專題11解答壓軸題：二次函數(shù)綜合(原卷版+解析)

專題11解答壓軸題：二次函數(shù)綜合一．解答題（共42小題）1．（2023?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，其中，．（1）求該拋物線的表達式；（2）點是直線下方拋物線上一動點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）的條件下，將該拋物線向右平移5個單位，點為點的對應(yīng)點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．2．（2023?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，且交軸于點，兩點，交軸于點．（1）求拋物線的表達式；（2）點是直線上方拋物線上的一動點，過點作于點，過點作軸的平行線交直線于點，求周長的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個單位長度，點為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平面內(nèi)確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．3．（2022?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于點，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點是直線下方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點為點的對應(yīng)點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平移后的拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．4．（2022?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸交于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點為直線上方拋物線上一動點，過點作軸于點，交于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）的條件下，點與點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．將拋物線向右平移，使新拋物線的對稱軸經(jīng)過點．點在新拋物線上，點在上，直接寫出所有使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．5．（2021?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過，．直線交軸于點，是直線下方拋物線上的一個動點．過點作，垂足為，軸，交于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）當(dāng)?shù)闹荛L取得最大值時，求點的坐標和周長的最大值；（3）把拋物線平移，使得新拋物線的頂點為（2）中求得的點．是新拋物線上一點，是新拋物線對稱軸上一點，直接寫出所有使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．6．（2021?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．（1）求該拋物線的解析式；（2）直線為該拋物線的對稱軸，點與點關(guān)于直線對稱，點為直線下方拋物線上一動點，連接，，求面積的最大值．（3）在（2）的條件下，將拋物線沿射線平移個單位，得到新的拋物線，點為點的對應(yīng)點，點為的對稱軸上任意一點，在上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并任選其中一個點的坐標，寫出求解過程．7．（2023?沙坪壩區(qū)模擬）如圖，拋物線與軸交于，兩點，點的坐標為，拋物線與軸交于點，對稱軸為直線，連接，過點作交拋物線于點．（1）求拋物線的解析式；（2）點是線段下方拋物線上的一個動點，過點作軸交直線于點，過點作交直線于點，連接，求面積的最大值及此時點的坐標；（3）在第（2）小問的條件下，將原拋物線沿著射線方向平移，平移后的拋物線過點，點在平移后拋物線的對稱軸上，點是平面內(nèi)任意一點，是否存在以、、、為頂點的四邊形是以為邊的菱形，若存在，直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．8．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）如圖1，點為直線與拋物線在軸上的一個交點，點為直線上一點，拋物線與軸交于點．（1）求的面積；（2）點是直線上方的拋物線上一點，過作軸交直線于，作軸交直線于，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線向右平移2個單位得到新拋物線，平移后的拋物線與原拋物線交于點，點是新拋物線的對稱軸上一點．若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標．9．（2023?沙坪壩區(qū)校級一模）如圖，拋物線與軸交于點、，與軸交于點，拋物線的對稱軸為直線，點是拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）過點作交對稱軸于點，在直線下方對稱軸右側(cè)的拋物線上有一動點，過點作軸交直線于點，過點作交于點，求最大值及此時點的坐標；（3）將原拋物線沿著軸正方向平移，使得新拋物線經(jīng)過原點，點是新拋物線上一點，點是平面直角坐標系內(nèi)一點，是否存在以、、、為頂點的四邊形是以為對角線的菱形，若存在，求所有符合條件的點的坐標．10．（2023?沙坪壩區(qū)校級一模）如圖，拋物線與軸交于點，（點在點的左側(cè)），與軸交于點，拋物線的對稱軸與直線的交點為．（1）如圖1，求直線的表達式；（2）如圖1，點是直線上方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交直線于點，過點作軸的平行線交直線于點，求周長的最大值和此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線沿射線方向平移4個單位得到新拋物線，新拋物線與坐標軸軸交于點．