專題08 角度中的動(dòng)態(tài)模型（解析版）

專題08角度中的動(dòng)態(tài)模型角度的動(dòng)態(tài)（旋轉(zhuǎn)）模型屬于七年級(jí)上期必考?jí)狠S題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內(nèi)容，對(duì)考生的綜合素養(yǎng)要求較高。絕大部分學(xué)生對(duì)角度旋轉(zhuǎn)問(wèn)題信心不足，原因就是很多角度旋轉(zhuǎn)問(wèn)題需要自己畫(huà)出圖形，與分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等結(jié)合得很緊密，思考性強(qiáng)，難度大。本專題重點(diǎn)研究與角有關(guān)的旋轉(zhuǎn)模型（求值模型；定值模型；探究模型；分類討論模型）?！局R(shí)儲(chǔ)備】1、角度旋轉(zhuǎn)模型解題步驟：①找——根據(jù)題意找到目標(biāo)角度；②表——表示出目標(biāo)角度：1）角度一邊動(dòng)另一邊不動(dòng)，角度變大：目標(biāo)角=起始角+速度×?xí)r間；2）角度一邊動(dòng)另一邊不動(dòng)，角度變?。耗繕?biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；3）角度一邊動(dòng)另一邊不動(dòng)，角度先變小后變大。變小：目標(biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；變大：目標(biāo)角=速度×?xí)r間—起始角③列——根據(jù)題意列方程求解。注：①注意題中是否確定旋轉(zhuǎn)方向，未確定時(shí)要分順時(shí)針與逆時(shí)針?lè)诸愑懻摚虎谧⒁庑D(zhuǎn)角度取值范圍。2、常見(jiàn)的三角板旋轉(zhuǎn)模型：三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉(zhuǎn)中隱藏的條件就是上面所說(shuō)的這幾個(gè)特殊角的角度?？傊还苓@個(gè)角如何旋轉(zhuǎn)，它的角度大小是不變的，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)就是組成角的兩條射線旋轉(zhuǎn)的度數(shù)（角平分線也旋轉(zhuǎn)了同樣的度數(shù)）。抓住這些等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，三角板只是把具體的度數(shù)隱藏了起來(lái)。模型1、旋轉(zhuǎn)中的求值模型例1．（2023春·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖1，已知繞點(diǎn)在的內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，平分，平分．

(1)如圖2，當(dāng)與重合時(shí)，求的度數(shù)；(2)請(qǐng)判斷的大小是否隨的位置的變化發(fā)生改變？并說(shuō)明理由；：(3)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)不會(huì)隨的運(yùn)動(dòng)而改變大小，理由見(jiàn)解析(3)的度數(shù)為或【分析】（1）如圖所示，，與重合，，平分，可求出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求出的度數(shù)，由此即可求解；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)分別求出的度數(shù)，根據(jù)即可求解；（3）根據(jù)題意分別求出與的關(guān)系，由此即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，，與OA重合，，平分，

，平分，，∵平分，，．（2）解：不會(huì)隨的運(yùn)動(dòng)而改變大小，理由如下：平分，，平分，，，不會(huì)隨的運(yùn)動(dòng)而改變大?。?）解：∵，由（2）可知，，，或，，或，解得或，或，∴的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，角的和差倍分的關(guān)系，理解圖示，掌握角的和差倍分的計(jì)算，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·福建福州·七年級(jí)期末）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李磊同學(xué)將一副宜角三角板、按如圖1放置，點(diǎn)A、C、D在同一直線上，（°、），并將三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，且始終保持．(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、E在同一直線上時(shí)，則____；(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖3，當(dāng)時(shí)．請(qǐng)說(shuō)明平分；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖4，當(dāng)時(shí)，求此時(shí)的度數(shù)．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)計(jì)算；（2）計(jì)算的度數(shù)，得到，得出結(jié)論；（3）設(shè)，表示出，根據(jù)，求出，得出答案；(1)解：點(diǎn)在同一直線上，，，故答案為：；(2)如圖3，，，∵，，∴，∵，，∴，∴平分；(3)如圖4，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查角的和差，角的平分線，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是結(jié)合圖形準(zhǔn)確表示角的和差．模型2、旋轉(zhuǎn)中的定值模型例1．（2022·四川成都·七年級(jí)期末）已知，如圖1，，分別為定角（大小不會(huì)發(fā)生改變）內(nèi)部的兩條動(dòng)射線，，．（1）求的度數(shù)；（2）如圖2，射線分別為的平分線，當(dāng)繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，的位置也會(huì)變化但大小保持不變，請(qǐng)求出的度數(shù)；（3）如圖3，是外部的兩條射線，且，平分，平分．當(dāng)繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，求出其度數(shù)；若變化，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）的大小不變?yōu)椋痉治觥浚?）由，可得，從而可求解從而可得的大?。唬?）由射線，分別為，的平分線，求解，從而可得的度數(shù)為；（3）先求解，再證明，結(jié)合角平分線性質(zhì)求解，從而可得．【詳解】解：（1）∵，∴∵，∴∴（2）∵射線，分別為，的平分線，∴，∴∴∴的度數(shù)為．（3）的大小不變?yōu)椋碛扇缦拢骸?，，∴，，∵∴∵平分，平分∴∴【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，角的和差運(yùn)算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)?？计谀⒁桓比浅呷鐖D①擺放，，，現(xiàn)將繞點(diǎn)C以/秒的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．

(1)如圖②，當(dāng)______時(shí)，恰好平分；(2)如圖③，當(dāng)______時(shí)，恰好平分；(3)如圖④，當(dāng)______時(shí)，恰好平分；(4)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖⑤的位置，平分，平分，求的度數(shù)；(5)若旋轉(zhuǎn)到如圖⑥的位置，（4）中結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)4(2)7(3)10(4)(5)不變，，理由見(jiàn)解析；【分析】（1）如圖，由題意可得：，而，，再證明，而，再建立方程求解即可；（2）如圖，證明，，再建立方程求解即可；（3）如圖，證明，，同理：，而，可得，從而可得答案；（4）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案；（5）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案．【詳解】（1）解：如圖，由題意可得：，而，∴，

∵平分，∴，而，∴，解得：；（2）如圖，∵，平分，∴，

∵，，∴，∴，解得：；（3）如圖，∵，恰好平分，∴，，同理：，而，∴，解得：；（4）如圖，

