2024-2025學年高中數(shù)學第3章概率3.1.2概率的意義學案新人教A版必修3

PAGE3.1.2概率的意義學習目標核心素養(yǎng)1．理解概率的意義，會用概率的意義說明生活中的實例．(重點、難點)2．了解“極大似然法”和遺傳機理中的統(tǒng)計規(guī)律.1．通過概率意義的理解，培育數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．借助實際問題中的統(tǒng)計規(guī)律，提升數(shù)學建模素養(yǎng).1．對概率的正確理解隨機事務在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但隨機性中含有規(guī)律性，相識了這種隨機性中的規(guī)律性，就能使我們比較精確地預料隨機事務發(fā)生的可能性．2．實際問題中幾個實例(1)嬉戲的公允性①裁判員用抽簽器確定誰先發(fā)球，不管哪一名運動員先猜，猜中并取得發(fā)球權(quán)的概率均為0.5，所以這個規(guī)則是公允的．②在設計某種嬉戲規(guī)則時，確定要考慮這種規(guī)則對每個人都是公允的這一重要原則．(2)決策中的概率思想假如我們面臨的是從多個可選答案中選擇正確答案的決策任務，那么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準則，這種推斷問題的方法稱為極大似然法，極大似然法是統(tǒng)計中重要的統(tǒng)計思想方法之一．(3)天氣預報的概率說明天氣預報的“降水概率”是隨機事務的概率，其指明白“降水”這個隨機事務發(fā)生的可能性的大?。?4)試驗與發(fā)覺概率學的學問在科學發(fā)展中起著特別重要的作用，例如，奧地利遺傳學家孟德爾利用豌豆所做的試驗，經(jīng)過長期視察得出了顯性與隱性的比例接近3∶1，而對這一規(guī)律進行深化探討，得出了遺傳學中一條重要的統(tǒng)計規(guī)律．(5)遺傳機理中的統(tǒng)計規(guī)律孟德爾通過收集豌豆試驗數(shù)據(jù)，找尋到了其中的統(tǒng)計規(guī)律，并用概率理論說明這種統(tǒng)計規(guī)律．利用遺傳定律，幫助理解概率統(tǒng)計中的隨機性與規(guī)律性的關系，以及頻率與概率的關系．1．已知某人在投籃時投中的概率為50%，則下列說法正確的是()A．若他投100次，確定有50次投中B．若他投一次，確定投中C．他投一次投中的可能性大小為50%D．以上說法均錯C[概率是指一件事情發(fā)生的可能性大?。甝2．同時向上拋100個銅板，結(jié)果落地時100個銅板朝上的面都相同，你認為這100個銅板更可能是下面哪種狀況()A．這100個銅板兩面是一樣的B．這100個銅板兩面是不同的C．這100個銅板中有50個兩面是一樣的，另外50個兩面是不相同的D．這100個銅板中有20個兩面是一樣的，另外80個兩面是不相同的A[落地時100個銅板朝上面都相同，依據(jù)極大似然法可知，這100個銅板兩面是一樣的可能性較大．]3．假如袋中裝有數(shù)量差別很大而大小相同的白球和黃球(只是顏色不同)若干個，從中任取1球，取了10次有7個白球，估計袋中數(shù)量較多的是________球．白[取10次球有7次是白球，則取出白球的頻率是0.7，故可估計袋中數(shù)量較多的是白球．]4．若事務A發(fā)生的概率為eq\f(1,3)，則eq\f(1,3)表示________．事務A發(fā)生的可能性的大小[eq\f(1,3)表示事務A發(fā)生的可能性的大?。甝對概率的理解[探究問題]1．隨機事務A的概率P(A)反映了什么？[提示]反映了事務A發(fā)生的可能性的大?。?．隨機事務在一次試驗中是否發(fā)生與概率的大小有關系嗎？[提示]隨機事務的概率表明白隨機事務發(fā)生的可能性的大小，但并不表示概率大的事務確定發(fā)生，概率小的事務確定不發(fā)生．【例1】經(jīng)統(tǒng)計，某籃球運動員的投籃命中率為90%，對此有人說明為其投籃100次確定有90次命中，10次不中，你認為這種說明正確嗎？說說你的理由．思路點撥：結(jié)合概率的意義，正確理解概率的含義．[解]這種說明不正確，緣由如下：因為“投籃命中”是一個隨機事務，90%是指此事務發(fā)生的概率，即每次投籃有90%命中的把握，但就一次投籃而言，也可能不發(fā)生，也可能發(fā)生，并不是說投100次必中90次．1．(變條件)某種疾病治愈的概率是30%，有10個人來就診，假如前7個人沒有治愈，那么后3個人確定能治愈嗎？