第12講幾何圖形初步（原卷版）

第12講幾何圖形初步考法一：圖形的展開與折疊1．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知骰子相對兩面的點數(shù)之和為7，下列圖形為該骰子表面展開圖的是（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種平面展開圖，那么在原正方體中，與“鹽”字所在面相對的面上的漢字是（

）A．強 B．富 C．美 D．高3．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）下列圖形中，為圓柱的側面展開圖的是（

）A． B．C． D．4．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖為一個幾何體的表面展開圖，則該幾何體是(

)A．三棱錐 B．四棱錐 C．四棱柱 D．圓錐5．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）下列展開圖中，是正方體展開圖的是（

）A． B．C． D．1．點、線、面、體：長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體,幾何體也簡稱體；包圍著體的是面,面有平的面和曲的面兩種；面和面相交的地方形成線，線也分為直線和曲線兩種；線和線相交的地方形成點．從上面的描述中我們可以看出點、線、面、體之間的關系．此外，從運動的觀點看：點動成線，線動成面，面動成體．2.展開與折疊：有些立體圖形是由一些平面圖形圍成，將它們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應立體圖形的展開圖．【拓展】(1)不是所有的立體圖形都可以展成平面圖形．例如，球便不能展成平面圖形．(2)不同的立體圖形可展成不同的平面圖形；同一個立體圖形，沿不同的棱剪開，也可得到不同的平面圖．1．（2022·江蘇鹽城·?？既＃┠痴襟w的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種展開圖，那么在原正方體中，與“新”字所在面相對的面上的漢字是（）A．代 B．好 C．少 D．年2．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）如圖，是一個正方體的展開圖，把展開圖折疊成正方體后，有“文”字一面的相對面上的字是（

）A．強 B．富 C．文 D．主3．（2022·江蘇南京·校聯(lián)考一模）如圖是一個三棱柱和它的側面展開圖，其中線段AB、EF、HI、DC分別表示這個三棱柱的側棱，若AD＝16，HD＝4，則AE的長度可能是（）A．2 B．4 C．6 D．84．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）2022年2月4日至20日冬季奧運會在我國首都北京成功舉行，如圖是一個正方體的展開圖，將它折疊成正方體后，“功”字的對面是（

）A．舉 B．辦 C．冬 D．奧5．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考二模）某幾何體的表面展開圖如圖所示，這個幾何體是（

）A．圓柱 B．長方體 C．四棱錐 D．五棱錐考法二：投影與視圖1．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖是5個相同的正方體搭成的立體圖形，則它的主視圖為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖是某一幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖，該幾何體是（

）A．四棱柱 B．四棱錐 C．三棱柱 D．三棱錐3．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的幾何體的俯視圖是（

）A． B． C． D．4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，該幾何體的俯視圖是（

）A．正方形 B．長方形 C．三角形 D．圓5．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，根據(jù)三視圖，這個立體圖形的名稱是（

）A．三棱柱 B．圓柱 C．三棱錐 D．圓錐1．投影：用光線照射物體，在某個平面上得到的影子叫做物體的投影，照射光線叫做投影線，投影所在平面叫做投影面．2．平行投影和中心投影：由平行光線形成的投影是平行投影；由同一點(點光源)發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影．3．正投影：投影線垂直投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影．4．物體的視圖我們用三個互相垂直的平面作為投影面，其中正對我們的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右邊的叫做側面．一個物體在三個投影面內同時進行正投影，在正面內得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側面內得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖．5．畫三視圖的要求(1)位置的規(guī)定：主視圖下方是俯視圖，主視圖右邊是左視圖．(2)長度的規(guī)定：長對正，高平齊，寬相等．1．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）下面是由幾個小正方體搭成的幾何體，則這個幾何體的左視圖為（

）．A． B． C． D．2．（2022·江蘇淮安·淮陰中學新城校區(qū)校聯(lián)考二模）下列四個幾何體中，主視圖為圓的是（）A． B．C． D．3．（2022·江蘇無錫·無錫市天一實驗學校?？寄M預測）一個長方體的左視圖、俯視圖及相關數(shù)據(jù)如圖所示，則其主視圖的面積為（

）A． B． C． D．4．（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學校校考模擬預測）如圖，是由個大小相同的正方體搭成的幾何體，其左視圖是（

）A． B． C． D．5．（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖所示的幾何體的俯視圖是（

）A． B． C． D．考法三：線段1．（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）互不重合的A、B、C三點在同一直線上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，這三點的位置關系是（）A．點A在B、C兩點之間 B．點B在A、C兩點之間C．點C在A、B兩點之間 D．無法確定2．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（

