第10講反比例函數(shù)（原卷版）

第10講反比例函數(shù)考法一：反比例函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)1．（2021·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）已知雙曲線過點(3，)、(1，)、(2，)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2．（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于某個函數(shù)表達式，甲、乙、丙三位同學(xué)都正確地說出了該函數(shù)的一個特征．甲：函數(shù)圖像經(jīng)過點；乙：函數(shù)圖像經(jīng)過第四象限；丙：當(dāng)時，y隨x的增大而增大．則這個函數(shù)表達式可能是（

）A． B． C． D．3．（2019·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若、都在函數(shù)的圖象上，且，則（）A． B． C． D．4．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過、兩點，當(dāng)時，，寫出符合條件的的值_________（答案不唯一，寫出一個即可）．5．（2019·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知點、都在反比例函數(shù)的圖象上，則_________．（填“＞”或“＜”）1．反比例函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)．2．反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍自變量x和函數(shù)值y的取值范圍都是不等于0的任意實數(shù)．3．反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠達不到坐標(biāo)軸．（2）性質(zhì)：當(dāng)k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?dāng)k<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大4．反比例函數(shù)圖象的對稱性反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=x和y=x，對稱中心為原點．5．注意（1）畫反比例函數(shù)圖象應(yīng)多取一些點，描點越多，圖象越準(zhǔn)確，連線時，要注意用平滑的曲線連接各點．（2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標(biāo)軸靠近，但永不與坐標(biāo)軸相交，因為反比例函數(shù)中x≠0且y≠0．（3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當(dāng)k>0時，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當(dāng)k>0時，y隨x的增大而減?。瑯?，當(dāng)k<0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．1．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）若反比例函數(shù)的圖像位于第二、四象限，則k的取值可以是（

）A．0 B．1 C．3 D．以上都不是2．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校校考二模）已知都在的圖像上，若，則的值為____．3．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）點，，，在函數(shù)的圖像上，若，則__．（填“”、“”或“”）4．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于、兩點，當(dāng)時，的取值范圍是__________．5．（2022·江蘇揚州·揚州教育學(xué)院附中?？级＃┮阎瘮?shù)，下列關(guān)于它的圖像與性質(zhì)的說法：①函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸無交點；②函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱；③y隨x的增大而減小；④函數(shù)有最大值1．其中正確的說法是______．（寫出所有正確說法的序號）考法二：反比例函數(shù)的解析式1．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）某城市市區(qū)人口萬人，市區(qū)綠地面積50萬平方米，平均每人擁有綠地平方米，則與之間的函數(shù)表達式為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將點向下平移5個單位長度得到點，若點恰好在反比例函數(shù)的圖像上，則的值是______．3．（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點，直線軸，垂足為點其中，若與關(guān)于直線對稱，且有兩個頂點在函數(shù)的圖像上，則的值為：_______________________．4．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰的兩個頂點、在反比例函數(shù)（）的圖象上，．過點作邊的垂線交反比例函數(shù)（）的圖象于點，動點從點出發(fā)，沿射線方向運動個單位長度，到達反比例函數(shù)（）圖象上一點，則__________．5．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于、兩點．點，點的縱坐標(biāo)為－2．(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式；(2)求的面積．1．待定系數(shù)法：確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖象上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式．2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式．1．（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，以為邊在直線的左側(cè)作正方形，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值是(

)A． B． C． D．2．（2022·江蘇揚州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線y＝向右平移2個單位后經(jīng)過點（4，1），則k的值等于（

）A．1 B．2 C．3 D．53．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，直線與x軸、y軸分別相交于點A，B兩點，將線段繞著點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，點B恰好落在反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點D．則___________．4．（2022·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，直線與雙曲線相交于、B兩點．(1)求m及k的值；(2)不解關(guān)于x、y的方程組直接寫出點B的坐標(biāo)；(3)直接寫出的取值范圍．5．（2022·江蘇鹽城·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于點、，與反比例函數(shù)的圖象交于點，連接．(1)求、的值；(2)求的面積．考法三：反比例函數(shù)中k的幾何意義1．（2021·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點P是函數(shù)的圖像上一點，過點P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點A、B，交函數(shù)的圖像于點C、D，連接、、、，其中，下列結(jié)論：①；②；③，其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①2．（2019·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知A為反比例函數(shù)（<0）的圖像上一點，過點A作AB⊥軸，垂足為B．若△OAB的面積為2，則k的值為（

