2024高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專項(xiàng)突破立體幾何有關(guān)的計(jì)算含解析

立體幾何有關(guān)的計(jì)算一、單選題1、(2024揚(yáng)州期末）底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3的圓錐的體積是（）．A、eq\f(2\r(2)π,3)B、eq\f(\r(3)π,3)C． D．【答案】A【解析】圓錐的高為h＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2)，圓錐的體積V＝eq\f(1,3)×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2)π,3).2、(2024鎮(zhèn)江期末）已知一個(gè)圓錐的底面積為π，側(cè)面積為2π，則該圓錐的體積為（）．A．B．C、eq\f(\r(3)π,3)D、eq\f(2\r(2)π,3)【答案】C【解析】eq\a\vs4\al(思路分析)先求出圓錐的底面半徑和高．設(shè)圓錐的底面半徑、高、母線長(zhǎng)分別為r，h，l，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(πr2＝π，,πrl＝2π，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2.))所以h＝eq\r(3).圓錐的體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(\r(3)π,3).3、(2024宿遷期末）設(shè)圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正三角形，則該圓錐的體積為_(kāi)_______cm3.（）A、2B、eq\f(\r(3),3)πC、eq\f(2\r(2)π,3)D、【答案】B【解析】圓錐的底面半徑R＝1，高h(yuǎn)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，故圓錐的體積為V＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.4、(2024南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào)）已知正四棱柱的底面長(zhǎng)是3cm，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是3eq\r(5)cm，則這個(gè)正四棱柱的體積為_(kāi)_______cm3.（）A、18B、54C、64D、23【答案】B【解析】由題意知，正四棱柱的高為eq\r(（3\r(5)）2－32)＝6，所以它的體積V＝32×6＝54，故答案為54.(2024南京學(xué)情調(diào)研）如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，則四棱錐A1B1C1CB的體積是（）A、2eq\r(3)B、2eq\r(10)C、eq\f(4\r(2),3)D、【答案】A【解析】如圖，取B1C1的中點(diǎn)E，連結(jié)A1E，易證A1E⊥平面BB1C1C，所以A1E為四棱錐A1B1C1CB的高，所以V四棱錐A1B1C1CB＝eq\f(1,3)S矩形BB1C1C×A1E＝eq\f(1,3)×(2×3)×eq\r(3)＝2eq\r(3).6、（2024年高考天津）若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，即，所以，這個(gè)球的表面積為.故選：C．7、(2024鹽城三模）若一圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面積是底面積的3倍，則該圓錐的體積為（）A．B．C、eq\f(\r(3)π,3)D、eq\f(2\r(2)π,3)【答案】D【解析】：設(shè)圓錐的高為，母線為，由得，，即，，故該圓錐的體積為.9、（2024年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形態(tài)可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)，則，由題意得，即，化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)值舍去）.故選C．10、（2024·河南高三期末（文））張衡是中國(guó)東漢時(shí)期宏大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)得出圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，底面，，且，，利用張衡的結(jié)論可得球的表面積為（）A．30 B． C．33 D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，又底面，所以球的球心為?cè)棱的中點(diǎn)，從而球的直徑為.利用張衡的結(jié)論可得，則，所以球的表面積為.故選：B11、（2024年高考全國(guó)II卷理數(shù)）已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16，則O到平面ABC的距離為（）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長(zhǎng)為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.故選：C．12、（2025屆山東省濰坊市高三上期末）《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年頭在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底面周長(zhǎng)與高，計(jì)算其體積的近似公式它事實(shí)上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，高為，依題意，，，所以，即的近似值為，故選B.13、（2024年高考全國(guó)II卷理數(shù)）已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16，則O到平面ABC的距離為（）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長(zhǎng)為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.故選：C．14、（2025屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，以為折痕進(jìn)行折疊，使折后的，則過(guò)，，，四點(diǎn)的球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，以為折痕進(jìn)行折疊，使折后的，構(gòu)成以D為頂點(diǎn)的三棱錐，且三條側(cè)棱相互垂直，可構(gòu)造以其為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體，其對(duì)角線即為球的直徑，三條棱長(zhǎng)分別為1,1，，所以，球面積，故選C.15、（2025屆山東省泰安市高三上期末）已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為6，則該正三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，因?yàn)檎忮F的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為6，則，所以三棱錐的高,又由球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，在直角三角形中，，又由，即，解得，所以球的表面積為，故選D.16、已知三棱錐中，，，直線與底面所成角為，則此時(shí)三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取中點(diǎn)，則，，，因?yàn)橹本€與底面所成角為，所以，因?yàn)?，所以，即為三棱錐外接球的球心，因?yàn)?，所以，所以三棱錐外接球的表面積為.