專題05 線段、角、對角線的計(jì)數(shù)模型（原卷版）

專題05.線段、角、對角線的計(jì)數(shù)模型本專題主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，及構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題等。線段的條數(shù)、直線的交點(diǎn)數(shù)、角的個(gè)數(shù)、對角線條數(shù)等計(jì)數(shù)規(guī)律，可以自己推導(dǎo)后進(jìn)行記憶。本專題就線段（角度）的計(jì)數(shù)、平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面的計(jì)數(shù)、多邊形的對角線條數(shù)和三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型進(jìn)行研究，以方便大家掌握。模型1.

線段與角度的計(jì)數(shù)模型1）線段的計(jì)數(shù)模型結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（條）（注意：按一個(gè)方向數(shù)，不回頭）；結(jié)論拓展：若有n個(gè)點(diǎn)，則線段數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（條）例1．（2023春·山東淄博·七年級?？计谥校┫旅鎴D形中共有線段()條．A．7 B．8 C．9 D．10例2．（2023秋·山西太原·七年級?？茧A段練習(xí)）往返于太原、運(yùn)城兩地的高鐵列車，若中途?？刻?、介休和臨汾站則有（）種不同票價(jià)．A．7 B．8 C．9 D．10例3．（2023秋·湖南長沙·七年級?？计谀?022年12月26日上午10時(shí)06分，渝廈高鐵常德至益陽段開通運(yùn)營。某列車從常德至長沙運(yùn)行途中?？康能囌疽来问牵撼５隆５聺h壽—益陽南—寧鄉(xiāng)西—長沙南，59分鐘即可抵達(dá)長沙，這標(biāo)志著渝廈高鐵常益長段實(shí)現(xiàn)了全線開通。每兩站之間由于方向不同，車票也不同，那么鐵路運(yùn)營公司要為常德至長沙南往返最多需要準(zhǔn)備（

