第13講解析幾何解答壓軸題(原卷版+解析)

第13講解析幾何解答壓軸題1．（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考（文））已知橢圓的離心率，其左，右集點為，過點的直線與橢圓交于兩點?的周長為．（1）求橢圓的標準方程：（2）過右焦點的直線互相垂直，且分別交橢圓于和四點，求的最小值2．（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三二模（理））已知橢圓的左、右頂點分別為，，為上不同于，的動點，直線，的斜率，滿足，的最小值為-4．（1）求的方程；（2）為坐標原點，過的兩條直線，滿足，，且，分別交于，和，．試判斷四邊形的面積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說明理由．3．（2021·天津濱海新區(qū)·高三月考）已知橢圓過點，、分別為橢圓C的左、右焦點，且．（1）求橢圓C的方程；（2）過P點的直線與橢圓C有且只有一個公共點，直線平行于OP（O為原點），且與橢圓C交于A、B兩點，與直線交于點M（M介于A、B兩點之間）．（i）當面積最大時，求的方程；（ii）求證：．4．（2021·山東泰安市·高三月考）已知橢圓過點，分別為橢圓C的左、右焦點且．（1）求橢圓C的方程；（2）過P點的直線與橢圓C有且只有一個公共點，直線平行于OP（O為原點），且與橢圓C交于兩點A、B，與直線交于點M（M介于A、B兩點之間）．（i）當面積最大時，求的方程；（ii）求證：，并判斷，的斜率是否可以按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列．5．（2021·浙江紹興市·高三一模）已知拋物線和橢圓如圖，經(jīng)過拋物線焦點F的直線l分別交拋物線和橢圓于A，B，C，D四點，拋物線在點A，B處的切線交于點P．（1）求點P的縱坐標；（2）設M為線段的中點，交于點Q，交于點T．記的面積分別為．（i）求證：Q為線段的中點；（ii）若，求直線l的方程．6．（2021·江蘇鹽城市·高三二模）已知直線交拋物線于兩點．（1）設直線與軸的交點為．若，求實數(shù)的值；（2）若點在拋物線上，且關于直線對稱，求證：四點共圓．7．（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考（理））已知橢圓的離心率為，且過點．（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓右焦點的直線相互垂直，且分別交橢圓于和四點，求的最小值．8．（2021·全國大聯(lián)考（理））已知拋物線的焦點為，過點且垂直于軸的直線與交于兩點，(點為坐標原點)的面積為2．（1）求拋物線的方程；（2）若過點的兩直線，的傾斜角互補，直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線交于兩點，與的面積相等，求實數(shù)的取值范圍．9．（2021·江西八校4月聯(lián)考（理））已知橢圓：．左焦點，點在橢圓外部，點為橢圓上一動點，且的周長最大值為．（1）求橢圓的標準方程；（2）點?為橢圓上關于原點對稱的兩個點，為左頂點，若直線?分別與軸交于?兩點，試判斷以為直徑的圓是否過定點．如果是請求出定點坐標，如果不過定點，請說明理由．10．（2021·天津南開區(qū)·高三一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，右頂點為點，點的坐標為，延長線段交橢圓于點，軸．（1）求橢圓的離心率；（2）設拋物線的焦點為，為拋物線上一點，，直線交橢圓于，兩點，若，求橢圓的標準方程．11．（2021·四川成都市·高三二模（文））已知橢圓：經(jīng)過點，其長半軸長為2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設經(jīng)過點的直線與橢圓相交于，兩點，點關于軸的對稱點為，直線與軸相交于點，求與的面積分別為，，求的最大值．12．（2021·浙江溫州市·高三二模）如圖，過點和點的兩條平行線和分別交拋物線于和（其中在軸的上方），交軸于點．（1）求證：點、點的縱坐標乘積為定值；（2）分別記和的面積為和，當時，求直線的方程．13．（2021·四川成都市·高三二模（理））已知橢圓：經(jīng)過點，其長半軸長為2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設經(jīng)過點的直線與橢圓相交于，兩點，點關于軸的對稱點為，直線與軸相交于點，求△的面積的取值范圍．14．（2021·四省名校聯(lián)考（文））已知是橢圓的左焦點，焦距為，且過點．（1）求的方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線，若與交于兩點，與交于兩點，記的中點為的中點為，試判斷直線是否過定點，若過點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．15．（2021·遼寧鐵嶺市·高三一模）已知橢圓方程，直線與軸相交于點，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點．（1）若過點的直線與垂直，且與直線交于點，線段中點為，求證：．（2）設點的坐標為，直線與直線交于點，試問是否垂直，若是，寫出證明過程，若不是，請說明理由．16．（2021·廣東汕頭市·高三一模）在平面直角坐標系中，為坐標原點，，已知平行四邊形兩條對角線的長度之和等于．（1）求動點的軌跡方程；（2過作互相垂直的兩條直線、，與動點的軌跡交于、，與動點的軌跡交于點、，、的中點分別為、；①證明：直線恒過定點，并求出定點坐標．②求四邊形面積的最小值．17．（2021·聊城市·山東聊城一中高三一模）已知橢圓過點，離心率為，拋物線的準線l交x軸于點A，過點A作直線交橢圓C于M，N．（1）求橢圓C的標準方程和點A的坐標；（2）若M是線段AN的中點，求直線的方程；（3）設P，Q是直線l上關于x軸對稱的兩點，問：直線PM于QN的交點是否在一條定直線上？請說明你的理由．18．（2021·浙江寧波市·高三月考）如圖，過橢圓的左右焦點分別做直線，交橢圓于四點，設直線的斜率為

