新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線(xiàn)綜合講義第16講面積定值問(wèn)題(原卷版+解析)

第16講面積定值問(wèn)題一、解答題1．已知橢圓的離心率e滿(mǎn)足，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)C(0，－2)，過(guò)點(diǎn)C作一條與y軸不重合的直線(xiàn)l，直線(xiàn)l交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)BP，BQ分別交x軸于點(diǎn)M，N；當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，l的斜率為．(1)求橢圓E的方程；(2)證明：為定值．2．已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的左右頂點(diǎn)，|AB|＝4．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若P是橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)，直線(xiàn)l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，AP∥OM，BP∥ON，則△OMN的面積是否為定值？若是，求出定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．已知橢圓C：（）的離心率為，直線(xiàn)與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)點(diǎn)，，P為橢圓C上一點(diǎn)，且直線(xiàn)與的斜率乘積為，點(diǎn)M，N是橢圓C上不同于A，B的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，求證：的面積為定值．4．如圖，橢圓C：的離心率，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，又P，M，N為橢圓C上非頂點(diǎn)的三點(diǎn)．設(shè)直線(xiàn)，的斜率分別為，．（1）求橢圓C的方程，并求的值；（2）若，，判斷的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．如圖，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率，．若在橢圓上，則點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)的一個(gè)“好點(diǎn)”．直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，、兩點(diǎn)的“好點(diǎn)”分別為、，已知以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）若，為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率分別為，，當(dāng)時(shí)，的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說(shuō)明理由.7．已知雙曲線(xiàn)（，）的焦距為，且雙曲線(xiàn)右支上一動(dòng)點(diǎn)到兩條漸近線(xiàn)，的距離之積為．（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)是曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)，且分別交兩條漸近線(xiàn)，于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：面積為定值，并求出該定值．8．如圖，已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為、，若點(diǎn)為雙曲線(xiàn)在第一象限上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)分別作雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)、與漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別是和.（1）求四邊形的面積；（2）若對(duì)于更一般的雙曲線(xiàn)，點(diǎn)為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)、與漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別是和.請(qǐng)問(wèn)四邊形的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用、表示該定值）；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.9．已知橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、分別是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，、為橢圓上異于、的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，求證：面積為定值．10．已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且.求證：的面積為定值.11．已知雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上.當(dāng)時(shí)，.（1）求雙曲線(xiàn)的方程.（2）設(shè)為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)，在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上，且分別位于第一、四象限，若恰為線(xiàn)段的中點(diǎn)，試判斷的面積是否為定值?若為定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.12．已知橢圓：（）的焦距為2，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為；（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率存在的直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若點(diǎn)在橢圓上，請(qǐng)判斷的面積是否為定值.13．已知橢圓過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）設(shè)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積為定值．14．已知橢圓：()的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）直線(xiàn)：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且四邊形為平行四邊形，求證：的面積為定值.15．已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，橢圓與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，且，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為橢圓上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn).若直線(xiàn)的斜率為1，求證：的面積為定值.16．已知雙曲線(xiàn)：的虛軸長(zhǎng)為4，直線(xiàn)為雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn).（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記雙曲線(xiàn)的左?右頂點(diǎn)分別為，，斜率為正的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)，(點(diǎn)在第一象限)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，記面積為，面積為，求證：為定值.17．