2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案65第九章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第五講古典概型含解析新人教版

第五講古典概型A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2024·甘肅蘭州一中月考)先后拋擲兩枚勻稱(chēng)的正方體骰子(它們的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的點(diǎn)分別為x，y，則log2xy＝1的概率為(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(5,36)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,2)[解析]要使log2xy＝1，則要求2x＝y(tǒng)，∴符合題意的基本領(lǐng)件數(shù)為3，而基本領(lǐng)件總數(shù)為36，∴概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).2．(2024·陜西漢中質(zhì)檢)中國(guó)將于今年9月3日至5日實(shí)行國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人第九次會(huì)見(jiàn)．某志愿者隊(duì)伍共有5人負(fù)責(zé)接待，其中3人擔(dān)當(dāng)英語(yǔ)翻譯，另2人擔(dān)當(dāng)俄語(yǔ)翻譯．隨機(jī)選取2人，恰有1個(gè)英語(yǔ)翻譯，1個(gè)俄語(yǔ)翻譯的概率是(C)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,3)[解析]P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).故選C．3．(2024·安徽皖江名校聯(lián)考)疫情期間，某市教化局為了解學(xué)生線上學(xué)習(xí)狀況，打算從10所學(xué)校(其中6所中學(xué)4所小學(xué))隨機(jī)選出3所進(jìn)行調(diào)研，其中A中學(xué)與B小學(xué)同時(shí)被選中的概率為(C)A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,15) D．eq\f(3,20)[解析]基本領(lǐng)件共Ceq\o\al(3,10)＝120，其中A中學(xué)與B小學(xué)被選中包含Ceq\o\al(1,8)＝8個(gè)基本領(lǐng)件，故所求概率為P＝eq\f(8,120)＝eq\f(1,15)，故選C．4．(2024·河北石家莊質(zhì)檢)北京冬奧會(huì)將于2024年2月4日到20日在北京和張家口實(shí)行．為紀(jì)念申奧勝利，中國(guó)郵政發(fā)行《北京申辦2024年冬奧會(huì)勝利紀(jì)念》郵票，圖案分別為冬奧會(huì)會(huì)徽“冬夢(mèng)”、冬殘奧會(huì)會(huì)徽“飛躍”、冬奧會(huì)祥瑞物“冰墩墩”、冬殘奧會(huì)祥瑞物“雪容融”及“志愿者標(biāo)記”．現(xiàn)從一套5枚郵票中任取3枚，則恰有1枚祥瑞物郵票的概率為(C)A．eq\f(3,10) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．eq\f(7,10)[解析]P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).故選C．5.(2024·湖南郴州質(zhì)檢)《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓．圖是易經(jīng)先天八卦圖，每一卦由三根線組成(“——”表示一根陽(yáng)線，“——”表示一根陰線)，現(xiàn)從八卦中任取兩卦，這兩卦的陽(yáng)線數(shù)目相同的概率為(C)A．eq\f(1,14) B．eq\f(1,7)C．eq\f(3,14) D．eq\f(3,28)[解析]P＝eq\f(2C\o\al(2,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(3,14)，故選C．6．(2024·山東省濰坊市期中)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．現(xiàn)齊王與田忌各出上等馬、中等馬、下等馬一匹，共進(jìn)行三場(chǎng)競(jìng)賽，規(guī)定：每一場(chǎng)雙方均隨意選一匹馬參賽，且每匹馬僅參賽一次，勝兩場(chǎng)或兩場(chǎng)以上者獲勝，則田忌獲勝的概率為(B)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,9) D．eq\f(1,36)[解析]設(shè)齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為A，B，C，設(shè)田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為a，b，c，每一場(chǎng)雙方均隨意選一匹馬參賽，且每匹馬僅參賽一次，勝兩場(chǎng)或兩場(chǎng)以上者獲勝．基本領(lǐng)件有：(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Bc，Ca)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共6個(gè)，田忌獲勝包含的基本領(lǐng)件有：(Ac，Ba，Cb)，只有1個(gè)，∴田忌獲勝的概率為P＝eq\f(1,6)，故選：B.7．(2024·百所名校聯(lián)考)中國(guó)古典樂(lè)器一般按“八音”分類(lèi)．