數(shù)學成長訓練：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精主動成長夯基達標1.下列四個函數(shù)中，既是(0，)上的增函數(shù),又是以π為周期的偶函數(shù)的是（）A.y=|sinx|B.y=｜sin2x|C.y=|cosx｜D.y=cos2x解析：結合圖象進行判斷。答案：A2。若函數(shù)f（x)=3sin(ωx+φ）對任意實數(shù)x都有f(+x）=f（—x),則f（)等于（）A.0B。3C解析：由f(+x)=f(-x）得x=為函數(shù)的對稱軸，所以y=f（x)在對稱軸處取得最大值或最小值。答案：D3。函數(shù)y=-xcosx的部分圖象是（)圖1—4—9解析:從y=—xcosx的性質考慮。f(-x）=xcos(—x）=xcosx=—f（x）.∴y=—xcosx為奇函數(shù)?！嗯懦鼳,C.當x＞0，但x→0時,cosx＞0,∴—xcosx＜0?！鄨D象應在x軸下方.故選D.答案:D4。給定函數(shù)①y=xsinx；②y=1+sin2x；③y=cos（sinx）中,偶函數(shù)的個數(shù)是（）A。3B。2C。1解析：①f（—x）=-xsin（—x）=xsinx=f(x）為偶函數(shù);②f(—x)=1+sin2（-x)=1+sin2x=f(x)為偶函數(shù)；③f(—x）=cos［sin（—x）］=cos(—sinx）=cos（sinx）為偶函數(shù)，三個都為偶函數(shù)，故選A。答案：A5.函數(shù)y=(x∈R）的最大值是()A。B.C。3D.5解析:y=.∵—1≤cosx≤1,∴—1≤-cosx≤1.又1≤2—cosx≤3，∴≤≤1.∴≤≤4，得≤-1+≤3,即最大值是3。答案：C6。關于函數(shù)f(x）=4sin(2x+）（x∈R）有下列命題：①f（x1）=f(x2)=0可得x1-x2必定是π的整數(shù)倍;②y=f(x）的表達式可改寫成y=4cos(2x—）；③y=f（x)的圖象關于點（—，0)對稱.其中正確命題的序號是____________。解析：①由f(x）=0有2x+=kπ（k∈Z),令k=0得x1=-.令k=1得x2=—。∴x1—x2=-。故①不正確.②利用誘導公式知正確,f(x）=4sin（2x+）=4cos(—2x-)=4cos(-2x+)=4cos(2x—）。③令2x+=kπ(k∈Z),得2x=kπ—（k∈Z）.∴x=—(k∈Z）.令k=0得x=—,∴y=f(x）的圖象關于點（-，0)對稱。答案：②③7。若函數(shù)y=acosx+b（a、b是常數(shù)）的最大值是1，最小值是-7,求函數(shù)y=3+absinx的最值。解：∵-1≤cosx≤1，當a＞0時，b—a≤y≤a+b,∴∴當a＜0時,a+b≤y≤b-a,∴∴當a=4,b=-3時,y=3—12sinx.∴ymax=15,ymin=-9.當a=—4,b=—3時,y=3+12sinx.∴ymax=15，ymin=-9.8.已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且f（x+2)=。(1）試證f(x）是周期函數(shù)且8為一個周期；（2）若f（3)=-1,求f(2003）的值.(1)證明:f(x+2+2）==即f(x+4)=。∴f（x+4+4）=—，即f(x+8)=f(x).∴f(x)是周期函數(shù)且8為一個周期.(2)解:f(2003)=f（3+250×8)=f(3）=—1。9.(2005全國高考)設函數(shù)f(x)=sin（2x+φ）(-π＜φ＜0），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=。(1）求φ;（2）求函數(shù)y=f(x)的單調增區(qū)間；(3）畫出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［0，π］上的圖象.圖1—4-10解:(1)∵x=是函數(shù)y=f(x）的圖象的對稱軸，∴sin(2×+φ)=±1.∴+φ=kπ+，k∈Z.∵—π＜φ＜0,∴φ=.(2)由(1)知φ=，因此y=sin（2x—)。由題意，得其單調增區(qū)間為2kπ—≤2x≤2kπ+,k∈Z。∴函數(shù)y=sin(2x)的單調增區(qū)間為［kπ+，kπ+］，k∈Z。（3）由y=sin(2x)知x0πy—-1010—故函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π］上的圖象是走近高考10.(2006遼寧高考)函數(shù)y=sin（x+3)的最小正周期是(）A。B.πC.2πD。4π解析：T==4π。答案:D11.(2006湖南高考）設點P是函數(shù)f(x)=sinωx的圖象C的一個對稱中心,若點P到圖象C的對稱軸的距離的最小值是，則f（x)的最小正周期是（）A。2πB。πC.D。解析：T=4×=π。答案:B12.（2006北京高考）函數(shù)y=1+cosx的圖象(）A。關于x軸對稱B。關于y軸對稱C.關于原點對稱D。關于直線x=對稱解析：函數(shù)y=1+cosx的圖象可由y=cosx的圖象向上平移一個單位得到，其圖象關于y軸對稱.答案:B13。(2006安徽高考,8）設a＞0,對于函數(shù)f(x）=(0＜x＜π）,下列結論正確的是(）A.有最大值而無最