∵，，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∵平分，∴，而，∴．（5）如圖，∵，，∴，

∵平分，∴，∵，，∴，∵平分，∴，而，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的動(dòng)態(tài)定義，角的和差運(yùn)算，角平分線的含義，一元一次方程的應(yīng)用，熟練的畫(huà)出符合題意的圖形，再利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．模型3、旋轉(zhuǎn)中的探究類模型（判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系）例1．（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在內(nèi)部存在，平分，平分．(1)當(dāng)在的內(nèi)部，與不重合時(shí)．①如圖1若，求的角度．②如圖2，若，畫(huà)出圖形并探究與的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖3，若旋轉(zhuǎn)到的外部，平分，平分，則______【答案】(1)①，②(2)或【分析】（1）①根據(jù)，，平分，平分，得到，，根據(jù)計(jì)算即可．②根據(jù)題意，得,，整理求和計(jì)算即可．（2）畫(huà)圖分類計(jì)算即可．【詳解】（1）∵，，平分，平分，∴，，∴．②與的數(shù)量關(guān)系是．根據(jù)題意，得，，∵平分，平分，∴，，∴，，∴，，∴，∴．（2）如圖，平分，平分，∴，，∴=，∵，，∴．如圖，平分，平分，∴，，∴==∵，，∴．故答案為：或．例2．（2023·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）（1）已知：如圖1，P是直角三角板ABC斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CD、CE分別是∠ACP和∠BCP的平分線．當(dāng)點(diǎn)P在斜邊AB上移動(dòng)時(shí)，∠DCE＝°；（2）把直角三角板的直角頂點(diǎn)C放在直尺的一邊MN上：①點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線MN的上方（如圖2），此時(shí)∠ACM與∠BCN的數(shù)量關(guān)系是∠ACM+∠BCN＝；②當(dāng)把這把直角三角板繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A在直線MN的下方、點(diǎn)B仍然在直線MN的上方時(shí)（如圖3），∠ACM與∠BCN的數(shù)量關(guān)系是；③當(dāng)把這把直角三角板繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A和點(diǎn)B都在直線MN的下方時(shí)（如圖4），∠ACM與∠BCN的數(shù)量關(guān)系是．【答案】（1）45；（2）①90°；②∠BCN﹣∠ACM＝90°；③∠ACM+∠BCN＝270°【分析】（1）根據(jù)角平分線定義得出，，根據(jù)，計(jì)算求解即可；（2）①根據(jù)，計(jì)算求解即可；②由題意知，，進(jìn)而可得，計(jì)算求解即可；③由題意知，，，，對(duì)計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，，，∵，∴，故答案為：45．（2）①解：由題意知，，，∴，故答案為：90°．②解：由題意知，，，∴，∴，故答案為：．③解：由題意知，，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，與三角板有關(guān)的角的和差計(jì)算．明確角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．模型4、旋轉(zhuǎn)中的分類討論模型例1．（2023·重慶·西南大學(xué)附中七年級(jí)期中）如圖①，已知，在內(nèi)部畫(huà)射線，得到三個(gè)角，分別為、、．若這三個(gè)角中有一個(gè)角是另外一個(gè)角的3倍，則稱射線為的“幸福線”．（本題中所研究的角都是大于而小于的角．）(1)角的三等分線________這個(gè)角的“幸福線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，，射線為的“幸福線”，求的度數(shù)；(3)如圖②，已知，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒（）．若、、三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸福線”，求出所有可能的值．【答案】(1)是；(2)，，，；(3)或或．【分析】（1）若OC為∠AOB的三等分線，則有，符合“幸福線”的定義；（2）根據(jù)“幸福線”的定義可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，然后根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可；（3）由題意可分①當(dāng)時(shí)在與重合之前，則有，，由是的“幸福線”可進(jìn)行分類求解；②當(dāng)時(shí)，在與重合之后，則有，，由是的“幸福線”可分類進(jìn)行求解．（1）解：若OC為∠AOB的三等分線，則有，符合“幸福線”的定義，所以角的三等分線是這個(gè)角的“幸福線”；故答案為：是．（2）解：由題意得：∵，射線為的“幸福線”，∴①當(dāng)時(shí)，則有：；②當(dāng)時(shí)，則有；③當(dāng)時(shí)，則有；④當(dāng)時(shí)，則有：；；綜上所述：當(dāng)射線為的“幸福線”時(shí)，∠AOC的度數(shù)為，，，；（3）解：∵，∴射線ON與OA重合的時(shí)間為（秒），∴當(dāng)時(shí)在與重合之前，如圖所示：∴°，°，是的“幸福線”，則有以下三類情況：①，即，（舍去），②，即，，③，即，；④，即，（舍去）；當(dāng)時(shí)，在與重合之后，如圖所示：∴°，°，是的“幸福線”，則有以下三類情況：①，即，（不符合題意，舍去），②，即，（不符合題意，舍去）；③，即，；④，即，不存在；綜上：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的三等分點(diǎn)的計(jì)算及角的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握角的三等分點(diǎn)的計(jì)算及角之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·成都市七中育才學(xué)校七年級(jí)月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如圖1所示放置，兩個(gè)頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，與重合，且，，，．將三角板繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度數(shù)．（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置時(shí)，與重合，______°，______°．（2）三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的度數(shù)還有其他可能嗎？如果有，請(qǐng)研究證明結(jié)論，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）類比拓展：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為時(shí)，其他條件不變，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．（用含的式子來(lái)表示）【答案】（1）150；75（2）有，105°（3）或【分析】（1）利用兩個(gè)角的和的定義,角的平分線的定義計(jì)算即可；（2）利用分類思想，確定不同方式計(jì)算即可；（3）利用特殊與一般的思想，分類將問(wèn)題抽象即可．【詳解】（1）如圖，由與重合，∵，，∴．又∵平分，平分，∴，，∴．故答案為：150°；75°；（2）如圖，∵平分，平分，∴+30°+30°+30°．∴，∴．（3）如圖，∵平分，平分，∴，，∴=+60°-=；如圖，∵OE平分，平分，∴，∴．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)角的和，角的平分線，周角的定義，靈活運(yùn)用分類思想，角的平分線定義，角的和，差定義計(jì)算是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，點(diǎn)在線段上，圖中共有3條線段：和，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的兩倍，則稱點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”．