎn)，故.設(shè)至少需等分次，則且，解得，故至少需等分4次.故答案為：；18．（2324高一上·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且是上的增函數(shù)，有如下的對應(yīng)值表1234①；②在上存在零點(diǎn)；③有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；④可能無零點(diǎn)則正確的序號為________．【答案】①③【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)和利用零點(diǎn)存在性定理判斷.【詳解】對于①，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，故①正確；對于②，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，故②錯(cuò)誤；對于③，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，且，即，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)在區(qū)間的零點(diǎn)，故③正確；對于④，因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，且，即，所以函數(shù)在區(qū)間上一定存在零點(diǎn)，故④錯(cuò)誤，故答案為：①③19．（2021高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】【分析】根據(jù)題中條件，列出不等式組，解出即可.【詳解】因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，，解得.故答案為：.20．（2425高三上·山西呂梁·開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間有零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】函數(shù)的零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為與函數(shù)放入圖象有交點(diǎn)即可，因此只需確定再區(qū)間的范圍即可.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，且，所以若在區(qū)間有零點(diǎn)，只需與函數(shù)有交點(diǎn)即可,所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題21．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、一個(gè)零點(diǎn)、無零點(diǎn)；(2)若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)處，求m的值；(3)若有兩個(gè)根，且一個(gè)根大于2，一個(gè)根小于2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；(2)(3)【分析】（1）函數(shù)的零點(diǎn)即為對應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，由零點(diǎn)個(gè)數(shù)利用判別式可得到的取值范圍；（2）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)，說明0是對應(yīng)方程的根，解方程求m的值；（3）由二次方程根的分布，有，解不等式可得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)，若函數(shù)有