故選A17、（2024年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)）已知三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解法一：為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為，的中點(diǎn)，，，又，平面，∴平面，，為正方體的一部分，，即，故選D．解法二：設(shè)，分別為的中點(diǎn)，，且，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，又，，中，由余弦定理可得，作于，，為的中點(diǎn)，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.18、正四面體中，是棱的中點(diǎn)，是點(diǎn)在底面內(nèi)的射影，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)是1，則，高，設(shè)點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是，則，所以即為所求異面直線所成角，則，應(yīng)選答案B。19、（2025屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐外接球體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，而平面平面，平面平面，所以平面，四棱錐的體積是，，所以邊長(zhǎng)，，設(shè)，，，，，.故選：A.20、（2024年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)點(diǎn)M為三角形ABC的重心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在平面上的射影為時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，，，,點(diǎn)M為三角形ABC的重心，，中，有，，，故選B.21、魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，非常奇妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱，從外表上看，六根等長(zhǎng)的正四棱柱分成三組，經(jīng)榫卯起來(lái)，如圖，若正四棱柱的高為，底面正方形的邊長(zhǎng)為，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為（）（容器壁的厚度忽視不計(jì)）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，當(dāng)該球?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)分別為、，高為的長(zhǎng)方體的外接球時(shí)，球的半徑取最小值，所以，該球形容器的半徑的最小值為，因此，該球形容器的表面積的最小值為.故選：C.二、多選題22、（2025屆山東省濰坊市高三上期末）等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為（）A． B． C． D．【答案】AB【解析】假如是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線就是直角三角形的斜邊，所以所形成的幾何體的表面積是.假如繞斜邊旋轉(zhuǎn)，形成的是上下兩個(gè)圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高，兩個(gè)圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長(zhǎng)是1，所以寫成的幾何體的表面積.綜上可知形成幾何體的表面積是或.故選：AB23、（2024春?思明區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，在正三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若平面．則的長(zhǎng)度為A． B． C． D．【答案】【解析】：平面，．在矩形中，設(shè)．①，②．聯(lián)立①②解得，或．則的長(zhǎng)度為或．故選：．24、（2024·蒙陰縣試驗(yàn)中學(xué)高三期末）已知四棱錐，底面為矩形，側(cè)面平面，，.若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的為（）A．平面B．面C．四棱錐外接球的表面積為D．四棱錐的體積為6【答案】BC【解析】作圖在四棱錐中：由題：側(cè)面平面，交線為，底面為矩形，，則平面，過(guò)點(diǎn)B只能作一條直線與已知平面垂直，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；連接交于，連接，中，∥，面，面，所以面，所以選項(xiàng)B正確；四棱錐的體積是四棱錐的體積的一半，取中點(diǎn)，連接，，則平面，，四棱錐的體積所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.矩形中，易得，中求得：在中即：，所以O(shè)為四棱錐外接球的球心，半徑為，所以其體積為，所以選項(xiàng)C正確故選：BC25、如圖，在四面體中，點(diǎn)，，分別在棱，，上，且平面平面，為內(nèi)一點(diǎn)，記三棱錐的體積為，設(shè)，對(duì)于函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值 B．函數(shù)在上是減函數(shù) C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．不存在，使得（其中為四面體的體積）．【答案】【解析】在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)，，分別在棱，，上，且平面平面，由題意可知△，，．棱錐與棱錐的高之比為．設(shè)，．，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值．故正確；函數(shù)在函數(shù)在上是減函數(shù)，故正確；函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)對(duì)稱，故錯(cuò)誤；，不存在，使得（其中為四面體的體積）．故正確．故選：．26、（2025屆江蘇省七市其次次調(diào)研考試）如圖，在體積為V的圓柱中，以線段上的點(diǎn)O為項(xiàng)點(diǎn)，上下底面為底面的兩個(gè)圓錐的體積分別為，，則的值是______.【答案】【解析】由題得，，得.故答案為：27、（江蘇省南通市、泰州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末）在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝AB＝2，則三枝錐A1BB1C1的體積為_(kāi)_____.【答案】【解析】因?yàn)檎庵?則底面,是等邊三角形又因?yàn)?則三棱柱各棱長(zhǎng)均為2,則,故答案為：28、（2025屆江蘇省南通市、泰州市高三上學(xué)期第一次聯(lián)合調(diào)研）在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝AB＝2，則三枝錐A1BB1C1的體積為_(kāi)_____.【答案】【解析】因?yàn)檎庵?則底面,是等邊三角形又因?yàn)?則三棱柱各棱長(zhǎng)均為2,則,故答案為：29、（江蘇省南通市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期初）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積是______.【答案】【解析】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，則側(cè)面積為，故.故圓錐的高，圓錐體積為.故答案為：.30、（江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三階段測(cè)試）如圖正四棱柱的體積為27，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)）且，則四棱錐的體積為_(kāi)__________.【答案】9【解析】連接，

