第12講幾何圖形初步（原卷版）

第12講幾何圖形初步考法一：圖形的展開與折疊1．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知骰子相對(duì)兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7，下列圖形為該骰子表面展開圖的是（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）正方體的每個(gè)面上都有一個(gè)漢字，如圖是它的一種平面展開圖，那么在原正方體中，與“鹽”字所在面相對(duì)的面上的漢字是（

）A．強(qiáng) B．富 C．美 D．高3．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）下列圖形中，為圓柱的側(cè)面展開圖的是（

）A． B．C． D．4．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖為一個(gè)幾何體的表面展開圖，則該幾何體是(

)A．三棱錐 B．四棱錐 C．四棱柱 D．圓錐5．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）下列展開圖中，是正方體展開圖的是（

）A． B．C． D．1．點(diǎn)、線、面、體：長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體,幾何體也簡稱體；包圍著體的是面,面有平的面和曲的面兩種；面和面相交的地方形成線，線也分為直線和曲線兩種；線和線相交的地方形成點(diǎn)．從上面的描述中我們可以看出點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系．此外，從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看：點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體．2.展開與折疊：有些立體圖形是由一些平面圖形圍成，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖．【拓展】(1)不是所有的立體圖形都可以展成平面圖形．例如，球便不能展成平面圖形．(2)不同的立體圖形可展成不同的平面圖形；同一個(gè)立體圖形，沿不同的棱剪開，也可得到不同的平面圖．1．（2022·江蘇鹽城·?？既＃┠痴襟w的每個(gè)面上都有一個(gè)漢字，如圖是它的一種展開圖，那么在原正方體中，與“新”字所在面相對(duì)的面上的漢字是（）A．代 B．好 C．少 D．年2．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）如圖，是一個(gè)正方體的展開圖，把展開圖折疊成正方體后，有“文”字一面的相對(duì)面上的字是（

）A．強(qiáng) B．富 C．文 D．主3．（2022·江蘇南京·校聯(lián)考一模）如圖是一個(gè)三棱柱和它的側(cè)面展開圖，其中線段AB、EF、HI、DC分別表示這個(gè)三棱柱的側(cè)棱，若AD＝16，HD＝4，則AE的長度可能是（）A．2 B．4 C．6 D．84．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）2022年2月4日至20日冬季奧運(yùn)會(huì)在我國首都北京成功舉行，如圖是一個(gè)正方體的展開圖，將它折疊成正方體后，“功”字的對(duì)面是（

）A．舉 B．辦 C．冬 D．奧5．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考二模）某幾何體的表面展開圖如圖所示，這個(gè)幾何體是（

）A．圓柱 B．長方體 C．四棱錐 D．五棱錐考法二：投影與視圖1．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖是5個(gè)相同的正方體搭成的立體圖形，則它的主視圖為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖是某一幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖，該幾何體是（

）A．四棱柱 B．四棱錐 C．三棱柱 D．三棱錐3．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的幾何體的俯視圖是（

）A． B． C． D．4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，該幾何體的俯視圖是（

）A．正方形 B．長方形 C．三角形 D．圓5．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，根據(jù)三視圖，這個(gè)立體圖形的名稱是（

）A．三棱柱 B．圓柱 C．三棱錐 D．圓錐1．投影：用光線照射物體，在某個(gè)平面上得到的影子叫做物體的投影，照射光線叫做投影線，投影所在平面叫做投影面．2．平行投影和中心投影：由平行光線形成的投影是平行投影；由同一點(diǎn)(點(diǎn)光源)發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影．3．正投影：投影線垂直投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影．4．物體的視圖我們用三個(gè)互相垂直的平面作為投影面，其中正對(duì)我們的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右邊的叫做側(cè)面．一個(gè)物體在三個(gè)投影面內(nèi)同時(shí)進(jìn)行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖．5．畫三視圖的要求(1)位置的規(guī)定：主視圖下方是俯視圖，主視圖右邊是左視圖．(2)長度的規(guī)定：長對(duì)正，高平齊，寬相等．1．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）下面是由幾個(gè)小正方體搭成的幾何體，則這個(gè)幾何體的左視圖為（

）．A． B． C． D．2．（2022·江蘇淮安·淮陰中學(xué)新城校區(qū)校聯(lián)考二模）下列四個(gè)幾何體中，主視圖為圓的是（）A． B．C． D．3．（2022·江蘇無錫·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）一個(gè)長方體的左視圖、俯視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則其主視圖的面積為（

）A． B． C． D．4．（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，是由個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體，其左視圖是（

）A． B． C． D．5．（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖所示的幾何體的俯視圖是（

）A． B． C． D．考法三：線段1．（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）互不重合的A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，這三點(diǎn)的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)A在B、C兩點(diǎn)之間 B．點(diǎn)B在A、C兩點(diǎn)之間C．點(diǎn)C在A、B兩點(diǎn)之間 D．無法確定2．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（