）張車票.A．10 B．15 C．20 D．30例4．（2023秋·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）閱讀理解題問題：在一條直線上有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，那么這條直線上總共有多少條線段？要解決這個(gè)問題，我們可以這樣考慮，以A為端點(diǎn)的線段有，，共3條，同樣以B為端點(diǎn)，以C為端點(diǎn)，以D為端點(diǎn)的線段也各有3條，這樣共有4個(gè)3，即（條），但和是同一條線段，即每一條線段重復(fù)一次，所以一共有6條線段．那么，若在一條直線上有5個(gè)點(diǎn)，則這條直線上共有_________條線段；若在一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，則這條直線上共有_________條線段．知識遷移：兩條直線相交只有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，四條直線相交最多有_________個(gè)交點(diǎn)，n條直線相交最多有_________個(gè)交點(diǎn)．學(xué)以致用：某班45名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會(huì)中，如果每兩人握手一次問好，全班同學(xué)共握手______次．例5．（2023秋·山西七年級月考）主題式學(xué)習(xí)：數(shù)形規(guī)律探究學(xué)習(xí)(1)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想說理．．．．．．．．．．．．．以此類推，我們發(fā)現(xiàn)的和與第一個(gè)數(shù)、最后一個(gè)數(shù)及數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)．如果，我們設(shè)則我們可以看出此等式的右邊是若干個(gè)的和，∴_________．則_______．(2)運(yùn)用規(guī)律，計(jì)算表達(dá)．①求_____________．②某校為慶祝2023年元旦，活躍學(xué)生文化生活，舉行歌詠比賽．七年級（9）班獲得第一名，該班學(xué)生列隊(duì)以“單擊掌”形式（每兩個(gè)學(xué)生擊掌一次）祝賀獲獎(jiǎng)；活動(dòng)結(jié)束后該班同學(xué)又互贈(zèng)“元旦祝福語”．如果該班有名同學(xué)，則共擊掌_____________次，共贈(zèng)送祝福語___________條．(3)遷移規(guī)律，解決問題．①如圖，“北京——廣州”航線上有A、B、C、D、E、F、G、H8個(gè)城市，如果每兩個(gè)城市都要互通航班，那么這條航線上一共需要開通_____架航班．②如圖，在的方格中，橫線和豎線上的線段共有___________條．③2022年足球世界杯在卡塔爾舉行（如圖是足球世界杯獎(jiǎng)杯“大力神杯”和卡塔爾世界杯會(huì)徽、吉祥物），共有32支國家足球隊(duì)參賽．比賽分小組賽、1/8決賽、1/4決賽、半決賽、三四名決賽、決賽六個(gè)階段進(jìn)行．32支球隊(duì)平均分成8個(gè)進(jìn)行小組循環(huán)賽（小組內(nèi)每兩支球隊(duì)舉行一場比賽）；每小組前兩名球隊(duì)進(jìn)入1/8決賽，然后實(shí)行淘汰賽，勝者進(jìn)入1/4決賽．．．．．．請你計(jì)算2022年足球世界杯共進(jìn)行多少場比賽？2）角度的計(jì)數(shù)模型結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（個(gè)）（注意：按一個(gè)方向數(shù)，不回頭）；結(jié)論拓展：若有n條射線，則角度數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（個(gè)）例1．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖，總共有個(gè)角．例2．（2023·四川內(nèi)江·七年級月考）在銳角∠AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得3個(gè)銳角；畫2條不同射線，可得6個(gè)銳角；畫3條不同射線，可得10個(gè)銳角；…照此規(guī)律，畫10條不同射線，可得銳角個(gè)．例3．（2023秋·重慶七年級課時(shí)練習(xí)）（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖1中有個(gè)不同的角；（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖2中有個(gè)不同的角；（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC，OD，OE，則圖3中有個(gè)不同的角；（4）在∠AOB內(nèi)部畫10條射線OC，OD，OE…，則圖中有個(gè)不同的角；（5）在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE…，則圖中有個(gè)不同的角．例4．（2023秋·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，從點(diǎn)分別引兩條射線，則得到一個(gè)角．（圖中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如圖2，從點(diǎn)分別引三條射線，則圖中得到________個(gè)角；②如圖3，從點(diǎn)分別引四條射線，則圖中得到________個(gè)角；③依此類推，從點(diǎn)分別引條射線，則得到________個(gè)角（用含的式子表示）；(2)應(yīng)用：利用③中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：某校七年級共有16個(gè)班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行單循環(huán)賽（即每兩隊(duì)之間賽一場），則全部賽完共需多少場比賽？3）平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面的計(jì)數(shù)模型直線的條數(shù)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)平面最多分成部分?jǐn)?shù)102214337.........n例1．（2023春·浙江七年級期中）已知條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，…由此猜想，條直線最多有個(gè)交點(diǎn)（）A．16 B．28 C．32 D．40例2．（2023春·安徽蕪湖·七年級校聯(lián)考期中）將一塊等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數(shù)為（）A．3 B．5 C．7 D．9例3．（2023春·廣東七年級期中）平面內(nèi)兩兩相交的6條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為個(gè)，最多為個(gè)，n條直線兩兩相交的直線最多有個(gè)交點(diǎn)．例4．（2023春·廣東七年級期中）觀察下列圖形，閱讀下面相關(guān)文字并填空：（1）在同一平面內(nèi)，兩條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多有______個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有______個(gè)交點(diǎn)，……，像這樣，8條直線相交最多有______個(gè)交點(diǎn)，n條直線相交最多有______個(gè)交點(diǎn)：（2）在同一平面內(nèi)，1條直線把平面分成2部分，兩條直線最多把平面分成4部分，3條直線最多把平面分成______部分，4條直線最多把平面分成______部分，……，像這樣，8條直線最多把平面分成______部分，n條直線最多把平面分成______部分．例5．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖，我們通過觀察后可以發(fā)現(xiàn)：兩條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)；三條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；那么四條直線相交，最多有______個(gè)交點(diǎn)；n條直線相交，最多有______個(gè)交點(diǎn)（用含n的代數(shù)式表示）；【實(shí)踐應(yīng)用】在實(shí)際生活中同樣存在數(shù)學(xué)規(guī)律型問題，請你類比上述規(guī)律探究，計(jì)算：某校七年級舉辦籃球比賽，第一輪要求每兩班之間比賽一場，若七年級共有16個(gè)班，則這一輪共要進(jìn)行多少場比賽？4）多邊形的對角線條數(shù)和三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型結(jié)論：從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對角線；這些對角線把多邊形分割成（n-2）個(gè)三角形；n邊形共有對角線。例1．（2023秋·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）六邊形共有多少條對角線（