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，右準(zhǔn)線(xiàn)方程為．（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)的左、右兩支于點(diǎn)，交雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)于點(diǎn)（在軸左側(cè)）．①是否存在直線(xiàn)，使得？若存在，求出直線(xiàn)的方程，若不存在，說(shuō)明理由；②記和的面積分別為，求的取值范圍．18．已知F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上的定點(diǎn)，且.(1)求拋物線(xiàn)C的方程；(2)直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)C交于不同兩點(diǎn)，直線(xiàn)與AB平行，且與拋物線(xiàn)C相切，切點(diǎn)為N，試問(wèn)△ABN的面積是否是定值.若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．已知雙曲線(xiàn)的焦距為，且過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），且分別交雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)與、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）求證：面積為定值，并求出該定值.第16講面積定值問(wèn)題一、解答題1．已知橢圓的離心率e滿(mǎn)足，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)C(0，－2)，過(guò)點(diǎn)C作一條與y軸不重合的直線(xiàn)l，直線(xiàn)l交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)BP，BQ分別交x軸于點(diǎn)M，N；當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，l的斜率為．(1)求橢圓E的方程；(2)證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由得，從而可得，又有，可得，從而可求出橢圓E的方程；（2）由題知，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程得韋達(dá)定理，且=，得，寫(xiě)出直線(xiàn)BP的方程，求得，同理可得，化簡(jiǎn)求得=為定值．【詳解】解：（1）由解得或（舍去），∴，又，，又，，，橢圓E的方程為；（2）由題知，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，由得，∴，=，∴，=，直線(xiàn)BP的方程為，令解得，則，同理可得，===，為定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系中的定值問(wèn)題，屬于中檔題．2．已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的左右頂點(diǎn)，|AB|＝4．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若P是橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)，直線(xiàn)l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，AP∥OM，BP∥ON，則△OMN的面積是否為定值？若是，求出定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）1；（2）是，定值2．【分析】由題知,,由及的關(guān)系即可求解;由題意可得A（﹣2，0），B（2，0），設(shè)P（x0，y0）則x02+2y02＝8，可得,分直線(xiàn)l的斜率存在和不存在兩種情況分別求△OMN的面積即可.【詳解】由2a＝4，e，解得a＝2，c＝2，b2＝a2﹣c2＝4，則橢圓的方程為1；（2）由題意可得A（﹣2，0），B（2，0），設(shè)P（x0，y0），可得1，即x02+2y02＝8，則?，因?yàn)锳P∥OM,BP∥ON，則，①當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，設(shè)l：x＝m，聯(lián)立橢圓方程可得y＝±，所以,由,可得，解得m＝±2，所以,所以S△MNO2×22；②當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l：y＝kx+n，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立直線(xiàn)y＝kx+n和x2+2y2＝8，可得（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8＝0，可得x1+x2，x1x2，y1y2＝（kx1+n）（kx2+n）＝k2x1x2+kn（x1+x2）+n2，由k2，可得n2＝2+4k2，由弦長(zhǎng)公式可得,|MN|???，點(diǎn)（0，0）到直線(xiàn)l的距離為，所以S△OMNd?|MN|＝2，綜上可知,△OMN的面積為定值2．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)公式;考查分類(lèi)討論思想和運(yùn)算求解能力;分直線(xiàn)l的斜率存在和不存在兩種情況分別求△OMN的面積是求解本題的關(guān)鍵,亦是易錯(cuò)點(diǎn);屬于中檔題、?？碱}型.3．已知橢圓C：（）的離心率為，直線(xiàn)與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)點(diǎn)，，P為橢圓C上一點(diǎn)，且直線(xiàn)與的斜率乘積為，點(diǎn)M，N是橢圓C上不同于A，B的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，求證：的面積為定值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）將直線(xiàn)代入橢圓方程因?yàn)橄嗲泄逝袛嗍綖榱悖俳Y(jié)合離心率即可求得方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為代入橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理和與的斜率乘積為，計(jì)算整理即可證明問(wèn)題.【詳解】解：（1）∵直線(xiàn)與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴直線(xiàn)與橢圓C：（）相切，∴∴又∵，∴，∴，橢圓C的方程為．（2）證明：由題意M、N是橢圓C上不同于A，B的兩點(diǎn)，由題意知，直線(xiàn)，斜率存在且不為0，又由已知．由，，所以設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入橢圓方程得①設(shè)，，則，又得所以即的面積為定值【點(diǎn)睛】求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．4．如圖，橢圓C：的離心率，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，又P，M，N為橢圓C上非頂點(diǎn)的三點(diǎn)．設(shè)直線(xiàn)，的斜率分別為，．（1）求橢圓C的方程，并求的值；（2）若，，判斷的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）橢圓C：，；（2）的面積為定值．【分析】（1）求出橢圓的方程，再設(shè)代入斜率公式，即可得答案；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為（），設(shè)，，根據(jù)，可得，再利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得到的關(guān)系，求出三角形的底和高，代入面積公式，即可得答案；【詳解】解（1）由題意得，又，所以，，即橢圓C：設(shè)，則，又，，則（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為（），設(shè)，，，，，由（1）知：，，即，，，又．