）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，23．（2014·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）點(diǎn)A、B、C在同一條數(shù)軸上，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為﹣3、1，若BC=2，則AC等于_____．4．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為、、，測得，，千米，求、兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到1千米）．5．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，圓錐的母線長為，B為母線的中點(diǎn)，點(diǎn)A在底面圓周上，的長為．在圖②所示的圓錐的側(cè)面展開圖中畫出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑，并標(biāo)出它的長（結(jié)果保留根號(hào)）．（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成．O是圓錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)A在圓柱的底面圓周上．設(shè)圓錐的母線長為l，圓柱的高為h．①螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長為________（用含l，h的代數(shù)式表示）．②設(shè)的長為a，點(diǎn)B在母線上，．圓柱的側(cè)面展開圖如圖④所示，在圖中畫出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長的思路．1.概念：直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段．2.表示方法：（1）線段可用表示它兩個(gè)端點(diǎn)的兩個(gè)大寫英文字母來表示，如圖所示，記作：線段AB或線段BA．（2）線段也可用一個(gè)小寫英文字母來表示。3.“作一條線段等于已知線段”的兩種方法：（1）用圓規(guī)作一條線段等于已知線段。（2）用刻度尺作一條線段等于已知線段．例如：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個(gè)長度的線段．4.基本性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點(diǎn)之間，線段最短．【拓展】（1）線段是直的，它有兩個(gè)端點(diǎn)，它的長度是有限的，可以度量，可以比較長短．（2）連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離．（3）線段的比較：①度量法：用刻度尺量出兩條線段的長度，再比較長短．②疊合法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個(gè)端點(diǎn)重合，另一個(gè)端點(diǎn)位于重合端點(diǎn)同側(cè)，根據(jù)另一端點(diǎn)與重合端點(diǎn)的遠(yuǎn)近來比較長短．5.線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如圖所示，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則，或AB＝2AC＝2BC．1．（2018·江蘇南通·校聯(lián)考一模）如圖，等腰三角形的底邊長為，面積是，腰的垂直平分線分別交，邊于，點(diǎn)，若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇常州·校考二模）如圖，矩形中，點(diǎn)E在邊上，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)到B停止，過點(diǎn)E作垂直交射線于點(diǎn)F，如果M是線段的中點(diǎn)，那么P在運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線長為（

）A．5 B．5.5 C．4 D．4.53．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)．，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則長度的最小值為______．4．（2022·江蘇連云港·東海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）如圖，四個(gè)村莊坐落在矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，公里，公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個(gè)車站E，F(xiàn)，則的最小值為______公里．5．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形是平行四邊形，，是對(duì)角線的三等分點(diǎn)，連接，，證明：．考法四：角1．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，，，則的度數(shù)是（

）A．25° B．30° C．40° D．50°2．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）已知∠A的補(bǔ)角是60°，則_________．3．（2019·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如果∠α=35°，那么∠α的余角等于__________°．4．（2013·江蘇徐州·中考真題）若∠α=50°，則它的余角是_____°．5．（2014·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）若∠=30°，則∠的余角等于_______度，的值為_______.1.角的定義：（1）有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．（2）角也可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．【拓展】（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．2.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角．3.角的比較與運(yùn)算（1）角度制及其換算：角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制。1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．（2）角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．（3）角的和、差關(guān)系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1＋∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB∠2．4.角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB．5.余角、補(bǔ)角（1）余角與補(bǔ)角：一般地，如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么這兩個(gè)角互為余角，簡稱互余，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的余角．類似地，如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ)，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角．（2）性質(zhì)：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的補(bǔ)角相等．【拓展】(1)互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)．(2)一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°．6.對(duì)頂角：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒有公共邊(相對(duì))的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．(1)對(duì)頂角滿足的條件：①相等的兩個(gè)角；②有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長線.(2)只有兩條直線相交時(shí)，才能產(chǎn)生對(duì)頂角．兩條直線相交時(shí)，除了產(chǎn)生對(duì)頂角外，還會(huì)產(chǎn)生鄰補(bǔ)角，鄰補(bǔ)角滿足的條件：①有公共頂點(diǎn)；②有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.（3）性質(zhì)：對(duì)頂角相等．7.方位角：在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．【拓展】（1）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來表示；（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”；（3）在同一問題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；（4）圖中的點(diǎn)O是觀測點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)．8.鐘表上有關(guān)角問題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題。1．（2023·江蘇鹽城·校考一模）已知，則的補(bǔ)角_____．2．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測）如圖，一艘輪船由海平面上地出發(fā)向南偏西的方向行駛海里到達(dá)地，再由地向北偏西的方向行駛海里到達(dá)地，則、兩地相距___________海里．3．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？级＃┤鐖D，在平行四邊形中，，的平分線分別交AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，，則BE的長為____．（用含a，b的代數(shù)式表示）．4．（2022·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？级＃?）已知∠α=35°19′，則∠α的余角等于______；（2）已知∠β的補(bǔ)角為120°37′46″，∠β=______°．5．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）的余角是______．一、單選題1．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知線段cm，點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，cm，若M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，則線段的長度是（

）A．12cm B．8cm C．10cm