（1）求（用k表示）；（2）若直線的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍．19．（2021·湖北八市三月聯(lián)考）已知橢圓的上頂點到右頂點的距離為，離心率為，過橢圓的左焦點作不與軸重合的直線與橢圓相交于兩點，過點作直線的垂線，為垂足．（1）求橢圓的標準方程；（2）①已知直線過定點，求定點的坐標；②點為坐標原點，求面積的最大值．20．（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三一模（理））已知動點到點的距離與到直線的距離之比為．（1）求動點的軌跡的標準方程；（2）過點的直線交于，兩點，已知點，直線，分別交軸于點，．試問在軸上是否存在一點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．21．（2021·山西晉中市·高三二模（理））設橢圓，O為原點，點是x軸上一定點，已知橢圓的長軸長等于，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓C交于兩個不同點M，N，已知M關于y軸的對稱點為，N關于原點O的對稱點為，若滿足，求證：直線l經(jīng)過定點．22．（2021·遼寧高三一模（理））過點作直線交拋物線于兩點，為坐標原點，分別過點作拋物線的切線，設兩切線交于點．（1）求證：點在一定直線上；（2）設直線分別交直線于點．（i）求證：；（ii）設的面積為，的面積為，記，求的最小值．23．（2021·內(nèi)蒙古包頭市·高三期末（文））在平面直角坐標系中，橢圓：的左頂點為，點、是橢圓上的兩個動點．（1）當、、三點共線時，直線、分別與軸交于，兩點，求的值；（2）設直線、的斜率分別為，，當時，證明：直線恒過一個定點．24．（2021·江西上饒模擬（理））在平面直角坐標系中，已知點，是動點，且直線的斜率與直線的斜率之和等于直線的斜率．（1）求動點的軌跡的方程；（2）過作斜率為的直線與軌跡相交于點，點，直線與分別交軌跡于點、，設直線的斜率為，是否存在常數(shù)，使得，若存在，求出值，若不存在，請說明理由．25．（2021·貴州新高考聯(lián)盟質(zhì)檢（理））已知橢圓的左?右焦點分別為焦距為橢圓的右頂點到點的距離與它到直線的距離之比為．（1）求橢圓的標準方程；（2）設O為坐標原點，為橢圓上不同的兩點，點關于軸的對稱點為點若直線的斜率為，求證：的面積為定值．26．（2021·浙江麗水市·高三月考）已知拋物線，過拋物線上第一象限的點A作拋物線的切線，與x軸交于點M．過M作的垂線，交拋物線于B，C兩點，交于點D．（1）求證：直線過定點；（2）若，求的最小值．27．（2021·江蘇南通市·高三期末）已知橢圓：的離心率為，且過點．（1）求橢圓的方程；（2）已知，是橢圓上的兩點，且直線，的斜率之積為，點為線段的中點，連接并延長交橢圓于點，求證：為定值．28．（2021·山西運城市·高三期末（理））已知A，B是橢圓的左、右頂點，C為E的上頂點，．（1）求橢圓的方程；（2）若M，N，P是橢圓E上不同的三點，且坐標原點O為的重心，試探究的面積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．29．（2021·河南駐馬店市·高三期末（文））已知為拋物線上異于原點的任意一點，當直線的斜率為時，．直線交拋物線于，兩點，射線，分別交橢圓于，兩點．（1）求拋物線的方程；（2）記和的面積分別為和，當時，求直線的斜率．30．（2021·安徽名校期末聯(lián)考（理））已知D為圓上一動點，過點D分別作x軸y軸的垂線，垂足分別為，連接延長至點P，使得，點P的軌跡記為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）作圓O的切線交曲線C于兩點，Q為曲線C上一動點(點分別位于直線兩側(cè))，求四邊形的面積的最大值．21/62解析幾何解答壓軸題1．（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考（文））已知橢圓的離心率，其左，右集點為，過點的直線與橢圓交于兩點?的周長為．（1）求橢圓的標準方程：（2）過右焦點的直線互相垂直，且分別交橢圓于和四點，求的最小值【答案】（1）；（2）最小值為．【分析】（1）利用橢圓離心率，的周長為，求出，即可得到橢圓的方程．（2）分類討論直線的斜率存在與否，當其中一條直線斜率為0．一條直線斜率不存在，可利用橢圓性質(zhì)求出；當兩條直線斜率均存在，設出直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式求出，再利用二次函數(shù)的值域求法與不等式的性質(zhì)求得結(jié)果．【詳解】（1）由橢圓的定義知，的周長為，由，即，得，故橢圓的方程為：（2）由（1）得，橢圓右焦點為，設，，，①當直線的斜率為0，直線的斜率不存在時，直線，此時；直線，此時；②當直線的斜率為0，直線的斜率不存在時，；③當直線，的斜率都存在，設直線的方程為，則直線的方程為聯(lián)立，整理得恒成立，則同理可得則令，則當時，，則所以綜上可知，，的最小值為【點睛】思路點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．2．（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三二模（理））已知橢圓的左、右頂點分別為，，為上不同于，的動點，直線，的斜率，滿足，的最小值為-4．（1）求的方程；（2）為坐標原點，過的兩條直線，滿足，，且，分別交于，和，．試判斷四邊形的面積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】（1）；（2）是定值，．【分析】（1）由，設，可得，，結(jié)合已知列方程求參數(shù)a、b、c，寫出橢圓方程即可；（2）由橢圓對稱性知：，設，的斜率分別為，，由題設知，討論直線的斜率，聯(lián)立直線與橢圓方程，應用根與系數(shù)關系確定是否為定值．