∵正四棱柱的體積為27，

點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)），且，

，

，

∴四棱錐的體積．

故答案為：9．31、（江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三9月月考）已知長(zhǎng)方體的體積為，則三棱錐的體積為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的底面積為，高為，則長(zhǎng)方體的體積為，由題意可知，三棱錐的底面積為，高為，因此，三棱錐的體積為，故答案為.解答題32、如圖，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB⊥BC，E，F(xiàn)分別是A1B，AC1的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面ABC；(2)求證：平面AEF⊥平面AA1B1B；(3)若A1A＝2AB＝2BC＝2a，求三棱錐FABC的體積．)解析(1)連結(jié)A1C.因?yàn)橹比庵鵄1B1C1ABC中，四邊形AA1C1C是矩形，所以點(diǎn)F在A1C上，且為A1C的中點(diǎn)．在△A1BC中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點(diǎn)，所以EF∥BC.(2分)又因?yàn)锽C?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(4分)(2)因?yàn)樵谥比庵鵄1B1C1ABC中，B1B⊥平面ABC，所以B1B⊥BC.因?yàn)镋F∥BC，AB⊥BC，所以AB⊥EF，B1B⊥EF.(6分)因?yàn)锽1B∩AB＝B，所以EF⊥平面ABB1A1.(8分)因?yàn)镋F?平面AEF，所以平面AEF⊥平面ABB1A1.(10分)(3)VFABC＝eq\f(1,2)VA1ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×S△ABC×AA1(12分)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×2a＝eq\f(a3,6).(14分)33、如圖，在五面體中，已知平面，，，，．（1）求證：；（2）求三棱錐的體積．解析（1）因?yàn)?，平面，平面，所以平面，?分）又平面，平面平面，所以．（6分）（2）如圖，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)．因?yàn)槠矫?，平面，所以．又，平面，，所以平面，所以是三棱錐的高．（9分）在直角三角形中，，，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以．又由?）知，，且，所以，所以，（12分）所以三棱錐的體積．（14分）易錯(cuò)警示在證明線線、線面、面面的位置關(guān)系時(shí)，肯定要留意條件的完備性，不能少寫條件．另外，在求幾何體的體積時(shí)，肯定要證明某條線為高的緣由，即證明它與某個(gè)平面垂直，否則將導(dǎo)致丟分．34、如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點(diǎn)．現(xiàn)將△ADE沿DE折起，得四棱錐ABCDE.（1）求證：EF∥平面ABC；（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面體FDCE的體積．解析(1)證法1如圖1，取線段AC的中點(diǎn)M，連結(jié)MF，MB.因?yàn)镕，M為AD，AC的中點(diǎn)，所以MF∥CD，且MF＝eq\f(1,2)CD.圖1在折疊前，四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，所以BE∥CD，且BE＝eq\f(1,2)CD.所以MF∥BE，且MF＝BE.所以四邊形BEFM為平行四邊形，故EF∥BM.又EF?平面ABC，BM?平面ABC，所以EF∥平面ABC.證法2如圖2，延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連結(jié)AN.在折疊前，四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，所以BE∥CD，且BE＝eq\f(1,2)CD.圖2所以∠NBE＝∠NCD，∠NEB＝∠NDC.所以△NEB∽△NDC.所以eq\f(NE,ND)＝eq\f(BE,CD)＝eq\f(1,2)，即E為DN的中點(diǎn)．