2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6.3平面與平面垂直課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(三十二)平面與平面垂直(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)和平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．多數(shù)個(gè) D．1個(gè)或多數(shù)個(gè)D[當(dāng)兩點(diǎn)連線與平面α垂直時(shí)，可作多數(shù)個(gè)垂面，否則，只有1個(gè)．]2．下列不能確定兩個(gè)平面垂直的是()A．兩個(gè)平面相交，所成二面角是直二面角B．一個(gè)平面垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線C．一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線D．平面α內(nèi)的直線a垂直于平面β內(nèi)的直線bD[如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1CD內(nèi)的直線A1B1垂直于平面ABCD內(nèi)的一條直線BC，但平面A1B1CD與平面ABCD明顯不垂直．]3.如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為()A．60° B．30°C．45° D．15°C[由條件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA為二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故選C．]4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不肯定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥βD[如圖，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥α?AC⊥m，AB∥l?AB∥β.故選D．]5．在正三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC＝eq\f(1,2)AB，這時(shí)二面角B-AD-C的大小為()A．60° B．90°C．45° D．120°A[∠BDC為二面角B-AD-C的平面角，設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為m，則折疊后，BC＝eq\f(1,2)m，BD＝DC＝eq\f(1,2)m，所以∠BDC＝60°.]二、填空題6．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，l是平面α與β之外的直線，給出下列三個(gè)論斷：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________.(用序號(hào)表示)①②?③(答案不唯一)[由l∥β可在平面β內(nèi)作l′∥l，又l⊥α，∴l(xiāng)′⊥α，∵l′?β，∴α⊥β，故①②?③.]7．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，將△ABC沿斜線BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD，則BC＝________.1[因?yàn)锳D⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝eq\f(\r(2),2)，所以BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝1.]8．空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是________．45°[如圖，過(guò)A作AO⊥BD于O點(diǎn)，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD．∴∠ADO＝45°.]三、解答題9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD．求證：平面PDC⊥平面PAD．[證明]因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD．因?yàn)镃D⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD．因?yàn)镃D?平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD．10．如圖所示，平面角為銳角的二面角α-EF-β，A∈EF，AG?α，∠GAE＝45°，若AG與β所成角為30°，求二面角α-EF-β的大小．[解]作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，連接GB，則GB⊥EF，∠GBH是二面角α-EF-β的平面角．又∠GAH是AG與β所成的角，設(shè)AG＝a，則GB＝eq\f(\r(2),2)a，GH＝eq\f(1,2)a，sin∠GBH＝eq\f(GH,GB)＝eq\f(\r(2),2).所以∠GBH＝45°，二面角α-EF-β的大小為45°.11．如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點(diǎn)P，A，B是定點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)C的軌道是()A．一條線段B．一條直線C．一個(gè)圓D．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)D[∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC?平面PAC，∴AC⊥平面PBC．又BC?平面PBC，∴AC⊥BC．∴∠ACB＝90°.∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點(diǎn)．]12．若以等腰直角三角形斜邊上的高為棱，把它折成直二面角，則折后兩條直角邊的夾角為()A．30° B．45°C．60° D．90°C[如圖①，AD⊥DC，AD⊥DB，圖①圖②∴∠CDB＝90°，設(shè)AB＝AC＝a，則CD＝BD＝eq\f(\r(2),2)a，∴CB＝a，∴圖②中△ABC是正三角形．∴∠CAB＝60°.]13.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F(xiàn)分別在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1-EF-C等于45°，則BF1[由題意知EF⊥BC．∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF，又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F，∴EF⊥C1F.故∠C1FC為二面角C1-EF-C的平面角，即∠C1FC＝45°，∵AA1＝1，∴CF＝1，又BC＝2，∴14．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠BAD＝60°，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，DM＝3eq\r(2).求證：(1)OM∥平面ABD；(2)平面ABC⊥平面MDO.[證明](1)由題意知，O為AC的中點(diǎn)，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴OM∥AB．又OM?平面ABD，AB?平面ABD，∴OM∥平面ABD．(2)由題意知，OM＝OD＝3，DM＝3eq\r(2)，∴OM2＋OD2＝DM2，∴∠DOM＝90°，即OD⊥OM.∵四邊形ABCD是菱形，∴OD⊥AC．又OM∩AC＝O，OM，AC?平面ABC，∴OD⊥平面ABC．∵OD?平面MDO，∴平面ABC⊥平面MDO.15.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)求證：AD⊥PB；(2)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．[解](1)證明：設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接PG，BG，如圖．∵△PAD為正三角形，∴PG⊥AD．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD．又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PG