【詳解】（1）設，則，故，∴，又，由題意知：，解得，∴橢圓的方程為．（2）根據(jù)橢圓的對稱性，可知，，∴四邊形為平行四邊形，所以．設，的斜率分別為，，，，則①，②．又，，即．當?shù)男甭什淮嬖跁r，，．由①②，得，結(jié)合，解得，．∴．當?shù)男甭蚀嬖跁r，設直線的方程為，聯(lián)立方程組得，得，則，即，．∵，∴，整理得：．由直線過，，將代入，整理得．綜上，四邊形的面積為定值，且為．【點睛】關鍵點點睛：（1）應用兩點斜率公式、向量數(shù)量積的坐標表示，求，關于橢圓參數(shù)的代數(shù)式，結(jié)合已知條件列方程求參數(shù)，寫出橢圓方程；（2）利用橢圓的對稱性，由直線與橢圓的位置關系，討論直線斜率的存在性，結(jié)合直線與橢圓方程及根與系數(shù)關系，求四邊形的面積并判斷是否為定值．3．（2021·天津濱海新區(qū)·高三月考）已知橢圓過點，、分別為橢圓C的左、右焦點，且．（1）求橢圓C的方程；（2）過P點的直線與橢圓C有且只有一個公共點，直線平行于OP（O為原點），且與橢圓C交于A、B兩點，與直線交于點M（M介于A、B兩點之間）．（i）當面積最大時，求的方程；（ii）求證：．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)條件求出，即可寫出橢圓方程；（2）（i）設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，表示出，可求出最大時的值，即可得出的方程；（ii）要證明結(jié)論，只需證明，即證直線為的平分線，轉(zhuǎn)化成證明：．【詳解】（1）設，，則，，，，又在橢圓上，故，又，解得，，故所求橢圓的方程為．（2）（i）由于，設的方程為，，，由，消去整理得，由韋達定理可得：，則，又點到的距離，所以．當且僅當，即時，等號成立．又介于、兩點之間，故．故直線的方程為：．（ii）要證結(jié)論成立，只須證明，由角平分線性質(zhì)即證：直線為的平分線，轉(zhuǎn)化成證明：．由于因此結(jié)論成立．【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查弦長公式，考查點到直線的距離公式，考查橢圓中三角形面積利用基本不等式求最值問題，考查了學生的邏輯推理能力與運算能力，屬于難題．4．（2021·山東泰安市·高三月考）已知橢圓過點，分別為橢圓C的左、右焦點且．（1）求橢圓C的方程；（2）過P點的直線與橢圓C有且只有一個公共點，直線平行于OP（O為原點），且與橢圓C交于兩點A、B，與直線交于點M（M介于A、B兩點之間）．（i）當面積最大時，求的方程；（ii）求證：，并判斷，的斜率是否可以按某種順序構(gòu)成等比數(shù)列．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析，不可能構(gòu)成等比數(shù)列．【分析】（1）設，．求出的坐標，根據(jù)，求出．把點代入橢圓方程，結(jié)合，求出，即得橢圓C的方程；（2）（i）設方程為，．把直線的方程代入橢圓方程，由韋達定理、弦長公式求出．由點到直線的距離公式求出點P到的距離，則，根據(jù)基本不等式求面積的最大值，即求的方程；（ii）要證結(jié)論成立，只須證明，即證直線為的平分線，轉(zhuǎn)化成證明．又與C有一個公共點，即為橢圓的切線，可求，又．由題意，，，四個數(shù)按某種順序成等比數(shù)列，推出矛盾，故不可能構(gòu)成等比數(shù)列．【詳解】（1）設，，則，．，．又在橢圓上，故，又，解得，，故所求方程為．（2）（i）由于，設方程為，．由，消y整理得，，則．又點P到的距離，．當且僅當，，即時，等號成立．故直線AB的方程為：．（ⅱ）要證結(jié)論成立，只須證明：，由角平分線性質(zhì)即證：直線為的平分線，轉(zhuǎn)化成證明：．因為因此結(jié)論成立．又與C有一個公共點，即為橢圓的切線，由得令，，則，所以，所以，故所研究的4條直線的斜率分別為，，，，若這四個數(shù)成等比數(shù)列，且其公比記為q，則應有或，或．因為不成立，所以，而當時，，，此時直線PB與重合，不合題意，故，，PA，PB的斜率無論怎樣排序都不可能構(gòu)成等比數(shù)列．【點睛】本題考查橢圓的方程，考查弦長公式、點到直線的距離公式、基本不等式和等比數(shù)列等知識，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，綜合性強，屬于難題．5．（2021·浙江紹興市·高三一模）已知拋物線和橢圓如圖，經(jīng)過拋物線焦點F的直線l分別交拋物線和橢圓于A，B，C，D四點，拋物線在點A，B處的切線交于點P．（1）求點P的縱坐標；（2）設M為線段的中點，交于點Q，交于點T．記的面積分別為．（i）求證：Q為線段的中點；（ii）若，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）或．【分析】（1）假設點坐標并得到直線l的方程，同時得到點A，B處的切線方程，然后得到點P的坐標，根據(jù)直線l與拋物線聯(lián)立方程，使用韋達定理可知結(jié)果．（2）（i）得到的坐標，然后根據(jù)中點坐標公式可得結(jié)果；（ii）依據(jù)，得到，然后利用弦長公式計算，最后根據(jù)等式進行計算即可．【詳解】（1）解：設點，直線l的方程為．，可知拋物線在點A，B處的切線的斜率分別為拋物線在點A，B處的切線方程分別為，聯(lián)立方程組，解得點P的坐標為．由，得，所以，所以點P的坐標為，即點P的縱坐標為．（2）（i）證明：由（1）得，因為，所以，點Q是線段的中點．（ii）解：因為M，Q分別為線段的中點，所以所以，所以，所以．設點C，D的橫坐標分別為，由，得，所以，所以由（1）得．所以，設，則，所以在上單調(diào)遞減．因為，所以，所以，即，經(jīng)檢驗，符合條件，所以直線l的方程為或．【點睛】思路點睛：第（1）問，①假設直線l的方程并與拋物線方程聯(lián)立，使用韋達定理；②得到在A，B處切線方程并聯(lián)立得到點P坐標；③計算即可．第（2）問，①得到面積的比值；②利用弦長公式得到；③計算得到．6．