數(shù)學成長訓練第二講四漸開線與擺線

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精主動成長夯基達標1。關于漸開線和擺線的敘述，正確的是（）A。只有圓才有漸開線B。漸開線和擺線的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才得到了不同的圖形C。正方形也可以有漸開線D。對于同一個圓，如果建立的直角坐標系的位置不同，畫出的漸開線形狀就不同解析：本題主要考查漸開線和擺線的基本概念。首先要明確不僅圓有漸開線,其他圖形如橢圓、正方形也有漸開線；漸開線和擺線的定義雖然從字面上有相似之處，但是它們的實質是完全不一樣的,因此得出的圖形也不相同；對于同一個圓不論在什么地方建立直角坐標系，畫出的圖形的大小和形狀都是一樣的,只是方程的形式及圖形在坐標系中的位置可能不同.答案：C2。給出下列說法：①圓的漸開線的參數(shù)方程不能轉化為普通方程;②圓的漸開線也可以轉化為普通方程，但是轉化后的普通方程比較麻煩,且不容易看出坐標之間的關系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問題;③在求圓的擺線和漸開線方程時，如果建立的坐標系原點和坐標軸選取不同,可能會得到不同的參數(shù)方程；④圓的漸開線和x軸一定有交點而且是唯一的交點.其中正確的說法有(）A。①③B。②④C.②③D。①③④解析:本題主要考查漸開線和擺線的有關概念和參數(shù)方程的問題.對于一個圓，只要半徑確定，漸開線和擺線的形狀就是確定的,但是隨著選擇坐標系的不同，其在坐標系中的位置也會不同,相應的參數(shù)方程也會有所區(qū)別，至于漸開線和坐標軸的交點要看選取的坐標系的位置.答案：C3.已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù)）,則此漸開線對應的基圓的直徑是___________，當參數(shù)φ=時對應的曲線上的點的坐標為___________.解析:圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑唯一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，故直徑為2。求當φ=π4時對應的坐標只需把φ=代入曲線的參數(shù)方程,x=,由此可得對應的坐標為（）.答案：2(）4。我們知道關于直線y=x對稱的兩個函數(shù)互為反函數(shù)，則圓的擺線(φ為參數(shù))關于直線y=x對稱的曲線的參數(shù)方程為___________。解析：關于直線y=x對稱的函數(shù)互為反函數(shù),而求反函數(shù)的過程主要體現(xiàn)了x與y的互換。所以要寫出擺線方程關于直線y=x的對稱曲線方程，把其中的x與y互換,即是交換x與y對應的參數(shù)表達式。答案:(φ為參數(shù)）5。已知一個圓的擺線方程是（φ為參數(shù))，求該圓的面積和對應的圓的擺線的參數(shù)方程.解析：首先根據所給出的擺線方程判斷出圓的半徑為4,易得圓的面積為16π，再代入漸開線的參數(shù)方程的標準形式即可得圓的漸開線的參數(shù)方程.解：首先根據漸開線的參數(shù)方程可知圓的半徑為4,所以面積是16π。該圓對應的漸開線的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)).6。已知一個圓的擺線過一定點(2，0)，請寫出當圓的半徑最大時該擺線的參數(shù)方程和對應的圓的漸開線的標準方程.解析：根據圓的擺線的參數(shù)方程的表達式（φ為參數(shù)）,只需把點（2,0)代入參數(shù)方程求出r的表達式,根據表達式求出r的最大值,再確定對應的擺線和漸開線的方程.解：令y=0,得r（1—cosφ）=0,即得cosφ=1.所以φ=2kπ(k∈Z）。代入x=r(2kπ-sin2kπ)=2，即得r=（k∈Z)。又由實際可知r〉0，所以r=1kπ（k∈N＊)。易知，當k=1時，r最大,最大值為1π.代入即可得圓的擺線的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)）,圓的漸開線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))。走近高考1。（高考預測題）如圖，ABCD是邊長為1的正方形，曲線AEFGH…叫做“正方形的漸開線”，其中AE、EF、FG、GH、…的圓心依次按B、C、D、A循環(huán)，它們依次相連接,則曲線AEFGH的長是(）A。3πB。4πC.5πD.6π解析:如題圖，根據漸開線的定義可知，是半徑