點與點關(guān)于軸對稱，連接，將沿直線平移得到△．平移過程中，在直線上是否存在點，使得，，，為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標，并寫出求解其中一個點坐標的過程．11．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，，與軸于點，連接，為拋物線的頂點．（1）求該拋物線的解析式；（2）點為直線下方拋物線上的一動點，過作于點，過作軸于點，交直線于點，求的最大值，以及此時點的坐標；（3）將拋物線沿射線方向平移，平移后的圖象經(jīng)過點，點為的對應(yīng)點，平移后的拋物線與軸交于點，點為平移后的拋物線對稱軸上的一點，且點在第一象限．在平面直角坐標系中確定點，使得以點，，，為頂點的四邊形為菱形，請寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．12．（2023?渝中區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點、點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，連接．（1）求線段的長度；（2）如圖1，點為直線上方拋物線上一動點，過點作交軸于點，連接交于點，連接，求面積的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，點與點關(guān)于原拋物線對稱軸對稱，將原拋物線沿著射線方向平移個單位，得到新拋物線，為直線與軸的交點，為直線上一點，將直線繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，交新拋物線于點，點為平面直角坐標系內(nèi)任意一點，直接寫出所有使得四邊形為菱形的點的橫坐標．13．（2023?沙坪壩區(qū)校級二模）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點（點在點左側(cè)），與軸交于點．（1）求直線的解析式；（2）點是直線上方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，在（2）中取得最大值的條件下，將拋物線沿著射線方向平移得到新拋物線，且新拋物線經(jīng)過線段的中點，新拋物線與軸交于點，點為新拋物線對稱軸上一點，點為坐標平面內(nèi)一點，若以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．14．（2023?渝中區(qū)校級二模）如圖1，拋物線與軸交于和兩點（點在點左側(cè)），與軸交于點，連接，直線經(jīng)過點、．（1）求直線的函數(shù)表達式；（2）點是位于直線上方拋物線上的一個動點，過點作于點，連接．求面積的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿著射線方向平移個單位得到新拋物線，與原拋物線相交于點，點是新拋物線對稱軸上的一個動點，點為平面內(nèi)一點，若以、、、為頂點的四邊形是以為邊的菱形，直接寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．15．（2023?渝中區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．（1）求的面積；（2）點是直線下方拋物線上一動點，過作于點，求線段的最大值及此時點的坐標；（3）將拋物線沿射線平移個單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點，將沿直線平移得到△（不與重合），若以點，，為頂點的三角形是以為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點坐標的其中一種情況的過程．16．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖1，拋物線與軸相交于點、（點在點左側(cè)），與軸相交于點．（1）求點到直線的距離；（2）點是直線上方拋物線上一動點，過點作直線的垂線，垂足為點，過點作，平行軸交于點，求周長的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，將該拋物線向左平移2個單位長度得到新的拋物線，平移后的拋物線與原拋物線相交于點，點為直線上的一點，點是平面坐標系內(nèi)一點，是否存在點，，使以點，，，為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．17．（2023?兩江新區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點為線段下方拋物線上的一動點，過點作軸交直線于點，為上一點，且，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿射線方向平移，得到新拋物線，新拋物線和原拋物線交于點，與軸交于點，點是新拋物線對稱軸上的一點，若是以為腰的等腰三角形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．18．（2023?沙坪壩區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點．（1）求線段的長度；（2）點為直線下方拋物線上的一動點，且點在拋物線對稱軸左側(cè)，過點作軸，交于點，作軸，交拋物線于點．求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿著射線方向平移個單位長度，得到一條新拋物線，為射線上的動點，過點作軸交新拋物線的對稱軸于點，點為直角坐標系內(nèi)一點，請直接寫出所有使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．19．（2023?渝中區(qū)校級一模）已知拋物線與軸交于、兩點點在點左側(cè)），與軸交于點，且，該拋物線的對稱軸為直線．