如何理解治愈的概率是30%?[解]不確定．假如把治療一個病人當作一次試驗，治愈的概率是30%，是指隨著試驗次數(shù)的增加，大約有30%的病人能治愈，對于一次試驗來說，其結(jié)果是隨機的．因此，前7個病人沒有治愈是有可能的，而對后3個病人而言，其結(jié)果仍是隨機的，即有可能治愈，也有可能不能治愈．2．(變結(jié)論)經(jīng)統(tǒng)計，某籃球運動員的投籃命中率為90%，已知他連續(xù)投籃5次均未投中，那么下次投籃的命中率確定會大于90%，這種理解對嗎？[解]這種理解不正確．此運動員命中率為90%，是他每次投中的可能性，但對于每一次投籃，其結(jié)果都是隨機的，他連續(xù)5次未中是有可能的，但對下一次投籃而言，其命中率仍為90%，而不會大于90%.理解概率意義應關注的三個方面1概率是隨機事務發(fā)生可能性大小的度量，是隨機事務A的本質(zhì)屬性，隨機事務A發(fā)生的概率是大量重復試驗中事務A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值.2由頻率的定義我們可以知道隨機事務A在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但隨機中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映.3正確理解概率的意義，要清晰與頻率的區(qū)分與聯(lián)系.對詳細的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗或某一個詳細的事務.嬉戲的公允性【例2】某轉(zhuǎn)盤被平均分成10等份(如圖所示)，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字．嬉戲規(guī)則如下：兩個人參與，先確定猜數(shù)方案，甲轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，乙猜，若猜出的結(jié)果與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字所表示的特征相符，則乙獲勝，否則甲獲勝．猜數(shù)方案從以下兩種方案中選一種：A．猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；B．猜“是4的整數(shù)倍數(shù)”或“不是4的整數(shù)倍數(shù)”．請回答下列問題：(1)假如你是乙，為了盡可能獲勝，你會選哪種猜數(shù)方案？(2)為了保證嬉戲的公允性，你認為應選哪種猜數(shù)方案？[解](1)為了盡可能獲勝，乙應選擇方案B，猜“不是4的整數(shù)倍數(shù)”，這是因為“不是4的整數(shù)倍數(shù)”的概率為eq\f(8,10)＝0.8，超過了0.5，故為了盡可能獲勝，選擇方案B.(2)為了保證嬉戲的公允性，應當選擇方案A，這是因為方案A猜“是奇數(shù)”和“是偶數(shù)”的概率均為0.5，從而保證了該嬉戲的公允性．1．嬉戲公允性的標準及推斷方法(1)嬉戲規(guī)則是否公允，要看對嬉戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公允，否則就是不公允的．(2)詳細推斷時，可以按所給規(guī)則，求出雙方的獲勝概率，再進行比較．2．極大似然法的應用在“風險與決策”中常常會遇到統(tǒng)計中的極大似然法：假如我們面臨的是從多個可以選擇的答案中選擇正確答案的決策問題，那么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準則，這種推斷問題的方法稱為極大似然法．eq\o([跟進訓練])1．設有外形完全相同的兩個箱子，甲箱有99個白球和1個黑球，乙箱有1個白球和99個黑球，若隨機地抽取一箱，再從今箱中隨意抽取一球，結(jié)果取得白球，則這個球最有可能是從________箱中抽出的(填“甲”或“乙”)．甲[甲箱中有99個白球和1個黑球，故隨機地取出一球，得到白球的可能性是eq\f(99,100)；乙箱中有1個白球和99個黑球，從中任取一球，得到白球的可能性是eq\f(1,100).由此看出，這一白球從甲箱中抽出的概率比從乙箱中抽出的概率大得多．由極大似然法知，既然在一次隨機抽樣中抽到白球，當然可以認為是從概率大的箱子中抽出的，所以我們作出統(tǒng)計推斷，該白球是從甲箱中抽出的．]2.