這是我國(guó)最早按樂(lè)器的制造材料來(lái)對(duì)樂(lè)器進(jìn)行分類(lèi)的方法，最先見(jiàn)于《周禮·春官·大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏(páo)、竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂(lè)器，“土、匏、竹”為吹奏樂(lè)器，“絲”為彈撥樂(lè)器，現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”，則含有打擊樂(lè)器的概率為(B)A．eq\f(3,14) B．eq\f(11,14)C．eq\f(1,14) D．eq\f(2,7)[解析]從“八音”中任取不同的“兩音”共有Ceq\o\al(2,8)＝28種取法；“兩音”中含有打擊樂(lè)器的取法共有Ceq\o\al(2,8)－Ceq\o\al(2,4)＝22種取法；∴所求概率P＝eq\f(22,28)＝eq\f(11,14).故選：B.8．(2024·重慶巴蜀中學(xué)模擬)已知平面上有3個(gè)點(diǎn)A，B，C，在A處放置一個(gè)小球，每次操作時(shí)將小球隨機(jī)移動(dòng)到另一個(gè)點(diǎn)處，則4次操作之后，小球仍在A點(diǎn)的概率為(D)A．eq\f(11,16) B．eq\f(5,8)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,8)[解析]由圖可知所求概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)，故選D.9．(2024·江西新余期末)今年4月，習(xí)近平總書(shū)記專(zhuān)程前往重慶石柱考察了“精準(zhǔn)脫貧”工作，為了進(jìn)一步解決“兩不愁，三保障”的突出問(wèn)題，當(dāng)?shù)刂浒住⒁以趦?nèi)的5名專(zhuān)家對(duì)石柱縣的3個(gè)不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)進(jìn)行調(diào)研，要求每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少支配一名專(zhuān)家，則甲、乙兩名專(zhuān)家支配在不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的概率為(A)A．eq\f(19,25) B．eq\f(17,20)C．eq\f(16,25) D．eq\f(19,40)[解析]記甲、乙兩名專(zhuān)家被安排在同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的事務(wù)為A,5名專(zhuān)家分到3個(gè)不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)，共有2種狀況，1種狀況為1,1,3人，另1種狀況為1,2,2人．那么P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))A\o\al(3,3)＋\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))A\o\al(3,3))＝eq\f(6,10＋15)＝eq\f(6,25)，所以甲、乙兩名專(zhuān)家不在同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的概率為：P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝eq\f(19,25).故選A.10．(2024·湖北武漢襄陽(yáng)荊門(mén)宜昌四地六校考試聯(lián)盟聯(lián)考)已知水平直線上的某質(zhì)點(diǎn)，每次等可能的向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，則在第6次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)恰好回到初始位置的概率是(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(5,16)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,2)[解析]由題意可知第6次移動(dòng)后回到原點(diǎn)?6次移動(dòng)中向左移了3次，故所求概率P＝eq\f(C\o\al(3,6),26)＝eq\f(5,16).故選B.二、多選題11．以下對(duì)各事務(wù)發(fā)生的概率推斷正確的是(BCD)A．甲、乙兩人玩剪刀、石頭、布的嬉戲，則玩一局甲不輸?shù)母怕适莈q\f(1,3)B．每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，例如8＝3＋5，在不超過(guò)14的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于14的概率為eq\f(1,15)C．將一個(gè)質(zhì)地勻稱(chēng)的正方體骰子(每個(gè)面上分別寫(xiě)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)先后拋擲2次，視察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和是6的概率是eq\f(5,36)D．從三件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是eq\f(1,2)[解析]玩一局甲不輸?shù)母怕蕿閑q\f(2,3)，A錯(cuò)；不超過(guò)14的素?cái)?shù)為2,3,5,7,11,13共6個(gè)，故從中任取兩個(gè)數(shù)，其和等于14的概率為eq\f(1,C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，B正確；對(duì)于C，點(diǎn)數(shù)之和為6的狀況只有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5種狀況，所求概率P＝eq\f(5,C\o\al(1,6)C\o\al(1,6))＝eq\f(5,36)，C正確；對(duì)于D，所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，D正確．