）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，23．（2014·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）點A、B、C在同一條數(shù)軸上，其中點A、B表示的數(shù)分別為﹣3、1，若BC=2，則AC等于_____．4．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點分別為、、，測得，，千米，求、兩點間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，結果精確到1千米）．5．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，圓錐的母線長為，B為母線的中點，點A在底面圓周上，的長為．在圖②所示的圓錐的側面展開圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑，并標出它的長（結果保留根號）．（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成．O是圓錐的頂點，點A在圓柱的底面圓周上．設圓錐的母線長為l，圓柱的高為h．①螞蟻從點A爬行到點O的最短路徑的長為________（用含l，h的代數(shù)式表示）．②設的長為a，點B在母線上，．圓柱的側面展開圖如圖④所示，在圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長的思路．1.概念：直線上兩點和它們之間的部分叫做線段．2.表示方法：（1）線段可用表示它兩個端點的兩個大寫英文字母來表示，如圖所示，記作：線段AB或線段BA．（2）線段也可用一個小寫英文字母來表示。3.“作一條線段等于已知線段”的兩種方法：（1）用圓規(guī)作一條線段等于已知線段。（2）用刻度尺作一條線段等于已知線段．例如：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個長度的線段．4.基本性質：兩點的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點之間，線段最短．【拓展】（1）線段是直的，它有兩個端點，它的長度是有限的，可以度量，可以比較長短．（2）連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離．（3）線段的比較：①度量法：用刻度尺量出兩條線段的長度，再比較長短．②疊合法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個端點重合，另一個端點位于重合端點同側，根據(jù)另一端點與重合端點的遠近來比較長短．5.線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如圖所示，點C是線段AB的中點，則，或AB＝2AC＝2BC．1．（2018·江蘇南通·校聯(lián)考一模）如圖，等腰三角形的底邊長為，面積是，腰的垂直平分線分別交，邊于，點，若點為邊的中點，點為線段上一動點，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇常州·校考二模）如圖，矩形中，點E在邊上，，動點P從點A出發(fā)，沿運動到B停止，過點E作垂直交射線于點F，如果M是線段的中點，那么P在運動的過程中，點M運動的路線長為（

）A．5 B．5.5 C．4 D．4.53．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，，點是邊上的一動點．，將繞點按逆時針方向旋轉，點是邊的中點，則長度的最小值為______．4．（2022·江蘇連云港·東海實驗中學?？既＃┤鐖D，四個村莊坐落在矩形ABCD的四個頂點上，公里，公里，現(xiàn)在要設立兩個車站E，F(xiàn)，則的最小值為______公里．5．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形是平行四邊形，，是對角線的三等分點，連接，，證明：．考法四：角1．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB與CD相交于點O，，，則的度數(shù)是（

）A．25° B．30° C．40° D．50°2．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）已知∠A的補角是60°，則_________．3．（2019·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如果∠α=35°，那么∠α的余角等于__________°．4．（2013·江蘇徐州·中考真題）若∠α=50°，則它的余角是_____°．5．（2014·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）若∠=30°，則∠的余角等于_______度，的值為_______.1.角的定義：（1）有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．（2）角也可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉到另一個位置所成的圖形，射線旋轉時經(jīng)過的平面部分是角的內部．【拓展】（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關．（2）平角與周角：如射線OA繞點O旋轉，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．2.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角．3.角的比較與運算（1）角度制及其換算：角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制。1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．（2）角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．（3）角的和、差關系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1＋∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB∠2．4.角平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB．5.余角、補角（1）余角與補角：一般地，如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角互為余角，簡稱互余，其中一個角叫做另一個角的余角．類似地，如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角互為補角，簡稱互補，其中一個角叫做另一個角的補角．（2）性質：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的補角相等．【拓展】(1)互余互補指的是兩個角的數(shù)量關系，互余、互補的兩個角只與它們的和有關，而與它們的位置無關．(2)一個銳角的補角比它的余角大90°．6.對頂角：由兩條直線相交構成的四個角中，有公共頂點沒有公共邊(相對)的兩個角，互為對頂角．(1)對頂角滿足的條件：①相等的兩個角；②有公共頂點且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長線.(2)只有兩條直線相交時，才能產(chǎn)生對頂角．兩條直線相交時，除了產(chǎn)生對頂角外，還會產(chǎn)生鄰補角，鄰補角滿足的條件：①有公共頂點；②有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.（3）性質：對頂角相等．7.方位角：在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．【拓展】（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示；（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”；（3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向；（4）圖中的點O是觀測點，所有方向線(射線)都必須以O為端點．8.鐘表上有關角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應30°的角，分針1分鐘轉6°，時針每小時轉30°，時針1分鐘轉0.5°，利用這些關系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題。1．（2023·江蘇鹽城·?？家荒＃┮阎瑒t的補角_____．2．（2022·江蘇淮安·模擬預測）如圖，一艘輪船由海平面上地出發(fā)向南偏西的方向行駛海里到達地，再由地向北偏西的方向行駛海里到達地，則、兩地相距___________海里．3．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學校?？级＃┤鐖D，在平行四邊形中，，的平分線分別交AD于點E，F(xiàn)．若，，則BE的長為____．（用含a，b的代數(shù)式表示）．4．（2022·江蘇蘇州·蘇州中學?？级＃?）已知∠α=35°19′，則∠α的余角等于______；（2）已知∠β的補角為120°37′46″，∠β=______°．5．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）的余角是______．一、單選題1．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州高新區(qū)實驗初級中學?？奸_學考試）已知線段cm，點C是直線上一點，cm，若M是的中點，N是的中點，則線段的長度是（

）A．12cm B．8cm C．10cm