（2021·江蘇鹽城市·高三二模）已知直線交拋物線于兩點．（1）設直線與軸的交點為．若，求實數(shù)的值；（2）若點在拋物線上，且關于直線對稱，求證：四點共圓．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）設，直線方程代入拋物線方程后由判別式得的范圍，由韋達定理得，再由向量的數(shù)乘可得＝0，結(jié)合韋達定理可得值；（2）設，由對稱性得，．再由在拋物線上，代入變形得與的關系，然后計算，得，同理，得證四點共圓．【詳解】解：由得．設，則．因為直線與相交，所以得．（1）由，得，所以，解得從而，因為所以解得．（2）設，因為兩點關于直線對稱，則解得．又于是解得．又點在拋物線上，于是．因為所以，于是因此，同理于是點在以為直徑的圓上，即四點共圓．【點睛】方法點睛：本題考查直線與拋物線相交問題，解題方法是設而不求的思想方法，如設交點坐標為，直線方程代入拋物線方程后應用韋達定理可得，再利用向量的線性運算求得關系，從而可求得值．7．（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考（理））已知橢圓的離心率為，且過點．（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓右焦點的直線相互垂直，且分別交橢圓于和四點，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）設橢圓的標準方程為，將點代入方程，由，結(jié)合即可求解．（2）當直線的斜率為時，分別求出，，可得；當直線的斜率不存在時，求出；當直線的斜率存在且不為時，直線的方程可設為，可得直線的方程為，分別將直線與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式求出，，可得，令，構(gòu)造函數(shù)即可求解．【詳解】解：（1）由題意可設橢圓的標準方程為由，即再由可得①將點代入橢圓方程，可得②由①②可解得故橢圓的方程為（2）由（2）知，橢圓右焦點為，設當直線的斜率為時，，直線，可得所以當直線的斜率不存在時，直線的斜率為當直線的斜率存在且不為時，直線的方程可設為，則直線的方程為整理得恒成立，則而聯(lián)立直線與橢圓方程可得則令令當時，則所以，綜上，，當時，的最小值為．【點睛】關鍵點點睛：本題考查了直線與橢圓的位置關系，弦長公式，解題的關鍵是利用弦長公式以及韋達定理得出，考查了數(shù)學運算以及分類討論的思想．8．（2021·全國大聯(lián)考（理））已知拋物線的焦點為，過點且垂直于軸的直線與交于兩點，(點為坐標原點)的面積為2．（1）求拋物線的方程；（2）若過點的兩直線，的傾斜角互補，直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線交于兩點，與的面積相等，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由焦點，求得點的坐標，然后根據(jù)的面積為2求解；（2）設直線，聯(lián)立方程可得，結(jié)合韋達定理，利用弦長公式求得，以及焦點到直線的距離，求得，將用替換，得到，由，可得與a的關系，然后再結(jié)合判別式大于零求解．【詳解】（1）因為焦點，所以點的坐標分別為，．所以，故．故拋物線的方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在，且不為0，設直線．點，．聯(lián)立方程可得，消去，可得．則．因為，所以，焦點到直線的距離，所以．設直線，與拋物線方程聯(lián)立可得，將用替換，可得由可得，即，兩邊平方并化簡可得，所以，解得．又由且得或，可知，所以，即，所以，所以實數(shù)的取值范圍是．【點睛】方法點睛：（1）解決直線與曲線的位置關系的相關問題，往往先把直線方程與曲線方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關系建立方程，解決相關問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單．（2）解決直線與曲線的弦長時，往往設直線與曲線的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(k為直線斜率)．注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式大于零．9．（2021·江西八校4月聯(lián)考（理））已知橢圓：．左焦點，點在橢圓外部，點為橢圓上一動點，且的周長最大值為．（1）求橢圓的標準方程；（2）點?為橢圓上關于原點對稱的兩個點，為左頂點，若直線?分別與軸交于?兩點，試判斷以為直徑的圓是否過定點．如果是請求出定點坐標，如果不過定點，請說明理由．【答案】（1）；（2）是，定點為和．【分析】（1）的三邊有一邊已經(jīng)確定，問題轉(zhuǎn)化為，何時另外兩邊之和最大，結(jié)合橢圓的定義，以及三角形兩邊之差小于第三邊即可確定思路；（2）分直線斜率存在與不存在分別研究，不存在容易得出定點，存在時，可以設出斜率，再聯(lián)立橢圓方程，求出坐標，最后求出以為直徑的圓的方程，方程里面含有，再令即可．【詳解】（1）設右焦點為，則即點為與橢圓的交點時，周長最大所以所以橢圓的標準方程為（2）由（1）知，設，則當直線斜率存在時，設其方程為聯(lián)立得令，得同理得設中點為，則所以以為直徑的圓得方程為即即令，得所以過點和，且為定點．當直線斜率不存在時，容易知道此時所以以為直徑的圓是以原點為圓心，為半徑的圓，顯然也過定點和綜上，此圓過定點和【點睛】方法點睛：對于過定點的問題，可以先通過特殊情況得到定點，再去證明一般得情況．10．（2021·天津南開區(qū)·高三一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，右頂點為點，點的坐標為，延長線段交橢圓于點，軸．（1）求橢圓的離心率；（2）設拋物線的焦點為，為拋物線上一點，，直線交橢圓于，兩點，若，求橢圓的標準方程．