專題06 直角三角形中的分類討論模型（原卷版）

專題06直角三角形中的分類討論模型模型1、直角三角形中的分類討論模型【知識儲備】凡是涉及直角三角形問題，優(yōu)先考慮直角頂點（或斜邊）分類討論，再利用直角三角形的性質(zhì)或勾股定理解題即可。1）無圖需分類討論：①已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論；②已知無法確定是哪個角是直角時要分類討論（常見與折疊、旋轉(zhuǎn)中出現(xiàn)的直角三角形）。2）“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會專題進(jìn)行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構(gòu)成方法：兩線一圓具體圖解：①當(dāng)時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）②當(dāng)時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）。③當(dāng)時，以為直徑作圓，點在該圓上（，除外）。例1．（2023春·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）在中，，，當(dāng)時，是直角三角形．例2．（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，是的角平分線，是的高，，，點F為邊上一點，當(dāng)為直角三角形時，則的度數(shù)為．例3．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谀┤鐖D，在4×4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A，B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得△ABC是等腰直角三角形，則滿足條件的格點C的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例4．（2022·江西九江·八年級期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．點P在x軸上運動，當(dāng)點P與點A、B、C三點中任意兩點構(gòu)成直角三角形時，點P的坐標(biāo)為________．例5．（2022秋·江西吉安·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC為一邊在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為．例6.（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，點E為邊上的一個動點，與關(guān)于直線對稱．當(dāng)為直角三角形時，的長為．

例7.（2023·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點P是BC邊上的一個動點，點B與B′是關(guān)于直線AP的對稱點，當(dāng)△CPB'是直角三角形時，BP的長＝．例8．（2023秋·廣東八年級課時練習(xí)）如圖所示，已知，P是射線上一動點，．(1)當(dāng)是等邊三角形時，求的長；(2)當(dāng)是直角三角形時，求的長．

例9．（2023秋·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）在中，，是邊上的動點，過點作交于點，將沿折疊，點的對應(yīng)點為點．

(1)如圖1，若點恰好落在邊上，判斷的形狀，并證明；(2)如圖2，若點落在內(nèi)，且的延長線恰好經(jīng)過點，，求的度數(shù)；(3)若，當(dāng)是直角三角形時，直接寫出的長．例10．（2023秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為．(1)求直線的表達(dá)式；(2)點M是坐標(biāo)軸上的一點，若以為直角邊構(gòu)造，請求出滿足條件的所有點M的坐標(biāo)；(3)如圖2，以A為直角頂點作，射線交x軸的正半軸于點C，射線交y軸的負(fù)半軸于點D，當(dāng)繞點A旋轉(zhuǎn)時，求的值．例11．（2023秋·重慶南岸·八年級?？计谀┤鐖D，直線交軸、軸分別于點、，直線與直線交于點，與軸交于點．已知，點的橫坐標(biāo)為．

(1)求直線的解析表達(dá)式．(2)若在線段上，四邊形的面積為14，求點坐標(biāo)．(3)若點、分別為直線、上的動點，連結(jié)、、，當(dāng)是以為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫出所有點的坐標(biāo)，并把求其中一個點的坐標(biāo)過程寫出來．課后專項訓(xùn)練1．（2023秋·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）在直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知點，在坐標(biāo)軸上確定點，使得為直角三角形，則符合條件的點的個數(shù)共有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2023秋·重慶·八年級課堂例題）已知點A和點，以點A和點為兩個頂點作等腰直角三角形，一共可以作出個．3．（2023秋·廣東·八年級專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中有點A（0，4）、B（3，0），連接AB，以AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，則點C的坐標(biāo)為．4．（2023春·江蘇南京·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，分別是高和角平分線，點E為邊上一個點，當(dāng)為直角三角形時，則度．5．（2023秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，現(xiàn)將BC延長到點D，使△ABD為等腰三角形，則CD的長為．6．（2023春·江蘇·八年級期末）在中，，，的角平分線BD交AC于D，E為線段AB上的動點，當(dāng)是直角三角形時，的度數(shù)是．（寫出所有的正確結(jié)果）7．（2023春·廣東八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是斜邊AB上一個動點，E是直線BC上的一個動點，將△ABC沿DE折疊，使點B的對應(yīng)點F落在直線AB上，連接CF，當(dāng)△CEF是直角三角形時，線段BD的長為．8．（2022春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）在中，高和所在直線相交于點O，若不是直角三角形，且，則．9．（2023春·廣東八年級課時練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，，于點，點，分別是，上的動點，沿所在直線折疊，使點落在上的點處，當(dāng)是直角三角形時，的長為．10．（2022·廣東汕頭·八年級期末）如圖，是邊長為的正三角形，動點從向以勻速運動，同時動點從向以勻速運動，當(dāng)點到達(dá)點時，兩點停止運動，設(shè)點的運動時間為秒，則當(dāng)__________時，為直角三角形．11.（2022秋·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，長方形中，，，點E為射線上一動點(不與D重合)，將沿AE折疊得到，連接，若為直角三角形，則12．（2023·河南·鄭州市三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點P是邊AC上一動點，把△ABP沿直線BP折疊，使得點A落在圖中點A′處，當(dāng)△AA′C是直角三角形時，則線段CP的長是_________．13．（2022·遼寧撫順·三模）如圖，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC=60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時，AP的長為_______．14．（2023秋·成都市八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，，點F在直線上，連接．若為直角三角形，求的度數(shù)．

15．（2023春·廣東·八年級專題練習(xí)）在中，，，點D是邊上一動點，將沿直線翻折，使點A落在點E處，連接，交于點F．當(dāng)是直角三角形時，求度數(shù)．16．（2023秋·江西新余·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，，，，點從點出發(fā)以的速度沿向點運動，同時點從點出發(fā)以的速度沿向點運動，運動的時間為．連接．(1)當(dāng)為何值時，？(2)當(dāng)為何值時，為等邊三角形？(3)當(dāng)為何值時，為直角三角形？

17．（2023秋·廣東·八年級課堂例題）某同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中得出兩個結(jié)論，結(jié)論1：在直角三角形中，夾內(nèi)角的兩邊長是2倍的關(guān)系．結(jié)論2：在一個三角形中，如果夾內(nèi)角的兩邊長是2倍的關(guān)系，那么這個三角形是直角三角形．(1)上述結(jié)論1_________．（填寫“正確”或“不正確”）(2)上述結(jié)論2正確嗎？如果你認(rèn)為正確，請你給出證明；如果你認(rèn)為不正確，請你給出反例．(3)等邊三角形的邊長為4，點分別從點同時出發(fā)，分別沿邊運動，速度均為1個單位長度/秒，當(dāng)點到達(dá)點時兩點均停止運動，則當(dāng)運動時間是多少秒時，是直角三角形？請你給出解題過程．18．（2022秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）定義：如圖，點把線段分割成，若以為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點是線段的勾股分割點．

(1)已知把線段分割成，若，，，則點是線段的勾股分割點嗎？請說明理由．(2)已知點是線段的勾股分割點，且為直角邊，若，，求的長．19．（2022·湖北荊州·八年級期中）如圖，已知等邊ABC的邊長為8cm，點P以1cm/s的速度從頂點A沿AB向B點運動，點Q同時以2cm/s的速度從頂點B沿BC向C點運動，其中一點到達(dá)終點時兩點停止運動．設(shè)它們的運動時間為t秒，連接AQ，PQ．（1）當(dāng)時，試判斷AQ與BC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)t為何值時，PBQ是直角三角形？20．（2022秋·四川成都·八