專題05 相似三角形重要模型-（雙）A字型與（雙）8字型（原卷版）

專題05相似三角形重要模型-（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。本專題重點(diǎn)講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應(yīng)用難點(diǎn)在于過分割點(diǎn)(將線段分割的點(diǎn))作平行線構(gòu)造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長(zhǎng)中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點(diǎn)在模考中無論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn)）的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”（是對(duì)應(yīng)角），再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2022·四川雅安·中考真題）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點(diǎn)，DE∥BC，若＝，那么＝（）A． B． C． D．例2．（2023·安徽·九年級(jí)期末）如圖，在三角形中，點(diǎn)D、E分別在邊、上，，，，．(1)求證：；(2)若的平分線交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，求．

例3．（2023秋·江西上饒·九年級(jí)校聯(lián)考期末）完成下列各題．(1)課本中有一道練習(xí)題：如圖1，一塊材料的形狀是銳角三角形（），邊，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在上，則這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是mm．拓展應(yīng)用：(2)若原題中要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形兩條邊，如圖2所示，求此時(shí)EF的長(zhǎng)．

例4.（2022·上海九年級(jí)期中）如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．（1）求CE的長(zhǎng)．（2）在△ABC中，點(diǎn)D，E，Q分別是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點(diǎn)P．小明認(rèn)為DPBQ例5.（2022?安慶一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角”，再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·遼寧·中考真題）如圖，在正方形中，E為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F．若，則的面積為___________．例2．（2021·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，在梯形中，是對(duì)角線的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交邊或邊于E．（1）當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，①求證：；②若，求的值；（2）若，求的長(zhǎng)．例3.（2023·廣東九年級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q．（1）求證：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．例4．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點(diǎn)C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點(diǎn)O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當(dāng)與重合時(shí)，連接，若，求的長(zhǎng)；②如圖3，當(dāng)時(shí)，連接并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)F，連接．求證：．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結(jié)論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結(jié)論：AF=AG例1.（2022·成都市九年級(jí)期中）如圖，△ABC中，D．E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的長(zhǎng)度．例2．（2022?武漢模擬）在△ABC中，CD是中線，E，F(xiàn)分別為BC，AC上的一點(diǎn)，連接EF交CD于點(diǎn)P．（1）如圖1，若F為AC的中點(diǎn)，CE＝2BE，求的值；（2）如圖2，設(shè)＝m，＝n（n＜），若m+n＝4mn，求證：PD＝PC；（3）如圖3，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，連接AE交CD于點(diǎn)Q，若QD＝QP，直接寫出的值．例3.（2022·重慶九年級(jí)期中）如圖，AD與BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BD上，且AB∥EF∥CD，求證：eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點(diǎn)O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點(diǎn)O作EF∥AB分別交BC、AD于點(diǎn)E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點(diǎn)，DE交OC于點(diǎn)M，作MN∥OB交OA于一點(diǎn)N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長(zhǎng)度．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，．若，則m的最小值為（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·山西晉城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)G是的重心，連接、并延長(zhǎng)分別交、于點(diǎn)D，E，連接，則．

4．（2023秋·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，連接，過點(diǎn)C作的垂線，垂足為F，交于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為．5．（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)分別在、上，四邊形是矩形，，是的高，，，那么的長(zhǎng)為．

6．（2023春·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，．點(diǎn)M在邊上，且．點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，且，垂足為G，則的值為．

7．（2023·河南鄭州·鄭州外國(guó)語中學(xué)?？既＃締栴}發(fā)現(xiàn)】小明在一次利用三角板作圖的過程中發(fā)現(xiàn)了一件有趣的事情：如圖，在中，，點(diǎn)和點(diǎn)分別是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，并且滿足，分別過點(diǎn)和點(diǎn)作邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)，那么的值是一個(gè)定值．問題：若時(shí)，值為___________；【操作探究】如圖，在中，；愛動(dòng)腦筋的小明立即拿出另一個(gè)三角板進(jìn)行了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)果然和之前發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一樣，于是他猜想，對(duì)于任意一個(gè)直角三角形，當(dāng)時(shí)，的值都是固定的，小明的猜想對(duì)嗎？如果對(duì)，請(qǐng)利用圖進(jìn)行證明，并用含和的式子表示的值．【解決問題】如圖，在菱形中，若、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，作，垂足分別為、，則的值為__________．

8．（2023春·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，邊的垂直平分線交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)D．(1)求證：；(2)若點(diǎn)D為的中點(diǎn)，求證：；(3)在（2）的條件下，若，求的長(zhǎng)．9．（2023·吉林四平·校聯(lián)考三模）在中，，分別為，上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．(1)設(shè)的面積為，的面積為，且．①如圖①，連接．若，求證：；②如圖②，若，，求的值．(2)如圖③，若，，，，直接寫出的值．

10．（2022?江蘇中考模擬）對(duì)于兩個(gè)相似三角形，如果沿周界按對(duì)應(yīng)點(diǎn)順序環(huán)繞的方向相同，那么稱這兩個(gè)三角形互為順相似；如果沿周界按對(duì)應(yīng)點(diǎn)順序環(huán)繞的方向相反，那么稱這兩個(gè)三角形互為逆相似．例如，如圖（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC與CABC環(huán)繞的方向（同為逆時(shí)針方向）相同，因此△CDE和△CAB互為順相似；如圖（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC與CBAC環(huán)繞的方向相反，因此△CDE和△CBA互為逆相似．（1）根據(jù)以上材料填空：①如圖（3），AB∥CD，則△AOB∽△COD，它們互為相似（填“順”或“逆”，下同）；②如圖（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，則△ABC∽，它們互為相似；③如圖（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于點(diǎn)F，則△ABD∽，它們互為相似；（2）如圖（6），若△AOB∽△COD，指出圖中另外的一對(duì)相似三角形并說明理由，同時(shí)指出它們互為順相似還是互為逆相似；（3）如圖（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，點(diǎn)P在△ABC的斜邊上，且AP＝16，過點(diǎn)P畫直線截△ABC，使截得的一個(gè)三角形與△ABC相似，則滿足的截線共有條．11．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，平分，交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交邊于點(diǎn)．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）取線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，交線段于點(diǎn)，延長(zhǎng)線段交邊于點(diǎn)，求的值．12．（2022?綿陽市中考模擬）[閱讀理解]構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點(diǎn)問題．例如：如圖，D是△ABC邊AB上一點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則易證E是線段DF的中點(diǎn)．[經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用]請(qǐng)運(yùn)用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問題．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且滿足AE＝CF，連接EF交AC于點(diǎn)G．求證：①G是EF的中點(diǎn)；②CG＝BE；[拓展延伸]（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且滿足AE＝2CF，連接EF交AC于點(diǎn)G．探究BE和CG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在線段BC上，DF交AC于點(diǎn)H，BF＝2，CF＝1，（2）中的其它條件不變，請(qǐng)直接寫出GH的長(zhǎng)．13．（2022·湖北武漢·中考真題）問題提出：如圖（1），中，，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，探究的值．(1)先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫出的值；(2)再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問題拓展：如圖（3），在中，，是的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．直接寫出的值（用含的式子表示）．14．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=E