則線段上共有____________個(gè)“二倍點(diǎn)”．（2）類似的如圖1，射線在內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：和，若其中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“二倍線”．則內(nèi)部共有_____________條“二倍線”．（3）如圖2，若線段，點(diǎn)從點(diǎn)的位置開(kāi)始，以每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．問(wèn)為何值時(shí)，點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”．（4）如圖3，若，射線從射線的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度向射線旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線到達(dá)射線的位置時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒，若射線是的“二倍線”，求的值．（5）在（4）的條件下，同時(shí)射線從射線的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?0°的速度向射線旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線到達(dá)射線的位置時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線也停止旋轉(zhuǎn)．請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)射線是的“二倍線”時(shí)的值．【答案】（1）3；（2）3；（3）5或10或；（4）10或15或20；（5）t的值為或或或或15【分析】（1）找到線段AB的中點(diǎn)、三等分點(diǎn)即可判斷；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、三等分角的概念即可判斷；（3）根據(jù)（1）問(wèn)結(jié)論即可判斷，即當(dāng)運(yùn)動(dòng)10、20和30時(shí)，求出t即可；（4）根據(jù)（2）問(wèn)結(jié)論列出方程即可，即當(dāng)運(yùn)動(dòng)角50°，75°，100°時(shí)，求出t即可；（5）此時(shí)ON共運(yùn)動(dòng)210°，分為六種情況討論：、、，列出方程即可求解．【詳解】（1）當(dāng)C為中點(diǎn)時(shí)：AB=2AC=2BC，當(dāng)C為靠近B的三等分點(diǎn)時(shí)，AC=2BC，當(dāng)C為靠近A的三等分點(diǎn)時(shí)，BC=2AC；（2）共有三種情況，當(dāng)OC為角平分線時(shí)，，當(dāng)OC為三等分角平分線時(shí)，或；（3）當(dāng)C為中點(diǎn)時(shí)：AB=2AC=2BC，此時(shí)BM=15=2t，解得t=，當(dāng)C為靠近B的三等分點(diǎn)時(shí)，AC=2BC，此時(shí)BM=10=2t，解得t=，當(dāng)C為靠近A的三等分點(diǎn)時(shí)，BC=2AC，此時(shí)BM=20=2t，解得t=，綜上所述，t的值為5或10或；（4）當(dāng)OC為角平分線時(shí)，，此時(shí)，即，解得，當(dāng)OC為三等分角平分線時(shí)，當(dāng)，此時(shí)，解得當(dāng)，此時(shí)，解得；綜上所述，t的值為10或15或20；（5）此時(shí)ON共運(yùn)動(dòng)150°，ON共可運(yùn)動(dòng)15s，此時(shí)OM共運(yùn)動(dòng)150°，OM共可運(yùn)動(dòng)30s，∴t的取值范圍為，當(dāng)OM在∠AON外部時(shí)，如圖：OM、ON重合時(shí)，，①∠AOM=∠AON，解得；②∠AOM=∠AON，解得；③∠AOM=∠AON，解得；當(dāng)OM在∠AON內(nèi)部時(shí)，如圖：①∠AOM=∠AON，解得；②∠AOM=∠AON，解得；③∠AOM=∠AON，解得(舍去)；綜上所述，t的值為或或或或15．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，找等量關(guān)系列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖1，是直線上的一點(diǎn)，，平分．

(1)若，求的度數(shù)；(2)將圖1中的繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置．①探究和的度數(shù)之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；②在的內(nèi)部有一條射線，內(nèi)部有一條射線，且，試確定與的度數(shù)之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)①，理由見(jiàn)解析；②【分析】（1）由垂線的定義得，從而得到，由鄰補(bǔ)角的定義計(jì)算可得，最后由角平分線的性質(zhì)即可得到答案（2）①先分別表示出和，再找出其中的關(guān)系即可；②根據(jù)題意得出，，代入得到，再將，代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，，，，，平分，；（2）解：①，理由如下：根據(jù)題意可得：，，，平分，，，；②畫(huà)出圖如圖所示：

，則，，，整理得：，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、垂線的定義、與余角和補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算、角的計(jì)算，熟練掌握角平分線的性質(zhì)、垂線的定義，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知150°．（1）如圖1，若60°，為內(nèi)部的一條射線，，平分，求的度數(shù)．（2）如圖2，若、是內(nèi)部的兩條射線，、分別平分，，且，求的值．（3）如圖3，為射線的反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)順時(shí)針以的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后OB對(duì)應(yīng)射線為，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒（），平分，為的三等分線，且，若，則的值為_(kāi)______（直接填寫(xiě)答案）．【答案】（1）；（2）；（3）或15【分析】（1）先根據(jù)角的和差倍分求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出，然后根據(jù)角的和差即可得；（2）設(shè)，先根據(jù)角平分線的定義得出，再根據(jù)角的和差化簡(jiǎn)所求式子的分子分母即可得；（3）先依題意，找到兩個(gè)臨界位置：在AO的反向延長(zhǎng)線上；與重合；然后根據(jù)角平分線的定義、角的和差倍分求解即可得．【詳解】（1）如圖1，平分，故的度數(shù)為；（2）設(shè)則∴故的值為2；（3），旋轉(zhuǎn)速度為射線OB旋轉(zhuǎn)到OA即停止轉(zhuǎn)動(dòng),由題意得，平分因則有兩個(gè)臨界位置：在AO的反向延長(zhǎng)線上，此時(shí)；與重合，此時(shí)因此，分以下三種情況分析：①如圖3-1，當(dāng)時(shí)則解得，符合題設(shè)②如圖3-2，當(dāng)時(shí)則解得，符合題設(shè)③如圖3-3，當(dāng)時(shí)則解得或，均不符題設(shè)，舍去綜上，t的值為3或15故答案為：3或15．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、角的和差倍分，較難的是題（3），依據(jù)題意，找出兩個(gè)臨界位置，從而分三種情況討論是解題關(guān)鍵．4．（2022?江北區(qū)期末）將一副三角板疊放在一起，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O．（1）如圖1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度數(shù)．（2）若三角板AOB保持不動(dòng)，將三角板COD的邊OD與邊OA重合，然后將其繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)．