又F為AD的中點(diǎn)，所以EF∥NA.又EF?平面ABC，NA?平面ABC，所以EF∥平面ABC.證法3如圖3，取CD的中點(diǎn)O，連結(jié)OE，OF.圖3折疊前，四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，所以BE∥CD，且BE＝eq\f(1,2)CD.所以BE∥CO，且BE＝CO.所以四邊形BEOC為平行四邊形，所以EO∥BC.又EO?平面ABC，BC?平面ABC，所以EO∥平面ABC.因?yàn)镕，O分別為AD，CD的中點(diǎn)，所以FO∥AC.又FO?平面ABC，AC?平面ABC，所以FO∥平面ABC.又FO，EO?平面FEO，F(xiàn)O∩EO＝O，所以平面FEO∥平面ABC.因?yàn)镋F?平面FEO，所以EF∥平面ABC.(2)解法1在折疊前，四邊形ABCD為矩形，AD＝2，AB＝4，E為AB的中點(diǎn)，所以△ADE，△CBE都是等腰直角三角形，且AD＝AE＝EB＝BC＝2.所以∠DEA＝∠CEB＝45°，且DE＝EC＝2eq\r(2).又∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝180°，所以∠DEC＝90°，即DE⊥CE.又平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，CE?平面BCDE，所以CE⊥平面ADE，即CE為三棱錐CEFD的高．因?yàn)镕為AD的中點(diǎn)，所以S△EFD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×AD×AE＝eq\f(1,4)×2×2＝1.所以四面體FDCE的體積V＝eq\f(1,3)×S△EFD×CE＝eq\f(1,3)×1×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3).解法2如圖4，過(guò)F作FH⊥DE，H為垂足．圖4因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，F(xiàn)H?平面ADE，所以FH⊥平面BCDE，即FH為三棱錐FECD的高．在折疊前，四邊形ABCD為矩形，且AD＝2，AB＝4，E為AB的中點(diǎn)，所以△ADE是等腰直角三角形．又F為AD的中點(diǎn)，所以DF＝1.所以FH＝DF·sin45°＝eq\f(\r(2),2).又S△EDC＝eq\f(1,2)×CD×BC＝eq\f(1,2)×4×2＝4，所以四面體FDCE的體積V＝eq\f(1,3)×S△EDC×FH＝eq\f(1,3)×4×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(2\r(2),3).解法3如圖5，過(guò)A作AG⊥DE，G為垂足．圖5因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，AG?平面ADE，所以AG⊥平面BCDE，即AG為三棱錐AECD的高．在折疊前，四邊形ABCD為矩形，且AD＝2，AB＝4，E為AB的中點(diǎn)，所以△ADE是等腰直角三角形．所以AG＝AD·sin45°＝eq\r(2).又S△EDC＝eq\f(1,2)×DC×BC＝eq\f(1,2)×4×2＝4，所以三棱錐AECD的體積VAECD＝eq\f(1,3)×S△EDC×AG＝eq\f(1,3)×4×eq\r(2)＝eq\f(4\r(2),3).因?yàn)镕為AD的中點(diǎn)，所以S△EFD＝eq\f(1,2)S△EAD.所以VCEFD＝eq\f(1,2)VCEAD＝eq\f(1,2)VAECD＝eq\f(2\r(2),3).即四面體FDCE的體積為eq\f(2\r(2),3).35、如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AA1＝AB＝1，點(diǎn)O1，O分別是上、下底面菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)．（1）求證：A1O∥平面CB1D1；（2）求點(diǎn)O到平面CB1D1的距離．解析(1)因?yàn)锳A1∥CC1且AA1＝CC1，所以四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以AC∥A1C1且AC＝A1C1.因?yàn)镺1，O分別是A1C1，AC的中點(diǎn)，故OC∥A1O1且OC＝A1O1.所以四邊形A1O1CO為平行四邊形，所以A1O∥O1C.又A1O?平面CB1D1，O1C?平面C