）A．2 B．2 C．4 D．43．（2020·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點B在x軸負半軸上，直線AB交y軸于點C，若＝，△AOB的面積為6，則k的值為_____．4．（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，AC⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為C、D，AC與BD相交于點E．（1）根據(jù)圖象直接寫出y1、y2的大小關(guān)系，并通過計算加以驗證；（2）結(jié)合以上信息，從①四邊形OCED的面積為2，②BE＝2AE這兩個條件中任選一個作為補充條件，求k的值．你選擇的條件是（只填序號）．5．（2020·江蘇常州·中考真題）如圖，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點．點B為x軸正半軸上一點，過B作x軸的垂線交反比例函數(shù)的圖像于點C，交正比例函數(shù)的圖像于點D．（1）求a的值及正比例函數(shù)的表達式；（2）若，求的面積．1．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積①過雙曲線(≠0)上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.②過雙曲線(≠0)上任意一點作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.2．涉及三角形的面積型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，過原點的直線與雙曲線交于A、B兩點，在線段左側(cè)作等腰三角形，底邊軸，過點C作軸交雙曲線于點D，連接，若，則k的值是（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇南京·南京大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于A，C兩點，過點A作軸于點B，過點C作軸于點D，則的面積為___________．3．（2020·江蘇南京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點A，軸于B，且的面積為3，則k的值為______．4．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，過原點O的直線與反比例函數(shù)y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的圖象分別交于點A1，A2，若，則＝_____．5．（2020·江蘇揚州·?？家荒＃┤鐖D，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象直接寫出的的取值范圍；(3)求的面積．一、單選題1．（2023秋·江蘇無錫·九年級江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校校考期末）如圖，直線與雙曲線交于點A，將直線向上平移1個單位長度后，與y軸交于C，與雙曲線交于B，若，則k的值為（

）A． B．－7 C． D．2．（2023春·江蘇南通·九年級南通田家炳中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖1是一個亮度可調(diào)節(jié)的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調(diào)節(jié)總電阻控制電流的變化來實現(xiàn)．如圖2是該臺燈的電流與電阻成反比例函數(shù)的圖象，該圖象經(jīng)過點．根據(jù)圖象可知，下列說法不正確的是（

）A．與的函數(shù)關(guān)系式是B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，的取值范圍是3．（2022秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形的頂點分別在反比例函數(shù)和的圖象上．若軸，點C的縱坐標(biāo)為4，則（）A．32 B．30 C．28 D．264．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考二模）如圖，點分別在雙曲線，上，且，則的值（

）A．1 B． C．2 D．5．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）如圖，中，，軸，反比例函數(shù)（）經(jīng)過A、B兩點，，則k的值為（

）A． B．3 C．6 D．6．（2022·江蘇揚州·校考一模）如圖，的邊在軸上，若過點的反比例函數(shù)的圖像還經(jīng)過邊上的中點，且S△ABD=6，則（）A． B． C． D．二、填空題7．（2023春·江蘇南通·九年級南通田家炳中學(xué)校考開學(xué)考試）對于反比例函數(shù)，當(dāng)時，的取值范圍是________．8．（2021·江蘇蘇州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分別在三個不同的象限．若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過其中兩點，則m的值為_____．9．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考二模）如圖，點A在反比例函數(shù)y＝的圖像上，且點A的橫坐標(biāo)為a（a＜0），AB⊥y軸于點B，若AOB的面積是3，則k的值是_____．10．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC在y軸上，原點O為AC的中點，點D在第一象限內(nèi)，ADx軸，當(dāng)雙曲線經(jīng)過點D時，則平行四邊形ABCD面積為___．11．（2021·江蘇連云港·?？家荒＃┤鐖D，直線軸于點，且與反比例函數(shù)（）及（）的圖象分別交于、兩點，連接、，已知的面積為4，則________．12．（2022·江蘇泰州·?？家荒＃┤鐖D，的頂點在軸的負半軸上，點在對角線上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點．已知的面積是，則點的坐標(biāo)為_______三、解答題13．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，軸，且交y軸于點C，交反比例函數(shù)于點B，已知．（1）求直線的解析式；（2）求反比例函數(shù)的解析式；（3）點D為反比例函數(shù)上一動點，連接交y軸于點E，當(dāng)E為中點時，求的面積．14．（2021·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和的圖象相交于點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點.（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）設(shè)一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的另一個交點為，連接，求的面積.15．（2020秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點，直線與軸交于點．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；（2）求AOC的面積；（3）求不等式的解集．（直接寫出答案）16．（2022·江蘇宿遷·校考三模）如圖所示，直線與雙曲線交于A、B兩點，已知點B的縱坐標(biāo)為，直線AB與x軸交于點C，與y軸交于點，，．（1）求直線AB的解析式；（2）若點P是第二象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的一點，的面積是的面積的2倍，求點P的坐標(biāo)；（3）直接寫出不等式的解集．17．（2022·江蘇蘇州·星海實驗中學(xué)校考二模）背景：點A在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點B，軸于點C，分別在射線上取點，使得四邊形為正方形．如圖1，點A在第一象限內(nèi)，當(dāng)時，小李測得．探究：通過改變點A的位置，小李發(fā)現(xiàn)點D，A的橫坐標(biāo)之間存在函數(shù)關(guān)系．請幫助小李解決下列問題．（1）求k的值．（2）設(shè)點的橫坐標(biāo)分別為，將z關(guān)于x的函數(shù)稱為“Z函數(shù)”．如圖2，小李畫出了時“Z函數(shù)”的圖象．①求這個“Z函數(shù)”的表達式