【答案】（1），（2）【分析】（1）由題意可得為的中點，從而有，則有，得，進而可求出橢圓的離心率；（2）由拋物線的定義可得，從而可求得點或，當時，可得直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，再利用根與系數(shù)的關系得，從而把表示出來，列方程得，求出，進而可求出橢圓的方程【詳解】解：（1）由題意得在中有，因為為中點，則為的中點，因為的坐標為，所以，，令，得，則題意得，所以，得，所以離心率（2）因為拋物線，所以，準線方程為，設，因為，所以，代入中得，，當時，，則直線的方程為，因為，所以，則橢圓方程為，即，由，得，則，所以，所以，得，當時，同理可得，綜上，，，所以橢圓方程為【點睛】關鍵點點睛：此題考查拋物線的定義的應用，考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是由已知條件求出點B的坐標，求出直線BF的方程，再與橢圓方程聯(lián)立方程組，然后利用根與系數(shù)的關系，再由列方程求出，從而可求出橢圓方程，考查計算能力，屬于較難題．11．（2021·四川成都市·高三二模（文））已知橢圓：經(jīng)過點，其長半軸長為2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設經(jīng)過點的直線與橢圓相交于，兩點，點關于軸的對稱點為，直線與軸相交于點，求與的面積分別為，，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由長軸長知，結(jié)合橢圓過A點，求a、b，寫出橢圓方程；（Ⅱ）由題意設直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達定理得，，進而寫出直線的方程并求坐標，而，再通過基本不等式求其最值．【詳解】（Ⅰ）由已知，得．∴橢圓的方程為．∵橢圓經(jīng)過點，∴，解得．∴橢圓的方程為．（Ⅱ）由題意，知直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，，．由，消去，得．∵，∴，．∵為點關于軸的對稱點，∴．∴直線的方程為，即．令，則．∴．∴．∴當且僅當，即時，取得最大值．【點睛】關鍵點點睛：（Ⅰ）根據(jù)橢圓過定點及長軸長，求橢圓標準方程；（Ⅱ）設直線方程、、，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達定理求、縱坐標數(shù)量關系：，，應用對稱性得坐標進而求G點，寫關于參數(shù)的函數(shù)，應用基本不等式求的范圍．12．（2021·浙江溫州市·高三二模）如圖，過點和點的兩條平行線和分別交拋物線于和（其中在軸的上方），交軸于點．（1）求證：點、點的縱坐標乘積為定值；（2）分別記和的面積為和，當時，求直線的方程．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）設直線，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關系，即可求解；（2）聯(lián)立方程組，求得，根據(jù)，化簡整理得，分別聯(lián)立，和，求得的值，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解．【詳解】（1）設，設直線，由，可得，所以，所以點、的縱坐標乘積為定值．（2）由（1）直線，聯(lián)立方程組，可得，所以，可得，即，因為且代入上式，整理得，又由，聯(lián)立可得，又因為，代入可得，又由，代入可得，即，所以，可得直線的方程為，即．【點睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對于直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系，以及弦長公式等進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力．13．（2021·四川成都市·高三二模（理））已知橢圓：經(jīng)過點，其長半軸長為2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設經(jīng)過點的直線與橢圓相交于，兩點，點關于軸的對稱點為，直線與軸相交于點，求△的面積的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由長軸長知，結(jié)合橢圓過A點，求a、b，寫出橢圓方程；（Ⅱ）由題意設直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達定理得，，進而寫出直線的方程并求坐標，而△的面積得到關于參數(shù)t的函數(shù)，再應用換元法、對勾函數(shù)求其范圍．【詳解】（Ⅰ）由已知，即橢圓的方程為．∵橢圓經(jīng)過點，∴，解得．∴橢圓的方程為．（Ⅱ）由題意，直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，，．由，消去，得．∵，∴，．∵為點關于軸的對稱點，∴．∴直線的方程為，即．令，則．∴．∴△的面積．令，則．∴．∵，∴．∴△的面積的取值范圍為．【點睛】關鍵點點睛：（Ⅰ）根據(jù)橢圓過定點及長軸長，求橢圓標準方程；（Ⅱ）設直線方程、、，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達定理求、縱坐標數(shù)量關系：，，應用對稱性得坐標進而求G點，寫出△的面積關于參數(shù)的函數(shù)，應用對勾函數(shù)求面積的范圍．14．（2021·四省名校聯(lián)考（文））已知是橢圓的左焦點，焦距為，且過點．（1）求的方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線，若與交于兩點，與交于兩點，記的中點為的中點為，試判斷直線是否過定點，若過點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．【答案】（1）；（2）過定點，．