試猜想在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠AOC與∠BOD有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】（1）由于是兩直角三角形板重疊，根據(jù)∠AOD的度數(shù)可得∠BOD，再根據(jù)∠DOC＝90°可得∠BOC；（2）當(dāng)分兩種情況：∠AOB與∠DOC有重疊部分時(shí)和當(dāng)∠AOB與∠DOC沒(méi)有重疊部分時(shí)．【解答過(guò)程】解：（1）若∠AOD＝35°，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°﹣35°＝55°，∴∠BOC＝90°﹣∠BOD＝90°﹣55°＝35°；（2）∠AOC與∠BOD互補(bǔ)．當(dāng)∠AOB與∠DOC有重疊部分時(shí)，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，∴∠AOC+∠BOD＝180°，當(dāng)∠AOB與∠DOC沒(méi)有重疊部分時(shí)，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，又∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝180°．5．（2022?洪山區(qū)期末）將一副直角三角板ABC，ADE，按如圖1疊加放置，其中B與E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°．（1）如圖1，點(diǎn)F在直線AC上，且位于點(diǎn)A的左側(cè)，求∠FAD的度數(shù)；（2）將三角板ADE從圖1位置開(kāi)始繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并記AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線．①當(dāng)三角板ADE旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置時(shí)，求∠MAN的度數(shù)．②若三角板ADE的旋轉(zhuǎn)速度為每秒5°，且轉(zhuǎn)動(dòng)到∠DAC＝180°時(shí)停止，運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為t（單位：秒），試根據(jù)不同的t的值，求∠MAN的大?。ㄖ苯訉?xiě)出結(jié)論）．【解題思路】（1）先根據(jù)三角板的度數(shù)得到∠DAC的度數(shù)，再用180°﹣∠DAC即可；（2）①由角平分線的定義可得∠MAE=12∠BAE，∠NAC=12∠CAD，再根據(jù)∠MAN＝∠MAE+NAC﹣∠CAE，整理可得∠MAN的度數(shù)；②當(dāng)0＜t＜9，9＜【解答過(guò)程】解：（1）∵∠BAC＝45°，∠BAD＝30°，∴∠DAC＝45°﹣30°＝15°，∴∠FAD＝180°﹣15°＝165°．（2）①∵AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線，∴∠MAE=12∠BAE，∠NAC=1∴∠MAN＝∠MAE+∠NAC﹣∠CAE=12（∠BAE+∠DAC=12（∠BAC+∠DAE+2∠CAE）﹣∠CAE②設(shè)∠CAE＝α，Ⅰ．當(dāng)0＜t＜9時(shí)，AE在∠BAC內(nèi)部，∠BAE＝45°﹣α，∠CAD＝30°﹣α，所以∠MAN=12（45°﹣α）Ⅱ．當(dāng)9＜t＜39時(shí)，AE在∠BAC外部，∠MAN＝∠NAC+∠BAC﹣∠BAM=12（30°+α）+45°Ⅲ．當(dāng)t＝39時(shí)，∠DAC＝180°，若M、N在直線DC同側(cè)，則∠BAE＝180°﹣45°+30°＝165°，∠BAM=1∠CAN=12×180°＝90°，∠NAB若M、N在直線DC異側(cè)，則∠BAE＝180°﹣45°+30°＝165°，∠EAM=1∠DAN=12×180°＝90°，∠NAE綜上所述，不論t為何值時(shí)，∠MAN的大小為37.5°或142.5°．6．（2022?綿陽(yáng)七年級(jí)期中）如圖1，擺放一個(gè)三角形紙板ODE，邊OD在正東方向的射線上，點(diǎn)A，B分別在正西，正東方向上，∠COF＝30°，現(xiàn)將三角形紙板ODE從圖1位置開(kāi)始繞點(diǎn)O以每秒5度的速度逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中．（1）當(dāng)t＝5時(shí)，求∠AOD的度數(shù)，并寫(xiě)出點(diǎn)D的方向角；（2）如圖2，當(dāng)三角形紙板ODE旋轉(zhuǎn)至△OD1E1時(shí)，邊OE1恰好落在射線OF上，且OF平分∠AOD1，OD1平分∠BOC，求t的值，并寫(xiě)出點(diǎn)F的方向角；（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至△OD2E2時(shí)，OE2所在直線平分∠AOC，求t的值．【解題思路】（1）根據(jù)∠AOD＝180°﹣∠BOD，求出∠BOD即可．（2）如圖2中，設(shè)∠BOD1＝x°．想辦法構(gòu)建方程求出x即可解決問(wèn)題．（3）分兩種情形：當(dāng)OE2線段平分∠AOC時(shí)，當(dāng)線段OE2的反向延長(zhǎng)線平分∠AOC時(shí)，分別求解即可．【解答過(guò)程】解：（1）因?yàn)槿切渭埌錙DE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5度，所以當(dāng)t＝5時(shí)，∠BOD＝25°，此時(shí)，點(diǎn)D在北偏東65°方向上，又∠AOD+∠BOD＝180°，所以∠AOD＝180°﹣∠BOD，即∠AOD＝180°﹣25°＝155°．（2）如圖2中，設(shè)∠BOD1＝x°．因?yàn)镺D1平分∠BOC，所以∠BOC＝2x°，∠COD1＝x°，因?yàn)椤螩OF＝30°，所以∠D1OF＝∠COD1+∠COF＝x°+30°＝（x+30）°，又OF平分∠AOD1，即∠AOF＝∠D1OF，因?yàn)椤螦OF+∠D1OF+∠BOD1＝180°，即2∠D1OF+∠BOD1＝180°，所以2（x+30）°+x°＝180°，化解得3x°＝120°，解得x＝40，所以三角形紙板ODE運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=405=8（秒），所以∠AOF＝∠D由90°﹣70°＝20°，得點(diǎn)F的方向角為北偏西20°．（3）如圖3中，由（2）得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2x°＝180°﹣2×40°＝100°，且∠D1OF＝∠DOE＝70°，又∠COE＝∠BOC﹣∠DOE＝80°﹣70°＝10°，當(dāng)OE2線段平分∠AOC時(shí)，OE旋轉(zhuǎn)的角大小為12所以三角形紙板ODE旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t=60當(dāng)線段OE2的反向延長(zhǎng)線平分∠AOC時(shí)，OE旋轉(zhuǎn)的角大小為60°+180°＝240°，所以三角形紙板ODE旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t=240綜上，當(dāng)OE所在直線平分∠AOC時(shí)，t＝12秒或48秒7．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)七年級(jí)期中）新定義問(wèn)題如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內(nèi)部畫(huà)射線OC，得到三個(gè)角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個(gè)角中有一個(gè)角是另外一個(gè)角的2倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【閱讀理解】（1）角的平分線這個(gè)角的“幸運(yùn)線”；（填“是”或“不是”）【初步應(yīng)用】（2）如圖①，∠AOB＝45°，射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”，則∠AOC的度數(shù)為；【解決問(wèn)題】（3）如圖②，已知∠AOB＝60°，射線OM從OA出發(fā)，以每秒20°的速度繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，射線ON從OB出發(fā)，以每秒15°的速度繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸運(yùn)線”，求出所有可能的t值．【解題思路】（1）根據(jù)幸運(yùn)線定義即可求解；（2）分3種情況，根據(jù)幸運(yùn)線定義得到方程求解即可；（3）分3種情況，根據(jù)幸運(yùn)線定義得到方程求解即可．