）A．8 B．9 C．10 D．12例2．（2023秋·甘肅蘭州·七年級校考期末）如果一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)最多能畫五條對角線，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8例3．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）過某個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線，將這個(gè)多邊形分成6個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形例4．（2023秋·廣東梅州·七年級統(tǒng)考期末）一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出8條對角線，那么這個(gè)多邊形對角線的總數(shù)是（）A．88 B．44 C．45 D．50例5．（2023·山東·八年級專題練習(xí)）多邊形的對角線：多邊形的對角線是連接多邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有條對角線，將n邊形分成個(gè)三角形，一個(gè)n邊形共有條對角線．例6．（2023春·重慶七年級月考）樂樂和數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們研究多邊形對角線的相關(guān)問題，邀請你也加入其中！請仔細(xì)觀察下面的圖形和表格，并回答下列問題：多邊形的頂點(diǎn)數(shù)45678…n從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)12345…________多邊形對角線的總條數(shù)2591420…________(1)觀察探究：請自己觀察上面的圖形和表格，并用含n的代數(shù)式將上面的表格填寫完整；(2)實(shí)際應(yīng)用：數(shù)學(xué)社團(tuán)共分為6個(gè)小組，每組有3名同學(xué)．同學(xué)們約定，大年初一時(shí)不同組的兩位同學(xué)之間要打一個(gè)電話拜年，請問，按照此約定，數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們一共將撥打電話多少個(gè)？(3)類比歸納：樂樂認(rèn)為(1)，(2)之間存在某種聯(lián)系，你能找到這兩個(gè)問題之間的聯(lián)系嗎？請用語言描述你的發(fā)現(xiàn)．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·湖北·七年級階段練習(xí)）平面內(nèi)10條直線把平面分成的部分個(gè)數(shù)最多是（）A．46個(gè) B．55個(gè) C．56個(gè) D．67個(gè)2．（2023秋·四川成都·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線，在直線上有A，B，C，D四點(diǎn)點(diǎn)P沿直線l從右向左移動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線l上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P最多有A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)3．（2023秋·山東青島·七年級?？计谀┤鐖D，AB是一段高鐵行駛路線圖圖中字母表示的5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)車站在這段路線上往返行車，需印制（）種車票．A．10 B．11 C．20 D．224．（2023·河北邯鄲·七年級?？计谀┯珊惖奖本┑哪骋淮瘟熊?，運(yùn)行途中?？康能囌疽来问牵汉悺吓_(tái)—石家莊—保定—北京，那么要為這次列車制作的火車票有（

）A．9種 B．20種 C．10種 D．72種5．（2023·湖北荊門·七年級統(tǒng)考期中）兩條相交直線與另外一條直線在同一平面內(nèi)，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或36．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖所示，2條直線相交只有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多能有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多能有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多能有10個(gè)交點(diǎn)，……，（≥2，且是整數(shù)）條直線相交最多能有（

）A．個(gè)交點(diǎn)B．個(gè)交點(diǎn)C．個(gè)交點(diǎn)D．個(gè)交點(diǎn)7．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出條對角線，它們將五邊形分成個(gè)三角形，則的值為(

)A．9 B．8 C．6 D．58．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）過某個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線，將此多邊形分成4個(gè)三角形，則此多邊形的邊數(shù)為（）A．7 B．6 C．5 D．49．（2023秋·廣東七年級月考）平面內(nèi)有7條直線，這7條直線兩兩相交，最多可以得到a個(gè)交點(diǎn)，最少可以得到b個(gè)交點(diǎn)，則的值是（

）A．16 B．22 C．20 D．1810．（2023春·山東泰安·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)按這樣的規(guī)律若n條直線相交交點(diǎn)最多有36個(gè)，則此時(shí)n的值為（

