專題04 圓中的重要模型-四點共圓模型（原卷版）

專題04圓中的重要模型-四點共圓模型四點共圓是初中數(shù)學的?？贾R點，近年來，特別是四點共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對四點共圓性質的應用，四點共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計算題或選擇中四點共圓模型的應用（特別是最值問題），通常能簡化運算或證明的步驟，使問題變得簡單。本文主要介紹四點共圓的四種重要模型。四點共圓：若在同一平面內(nèi)，有四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”。模型1、定點定長共圓模型（圓的定義）【模型解讀】若四個點到一定點的距離相等，則這四個點共圓。這也是圓的基本定義，到定點的距離等于定長點的集合。條件：如圖，平面內(nèi)有五個點O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，結論：A、B、C、D四點共圓（其中圓心為O）。例1．（2022·江蘇·二模）如圖，點為線段的中點，點到點的距離相等，若則的度數(shù)是例2．（2022·安徽合肥·校考一模）如圖，O是的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接．下列結論不一定成立的是（）A．B．C．D．平分例3．（2022春·福建廈門·九年級?？茧A段練習）如圖，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．（1）求BC的長．（2）如圖，點D在CA的延長線上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，連EF．求EF的最小值．

例4．（2022·河北·唐山九年級階段練習）如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，∠CAD=74°，則∠BCD=_______°，∠DBC_______°．模型2、定邊對雙直角共圓模型同側型異側型1）定邊對雙直角模型（同側型）條件：若平面上A、B、C、D四個點滿足，結論：A、B、C、D四點共圓，其中AD為直徑。2）定邊對雙直角模型（異側型）條件：若平面上A、B、C、D四個點滿足，結論：A、B、C、D四點共圓，其中AC為直徑。例1．（2022秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）如圖在四邊形中，，若，則的值為（

）

A． B． C． D．例2．（2022春·山東國·九年級專題練習）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，直接寫出∠E的度數(shù)是；②求∠E與∠A的數(shù)量關系，并說明理由．（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E在BD的延長線上，連CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．例3．（2022春·山東九年級課時練習）如圖，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E、F，M為BC的中點．（1）求證：ME=MF．（2）若∠A=50°，求∠FME的度數(shù)．例4．（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點O為對角線AC的中點，點E在DC的延長線上且CE＝1.5，連接OE，過點O作OF⊥OE交CB延長線于點F，連接FE并延長交AC的延長線于點G，則＝．模型3、定邊對定角共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點滿足，結論：A、B、C、D四點共圓．條件：如圖2，AC、BD交于H，，結論：四點共圓.例1．（2023·黑龍江哈爾濱·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，等邊△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，連BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，則FT＝．例2．（2022秋·湖南長沙·九年級校考階段練習）如圖，已知中，，，，，過點作的垂線，與的延長線交于點，則的最大值為（

）A．4 B．5 C． D．例3．（2023·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如圖2，在底邊BC上取一點D，連結AD，使得∠DAC=∠ACD．如圖3，將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點C落在點E處，連結BE，得到四邊形ABED．則BE的長是（

）A．1 B． C． D．例4．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）請閱讀以下材料，完成相應任務．我們知道，過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓，那么過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？李雷經(jīng)過實踐探究發(fā)現(xiàn)了如下結論：如果線段同側兩點（與線段在同一平面內(nèi)）分別與線段兩端點的連線所組成的夾角相等，那么這兩點和線段兩端點四點共圓．下面是李雷證明上述命題的過程（不完整）．已知：如圖1，點，是線段同側兩點，且．求證：點，，，四點共圓．證明：作的外接圓，假設點在外或在內(nèi)．如圖2，若點在外．設與交于點，連接，則（依據(jù)一），又（依據(jù)二），．．這與已知條件“”矛盾，故點在外不成立；如圖3，若點在內(nèi)，（請同學們補充完整省略的部分證明過程）綜上所述，作的外接圓，點在上，即點，，，四點共圓．(1)填空：將材料中依據(jù)一、依據(jù)二補充完整；依據(jù)一：；依據(jù)二：．(2)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(3)填空：如圖4，在四邊形中，，對角線，交于點，為中點，若，，則．模型4、對角互補共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點滿足，結論：A、B、C、D四點共圓．條件：如圖2，BA、CD的延長線交于P，，結論：A、B、C、D四點共圓.例1．（2022春·九年級課時練習）如圖所示，正方形中，為對角線，點為上一點，過作，交于，求證：.例2．（2023·河南周口·?？既＃┰谥?，，M是外一動點，滿足，若，，，則的長度為．例3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，，，點、分別是線段、射線上的動點，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為．

例4．（2023·河南南陽·校考三模）綜合實踐課上，劉老師介紹了四點共圓的判定定理：若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等于其內(nèi)對角，那么這四點共圓．在實際應用中，如果運用這個定理，往往可以讓復雜的問題簡單化，以下是小明同學對一道四邊形問題的分析，請幫助他補充完整．

