數(shù)學(xué)成長(zhǎng)訓(xùn)練第二講四漸開(kāi)線(xiàn)與擺線(xiàn)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精主動(dòng)成長(zhǎng)夯基達(dá)標(biāo)1。關(guān)于漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的敘述，正確的是（）A。只有圓才有漸開(kāi)線(xiàn)B。漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才得到了不同的圖形C。正方形也可以有漸開(kāi)線(xiàn)D。對(duì)于同一個(gè)圓，如果建立的直角坐標(biāo)系的位置不同，畫(huà)出的漸開(kāi)線(xiàn)形狀就不同解析：本題主要考查漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的基本概念。首先要明確不僅圓有漸開(kāi)線(xiàn),其他圖形如橢圓、正方形也有漸開(kāi)線(xiàn)；漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的定義雖然從字面上有相似之處，但是它們的實(shí)質(zhì)是完全不一樣的,因此得出的圖形也不相同；對(duì)于同一個(gè)圓不論在什么地方建立直角坐標(biāo)系，畫(huà)出的圖形的大小和形狀都是一樣的,只是方程的形式及圖形在坐標(biāo)系中的位置可能不同.答案：C2。給出下列說(shuō)法：①圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程;②圓的漸開(kāi)線(xiàn)也可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩,且不容易看出坐標(biāo)之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開(kāi)線(xiàn)問(wèn)題;③在求圓的擺線(xiàn)和漸開(kāi)線(xiàn)方程時(shí)，如果建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸選取不同,可能會(huì)得到不同的參數(shù)方程；④圓的漸開(kāi)線(xiàn)和x軸一定有交點(diǎn)而且是唯一的交點(diǎn).其中正確的說(shuō)法有(）A。①③B。②④C.②③D。①③④解析:本題主要考查漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的有關(guān)概念和參數(shù)方程的問(wèn)題.對(duì)于一個(gè)圓，只要半徑確定，漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的形狀就是確定的,但是隨著選擇坐標(biāo)系的不同，其在坐標(biāo)系中的位置也會(huì)不同,相應(yīng)的參數(shù)方程也會(huì)有所區(qū)別，至于漸開(kāi)線(xiàn)和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)要看選取的坐標(biāo)系的位置.答案：C3.已知圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程是(φ為參數(shù)）,則此漸開(kāi)線(xiàn)對(duì)應(yīng)的基圓的直徑是___________，當(dāng)參數(shù)φ=時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________.解析:圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程由圓的半徑唯一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，故直徑為2。求當(dāng)φ=π4時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)只需把φ=代入曲線(xiàn)的參數(shù)方程,x=,由此可得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（）.答案：2(）4。我們知道關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，則圓的擺線(xiàn)(φ為參數(shù))關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)的參數(shù)方程為_(kāi)__________。解析：關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的函數(shù)互為反函數(shù),而求反函數(shù)的過(guò)程主要體現(xiàn)了x與y的互換。所以要寫(xiě)出擺線(xiàn)方程關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)方程，把其中的x與y互換,即是交換x與y對(duì)應(yīng)的參數(shù)表達(dá)式。答案:(φ為參數(shù)）5。已知一個(gè)圓的擺線(xiàn)方程是（φ為參數(shù))，求該圓的面積和對(duì)應(yīng)的圓的擺線(xiàn)的參數(shù)方程.解析：首先根據(jù)所給出的擺線(xiàn)方程判斷出圓的半徑為4,易得圓的面積為16π，再代入漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式即可得圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程.解：首先根據(jù)漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程可知圓的半徑為4,所以面積是16π。該圓對(duì)應(yīng)的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)).6。已知一個(gè)圓的擺線(xiàn)過(guò)一定點(diǎn)(2，0)，請(qǐng)寫(xiě)出當(dāng)圓的半徑最大時(shí)該擺線(xiàn)的參數(shù)方程和對(duì)應(yīng)的圓的漸開(kāi)線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.解析：根據(jù)圓的擺線(xiàn)的參數(shù)方程的表達(dá)式（φ為參數(shù)）,只需把點(diǎn)（2,0)代入?yún)?shù)方程求出r的表達(dá)式,根據(jù)表達(dá)式求出r的最大值,再確定對(duì)應(yīng)的擺線(xiàn)和漸開(kāi)線(xiàn)的方程.解：令y=0,得r（1—cosφ）=0,即得cosφ=1.所以φ=2kπ(k∈Z）。代入x=r(2kπ-sin2kπ)=2，即得r=（k∈Z)。又由實(shí)際可知r〉0，所以r=1kπ（k∈N＊)。易知，當(dāng)k=1時(shí)，r最大,最大值為1π.代入即可得圓的擺線(xiàn)的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)）,圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))。走近高考1。（高考預(yù)測(cè)題）如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，曲線(xiàn)AEFGH…叫做“正方形的漸開(kāi)線(xiàn)”，其中AE、EF、FG、GH、…的圓心依次按B、C、D、A循環(huán)，它們依次相連接,則曲線(xiàn)AEFGH的長(zhǎng)是(）A。3πB。4πC.5πD.6π解析:如題圖，根據(jù)漸開(kāi)線(xiàn)的定義可知，是半徑