同步優(yōu)化設(shè)計(jì)2024年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何4.1直線的方向向量與平面的法向量課后篇鞏固提升含解析北師大版選擇性必修第一冊

第三章空間向量與立體幾何§4向量在立體幾何中的應(yīng)用4.1直線的方向向量與平面的法向量課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量為()A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)答案A2.若u=(2,-3,1)是平面α的一個(gè)法向量,則下列向量能作為平面α的法向量的是()A.(0,-3,1) B.(2,0,1)C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)答案D3.若平面α∥β,則下面選項(xiàng)中可以是這兩個(gè)平面法向量的是()A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)答案D解析因?yàn)槠矫姒痢桅?所以兩個(gè)平面的法向量應(yīng)當(dāng)平行,只有D項(xiàng)符合.4.下列各組向量中不平行的是()A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40)答案D5.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分別是直線l1,l2的方向向量,若l1∥l2,則()A.x=6,y=15 B.x=3,y=15C.x=3,y=15 D.x=6,y=15答案D解析由題意,有a∥b,則32=x4=y56.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作為平面ABC法向量的是.(填序號)

①AB②AA1③B1答案②③7.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一個(gè)法向量n.解如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).設(shè)平面ACD1的法向量n=(x,y,z).∵AC=(-1,1,0),AD1=(又n為平面ACD1的一個(gè)法向量,∴n∴(x,y,令x=1,得y=z=1.∴平面ACD1的一個(gè)法向量n=(1,1,1).8.在三棱錐O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC兩兩垂直,試找出一點(diǎn)D,使BD∥AC,DC∥AB.解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),設(shè)所求點(diǎn)D(x,y,z).由BD∥AC,DC∥AB,可得BD∥因此(解得x即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,1,2).等級考提升練9.已知平面α內(nèi)兩向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c為平面α的法向量,則m,n的值分別為()A.-1,2 B.1,-2C.1,2 D.-1,-2答案A解析c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c為平面α的法向量,得c解得m10.在三棱錐P-ABC中,CP,CA,CB兩兩垂直,AC=CB=1,PC=2,在如圖所示的坐標(biāo)系下,下列向量是平面PAB的法向量的是()A.1,B.(1,2,1)C.(1,1,1) D.(2,-2,1)答案A解析PA=(1,0,-2),AB=(-1,1,0).設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n=(x,y,1),則x解得x∴n=(2,2,1).又1,1,12=11.(多選題)已知直線l過點(diǎn)P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α過直線l與點(diǎn)M(1,2,3),則平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2) B.1C.-1D.(0,-1,1)答案ABC解析因?yàn)镻M=(0,2,4),直線l平行于向量a,若n是平面α的一個(gè)法向量,則必需滿意n·a=0,n·PM=0,把選項(xiàng)代入驗(yàn)證12.已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n與x軸垂直,且a·n=12,n·b=14,則n=()A.(0,-1,3)B.(0,1,3)C.(0,-1,-3)D.(0,1,-3)答案A解析設(shè)n=(0,y,z),由題意得3解得y=-1,z=3.13.(多選題)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,ABCD-A1B1C1D1為棱長是1的正方體,下列結(jié)論正確的是()A.直線DD1的一個(gè)方向向量為(0,0,1)B.直線BC1的一個(gè)方向向量為(0,1,1)C.平面ABB1A1的一個(gè)法向量為(0,1,0)D.平面B1CD的一個(gè)法向量為(1,1,1)答案ABC解析DD1∥AA1,AA1=(0,0,1);BC1∥AD1,AD1=(0,1,1);直線AD⊥平面ABB1A1,AD=(0,1,0);C1點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,1),∵AC1與平面B1CD不垂直,14.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,已知平面α的一個(gè)法向量是n=(1,-1,2),且平面α過點(diǎn)A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上隨意一點(diǎn),則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿意的方程是.

答案x-y+2z+1=0解析由題意知AP·n=0,即x-y+2z+1=0.15.若向量a=(x,2,1),b=(1,y,3)都是直線l的方向向量,則x+y=.

答案19解析依據(jù)題意可知a∥b,故存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb,即(x,2,1)=λ(1,y,3),即x=λ,2=λy,1=3λ,16.四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.解∵AD,AB,AS是三條兩兩垂直的線段,∴以A為原點(diǎn),以AD,AB,AS的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則A(0,0,0),D(1,0,0),∴AD=(1,0,0)是平面SAB的法向量.設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為n=(1,y,z),則n·DC=(1,y,z)·(1,2,0)=1+2y=0,∴y=-12又n·DS=(1,y,z)·(-1,0,2)=-1+2z=0,∴z=12∴n=1,-12,新情境創(chuàng)新練17.已知M為長方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在長方體ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D內(nèi),且PM∥平面BB1D1D,摸索討點(diǎn)P的準(zhǔn)確位置.解以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.依據(jù)題意可設(shè)PA=a,DC=b,DD1=c,則A(a,0,0),B