【解答過(guò)程】解：（1）一個(gè)角的平分線是這個(gè)角的“幸運(yùn)線”；故答案為：是；（2）①設(shè)∠AOC＝x，則∠BOC＝2x，由題意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，②設(shè)∠AOC＝x，則∠BOC＝x，由題意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，③設(shè)∠AOC＝x，則∠BOC=12x，由題意得，x+12故答案為：15°或22.5°或30°；（3）當(dāng)0＜t≤4時(shí)，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t，若OA是射線OM與ON的幸運(yùn)線，則∠AON=12∠MON，即60﹣15t=12（60+5∠AON=13∠MON，即60﹣15t=13（60+5t∠AON=23∠MON，即60﹣15t=23（60+5t當(dāng)4＜t＜9時(shí)，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60，若ON是射線OM與OA的幸運(yùn)線，則∠AON=12∠MOA即15t﹣60=12×∠AON=13∠MOA，即15t﹣60=13×20∠AON=23∠MOA，即15t﹣60=23×故t的值是127或125或12118．（2022·湖北武漢·七年級(jí)期末）【學(xué)習(xí)概念】如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個(gè)角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．【理解運(yùn)用】（1）①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠MPN；【拓展提升】（2）如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開(kāi)始，以每秒12°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．當(dāng)PQ與PN成110°時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．同時(shí)射線PM繞點(diǎn)P以每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時(shí)停止．當(dāng)PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時(shí)，則t＝秒．【答案】（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時(shí)；當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時(shí)；分別求出∠MPN即可；（2）根據(jù)題意，設(shè)運(yùn)用的時(shí)間為t秒，則PM運(yùn)用后有，，然后對(duì)PM和PQ的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析，可分為四種情況進(jìn)行分析，分別求出每一種情況的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可得到答案．【詳解】解：（1）①如圖，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射線PQ是∠MPN的“好好線”；②∵射線PQ是∠MPN的“好好線”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此題有兩種情況Ⅰ．如圖1，當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時(shí)∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如圖2，當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時(shí)∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α綜上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．（2）根據(jù)題意，PM運(yùn)動(dòng)前∠MPN＝120°，設(shè)運(yùn)用的時(shí)間為t秒，則PM運(yùn)用后有，，①當(dāng)時(shí)，如圖：∴，解得：；②當(dāng)，即時(shí)，如圖：∴，解得：；③當(dāng)，如圖：∴，解得：；④當(dāng)，如圖：∵，，∴，解得：；∵的最大值為：，∴不符合題意，舍去；綜合上述，t=，4，5秒．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的角度運(yùn)算，角度的和差關(guān)系，以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確掌握運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析．9．（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心七年級(jí)期中）【實(shí)踐操作】三角尺中的數(shù)學(xué)．(1)如圖1，將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，．①若，則_________；若，則______；②猜想與的大小有何特殊關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，若是兩個(gè)同樣的直角三角尺銳角的頂，點(diǎn)A重合在一起，，則與的大小又有何關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知，（都是銳角），如圖3，若把它們的頂點(diǎn)O重合在一起，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的大小關(guān)系：________．【答案】(1)①，；②，理由見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】(1)①先計(jì)算∠ACE的大小，再根據(jù)∠ACB=∠ACE+∠BCE計(jì)算即可；先根∠ACB=∠ACE+∠BCE計(jì)算∠ACE的大小，再根據(jù)∠DCE=∠ACD-∠ACE計(jì)算即可；②根據(jù)∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠DCE=∠ACD-∠ACE，可得∠ACB+∠DCE=∠BCE+∠ACD；（2）根據(jù)∠GAC=∠CAD+∠GAD，∠DAF=∠FAG-∠GAD，可得∠GAC+∠DAF=∠CAD+∠FAG．（3）根據(jù)∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD，計(jì)算∠AOD+∠BOC即可．（1）解：①∵，∴∠ACE=∠ACD-＝90°-35°＝55°，∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°+55°＝145°，故答案為：145°；∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ACB＝140°，∴∠ACE=140°-90°=50°，∵∠DCE=∠ACD-∠ACE，∴∠DCE=90°-50°=40°，故答案為：50°．②∠ACB與∠DCE數(shù)量關(guān)系為∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠DCE=∠ACD-∠ACE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠BCE+∠ACD-∠ACE=∠BCE+∠ACD=180°．（2）∠GAC與∠DAF的數(shù)量關(guān)系，∠GAC+∠DAF=120°，理由如下：∵∠GAC=∠CAD+∠GAD，∠DAF=∠FAG-∠GAD，∴∠GAC+∠DAF=∠CAD+∠GAD+∠FAG-∠GAD=∠CAD+∠FAG=60°+60°=120°．（3）∠AOD+∠BOC=α+β.理由如下：∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD，∠AOB=α，∠COD＝β（α，β都是銳角），∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠COD-∠BOD，=∠AOB+∠COD＝α+β．【點(diǎn)睛】本題考查了角和差關(guān)系，一般與特殊的思想，熟練掌握角的運(yùn)算，理解角的和與差的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2022·河南·鄭州市第四初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）【閱讀理解】如圖①，射線OC在∠AOB內(nèi)部，圖中共有三個(gè)角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有兩個(gè)角的度數(shù)之比為1：2，則稱射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”．