特殊情況分析：(1)如圖1，正方形中，點為對角線上一個動點，連接，將射線繞點順時針旋轉的度數(shù)，交直線于點．小明的思考如下：連接，∵，，∴，（依據(jù)1）∵，∴，∴點共圓，∴，，（依據(jù)2）∴，∴．（依據(jù)3）填空：①依據(jù)1應為___________，②依據(jù)2應為___________，③依據(jù)3應為___________；一般結論探究：(2)將圖1中的正方形改為菱形，其他條件不變，（1）中的結論是否成立，若成立，請僅以圖2的形式證明，若不成立，請說明理由；結論拓展延伸：(3)如圖2，若，，當為直角三角形時，請直接寫出線段的長．課后專項訓練1．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點恰好落在邊上，若，則的長是（

）

A． B． C．2 D．12．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，AB=AC=5，點在上，且，點E是AB上的動點，連結，點，G分別是BC，DE的中點，連接，，當AG=FG時，線段長為（

）A． B． C． D．43．（2023·山東威?！そy(tǒng)考二模）如圖，等邊的邊長為4，點F在內(nèi)運動，運動過程始終保持，則線段長度的最大值與最小值的差約為（

）

A． B．2 C． D．4．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，于點F，于點E，交于點O，點D是的中點，連接，，，下列結論：①；②；③；④；⑤為等邊三角形．正確結論個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學考試）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊重合（），其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，射線從處出發(fā)沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉，與量角器的半圓弧交于點E，第20秒時點E在量角器上運動路徑長是．

6．（2023春·江蘇·八年級期末）如圖，在菱形中，，P為上一動點，于點Q，則的最小值為．

7．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考三模）如圖，將矩形的邊繞點A逆時針旋轉得到，連接，過點D作的垂線，垂足E在線段上，連接．若，，則的度數(shù)為．

8．（2022·浙江九年級課時練習）如圖所示，在平行四邊形中，點為，的垂直平分線的交點，若，求.9．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）探究與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結論進行探究．提出問題：如圖1，在線段同側有兩點，，連接，，，，如果，那么，，，四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點，，的，在劣弧上取一點（不與，重合），連接，則（依據(jù)1）點，，，四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）點，在點，，所確定的上（依據(jù)2）點，，，四點在同一個圓上(1)反思歸納：上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：__________；依據(jù)2：__________．(2)圖3，在四邊形中，，，則的度數(shù)為__________．(3)拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點在上（不與的中點重合），連接．作點關于的對稱點，連接并延長交的延長線于，連接，．①求證：，，，四點共圓；②若，的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．10．（2022春·廣東九年級課時練習）閱讀以下材料，并完成相應的任務：西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．數(shù)學興趣小組的同學們嘗試證明該定理．如圖1，已知內(nèi)接于⊙O，點P在⊙O上（不與點A、B、C重合），過點P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)求證：點D，E，F(xiàn)在同一條直線上以下是他們的證明過程：如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點Q，連接QE，QF，則（依據(jù)1），∴E，F(xiàn)，P，C四點共圓．∴（依據(jù)2）．又∵，∴．∵，∴B，D，P，E四點共圓．∴（依據(jù)3）．∵，∴（依據(jù)4）．∴點D，E，F(xiàn)在同一條直線上．任務：(1)填空：①依據(jù)1指的的是中點的定義及______；②依據(jù)2指的是______；③依據(jù)3指的是______；④依據(jù)4指的是______．(2)善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當點P是的中點時，．請你利用圖2證明該結論的正確性．11．（2022春·九年級課時練習）如圖1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，過點C任作一條直線CD，將線段BC沿直線CD翻折得線段CE，直線AE交直線CD于點F．直線BE交直線CD于G點．(1)小智同學通過思考推得當點E在AB上方時，∠AEB的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成以下推理過程：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點在以C為圓心以AC為半徑的圓上，∴∠AEB＝∠ACB，（填寫數(shù)量關系）∴∠AEB＝°．(2)如圖2，連接BF，求證A、B、F、C四點共圓；(3)線段AE最大值為，若取BC的中點M，則線段MF的最小值為．12．（2023春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖①，在中，，，點E為上的一動點，連接，過點C作于點H，以為腰作等腰直角連接．

(1)求證：四邊形為正方形；(2)如圖②，當D，H，G三點共線時，求的值；(3)求的最小值．13．（2023春·重慶南岸·八年級校考期末）已知：菱形的對角線交于點，以為斜邊構造等腰，連接．

(1)如圖1，若，，求的面積．(2)如圖2，延長交于點，過點作于點，過點作于點，與交于點，且．求證：．14．（2023春·湖北武漢·九年級校考階段練習）問題提出

如圖1，點E為等腰內(nèi)一點，，，將繞著點A逆時針旋轉得到，求證：．嘗試應用

如圖2，點D為等腰外一點，，，過點A的直線分別交的延長線和的延長線于點N，M，求證：．問題拓展

如圖3，中，，點D，E分別在邊，上，，，交于點H．若，，直接寫出的長度（用含a，b的式子）．15．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期末）綜合與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