數(shù)學(xué)學(xué)案：第三講二平面與圓柱面的截線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精二平面與圓柱面的截線1．通過圓柱形水杯中水面的傾斜，感受平面截圓柱的形式,并能證明定理1。2．通過Dandelin雙球探求橢圓的性質(zhì),體會這種證明問題的方法．1．定理1文字語言圓柱形物體的斜截口是____符號語言平面α與圓柱OO′的軸____，則截口是橢圓圖形語言作用判斷截口形狀是橢圓【做一做1】圓柱形物體的截口是()A．雙曲線B．圓C．拋物線D．橢圓或圓2．橢圓（1)定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之____等于____的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．（2）組成元素：如圖所示,F1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，B1B2是F1F2的中垂線．我們把_________叫做橢圓的長軸，_________叫做橢圓的短軸,_________叫做橢圓的焦距．如果長軸為2a,短軸為2b,那么焦距2c=_________.(3）Dandelin雙球探究橢圓性質(zhì)：如圖所示，設(shè)球O1，O2與圓柱的交線（圓）所在的平面分別為α，γ,橢圓所在的斜截面β與它們的交線分別為l1，l2，α，γ與β所成的二面角為θ，母線與平面β的交角為φ.由于α,β，γ都是確定的，因此交線l1，l2也是確定的．①當(dāng)點(diǎn)P在橢圓的任意位置時(shí)，過P作l1的垂線，垂足為Q,過P作平面α的垂線，垂足為K1，連接K1Q，得Rt△PK1Q,則∠QPK1＝φ.從而有eq\f(PF1，PQ)＝eq\f(PK1,PQ)＝eq\f(G2F1，G2E）＝______＝定值．②橢圓上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F1的距離與到直線l1的距離之比為定值______．我們把直線l1叫做橢圓的一條____．③橢圓上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F2的距離與到直線l2的距離之比也為定值cosφ,所以l2是橢圓的另一條準(zhǔn)線．④記e＝cosφ，我們把e叫做橢圓的______．e的幾何意義是，橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到準(zhǔn)線的距離的比．當(dāng)e越接近于1時(shí)，c越接近于a,從而b越小,因此橢圓越扁；反之,e越接近于0，從而b越接近于a,橢圓越接近于圓．當(dāng)e＝0時(shí)，c＝0，a＝b，兩個(gè)焦點(diǎn)重合,圖形就是圓了．可見離心率是刻畫橢圓圓扁程度的量．【做一做2－1】F1和F2是橢圓的焦點(diǎn),P是橢圓上的任一點(diǎn)，PF1＝d1,PF2＝d2，則()A．d1＋d2是常數(shù)B．d1－d2是常數(shù)C．d1d2是常數(shù)D．eq\f（d1,d2）是常數(shù)【做一做2－2】橢圓的離心率e＝eq\f(4，5),焦距為8，則長軸長為______．【做一做2－3】橢圓的長軸長為10，短軸長為8，則焦距等于()A．6B．8C．10D．3答案:1．橢圓斜交【做一做1】D當(dāng)截面與圓柱的底面平行時(shí),截口是圓，否則是橢圓．2．（1）和定長（2）A1A2B1B2F1F22eq\r(a2－b2）(3)①cosφ②cosφ準(zhǔn)線④離心率【做一做2－1】A【做一做2－2】10設(shè)橢圓的長軸長，短軸長，焦距分別為2a，2b,2c,則由題意，知2c＝8，故c＝4。又e＝eq\f（c,a），故長軸長2a＝eq\f（2c，e)＝eq\f（8，\f(4,5)）＝10?！咀鲆蛔?－3】A設(shè)橢圓的長軸長,短軸長，焦距分別為2a，2b，2c，則由題意，知2a＝10，2b＝8,故a＝5，b＝4，即2c＝2eq\r(a2－b2)＝6。