(1)∠AOB的角平分線這個(gè)角的“幸運(yùn)線”；（填“是”或“不是”）(2)若∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”，則∠AOC＝．【問(wèn)題解決】(3)如圖②，已知∠AOB=150°，射線OP從OA出發(fā)，以20°/s的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，射線OQ從OB出發(fā)，以10°/s的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，兩條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)其中一條射線旋轉(zhuǎn)到與∠AOB的邊重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t（s），當(dāng)t為何值時(shí)，射線OP是以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的幸運(yùn)線？試說(shuō)明理由．【答案】(1)是；(2)40°或60°或80°；(3)或或3．【分析】（1）由角平分線的定義可得；（2）分三種情況討論，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三種情況，結(jié)合∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°可以求出∠AOC．（3）分三種情況討論，由“幸運(yùn)線”的定義，列出方程可求t的值．（1）解：∵一個(gè)角的平分線平分這個(gè)角，且這個(gè)角是所分兩個(gè)角的兩倍，∴一個(gè)角的角平分線是這個(gè)角的“幸運(yùn)線”，故答案為：是．（2）解：∵射線OC在∠AOB內(nèi)部，∴∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°．①當(dāng)∠AOC=2∠BOC時(shí)，∠AOC+∠BOC=3∠BOC=120°，∴∠BOC=40°，∴∠AOC=80°．②當(dāng)2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC=120°，∴∠AOC=40°．③當(dāng)∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC時(shí)，OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠AOB=60°．綜上所述：∠AOC=40°或60°或80°．故答案為：40°或60°或80°．（3）解：∵射線OP是以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的“幸運(yùn)線”，∴射線OP在以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的內(nèi)部．如下圖所示：∴∠AOP=20t°，∠BOQ=10t°，∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ=(150-20t-10t)°=(150-30t)°,∠AOQ=∠AOB-∠BOQ==(150-10t)°．①當(dāng)∠AOP=2∠POQ時(shí)，則20t=2×(150-30t)，∴t=．②若∠POQ=2∠AOP，則150-30t=2×20t，∴t=．③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，則2×20t=150-10t，∴t=3．綜上所述：t=或或3．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，找等量關(guān)系列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．11．（2022·陜西·西安七年級(jí)期末）如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點(diǎn)O為端點(diǎn)的三條射線，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射線OP從OF處開(kāi)始出發(fā)，繞點(diǎn)O逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒5度：射線OQ從OC處開(kāi)始出發(fā)，繞點(diǎn)O順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時(shí)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)（當(dāng)射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時(shí)，OP、OQ同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒.（旋轉(zhuǎn)速度÷旋轉(zhuǎn)角度：旋轉(zhuǎn)時(shí)間）(1)當(dāng)t＝秒，射線OP平分∠AOB時(shí)；(2)若射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為每秒4度時(shí)，請(qǐng)求出當(dāng)∠POQ=60°時(shí)，射線OP旋轉(zhuǎn)的時(shí)間；(3)若射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為每秒3度時(shí)，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線OQ，OP，OB中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足題意的的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)10；(2)或秒；(3)或；【分析】（1）作出角平分線，求出OP運(yùn)動(dòng)到OG時(shí)的時(shí)間即可．（2）動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題需要分類討論，第一種OP、OQ還沒(méi)有相遇時(shí)，第二種OP、OQ相遇之后，畫(huà)圖利用角度列出等式．（3）分別一其中一條作為角平分線來(lái)分析，畫(huà)出圖像之后列等式求時(shí)間．（1）解：作∠AOB的角平分線OG∵∠AOB=60°，∴∠AOG=∠AOB=30°，∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，此時(shí)OP的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=（秒）；故答案為：10；（2）解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，∴∠FOC=90°由題意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°①如圖所示：∴4t+60+5t=90，∴t=；②如圖所示：此時(shí)4t+5t-60=90，∴t=∵OQ停止運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=，∴以上兩種情況均符合∴當(dāng)∠POQ=60°時(shí)，OP的旋轉(zhuǎn)時(shí)間為或秒；（3）解：存在；①當(dāng)OQ平分∠BOP時(shí)，則∠BOQ=∠POQ，如圖：則，解得：；②當(dāng)OP平分∠BOQ時(shí)，則∠BOP=∠POQ，如圖：則，解得：；綜合上述，或；【點(diǎn)睛】主要考查角平分線的計(jì)算，角度的和差倍分問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想，利用圖象找關(guān)系．12．（2022成都市七中育才學(xué)校七年級(jí)期末）如圖1，在表盤(pán)上12：00時(shí)，時(shí)針、分針都指向數(shù)字12，我們將這一位置稱為“標(biāo)準(zhǔn)位置”(圖中)．小文同學(xué)為研究12點(diǎn)分()時(shí)，時(shí)針與分針的指針位置，將時(shí)針記為，分針記為．如：12：30時(shí)，時(shí)針、分針的位置如圖2所示，試解決下列問(wèn)題：（1）分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)°；時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)°；（2）當(dāng)與在同一直線上時(shí)，求的值；（3）當(dāng)、、兩兩所夾的三個(gè)角、、中有兩個(gè)角相等時(shí)，試求出所有符合條件的的值．