有一種嬉戲是這樣的：在一個大轉(zhuǎn)盤上，盤面被勻稱地分成12份，分別寫有1～12這12個數(shù)字(如圖所示)，其中2,4,6,8,10,12這6個區(qū)域?qū)莫勂肥俏木吆?，?,3,5,7,9,11這6個區(qū)域?qū)莫勂肥请S身聽．嬉戲規(guī)則是轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動后指針停在哪一格，則接著向前前進對應轉(zhuǎn)盤上數(shù)字的格數(shù)．例如：你轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤停止后，指針落在4所在區(qū)域，則還要往前前進4格，到標有8的區(qū)域，此時8區(qū)域?qū)莫勂肪褪悄愕?，以此類推．請問：小明在玩這個嬉戲時，得到的獎品是隨身聽的概率是多少？[解]依據(jù)題意知轉(zhuǎn)盤停止后，指針所在區(qū)域再前進相應格數(shù)后所在位置均為標有偶數(shù)的區(qū)域，故得到的獎品是隨身聽的概率是0.概率在實際生活中的應用【例3】為了估計水庫中魚的尾數(shù)，可以運用以下方法：先從水庫中捕出確定數(shù)量的魚，例如2000尾，給每尾魚做上記號(不影響其存活)，然后放回水庫．經(jīng)過適當時間，再從水庫中捕出確定數(shù)量的魚，如500尾，查看其中做記號的魚的數(shù)量，設有40尾．試依據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計水庫中魚的尾數(shù)．[解]設水庫中魚的尾數(shù)為n，n是未知的，現(xiàn)在要估計n的值．假定每尾魚被捕的可能性是相等的，從水庫中任捕一尾，設事務A＝{帶有記號的魚}，由概率的統(tǒng)計定義可知P(A)＝eq\f(2000,n). ①笫二次從水庫中捕出500尾，視察每尾魚上是否有記號，共需視察500次，其中帶有記號的魚有40尾，即事務A發(fā)生的頻數(shù)m＝40，P(A)≈eq\f(40,500). ②由①②兩式，得eq\f(2000,n)≈eq\f(40,500)，解得n≈25000.所以估計水庫中有魚25000尾．處理概率應用問題的技巧1求概率：先利用頻率等方法求出事務的概率.如本題中先求出帶記號的魚的概率.2估計值：利用概率的穩(wěn)定性，依據(jù)頻率公式估計數(shù)值.如本題中計算總體的數(shù)目，即求水庫中魚的尾數(shù).eq\o([跟進訓練])3．某中學為了了解初中部學生的某項行為規(guī)范的養(yǎng)成狀況，在校門口按系統(tǒng)抽樣的方法：每2分鐘隨機抽取一名學生，登記佩帶胸卡的學生的名字．結(jié)果，150名學生中有60名佩帶胸卡．其次次檢查，調(diào)查了初中部的全部學生，有500名學生佩帶胸卡．據(jù)此估計該中學初中部一共有多少名學生？[解]設初中部有n名學生，依題意得eq\f(60,150)＝eq\f(500,n)，解得n＝1250.所以該中學初中部共有學生大約1250名．1．概率是描述隨機事務發(fā)生的可能性大小的一個度量，即使是也許率事務，也不能確定事務確定會發(fā)生，只是認為事務發(fā)生的可能性大．2．概率與頻率的關系：對于一個事務而言，概率是一個常數(shù)，頻率則隨試驗次數(shù)的改變而改變，次數(shù)越多頻率越接近其概率．1．推斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)事務A發(fā)生的概率很小時，該事務為不行能事務． ()(2)某醫(yī)院治愈某種病的概率為0.8，則10個人去治療，確定有8人能治愈． ()(3)平常的多次競賽中，小明獲勝的次數(shù)比小華的高，所以這次競賽應選小明參與． ()[答案](1)×(2)×(3)√2．在北京消費季活動中，某商場為促銷實行購物抽獎活動，規(guī)定購物消費每滿200元就可以參與一次抽獎活動，中獎的概率為eq\f(1,10).那么以下理解正確的是()A．某顧客抽獎10次，確定能中獎1次B．某顧客抽獎10次，可能1次也沒中獎C．某顧客消費210元，確定不能中獎D．某顧客消費1000元，至少能中獎1次B[中獎概率eq\f(1,10)表示每一次抽獎中獎的可能性都是eq\f(1,10)，故不論抽獎多少次，都可能一次也不中獎，故選B.]3．某廠產(chǎn)品的次品率為2%，估算該廠生產(chǎn)的1000件產(chǎn)品中合格產(chǎn)品的件數(shù)可能為________件．980[1000×(1－2%)＝980(件)．]4．說明下列概率的含義：(1)某廠生產(chǎn)