又O到直線(xiàn)的距離，所以．∴綜上的面積為定值．【點(diǎn)睛】第一問(wèn)的本質(zhì)是橢圓的第三次定義；第二問(wèn)探究是否為定值的思路：設(shè)直線(xiàn)的方程、設(shè)，的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理得到變量間的關(guān)系，再把三角形的面積表達(dá)式求出，變量間的關(guān)系代入，求得定值.5．如圖，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率，．若在橢圓上，則點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)的一個(gè)“好點(diǎn)”．直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，、兩點(diǎn)的“好點(diǎn)”分別為、，已知以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）1．【詳解】（1）由題可知解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，則，．由，即．（*）①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，；②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)其直線(xiàn)為（），聯(lián)立得，則，，同理，代入（*），整理得．此時(shí)，，，∴．綜上，的面積為定值1．【點(diǎn)睛】定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類(lèi)似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).6．已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）若，為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率分別為，，當(dāng)時(shí)，的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）是，定值.【分析】（1）由題設(shè)條件，列出方程組，結(jié)合，求得的值，即可求解.（2）設(shè)，，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，及三角形的面積公式，求得三角形的面積；當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，結(jié)合橢圓的對(duì)稱(chēng)性和三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）由橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，可得，，即，解得，，故橢圓的方程為.（2）設(shè)，，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，由，消可得，，則，即，且，，所以又由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以.又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)整理可得，滿(mǎn)足，代入，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，由于，考慮到，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)，，則點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，此時(shí)，綜上可得，的面積為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，解答此類(lèi)題目，通常聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓（圓錐曲線(xiàn)）方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類(lèi)問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等.7．已知雙曲線(xiàn)（，）的焦距為，且雙曲線(xiàn)右支上一動(dòng)點(diǎn)到兩條漸近線(xiàn)，的距離之積為．（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)是曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)，且分別交兩條漸近線(xiàn)，于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：面積為定值，并求出該定值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；定值2．【分析】（1）動(dòng)點(diǎn)到兩條漸近線(xiàn)，的距離之積表示出來(lái)得的關(guān)系式，結(jié)合焦距可求得得雙曲線(xiàn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，由相切得，然后求得坐標(biāo)，以及直線(xiàn)與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)坐標(biāo)求得面積，代入關(guān)系式，可得定值．【詳解】解：（1）雙曲線(xiàn)（，）的漸近線(xiàn)方程為和，由動(dòng)點(diǎn)到兩條漸近線(xiàn)，的距離之積為，則，又，即，解得，，則雙曲線(xiàn)的方程為．（2）證明：設(shè)直線(xiàn)的方程為，與雙曲線(xiàn)的方程聯(lián)立，可得，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支相切，可得，可得，設(shè)直線(xiàn)與軸交于，則，，又雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，聯(lián)立，可得，同理可得，則．即有面積為定值2．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)位置關(guān)系，面積定值問(wèn)題．解題關(guān)鍵是設(shè)出切線(xiàn)方程，由直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切得參數(shù)關(guān)系，然后求得三角形面積，利用此關(guān)系式可得定值．8．如圖，已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為、，若點(diǎn)為雙曲線(xiàn)在第一象限上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)分別作雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)、與漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別是和.（1）求四邊形的面積；（2）若對(duì)于更一般的雙曲線(xiàn)，點(diǎn)為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)、與漸近線(xiàn)的交點(diǎn)分別是和.請(qǐng)問(wèn)四邊形的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用、表示該定值）；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）是，且定值為.