(本小題中所有角的度數(shù)均不超過(guò)180°)【答案】（1）6，0.5；（2）的值為；（3）的值為或【分析】（1）由題意根據(jù)分針每60分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，時(shí)針每12小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)一圈進(jìn)行分析計(jì)算；（2）由題意與在同一直線上即與所圍成的角為180°，據(jù)此進(jìn)行分析計(jì)算；（3）根據(jù)題意分當(dāng)時(shí)以及當(dāng)時(shí)兩種情況進(jìn)行分析求解.【詳解】解：（1）由題意得分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)：；時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)：.故答案為：6，0．5.（2）當(dāng)與在同一直線上時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)了度，即;分針轉(zhuǎn)了度，即∴解得，∴的值為．（3）①當(dāng)時(shí)，∵;∴∴；②當(dāng)時(shí)，∵;∴∴；∴綜上所述，符合條件的的值為或.【點(diǎn)睛】本題考查鐘表角的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意熟練掌握并運(yùn)用方程思維進(jìn)行分析是解答此題的關(guān)鍵.13．（2022·江西蓮花縣·七年級(jí)期末）樂(lè)樂(lè)對(duì)幾何中角平分線的興趣濃厚，請(qǐng)你和樂(lè)樂(lè)一起探究下面問(wèn)題吧．已知°，射線分別是和的平分線；（1）如圖1，若射線在的內(nèi)部，且，求的度數(shù)；（2）如圖2，若射線在的內(nèi)部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則的度數(shù)為；（3）若射線在的外部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)中，均指小于的角)，其余條件不變，請(qǐng)借助圖3探究的大小，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)(不寫(xiě)探究過(guò)程)【答案】（1）50°；（2）50°；（3）50°或130°【分析】（1）先求出∠BOC度數(shù)，根據(jù)角平分線定義求出∠EOC和∠FOC度數(shù)，求和即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；（3）分兩種情況：①射線OE，OF只有1個(gè)在∠AOB外面，根據(jù)角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；②射線OE，OF，2個(gè)都在∠AOB外面，根據(jù)角平分線定義得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．【詳解】解：（1）∵∠AOB=100°，∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°，∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，∴∠EOC=∠AOC=15°，∠FOC=∠BOC=35°，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=15°+35°=50°；（2）∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=×100°=50°；故答案為：50°．（3）①射線OE，OF只有1個(gè)在∠AOB外面，如圖3①，∴∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=×100°=50°；②射線OE，OF2個(gè)都在∠AOB外面，如圖3②，∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=×260°=130°．∴∠EOF的度數(shù)是50°或130°．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的計(jì)算，角平分線的定義，熟知從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線是解答此題的關(guān)鍵．注意分類思想的運(yùn)用．14．（2022·福建·福州時(shí)代中學(xué)七年級(jí)期末）已知，OC、OD是過(guò)點(diǎn)O的射線，射線OM、ON分別平分∠AOC和∠DOB．(1)如圖①，若OC、OD是∠AOB的三等分線，則______°(2)如圖②，若，，則______°(3)如圖③，在∠AOB內(nèi)，若，則______°(4)將（3）中的∠COD繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到∠AOB的外部（，），求此時(shí)∠MON的度數(shù)．【答案】(1)80(2)80(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，，，則；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，，而，則，所以；（3）與（2）一樣得到，，則；（4）反向延長(zhǎng)、得到、，然后分類討論：當(dāng)、在內(nèi)部；當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到；當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到；當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到．（1）解：、是的三等分線，，射線、分別平分和，，，；故答案為80；（2）解：射線、分別平分和，，，，，，，；故答案為80；（3）解：射線、分別平分和，，，，，，，，；故答案為；（4）解：反向延長(zhǎng)、得到、，如圖，當(dāng)、在內(nèi)部，，設(shè)，則，，，；當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到；當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到；當(dāng)、在內(nèi)部，可計(jì)算得到．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，也考查了角平分線的定義，熟練掌握角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（2022·福建泉州·七年級(jí)期末）如圖，射線OC在的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：，和，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是的“倍分線”．(1)如圖，若，射線OC繞點(diǎn)O從OB位置開(kāi)始，以每秒15°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒，且．①當(dāng)秒時(shí)，OC______的“倍分線”；（填“是”或“不是”）②若射線OA是的“倍分線”，求t的值；(2)如圖，射線AF繞點(diǎn)A從AB位置開(kāi)始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線BG繞點(diǎn)B從BA的位置開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且，兩條射線相交于點(diǎn)C．CD、CE分別是的高和角平線，是否存在CE是的“倍分線”的情況？若存在，請(qǐng)求出與應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①是；②6或12或8(2)存在是的“倍分線”的情況，理由見(jiàn)解析，與應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系為：或或【分析】（1）①設(shè)∠BOC=15t，當(dāng)t=2時(shí)，∠BOC=30°，且∠AOB=60°=2∠BOC，符合題意．②設(shè)∠BOC=15t，則OA分成的三個(gè)角為∠AOB=60°，∠BOC=15t，∠AOC=15t-∠AOB，分類計(jì)算即可．（2）運(yùn)用定義和分類思想計(jì)算即可．（1）①當(dāng)時(shí)，在內(nèi)部，且，，是的“倍分線”，故答案為：是；②（Ⅰ）當(dāng)在內(nèi)部且時(shí)，，，；（Ⅱ）當(dāng)在內(nèi)部且時(shí)，如圖：，，；（Ⅲ）當(dāng)在內(nèi)部且時(shí)，如圖：，，綜上所述，的值為6或12或8；（2）存在是的“倍分線”的情況，理由如下：（2）存在是的“倍分線”的情況，理由如下：如圖：由已知可得：，，，當(dāng)時(shí)，如圖：，，當(dāng)時(shí)，如圖：，整理得：，當(dāng)時(shí)，如圖：，整理得，綜上所述，與應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義角的計(jì)算問(wèn)題，正確理解定義，熟練掌握分類計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)是解題的關(guān)鍵．