故選BCD.12．(2024·江蘇徐州一中、興化中學(xué)期中)已知甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1,2,3,4；乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1,2,3,5,6，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事務(wù)A＝“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5”，事務(wù)B＝“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8”，則(BC)A．事務(wù)A發(fā)生的概率為eq\f(1,2)B．事務(wù)A∪B發(fā)生的概率為eq\f(11,20)C．事務(wù)A∩B發(fā)生的概率為eq\f(2,5)D．從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率為eq\f(1,5)[解析]P(A)＝eq\f(11,20)，A錯(cuò)；P(A∪B)＝eq\f(11,20)，B正確；P(A∩B)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，C正確；從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率為eq\f(1,4)，D錯(cuò)，故選BC．三、填空題13．(2024·廣東調(diào)研)某中學(xué)音樂(lè)社共有9人，其中高一的同學(xué)有4人，高二的同學(xué)有3人，高三的同學(xué)有2人，他們排成一排合影，則同年級(jí)的同學(xué)都排在一起的概率為eq\f(1,210).[解析]由捆綁法可得所求概率P＝eq\f(A\o\al(2,2)A\o\al(3,3)A\o\al(4,4)A\o\al(3,3),A\o\al(9,9))＝eq\f(1,210).14．(2024·湖北龍泉中學(xué)、荊州中學(xué)、宜昌一中聯(lián)考)5人并排站成一行，甲、乙兩人之間恰好有一人的概率是eq\f(3,10).(用數(shù)字作答)[解析]5人排一行共有Aeq\o\al(5,5)種排法，甲、乙兩人之間恰有一人有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種排法，故所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))＝eq\f(3,10).15．(2024·武漢調(diào)研)某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率e>eq\r(5)的概率是eq\f(1,6).[解析]由e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>eq\r(5)，得b>2a.當(dāng)a＝1時(shí)，b＝3,4,5,6四種狀況；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝5,6兩種狀況，總共有6種狀況．又同時(shí)擲兩顆骰子，得到的點(diǎn)數(shù)(a，b)共有36種結(jié)果．∴所求事務(wù)的概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).四、解答題16．(2024·蘭州雙基測(cè)試)一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取一張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．[解析](1)由題意，全部可能的結(jié)果為33，共27種．設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a＋b＝c”為事務(wù)A，則事務(wù)A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種，所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)，因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a＋b＝c”的概率為eq\f(1,9).(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事務(wù)B，則事務(wù)eq\x\to(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種，所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9)，因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為eq\f(8,9).17．(2024·華南師大附中綜合測(cè)試)某校從參與高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成果(均為整數(shù)，單位：分)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，畫(huà)出如下不完整的頻率分布直方圖．視察圖中的信息，回答下列問(wèn)題：(1)求第四小組的頻率，補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)；(2)從被抽取的數(shù)學(xué)成果是70分以上(包括70分)的學(xué)生中選2人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率．