）A．10 B．9 C．8 D．711．（2023·四川成都·七年級?？计谀┏啥寂c重慶之間往返的動(dòng)車，除起始站和終點(diǎn)站外中途都有3個(gè)停靠站，則鐵路部門針對此動(dòng)車需要發(fā)售種不同行程的動(dòng)車票.12．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）過五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有條對角線．13．（2023秋·河南鄭州·七年級?？计谀┮粋€(gè)正八邊形，從它的一個(gè)頂點(diǎn)可引出m條對角線，并把這個(gè)正八邊形分成n個(gè)三角形，則．14．（2023秋·重慶·七年級期中）如圖所示，過六邊形的頂點(diǎn)的所有對角線可將六邊形分成個(gè)三角形．15．（2023秋·山東德州·八年級?？计谥校亩噙呅蔚囊粋€(gè)頂點(diǎn)所引的對角線，把這個(gè)多邊形分成7個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形共條對角線．16．（2023秋·黑龍江綏化·八年級?？计谥校氖呅蔚囊粋€(gè)頂點(diǎn)作對角線，把這個(gè)十二邊形分成三角形的個(gè)數(shù)是，十二邊形的對角線的條數(shù)是17．（2023秋·河南許昌·七年級統(tǒng)考期末）2022年9月8日，隨著列車從鄭州港區(qū)段鳴笛出發(fā)，鄭許市域鐵路開始空載試運(yùn)行，未來“雙城生活模式”指日可待．圖中展示了鄭許市域鐵路的其中五個(gè)站點(diǎn)，若要滿足乘客在這五個(gè)站點(diǎn)之間的往返需求，鐵路公司需要準(zhǔn)備種不同的車票．18．（2023·北京·七年級?？茧A段練習(xí)）表反映了平面內(nèi)直線條數(shù)與它們最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：圖形…直線條數(shù)234…最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)13=1+26=1+2+3…按此規(guī)律，6條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)；n條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)．（n為正整數(shù)）19．（2023·浙江嘉興·七年級統(tǒng)考期末）若平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了個(gè)部分．20．（2023秋·四川自貢·七年級?？茧A段練習(xí)）已知：四點(diǎn)A、B、C、D的位置如圖所示，根據(jù)下列語句，畫出圖形．(1)畫直線、射線相交于點(diǎn)O，畫線段；(2)圖中以字母A、B、C、D、O為端點(diǎn)的線段共有____條．21．（2023秋·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，為直線上一點(diǎn)，，平分．(1)請你數(shù)一數(shù)，圖中有___________個(gè)小于平角的角；(2)求的度數(shù)．22．（2023秋·山西七年級月考）小明在一條直線上選了若干個(gè)點(diǎn)，通過數(shù)線段的條數(shù)，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含了一定的規(guī)律，下邊是他的探究過程及聯(lián)想到的一些相關(guān)實(shí)際問題.（1）一條直線上有2個(gè)點(diǎn)，線段共有1條；一條直線上有3個(gè)點(diǎn)，線段共有1+2=3條；一條直線上有4個(gè)點(diǎn)，線段共有1+2+3=6條…一條直線上有10個(gè)點(diǎn)，線段共有條.（2）總結(jié)規(guī)律：一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，線段共有條.（3）拓展探究：具有公共端點(diǎn)的兩條射線OA、OB形成1個(gè)角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB內(nèi)部再加一條射線OC，此時(shí)具有公共端點(diǎn)的三條射線OA、OB、OC共形成3個(gè)角；以此類推，具有公共端點(diǎn)的n條射線OA、OB、OC…共形成個(gè)角（4）解決問題：曲沃縣某學(xué)校九年級1班有45名學(xué)生畢業(yè)留影時(shí)，全體同學(xué)拍1張集體照，每2名學(xué)生拍1張兩人照，共拍了多少張照片？如果照片上的每位同學(xué)都需要1張照片留作紀(jì)念，又應(yīng)該沖印多少張紙質(zhì)照片？23．（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）平面上有7條不同的直線，如果其中任何三條直線都不共點(diǎn)．(1)請畫出滿足上述條件的一個(gè)圖形，并數(shù)出圖形中各直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)請?jiān)佼嫵龈髦本€之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不同的圖形（至少兩個(gè)）；(3)你能否畫出各直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為n的圖形，其中n分別為6，21，15？(4)請盡可能多地畫出各直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不同的圖形，從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？24．（2023·北京市七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，線段上的點(diǎn)數(shù)與以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的總數(shù)有如下關(guān)系：