【分析】（1）求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，計(jì)算出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，利用三角形的面積公式可求得四邊形的面積；（2）設(shè)點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，利用平行四邊形的面積公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)，由雙曲線(xiàn)的定義可得，又因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，，軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，，，可得，即點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，且，因此，四邊形的面積為；（2）四邊形的面積為定值，理由如下：設(shè)點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為，即，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，且，因此，（定值）.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．9．已知橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、分別是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，、為橢圓上異于、的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，求證：面積為定值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，結(jié)合這三個(gè)量的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，將這兩條直線(xiàn)分別與橢圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，求出以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由已知條件可得，解得，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)、，由題意直線(xiàn)、的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為①，設(shè)直線(xiàn)的方程為②，由（1）橢圓③，聯(lián)立①③得，解得，即，聯(lián)立②③，得，所以，，即，易知，直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以，故面積為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．10．已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且.求證：的面積為定值.【答案】（1）；（2）的面積為定值.【分析】（1）由橢圓的離心率等于，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于及隱含條件聯(lián)立方程組求解，的值，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（2）聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，消去后利用根與系數(shù)關(guān)系得到，兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的和與積，由弦長(zhǎng)公式求得，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得到的距離，代入三角形的面積公式證得答案．【詳解】（1）解：由題意得，．橢圓的方程為；（2）證明：設(shè)，，，，則，的坐標(biāo)滿(mǎn)足，消去化簡(jiǎn)得．，由△，得．．，，即．，即．．又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定值問(wèn)題的處理常見(jiàn)的方法有：（1）特殊探究，一般證明.（2）直接求題目給定的對(duì)象的值，證明其結(jié)果是一個(gè)常數(shù).11．已知雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上.當(dāng)時(shí)，.（1）求雙曲線(xiàn)的方程.（2）設(shè)為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)，在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上，且分別位于第一、四象限，若恰為線(xiàn)段的中點(diǎn)，試判斷的面積是否為定值?若為定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）是定值，2.【分析】（1）由可得，求出即可得出方程；（2）設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線(xiàn)的方程，可得，設(shè)，利用漸近線(xiàn)方程的斜率得角的正切值，再利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式及二倍角公式得，由，的坐標(biāo)得，，結(jié)合及三角形面積公式即可求出.【詳解】（1）由題意，易得，，則由，可得，，即.又，解得（負(fù)值舍去），，解得，雙曲線(xiàn)的方程為.（2）由（1）可知雙曲線(xiàn)Ｃ的漸近線(xiàn)方程為，設(shè)，，其中，.為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)的方程得，解得.設(shè)，則.又，，，，，.又，，，的面積為定值2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線(xiàn)中三角形面積的定值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，設(shè)，得出和.12．已知橢圓：（）的焦距為2，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為；（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率存在的直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若點(diǎn)在橢圓上，請(qǐng)判斷的面積是否為定值.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）由題可得，，解出即可求出；（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，與橢圓聯(lián)立，表示出面積，利用點(diǎn)P在橢圓上得出的關(guān)系即可求出定值.【詳解】（1）由題可得，，解得，.故橢圓方程為：.（2）設(shè)直線(xiàn)方程是，設(shè)，，，聯(lián)立，得，，，，.∵，∴，∴把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程可得，整理可得：，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，的面積.所以，的面積為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交問(wèn)題的常用步驟：（1）得出直線(xiàn)方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫(xiě)出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.13．已知橢圓過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）設(shè)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積為定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)兩頂點(diǎn)坐標(biāo)可知，的值，則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；（Ⅱ）四邊形的面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半，分別求出對(duì)角線(xiàn)，的值求乘積為定值即可．