[解析](1)因?yàn)楦鹘M的頻率之和等于1，故第四小組的頻率為f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖：中位數(shù)是xc＝70＋10×eq\f(0.1,0.3)＝73.33.因而估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)是73.33分．(2)分?jǐn)?shù)在[70,80)，[80,90)，[90,100]的人數(shù)分別是0.03×10×60＝18,0.025×10×60＝15,0.005×10×60＝3.所以從成果是70分以上(包括70分)的學(xué)生中選2人，他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率P＝eq\f(C\o\al(2,18)＋C\o\al(2,15)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,36))＝eq\f(29,70).B組實(shí)力提升1．(2024·湖北武漢部分學(xué)校質(zhì)檢)我國(guó)古人認(rèn)為宇宙萬(wàn)物是由金，木，水，火，土這五種元素構(gòu)成，歷史文獻(xiàn)《尚書(shū)·洪范》提出了五行的說(shuō)法，到戰(zhàn)國(guó)晚期，五行相生相克的思想被正式提出．這五種物質(zhì)屬性的相生相克關(guān)系如圖所示，若從這五種物質(zhì)屬性中隨機(jī)選取三種，則取出的三種物質(zhì)屬性中，彼此間恰好有一個(gè)相生關(guān)系和兩個(gè)相克關(guān)系的概率為(B)A．eq\f(3,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,3)[解析]從5個(gè)里面選3個(gè)共有10種狀況，其中恰好有一個(gè)相生關(guān)系和兩個(gè)相克關(guān)系的有5種狀況，所以概率為eq\f(1,2)，故選B.2．(2024·安徽六校聯(lián)考)2024年5月22日具有“國(guó)家戰(zhàn)略”意義的“長(zhǎng)三角一體化”會(huì)議在蕪湖實(shí)行；長(zhǎng)三角城市群包括：上海市以及江蘇省、浙江省、安徽省三省部分城市，簡(jiǎn)稱(chēng)“三省一市”．現(xiàn)有4名高三學(xué)生打算高考后到上海市、江蘇省、浙江省、安徽省四個(gè)地方旅游，假設(shè)每名同學(xué)均從這四個(gè)地方中隨意選取一個(gè)去旅游，則恰有一個(gè)地方未被選中的概率為(B)A．eq\f(27,64) B．eq\f(9,16)C．eq\f(81,256) D．eq\f(7,16)[解析]4名同學(xué)去旅游的全部狀況有：44＝256種，恰有一個(gè)地方未被選中共有：Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝144種狀況，∴恰有一個(gè)地方未被選中的概率：P＝eq\f(144,256)＝eq\f(9,16).故選B.3．(2024·四川成都月考)2024年廣東新高考將實(shí)行3＋1＋2模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．今年高一的小明與小芳都打算選歷史，假如他們都對(duì)后面四科沒(méi)有偏好，則他們選課相同的概率(D)A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,16)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,6)[解析]每個(gè)人的選法有Ceq\o\al(2,4)＝6種，兩人選的不同結(jié)果有36種，選法相同的有6種，故所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).故選D.4．(2024·廣西柳州鐵路一中、玉林一中聯(lián)考)共有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的五個(gè)座位，在甲同學(xué)不坐2號(hào)座位，乙同學(xué)不坐5號(hào)座位的條件下，甲、乙兩位同學(xué)的座位號(hào)相加是偶數(shù)的概率為(A)A．eq\f(5,13) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,12)[解析]所求事務(wù)的概率P＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,2),C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,3))＝eq\f(5,13)，選A.5．(2024·安徽蕪湖期末)某校高三年級(jí)有男生410人，學(xué)號(hào)為001,002，…，410；女生290人，學(xué)號(hào)為411,412，…，700對(duì)高三學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，按學(xué)號(hào)采納系統(tǒng)抽樣的方法，從這700名學(xué)生中抽取10人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查(第一組采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，抽到的號(hào)碼為030)；再?gòu)倪@10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，則這3人中既有男生又有女生的概率是(D)A．eq\f(1,5) B．eq\f(3,10)C．eq\f(7,10) D．eq\f(4,5)[解析]由30＋70k≤410且k∈N知k＝0,1，…，5.∴抽取的10人中男生6人，女生4人．記“抽取的3人中既有男生又有女生”為事務(wù)A，則P(A)＝1－eq\f(C\o\