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1，為直線下方拋物線上一點，過點作軸交直線于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）將該拋物線沿射線方向平移個單位，得到新的拋物線，為與軸的交點，為新拋物線對稱軸上一點，點平移后的對應(yīng)點為，平面內(nèi)是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形為矩形，若存在，請寫出所有點的坐標，并寫出其中一種情況的過程；若不存在，請說明理由．20．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線相交于軸上的點，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)）．（1）求直線的解析式；（2）如圖1，連接，點為直線、之間第二象限拋物線上的一動點，過點作軸交直線點，過點作交于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，將原拋物線沿射線方向平移個單位長度，得到新拋物線，新拋物線與直線交于第一象限的點記為，線段在直線上運動，記運動中的點為，點為，當(dāng)△是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出點的橫坐標．21．（2023?北碚區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)）．（1）求直線的解析式；（2）如圖1，點為線段上方的拋物線上任意一點，過點作軸于點，交于點．求的最大值及此時點的坐標；（3）將原拋物線沿射線方向平移個單位后得到新拋物線，為新拋物線的對稱軸上一動點，為平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，請直接寫出所有使以點、、、為頂點的四邊形是菱形的點的坐標，并寫出其中一個點的求解過程．22．（2023?沙坪壩區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，連接、．（1）求的面積；（2）如圖1，點為線段下方拋物線上一動點，過點作軸交線段于點，過點作交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，點為原拋物線的頂點，動點為新拋物線對稱軸上一點，當(dāng)為等腰三角形時，請寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點坐標的其中一種情況的過程．23．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，連接、．（1）求的面積；（2）點為直線下方拋物線上的一動點，過點作軸交直線點，求的最大值及此時點的坐標；（3）將原拋物線沿射線方向平移個單位長度，得到新拋物線，新拋物線與軸交于點，點為新拋物線對稱軸上一動點，點為新拋物線上一動點，當(dāng)以、、、為頂點的四邊形的對角線互相平分時，請直接寫出此時點的縱坐標．24．（2023?大渡口區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線交于點，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點是直線上方拋物線上的一動點，連接交于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向右平移3個單位，平移后點，的對應(yīng)點分別為，，點為平移后的拋物線的對稱軸上一點，在平移后的拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．25．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于，兩點，與軸交于點，連接，．（1）求線段的長度；（2）點是直線上方拋物線上的一動點，過點作軸的垂線分別交，軸于點，，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個單位長度，為點的對應(yīng)點，平移后的拋物線與軸交于點，點是平移后的拋物線的對稱軸上的一點，平面直角坐標系內(nèi)是否存在一點，使得以點、、、為頂點的四邊形是以為邊的菱形，寫出所有符合條件的點的坐標，并任選其中一個點的坐標，寫出求解過程．26．（2023?重慶模擬）如圖，拋物線與軸相交于點，點在的左側(cè)），與軸相交于點，連接，．（1）求的面積；（2）如圖，點是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，過點作軸，交直線于點，當(dāng)有最大值時，求的最大值與點的坐標；（3）將拋物線向右平移2個單位得到新拋物線，點為原拋物線與新拋物線的交點，點是原拋物線對稱軸上一點，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，直接寫出點的坐標．27．（2023?渝中區(qū)模擬）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點是第三象限拋物線上一動點，連接，，求面積的最大值，并求出此時點的坐標；（3）若點在拋物線的對稱軸上，線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)后，點的對應(yīng)點恰好也落在此拋物線上，求點的坐標（如果有多個答案只需寫出其中一個答案的解答過程，其余答案直接寫出結(jié)果）．28．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸分別交于，兩點（點在點左側(cè)），與軸交于點．（1）求的面積；（2）點為直線上方拋物線上的任意一點，過點作軸交直線于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線沿著水平方向向右平移2個單位長度得到新的拋物線，點為原拋物線與平移后的拋物線的交點，點為平移后的拋物線對稱軸上的一動點，點為坐標平面內(nèi)的一點，直接寫出所有使得以點、、、為頂點的四邊形是菱形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的求解過程寫出來．29．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，（點在點的左側(cè)），與軸交于點，且點的坐標為．