數(shù)學成長訓練第一講三簡單曲線的極坐標方程

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精主動成長夯基達標1。已知點P(）,若點P的極角θ滿足-π<θ〈π，ρ∈R,下列點中與點P重合的是()A。B.C。D。解析:當—π≤θ≤π時，ρ≥0(或ρ≤0)時,除極點外，點極坐標分別為唯一。當ρ∈R時，一個點的極坐標只有兩個形式：（—，-）或（2，）.答案:D2。圓ρ=2(cosθ+sinθ)的圓心的坐標是（）A。(1，）B.（）C。(）D.(2，)解析:圓的方程可化為ρ=2cos（θ—）.這是ρ=2rcos(θ-θ0）形式,它的圓心為O′（r,θ0),本題也可化為直角坐標方程求解。答案：A3。極坐標系中,方程ρ=cosθ（θ∈[0，π]，ρ∈R)表示的曲線是(）A。以(,0）為圓心，半徑為的上半個圓B.以(，0)為圓心，半徑為的圓C.以（1,0）為圓心,半徑為的上半個圓D.以(，)為圓心，半徑為的圓解析:當ρ≥0時，θ∈[0，］,方程ρ=cosθ表示上半個圓，半徑為,當ρ≤0時,θ∈[,π],方程表示下半個圓，半徑為.答案：B4.方程ρ=sinθ+cosθ+K的曲線不經(jīng)過極點,則K的取值范圍是(）A.K≠0B。K∈RC.｜K｜〉2D。|K|≤2解析：當ρ=0時,sinθ+cosθ=-K，若此方程無解，由|sinθ+cosθ|≤,∴當｜K|〉2時,方程無解。答案：C5.在極坐標系中，點P（2,）到直線ρsin(θ-）=1的距離等于（)A。1B.2C。3D。1+3解法一：∵xP=2cos=,yP=2sin=-1，∴P點的直角坐標為(，-1）.又直線ρsin(θ-）=1化為直角坐標方程為y-x-1=0.∴P點到直線的距離為d=｜—-·—1｜=1+。解法二:直線ρsin（θ—)=1與直線θ=平行，且距離為1.過P點作PH垂直于直線ρsin（θ—）=1，垂足為H，設PH交直線θ=于M,在Rt△POM中，OP=2,∠POM=?！郟M=2sin=。故P點到直線ρsin（θ-)=1的距離為1+.答案:D6。點M在直線ρcosθ=a(a>0)上,O為極點,延長OM到P使|MP｜=b(b>0）,則P的軌跡方程是________。解析:設M(ρ0,θ0），P(ρ,θ）,則ρ0cosθ0=a，ρ=ρ0+b,θ0=θ代入即可.答案:（ρ-b)cosθ=a7.畫出極坐標方程（θ—）ρ+（-θ)sinθ=0的圖形.解析:若所給曲線的極坐標方程比較復雜時,可將其方程分解因式，分解成幾個常見曲線方程連乘積的形式,然后分別作出圖形,放在一起即為所求方程的曲線.解：如圖,將原方程分解因式得(θ-)(ρ—sinθ)=0,∴θ—=0，即θ=為一條射線,或ρ—sinθ=0為一個圓.8。證明過A（ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)兩點的直線l的極坐標方程是解析:雖然所證明的方程看起來比較復雜，但是，只要我們理清求曲線方程的步驟，問題是不難解決的。我們可以利用三角形的面積法將這些量互相聯(lián)系起來。解:設M（ρ,θ）為直線AB上一點，如圖，∵S△AOB=ρ1ρ2sin(θ2—θ1）,S△AOM=ρρ1sin（θ—θ1），S△BOM=ρρ2sin（θ2—θ），又S△AOB=S△AOM+S△BOM，∴ρ1ρ2sin(θ2—θ1)=ρρ1sin（θ—θ1)+ρρ2sin（θ2—θ),即9。已知圓ρ=2,直線ρcosθ=4,過極點作射線交圓于A,直線于B，求AB中點M的軌跡方程。解:設M（ρ，θ），A（ρ1，θ1)，B(ρ2,θ2）,則有∴(2ρ-2)cosθ=4ρ=2secθ+1.10.從原點O引直線交直線2x+4y—1=0于點M,P為OM上一點,已知｜OP|·|OM|=1,求P點的極坐標方程。解析:先把直線化為極坐標方程,由于P點的運動與M點有關，可以利用轉移法來解決問題.我們可以根據(jù)長度之間的關系式找到點P與點M坐標之間的關系。解：如圖，以O為極點,x軸正方向為極軸建立坐標系后，直線的方程化為2ρcosθ+4ρsinθ-1=0.設M（ρ0,θ0）,P(ρ,θ）,則2ρ0cosθ+4ρ0sinθ-1=0。又，知代入2cosθ+4sinθ-1=0，∴ρ=2cosθ+4sinθ,這是一個圓(ρ≠0).11.從極點O作圓C：ρ=8cosθ的弦ON，求ON的中點M的軌跡方程.解析：在直角坐標系中，求曲線的軌跡方程的方法有直接法、定義法、轉移法，在極坐標系中,求曲線的極坐標方程這幾種方法仍然是適用的。解法一:如圖，圓C的圓心C（4,0），半徑r=｜OC｜=4,連結CM.∵M為弦ON的中點,∴CM⊥ON.故M在以OC為直徑的圓上.所以,動點M的軌跡方程是ρ=4cosθ。解法二:解法一是定義法,下面我們用轉移法來解決這個問題。設M點的坐標是（ρ,θ），N（ρ1，θ1).N點在圓ρ=8cosθ上，∴ρ1=8cosθ1.（*)∵M是ON的中點，∴將它代入(＊)式得2ρ=8cosθ，故M的軌跡方程是ρ=4cosθ.12。O為已知圓外的定點，M在圓上,以OM為邊作正三角形OMN,當點M在圓上移動時，求點N的軌跡方程（O、M、N逆時針排列)。解：以O為極點，以O和已知圓圓心O′所在射線為極軸,建立極坐標系,如圖，設|OO′｜=ρ0,圓的半徑為r,那么圓的極坐標方程為ρ2-2ρ0ρcosθ+ρ02—r2=0，設N(ρ,θ），M(ρ1，θ1)，∵M在圓上，∴ρ12-2ρ0ρ1cosθ1+ρ02—r2=0。①∵△OMN為正三角形，∴代入①得ρ2-2ρ0ρcos(θ—）+ρ02—r2=0，這就是點N的軌跡方程.走近高考1.（經(jīng)典回放)曲線的極坐標方程ρ=4sinθ化成直角坐標方程為()A.x2+(y+2)2=4B。x2+（y-2）2=4C。(x—2）2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解析：在ρ=4sinθ兩邊同時乘以ρ得ρ2=4ρ·sinθ.再利用可得x2+y2=4y,即x2+（y-2)2=4。答案:B2。（經(jīng)典回放）在極坐標系中，過點M(2，)且平行于極軸的直線的極坐標方程是________。解析：如圖所示,設P(ρ,θ)為直線上任一點，連結PO,作PA垂直極軸于點A.在Rt△PAO中，|PA|=2,∠POA=θ,∴ρsinθ=2?！嗨蟮臉O坐標方程為ρsinθ=2.答案:ρsinθ=23。(經(jīng)典回放）設有半徑為4的圓,它在極坐