(1)當(dāng)線段上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有________條；當(dāng)線段上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有________條；當(dāng)線段上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有________條；(2)當(dāng)線段上有個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有多少條？(3)根據(jù)上述信息解決下面的問題：①某學(xué)校七年級共有20個(gè)班級進(jìn)行辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽（每兩個(gè)班賽一場），那么該校七年級的辯論賽共要進(jìn)行多少場？②乘火車從站出發(fā)，沿途經(jīng)過10個(gè)車站方可到達(dá)站，那么在，兩站之間需要設(shè)置多少種不同的車票（僅考慮車票的起點(diǎn)站與終點(diǎn)站之分）？25．（2023秋·廣東惠州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，線段AB上的點(diǎn)數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系：如果線段上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有3條；如果線段上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有6條；如果線段上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有10條；(1)當(dāng)線段上有6個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有條？(2)當(dāng)線段上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有多少條？（用n的代數(shù)式表示）(3)當(dāng)，線段共有多少條？

26．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）觀察思考：

（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖中有3個(gè)不同的角；（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC、OD，則圖中有幾個(gè)不同的角？（3）3條射線呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，表示出n條射線能有幾個(gè)不同的角？27．（2023春·廣東肇慶·七年級?？茧A段練習(xí)）觀察如圖所示中的各圖，尋找對頂角（不含平角）：（1）如圖a，圖中共有＿＿＿對對頂角；（2）如圖b，圖中共有＿＿＿對對頂角；（3）如圖c，圖中共有＿＿＿對對頂角.（4）研究（1）～（3）小題中直線條數(shù)與對頂角的對數(shù)之間的關(guān)系，若有

n條直線相交于一點(diǎn),則可形成＿＿＿對對頂角？（5）若有2008條直線相交于一點(diǎn)，則可形成＿＿＿對對頂角？28．（2023秋·山東七年級課時(shí)練習(xí)）下面各個(gè)圖形中，分別有多少個(gè)小于平角的角，請用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎具@些角．（1）圖（1）中共有_______個(gè)小于平角的角，這些角分別是________；（2）圖（2）中共有_______個(gè)小于平角的角，這些角分別是________；（3）圖（3）中共有_______個(gè)小于平角的角，這些角分別是________．29．（2023·云南保山·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，從一點(diǎn)O出發(fā)，引兩條射線可以得到一個(gè)角，引三條射線可以得到三個(gè)角，引四條射線可以得到六個(gè)角，引五條射線可以得到十個(gè)角，如果從一點(diǎn)出發(fā)引n（n為大于等于2的整數(shù)）條射線，則會(huì)得到多少個(gè)角？如果n=8時(shí)，檢驗(yàn)?zāi)闼玫慕Y(jié)論是否正確．30．（2023秋黑龍江七年級月考）找規(guī)律：一次足球比賽中，有n（n≥2）個(gè)球隊(duì)參加比賽，假設(shè)此次比賽為單循環(huán)比賽（參加比賽的每一個(gè)隊(duì)都與其他所有的隊(duì)各賽一場），球隊(duì)總數(shù)與總的比賽場數(shù)如表．球隊(duì)數(shù)（n）23456比賽場數(shù)1361015（1）8個(gè)球隊(duì)總共比賽的總場數(shù)為．（2）當(dāng)有n個(gè)球隊(duì)參加時(shí)，共比多少場？（2）當(dāng)n＝10時(shí)，共有多少場比賽？31．（2023秋·河北八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個(gè)點(diǎn)，首先連接BA1，圖中出現(xiàn)了3個(gè)不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個(gè)不同的三角形…

（1）完成下表：連接個(gè)數(shù)出現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)若出現(xiàn)了45個(gè)三角形，則共連接了多少個(gè)點(diǎn)？若一直連接到An，則圖中共有__________個(gè)三角形．32．（2023春·山東青島·七年級?？计谥校?shù)學(xué)中，常對同一個(gè)量用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”．[探究一]如圖1，在邊長為a的正方形紙片上剪去一個(gè)邊長為的正方形，你能表示圖中陰影部分的面積嗎？陰影部分的面積是______．如圖2，也可以把陰影部分沿著虛線AB剪開，分成兩個(gè)梯形，陰影部分的面