Dandelin雙球探求橢圓性質(zhì)的過程剖析：通過一條直線與相離的兩個(gè)等圓的內(nèi)公切線的情形，類比為兩個(gè)半徑相等的球在一個(gè)平面的兩側(cè)均與球相切的情形，從而得到定理1及有關(guān)結(jié)論,因而對于平面內(nèi)直線與兩個(gè)相離的等圓的內(nèi)公切的情形要注意研究，這有助于理解橢圓和下一節(jié)的知識．圓柱內(nèi)嵌入兩個(gè)球，使它們分別位于斜截面的上方和下方，并且與圓柱和斜截面均相切，這是證明定理的關(guān)鍵．這種方法是數(shù)學(xué)家Dandelin創(chuàng)立的，故將嵌入的兩球稱為Dandelin雙球．要注意對于Dandelin雙球的研究．題型一橢圓的度量性質(zhì)【例題1】已知平面α與一圓柱的母線成60°角，那么該平面與圓柱截口圖形的離心率是()A．eq\f(\r(3)，2)B．1C．eq\f(\r(2），2)D．eq\f（1，2）反思：圓柱形物體的斜截口是橢圓，因此，橢圓的度量性質(zhì)與底面半徑、截面及母線夾角密切相關(guān)．題型二探討橢圓的性質(zhì)【例題2】如圖所示，已知球O1，O2分別切平面β于點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P1P2為⊙O1的一條直徑,Q1,Q2分別為P1，P2在平面β內(nèi)的平行射影，G1G2＝2a，Q1Q2＝2b，G1G2與Q1Q2垂直平分，求證：F1F2＝2eq\r（a2－b2)。反思：探究圓柱體的斜截口——橢圓的性質(zhì)，要仔細(xì)考查Dandelin雙球與圓柱及其截平面的關(guān)系,綜合地應(yīng)用切線長定理、三角形的相似與全等、解直角三角形，以及平行射影的性質(zhì)等．答案：【例題1】D平面與圓柱截口圖形為橢圓，其離心率e＝cos60°＝eq\f(1,2).【例題2】證明：如圖，過G1作G1H⊥BG2，H為垂足，則四邊形ABHG1是矩形．∴G1H＝AB.∵Q1，Q2分別是P1，P2的平行射影，∴P1Q1綉P2Q2?！郟1Q1Q2P2是平行四邊形．∴Q1Q2=P1P2，即Q1Q2等于底面直徑．∴G1H=AB=Q1Q2=2b.又由切線長定理，知G1A=G1F1=G2F2,G2F1=G2B，∴G2F1－G2F2=G2B－G1A。又G1A=BH，∴G2F1－G2F2=G2B－BH.∴F1F2=G2H.在Rt△G1G2H中，G2H=,故F1F2=。1已知平面β與一圓柱斜截口(橢圓)的離心率為eq\f(\r（3），2），則平面β與圓柱母線的夾角是（）A．30°B．60°C．45°D．90°2橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率是()A．eq\f(1,5)B．eq\f(\r(3），4）C．eq\f(\r(3)，3)D．eq\f(1，2）3兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為R,r(R＞r），平面π與它們的母線的夾角分別為α，β（α＜β＜90°），斜截口橢圓的離心率分別為e1，e2，則（)A．e1＞e2B．e1＜e2C．e1＝e2D．無法確定4已知圓柱的底面半徑為2,平面π與圓柱的斜截口的離心率為eq\f(1，2)，則橢圓的長半軸是（）A．2B．4C．eq\f（16，3）D．eq\f(4\r(3）,3）5如圖所示，設(shè)兩個(gè)焦點(diǎn)的距離F1F2＝2c,兩個(gè)端點(diǎn)的距離G1G2＝2a，求證：l1與l2之間的距離為eq\f(2a2,c）。答案：1．A設(shè)β與母線夾角為φ，則cosφ＝eq\f(\r（3),2),故φ＝30°.2．D設(shè)橢圓的長軸長,短軸長,焦距分別為2a,2b，2c,由a＝2c,得eq\f（c,a)＝eq\f(1，2),即e＝eq\f(1，2）。3．A∵e1＝cosα,e2＝cosβ，又∵α＜β＜90°時(shí),cosα＞cosβ，∴e1＞e2.4．D設(shè)橢圓的長軸長，短軸長，焦距分別為2a，2b，2c.由題意,知b＝2，eq\f(c，a)＝eq\f（\r（a2－b2），a）＝eq\f（1，2），則eq\f(\r（a2－4），a）＝eq\f(1,2），解得a＝eq\f(4\r(3），3）.5．證明:如圖，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P，過P作PQ1⊥l1于點(diǎn)Q1，過P作PQ2⊥l2于點(diǎn)Q2.連接PF1，PF2.∵e＝eq\f(