【分析】（1）由題知，，再結(jié)合，即可求出，進而求出橢圓方程；（2）分類討論直線的斜率存在與否，當其中一條直線斜率為0，一條直線斜率不存在，可知直線為軸；當兩條直線斜率均存在，設出直線方程，與橢圓聯(lián)立，分別求出點M，N坐標，從而求出直線方程，整理直線方程，可得直線過定點．【詳解】（1）由題意可得，解得：或(舍），故橢圓的方程為．（2）由題意知，當其中一條的斜率不存在時，另外一條的斜率為，此時直線為軸；當?shù)男甭识即嬖谇也粸闀r，設，設，聯(lián)立，整理得，則所以的中點同理由，可得的中點則所以直線的方程為化簡得故直線恒過定點．綜上，直線過定點【點睛】方法點睛：本題考查圓錐曲線中定點問題，常用兩種解法：(1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關系，找到定點．(2)特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關．15．（2021·遼寧鐵嶺市·高三一模）已知橢圓方程，直線與軸相交于點，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點．（1）若過點的直線與垂直，且與直線交于點，線段中點為，求證：．（2）設點的坐標為，直線與直線交于點，試問是否垂直，若是，寫出證明過程，若不是，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）是垂直；證明見解析．【分析】（1）聯(lián)立直線與橢圓的方程表示出和，以求出點的坐標和的斜率，利用點M在直線上，求出OM的斜率，得出相等．（2）首先要考慮在線AB的斜率是否為0，在不為0時，求出點E的縱坐標，發(fā)現(xiàn)點E和點A的縱坐標相等，從而得出EA．【詳解】（1）由橢圓方程為知，右焦點坐標，直線方程為，點坐標．由知，直線斜率不為0，故設直線的方程為，從而，直線的方程為，令得，點坐標為，故直線的方程來，聯(lián)立方程組，消去得：，設，，即，，從而，線段的中點，，綜上可知，．（2）（?。┊斨本€的斜率為0時，點即為點，從而．（ⅱ）當直線的斜率不為0時，由（1）知，，，所以，則，直線的方程為，又，令，得，所以點的坐標為，即．【點睛】（1）利用點的坐標表示出直線的斜率，得出相等，特別是D為A、B的中點的利用；（2）注意直線AB的斜率是否為0，轉(zhuǎn)化為點E和點A的縱坐標相等來解決．16．（2021·廣東汕頭市·高三一模）在平面直角坐標系中，為坐標原點，，已知平行四邊形兩條對角線的長度之和等于．（1）求動點的軌跡方程；（2過作互相垂直的兩條直線、，與動點的軌跡交于、，與動點的軌跡交于點、，、的中點分別為、；①證明：直線恒過定點，并求出定點坐標．②求四邊形面積的最小值．【答案】（1）；（2）①證明見解析，定點坐標為；②．【分析】（1）設點的坐標為，根據(jù)已知條件得出，結(jié)合橢圓的定義可知點的軌跡是橢圓，求出、、的值，結(jié)合橢圓的焦點位置可得出點的軌跡方程，并求出的取值范圍；（2）①分析出直線的斜率存在且不為零，可設直線的方程為，可得出直線的方程為，設點、，將直線的方程與點的軌跡方程聯(lián)立，求出點的坐標，同理求出點的坐標，求出直線的方程，進而可得出直線所過定點的坐標；②求得、，利用基本不等式可求得四邊形面積的最小值．【詳解】（1）設點，依題意，，所以動點的軌跡為橢圓（左、右頂點除外），則，，，動點的軌跡方程是；（2）①若與軸重合，則直線與動點的軌跡沒有交點，不合乎題意；若與軸重合，則直線與動點的軌跡沒有交點，不合乎題意；設直線的方程為，則直線的方程為，直線、均過橢圓的焦點（橢圓內(nèi)一點），、與橢圓必有交點．設、，由，由韋達定理可得，則，所以點的坐標為，同理可得點，直線的斜率為，直線的方程是，即，當時，直線的方程為，直線過定點．綜上，直線過定點；②由①可得，，，同理可得，所以，四邊形的面積為，當且僅當取等號．因此，四邊形的面積的最小值為．【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．17．（2021·聊城市·山東聊城一中高三一模）已知橢圓過點，離心率為，拋物線的準線l交x軸于點A，過點A作直線交橢圓C于M，N．（1）求橢圓C的標準方程和點A的坐標；（2）若M是線段AN的中點，求直線的方程；（3）設P，Q是直線l上關于x軸對稱的兩點，問：直線PM于QN的交點是否在一條定直線上？請說明你的理由．【答案】（1），；（2）；（3）與的交點恒在直線上，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，結(jié)合，求得的值，得出橢圓的標準方程，又由拋物線，求得準線方程，即可求得的坐標；（2）設，則，聯(lián)立方程組，求得的坐標，即可求得直線的方程；（3）設，得到，聯(lián)立方程組，求得，得到，再由直線和的方程，求得交點的橫坐標，即可求解．【詳解】（1）由題意，橢圓過點，離心率為，可得且，又由，解得，即橢圓的方程為，又由拋物線，可得準線方程為，所以．（2）設，則，聯(lián)立方程組，解得，當時，可得直線；當時，可得直線；所以直線的方程為．（3）設，可得，設聯(lián)立方程組，整理得，所以，則，又由直線，，交點橫坐標為，所以與的交點恒在直線上．【點睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對于直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系，以及弦長公式等進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力．18．（2021·浙江寧波市·高三月考）如圖，過橢圓的左右焦點分別做直線，交橢圓于四點，設直線的斜率為