16．（2022·貴州銅仁·七年級(jí)期末）沿河縣某初中七年級(jí)的數(shù)學(xué)老師在課外活動(dòng)中組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐探究，用一副三角尺（分別含，，和，，的角）按如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器刻度線重合，邊AP與量角器刻度線重合，將三角尺ABP繞量角器中心點(diǎn)P以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊PB與刻度線重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)三角尺ABP的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)時(shí)，__________；(2)若在三角尺ABP開(kāi)始旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角尺PCD也繞點(diǎn)P以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺ABP停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，三角尺PCD也停止旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)t為何值時(shí)，邊PB平分；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻使，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)85(2)①當(dāng)t=時(shí)，邊PB平分∠CPD；②當(dāng)t=或t=時(shí)，∠BPD=2∠APC．【分析】（1）當(dāng)t=5秒時(shí)，計(jì)算出邊BP旋轉(zhuǎn)的角度的大小即可得出結(jié)論；（2）①如圖1，根據(jù)PB平分∠CPD，利用角平分線的定義可得∠CPB=∠BPD=∠CPD=30°，利用含t的代數(shù)式分別表示出∠MPB和∠BPD的度數(shù)，列出關(guān)于t的方程，解方程即可求解；②設(shè)時(shí)間為t秒，則∠APM=10°t，∠DPN=2°t，分兩種情況說(shuō)明：Ⅰ）當(dāng)PA在PC左側(cè)時(shí)，如圖2所示：Ⅱ）當(dāng)PA在PC右側(cè)時(shí)，如圖3，根據(jù)旋轉(zhuǎn)過(guò)程得出的角度的大小列出方程即可求得結(jié)論．（1）解：當(dāng)t=5秒時(shí)，由旋轉(zhuǎn)知，邊BP旋轉(zhuǎn)的角度為：10°×5=50°，∴∠BPD=180°-（45°+50°）=85°，故答案為：85；（2）解：①如圖1所示：由題意得：∠MPB=10°t+45°，∠DPN=2°t．∵PB平分∠CPD；∴∠CPB=∠BPD=∠CPD=30°，由∠MPN=∠MPB+∠BPD+∠DPN=180°得：10°t+45°+30°+2°t=180°，解得，t=，∴當(dāng)t=時(shí)，邊PB平分∠CPD；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，存在某一時(shí)刻使∠BPD=2∠APC．∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則∠APM=10°t，∠DPN=2°t，Ⅰ）當(dāng)PA在PC左側(cè)時(shí)，如圖2所示：此時(shí)，∠APC=180°-10°t-60°-2°t=120°-12°t，∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，∵∠BPD=2∠APC，∴135°-12°t=2（120°-12°t），解得：t=，因?yàn)楫?dāng)t=時(shí)，運(yùn)動(dòng)的情況剛好同解答圖的圖1，此時(shí)∠BPD=30°，∠APC=15°，∠BPD=2∠APC．是成立的；Ⅱ）當(dāng)PA在PC右側(cè)時(shí)，如圖3所示：此時(shí)，∠APC=10°t+2°t+60°-180°=12°t-120°，∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，∵∠BPD=2∠APC，∴135°-12°t=2（12°t-120°），解得：t=．當(dāng)PB在PD的右側(cè)時(shí)，∠APC=12°t-120°，∠BPD=12°t-135°，則12°t-135°=2（12°t-120°），解得：t=，此時(shí)PB在PD的左側(cè)，所以和假設(shè)情況矛盾，不符合題意，舍去．綜上所述，當(dāng)t=或t=時(shí)，∠BPD=2∠APC．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的變化，量角器的識(shí)別，角平分線的定義，角的計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，用含t的代數(shù)式表示出∠APC與∠BPD的值是解本題的關(guān)鍵．17．（2022·湖北孝感·七年級(jí)期末）如圖，直線與相交于點(diǎn)O，將一直用三角尺AOB的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合．(1)如圖1，若°，試說(shuō)明；(2)小學(xué)時(shí)我們學(xué)習(xí)過(guò)，把一個(gè)圖形繞著一個(gè)固定的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度，這個(gè)圖形的形狀和大小都不會(huì)發(fā)生改變．如圖2，若°，OB平分，將三角尺AOB以每秒5°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．如果，0≤≤42，當(dāng)為何值時(shí)，直線EF平分？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3或39【分析】（1）利用同角的余角相等即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線定義求出∠BOE=30°，分兩種情況①當(dāng)OE平分時(shí)，②當(dāng)OF平分時(shí)，列方程解答即可．（1）解：∵，

∴，∴；（2）∵OB平分，，

∴，①當(dāng)OE平分時(shí)，則旋轉(zhuǎn)之后，∠BOE=∠AOB=45°，∴OB旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，

∴，解得t=3；②當(dāng)OF平分時(shí)，OB旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45°+150°=195°，∴，

解得t=39，綜上所述，t=3或39．【點(diǎn)睛】此題考查了同角的余角相等的性質(zhì)，角平分線的定義，旋轉(zhuǎn)角的計(jì)算，列一元一次方程解決幾何問(wèn)題，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．18．（2022·四川成都·七年級(jí)期末）點(diǎn)O直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使得∠BOC＝65°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．（1）如圖1，將三角板MON的一邊ON與射線OB重合時(shí)，求∠MOC的度數(shù)；（2）如圖2，將三角板MON繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，此時(shí)OC是∠MOB的平分線，求∠BON和∠CON的度數(shù)；（3）將三角板MON繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3時(shí)，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度數(shù)．【答案】（1）∠MOC＝25°；（2）∠BON＝40°，∠CON＝25°；（3）∠NOB＝70°．【分析】（1）根據(jù)∠MON和∠BOC的度數(shù)可以得到∠MON的度數(shù)．（2）根據(jù)OC是∠MOB的角平分線，∠BOC=65°可以求得∠BOM的度數(shù)，由∠NOM=90°，可得∠BON的度數(shù)，從而可得∠CON的度數(shù)．（3）由∠BOC=65°，∠NOM=90°，∠NOC