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考點15不等式選講【易錯點分析】1.型不等式的解法(1)若,則,等價于,等價于或,然后根據(jù)a,b,c的值求解即可.(2)若,則的解集為,的解集為R.2.型不等式的解法(1)零點分區(qū)間法:①令每個絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式為零,并求出相應(yīng)的根;②將這些根按從小到大的順序排列,把實數(shù)集分為若干個區(qū)間;③在所分區(qū)間內(nèi)去掉絕對值符號得若干個不等式,解這些不等式,求出解集;④各個不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)幾何法(利用的幾何意義)由于與分別表示數(shù)軸上與x對應(yīng)的點到與a,b對應(yīng)的點的距離之和與距離之差,因此對形如或的不等式,利用絕對值的幾何意義求解更直觀.(3)數(shù)形結(jié)合法通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想,正確求出函數(shù)的零點并畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.3.型不等式的解法(1)或.(2).4.絕對值三角不等式定理1如果a,b是實數(shù),則,當且僅當時,等號成立.定理2如果a,b,c是實數(shù),那么,當且僅當時,等號成立.5.不等式的證明(1)比較法①作差法:要證明,只需證.②作商法:要證明,只要證.(2)綜合法從已知條件,不等式的性質(zhì)和基本不等式等出發(fā),通過邏輯推理,推導出所要證明的結(jié)論.(3)分析法從要證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立.(4)反證法先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點,結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論,以說明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立.(5)放縮法證明不等式時,通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小,簡化不等式,從而達到證明的目的.1.已知函數(shù).
(1)解不等式;
(2)若,使得成立,求出實數(shù)m的取值范圍.2.已知.(1)當時,解不等式;(2)若時,恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.3.已知函數(shù).
(I)當時,解不等式;
(Ⅱ)若,求實數(shù)a的取值范圍.4.已知不等式.(1)若,求不等式的解集.(2)若不等式的解集不是空集,求的取值范圍.5.已知函數(shù).(1)當時,求不等式的解集.(2)若函數(shù)的圖像與軸沒有交點,求實數(shù)的取值范圍.6.已知函數(shù).(1)求不等式的解集.(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.7.已知函數(shù).(1)當時,求不等式的解集.(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.8.已知.(1)若,求不等式的解集.(2)若當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.9.已知函數(shù).(1)若,求不等式的解集.(2)若對于任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.10.已知函數(shù).若,求不等式的解集;若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
答案以及解析1.答案:(I)當時,,
解得,故;
當時,,
解得,故;
當時,,
解得,故.
綜上所述,不等式的解集為或.
(Ⅱ)函數(shù)
結(jié)合函數(shù)的圖象可知.
設(shè),
,
滿足,
,
故實數(shù)m的取值范圍為.2.答案:(1)當時,不等式可化為,
當時,不等式可化為,解得;
當時,不等式可化為,解得;
當時,不等式可化為,解得.
綜上所述,當時,原不等式的解集為.
(2)當時,,
因此,在上恒成立.
則,解得又,所以故
因此實數(shù)a的取值范圍是.3.答案:(I)當時,不等式,
即.
①當時,原不等式化為
,
解得,所以;
②當時,原不等式化為
,
所以;
③當時,原不等式化為
,
解得,所以.
綜上,不等式的解集為.
(Ⅱ)由,得.
因為,
當且僅當時,等號成立,
所以,
所以或,
所以實數(shù)a的取值范圍為或.4.答案:(1)當時,原不等式為.若,則,此時不等式無解;若,則;若,則.綜上所述,不等式的解集為.(2)設(shè),則..即的取值范圍為.5.答案:(1)當時,不等式可化為,即,或,解得或.(2)當時,要使函數(shù)的圖像與軸沒有交點,只需即;當時,,函數(shù)的圖像與軸有交點;當時,要使函數(shù)的圖像與軸沒有交點,只需此時無解.綜上所述,函數(shù)的圖像與軸沒有交點時,實數(shù)的取值范圍為.6.答案:(1)原不等式等價于或或解得或或.不等式的解集為.(2)不等式恒成立等價于,即.,當且僅當,即時,等號成立.,則,解得,實數(shù)的取值范圍是.7.答案:(1)當時,,當時,不等式無解;當時,令,解得,不等式的解集為;當時,,符合題意.綜上可得,不等式的解集為.(2)恒成立等價于.,.,,解得或.實數(shù)的取值范圍為.8.答案:(1)由,得,等價于或或解得或或無解.不等式的解集為.(2)當時,.恒成立,即恒成立,即恒成立,,即,解得.實數(shù)的取值范圍是.9.答案:(1)當時,當時,,解得;當時,,無解;當時,,解得.綜上所述,不等式的解集為.(2)對于任意的,不等式恒成立,即恒成立,即恒成立.因為,所以要使原不等式恒成立,只需,解得或.所以實數(shù)的取值范圍是.10.答案:(
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