（1）求（用k表示）；（2）若直線的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求出焦點坐標，寫出直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理求出、，利用弦長公式即可求解；（2）設，，直線CD的方程為，利用點到直線的距離公式分別求到直線的距離，，利用，再利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）由可得：，，所以，所以，設，．由已知得：直線的方程為，由得，即，所以，．故．（2）設，．由已知得，，故直線CD的方程為，即．設分別為點到直線AB的距離，則．又到直線在異側(cè)，則由得，，即，故．所以，從而，因為，不妨令，令，可得，令，因為，所以，所以，二次函數(shù)對稱軸為，開口向下，當時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，所以時，；當時，；當時，，所以，所以，，因此，．【點睛】解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關系，則可先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式構(gòu)造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關系；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．19．（2021·湖北八市三月聯(lián)考）已知橢圓的上頂點到右頂點的距離為，離心率為，過橢圓的左焦點作不與軸重合的直線與橢圓相交于兩點，過點作直線的垂線，為垂足．（1）求橢圓的標準方程；（2）①已知直線過定點，求定點的坐標；②點為坐標原點，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）①直線過定點；②．【分析】（1）根據(jù)離心率、上頂點到右頂點的距離和橢圓關系可構(gòu)造方程組求得，由此可得橢圓方程；（2）①設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立整理可得韋達定理的形式，從而得到，代入直線方程后，知時，，由此可得定點坐標；②結(jié)合①中韋達定理的結(jié)論可求得，由，令，將化為，由函數(shù)單調(diào)性可確定最大值點，由此求得最大值．【詳解】（1）由題意得：，解得：，，．故橢圓的標準方程為．（2）①由（1）知：，設直線方程：，，，，，聯(lián)立方程得：，，，，又，直線方程為：，令，則，直線過定點．②由①中知：，又，所以，令，，則令，在單調(diào)遞減，當時，，即面積的最大值為．【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應用中的三角形面積取值范圍問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理和點到直線距離表示出所求三角形的面積；④通過換元法將所求三角形面積轉(zhuǎn)化為關于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)值域，由此可求解出所求的范圍．20．（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三一模（理））已知動點到點的距離與到直線的距離之比為．（1）求動點的軌跡的標準方程；（2）過點的直線交于，兩點，已知點，直線，分別交軸于點，．試問在軸上是否存在一點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，點．【分析】（1）由直譯法列出方程化簡即可；（2）設出直線方程，以及，，，，，通過代換用表示，化簡得到一個常數(shù)即可．【詳解】（1）設點，則，化簡得故動點的軌跡的標準方程為（2）設直線的方程為聯(lián)立方程組，得，得：或，．設，定點存在，其坐標為．則令，求出與軸的交點即有：即即當直線與軸重合時，解得所以存在定點，的坐標為．【點睛】本題中這一步是為了湊出，然后作整體替換．21．（2021·山西晉中市·高三二模（理））設橢圓，O為原點，點是x軸上一定點，已知橢圓的長軸長等于，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓C交于兩個不同點M，N，已知M關于y軸的對稱點為，N關于原點O的對稱點為，若滿足，求證：直線l經(jīng)過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由，可得三點共線，得到，結(jié)合斜率公式，化簡得到，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系，求得，進而求得結(jié)論．【詳解】（1）由題意，橢圓，且長軸長等于，離心率為，可得，解得，所以，所以橢圓C的方程為．（2）設，則，由，可得三點共線，所以，即，又由，所以，整理得．①由，可得，則，代入①，可得，整理得，所以直線l的方程為，即，即直線l恒過定點．【點睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對于直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系，以及弦長公式等進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力．22．（2021·遼寧高三一模（理））過點作直線交拋物線于兩點，為坐標原點，分別過點作拋物線的切線，設兩切線交于點．（1）求證：點在一定直線上；（2）設直線分別交直線于點．（i）求證：；（ii）設的面積為，的面積為，記，求的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）（i）證明見解析；（ii）．【分析】（1）由題意，設，，聯(lián)立拋物線方程可得，寫出、處的切線方程，聯(lián)立求的坐標，即可證在一定直線上；（2）（i）由（1）可求得、，即可知都平行于y軸即，進而有，即且，結(jié)論即得證．（ii）由（i）知，結(jié)合（1）得，利用換元、函數(shù)與方程的思想，應用導數(shù)求其最小值即可．【詳解】（1）由題意，設，代入得：，令，則．拋物線在點處的切線方程為：，即，拋物線在點處的切線方程為：，即，聯(lián)立得：點的坐標為，即．∴點在定直線上．（2）（i）聯(lián)立與得：，聯(lián)立與得：，由（1）知：，軸，同理軸，，即，，即且，∴得證．