試題解析：（Ⅰ）由題意得，．所以橢圓的方程．又，所以離心率．（Ⅱ）設(shè)，則．又，，所以，直線(xiàn)的方程為．令，得，從而．直線(xiàn)的方程為．令，得，從而所以四邊形的面積．從而四邊形的面積為定值．考點(diǎn)：1、橢圓方程；2、直線(xiàn)和橢圓的關(guān)系．【方法點(diǎn)晴】本題考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，以及考查邏輯思維能力、分析與解決問(wèn)題的綜合能力、運(yùn)算求解能力、方程思想與分類(lèi)討論的思想．第一小題根據(jù)兩頂點(diǎn)坐標(biāo)可知，的值，則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；第二小題四邊形的面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半，分別求出對(duì)角線(xiàn)，的值求乘積為定值即可．14．已知橢圓：()的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）直線(xiàn)：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且四邊形為平行四邊形，求證：的面積為定值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由拋物線(xiàn)的定義和離心率得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，再由弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)線(xiàn)距公式結(jié)合三角形的面積公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得定值．【詳解】（1）因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以，即.又離心率，解得，，.∴橢圓的方程為.（2）設(shè)，，，將代入消去并整理得，則，，，∵四邊形為平行四邊形，∴，得，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，，∴平行四邊形的面積為.故平行四邊形的面積為定值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)線(xiàn)距公式和弦長(zhǎng)公式，解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是借助于平面向量的坐標(biāo)表示，利用點(diǎn)在曲線(xiàn)上得出方程，代入平行四邊形的面積公式，消去參數(shù)得出定值，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題．15．已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，橢圓與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，且，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為橢圓上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn).若直線(xiàn)的斜率為1，求證：的面積為定值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由所給條件可得：焦距，，可得，即可得解；（2）首先設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)，代入化簡(jiǎn)即可得到定值.【詳解】（1）因?yàn)榻咕酁?，所以，即，由，得，即，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明：由題意知直線(xiàn)斜率一定存在，設(shè)直線(xiàn)方程為，點(diǎn)，，則面積為，，聯(lián)立方程，得，即，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為1，所以，即，即，解得，所以，綜上，面積為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓方程，考查了解析幾何定值問(wèn)題，有一定的計(jì)算量，屬于較難題.本題的解題關(guān)鍵為：（1）對(duì)橢圓基本量的理解記憶；（2）韋達(dá)定理的應(yīng)用，韋達(dá)定理是聯(lián)系各個(gè)變量之間關(guān)系的橋梁，是解決圓錐曲線(xiàn)和直線(xiàn)問(wèn)題的重要方法；（3）計(jì)算能力和計(jì)算技巧是解決解析幾何問(wèn)題的關(guān)鍵能力.16．已知雙曲線(xiàn)：的虛軸長(zhǎng)為4，直線(xiàn)為雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn).（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記雙曲線(xiàn)的左?右頂點(diǎn)分別為，，斜率為正的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)，(點(diǎn)在第一象限)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，記面積為，面積為，求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)漸近線(xiàn)方程以及虛軸長(zhǎng)度可知，然后可知方程（2）假設(shè)直線(xiàn)方程，并與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，可得關(guān)于的二次方程，緊接著使用韋達(dá)定理，分別求得坐標(biāo)并表示出，簡(jiǎn)單計(jì)算即可.【詳解】解：（1）由題意可得，因?yàn)橐粭l漸近線(xiàn)方程為，所以，解得，則雙曲線(xiàn)的方程為；（2）證明：可得，，設(shè)直線(xiàn)：，，，聯(lián)立，整理可得，可得，，即有，設(shè)直線(xiàn)：，可得，設(shè)直線(xiàn)：，可得，又，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的一般方法（1）假設(shè)直線(xiàn)方程；（2）聯(lián)立方程：（3）使用韋達(dá)定理；（4）根據(jù)條件計(jì)算.17．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，右準(zhǔn)線(xiàn)方程為．（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)的左、右兩支于點(diǎn)，交雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)于點(diǎn)（在軸左側(cè)）．①是否存在直線(xiàn)，使得？若存在，求出直線(xiàn)的方程，若不存在，說(shuō)明理由；②記和的面積分別為，求的取值范圍．【答案】（1）（2），【分析】（1）由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程和準(zhǔn)線(xiàn)方程，可得，，的方程組，解得，，可得雙曲線(xiàn)的方程；（2）①可設(shè)直線(xiàn)的方程為，與雙曲線(xiàn)的方程聯(lián)立，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，以及兩直線(xiàn)垂直的條件，解方程，即可判斷存在性；②聯(lián)立漸近線(xiàn)方程和直線(xiàn)的方程，求得，的橫坐標(biāo)，可得，由弦長(zhǎng)公式得到，再由三角形的面積公式得到關(guān)于的函數(shù)，然后求出其范圍即可．【詳解】（1）雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由題意可得，，又，解得，，，則雙曲線(xiàn)的方程為；（2）①由題意可知直線(xiàn)的斜率存在，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，可得，由△，解得，則，，解得，如果存在直線(xiàn)，使得，則，即為，解得，所以