（ii）由（1）得：令，則，令，即在上遞增，，當時，．【點睛】關鍵點點睛：（1）由直線與拋物線的位置關系，應用韋達定理，聯(lián)立切點處的切線方程求證其交點在定直線上；（2）（i）求交點坐標并確定平行關系，根據(jù)三角形相似得，即可證結(jié)論；（ii）應用換元法，結(jié)合函數(shù)與方程的思想，并利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求最值．23．（2021·內(nèi)蒙古包頭市·高三期末（文））在平面直角坐標系中，橢圓：的左頂點為，點、是橢圓上的兩個動點．（1）當、、三點共線時，直線、分別與軸交于，兩點，求的值；（2）設直線、的斜率分別為，，當時，證明：直線恒過一個定點．【答案】（1）2；（2）證明見解析．【分析】（1）設點的坐標，運用向量的坐標形式的數(shù)量積公式，并借助點在橢圓上化簡即可；（2）先探求的坐標，再從這一特殊情形入手求出定點坐標，最后再驗證一般情況，很容易求出定點的坐標．【詳解】解：（1）由題意，得，設，則根據(jù)、、三點共線可知，故直線方程為，，，直線方程為，，，，又點在上，即，由此得．（2）由題意知直線、的斜率存在，設直線的方程為，直線的方程為，，，由，得，因為和是此方程的兩個根，所以，，，所以，同理得因為，所以，當時，，此時與的橫坐標相同，所以直線的方程為．所以的橫坐標為．當時，，的方程為，令，得．所以直線恒過定點．【點睛】求定點問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定點，再證明這個值與變量無關．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定點．24．（2021·江西上饒模擬（理））在平面直角坐標系中，已知點，是動點，且直線的斜率與直線的斜率之和等于直線的斜率．（1）求動點的軌跡的方程；（2）過作斜率為的直線與軌跡相交于點，點，直線與分別交軌跡于點、，設直線的斜率為，是否存在常數(shù)，使得，若存在，求出值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（且）；（2）存在，使得．【分析】（1）設點的坐標為，利用化簡可得出動點的軌跡的方程；（2）求得點，設點、，求出直線、的方程，分別將這兩條直線與曲線的方程聯(lián)立，求出、，利用斜率公式求出，進而可得出的值．【詳解】（1）設點的坐標為，由題意可得，即，則且．整理可得（且）．因此，動點的軌跡的方程為（且）；（2）設點，則，解得，則，所以，點的坐標為．設點、，則直線的斜率為，直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，解得，直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，解得，所以，，即，所以，．因此，存在，使得．【點睛】思路點睛：對于圓錐曲線中探索性問題，求解步驟如下：第一步：假設結(jié)論存在；第二步：結(jié)合已知條件進行推理求解；第三步：若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗證成立即可肯定正確；若推出矛盾，即否定假設；第四步：反思回顧，查看關鍵點、易錯點及解題規(guī)范．25．（2021·貴州新高考聯(lián)盟質(zhì)檢（理））已知橢圓的左?右焦點分別為焦距為橢圓的右頂點到點的距離與它到直線的距離之比為．（1）求橢圓的標準方程；（2）設O為坐標原點，為橢圓上不同的兩點，點關于軸的對稱點為點若直線的斜率為，求證：的面積為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由所給條件可得焦距，，可得，即可得解；（2）首先設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得，結(jié)合韋達定理，根據(jù)，代入化簡即可得到定值．【詳解】（1）因為焦距為，所以即，又橢圓右頂點到點的距離到與到直線的距離之比為，所以設右頂點則，解得，即，所以橢圓的標準方程為（2）由題意知直線斜率一定存在，設直線方程為點則面積為聯(lián)立方程得即因為直線的斜率為1，所以即即解得，所以綜上，△OAB面積為定值．【點睛】方法點睛：（1）對橢圓基本量的理解記憶；（2）韋達定理的應用，韋達定理是聯(lián)系各個變量之間關系的橋梁，是解決圓錐曲線和直線問題的重要方法；（3）計算能力和計算技巧是解決解析幾何問題的關鍵能力．26．（2021·浙江麗水市·高三月考）已知拋物線，過拋物線上第一象限的點A作拋物線的切線，與x軸交于點M．過M作的垂線，交拋物線于B，C兩點，交于點D．（1）求證：直線過定點；（2）若，求的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）利用導數(shù)求出切線斜率，寫出切線方程，表示出直線BC，整理成斜截式，過定點；（2）用坐標法把表示出來，得到t的范圍，再把表示成t的函數(shù)，利用函數(shù)求最值．【詳解】（1）解：拋物線切線設點，則，∴直線的方程為：，即，∴，又，∴，∴直線的方程：經(jīng)過定點．（2）解：由（Ⅰ）直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立得，解得，而，即，∴，解得，∵，，所以當，即時，有．【點睛】（1）解析幾何中證明直線過定點，通常有兩類：①直線方程整理為斜截式y(tǒng)=kx+b，過定點(0，b)；②直線方程整理為點斜式y(tǒng)-yo=k(x-x0)，過定點(x0，y0)；（2）坐標法是解析幾何的基本方法．27．（2021·江蘇南通市·高三期末）已知橢圓：的離心率為，且過點．（1）求橢圓的方程；（2）已知，是橢圓上的兩點，且直線，的斜率之積為，點為線段的中點，連接并延長交橢圓于點，求證：為定值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為，且過點，由求解．（2）設，根據(jù)為線段的中點和B，M，N三點共線，由，表示點N的坐標