（1）求點的坐標；（2）如圖1，若點是第二象限內(nèi)拋物線上一動點，求點到直線距離的最大值；（3）如圖2，若點是拋物線上一點，點是拋物線對稱軸上一點，是否存在點使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．30．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．（1）求直線的表達式；（2）如圖1，連接，，若點是第二象限內(nèi)拋物線上一點，過作軸，交于點，過作交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)取最大值時，將拋物線沿射線方向平移個單位，得到新拋物線，新拋物線與軸交于點，為軸右側(cè)新拋物線上一點，過作軸交射線于點，連接，當(dāng)為等腰三角形時，直接寫出點的坐標．31．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，兩點，與軸交于點，連接，．（1）求出的面積；（2）如圖，點是直線上方拋物線上一點，是線段上一點且滿足，求的最大值及此時點的坐標；（3）將該拋物線沿射線方向平移2個單位得到新的拋物線，為與軸的交點，為新拋物線對稱軸上一點，點平移后的對應(yīng)點為，在平面內(nèi)確定一點，使得以，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出其中一種情況的過程．32．（2023?大渡口區(qū)模擬）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，與軸交于點．（1）求和的值．（2）若點與點關(guān)于直線對稱，連接．①求點的坐標；②若點在反比例函數(shù)的圖象上，點在軸上，以點，，，為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，直接寫出點的坐標；若不能，請說明理由．33．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，已知，直線的解析式為．（1）求拋物線的解析式；（2）在線段上有一動點，過點作交拋物線于點，過點作軸的平行線交于點，求的最大值以及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線沿軸向下平移5個單位長度得到新拋物線，平移后的拋物線與坐標軸的交點分別為、、，在平面內(nèi)找一點，使得以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出點的坐標．34．（2023?潼南區(qū)二模）拋物線交軸于、兩點，交軸于點．直線交軸于點，交拋物線于、兩點．（1）如圖1，求，，的值；（2）如圖2，為直線上方拋物線上一動點，軸交軸于點，交于點；過點平行軸的直線交于點，求線段的最大值及此時對應(yīng)點的坐標；（3）如圖3，將拋物線沿線平移一定的距離得新拋物線，使得拋物線過點，為新拋物線的頂點．點為拋物線上的一動點，點、為直線上的兩個動點，當(dāng)以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形時，請直接寫出所有符合條件的點的坐標，并選一個點坐標，寫出推理過程．35．（2023?銅梁區(qū)模擬）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸為直線，（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，是線段上方拋物線上一動點，過作交于，交于，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線向左平移4個單位長度得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點，為直線上一動點，是坐標平面上一點，為（2）中取最大值時的點，當(dāng)以，，，為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出所有符合條件的點的坐標．36．（2023?潼南區(qū)一模）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，點，與軸交于點．（1）求該拋物線的解析式；（2）點為直線上方拋物線上的一點，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交于點，求的最大值以及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線沿射線的方向平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過線段的中點，且平移后拋物線的對稱軸與軸交于點．，是直線上任意兩點，為新拋物線上一點，直接寫出所有使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形的點的橫坐標．37．（2023?重慶模擬）如圖1，拋物線與軸交于，．兩點（點在點的左邊），與軸交于點，直線經(jīng)過點，．（1）求直線的解析式；（2）點為直線上方拋物線上的一個動點，過點作于點，過點作交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）問取得最大值的情況下，將該拋物線沿射線方向平移個單位后得到新拋物線，點為新拋物線對稱軸上一點，在新拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．38．（2023?江津區(qū)二模）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過點，，與軸的另一個交點為．（1）求的面積；（2）點是直線下方拋物線上一動點，求四邊形面積最大時點的坐標；（3）在拋物線上是否存在點，使？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．39．（2023?萬州區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點（點在的右側(cè)），與軸交于點，若．（1）求、的值；（2）如圖1，若點是點下方軸上一動點，過作交直線于，求代數(shù)式的最小值，并求出取得最小值時點的坐標；（3）如圖2，在第（2）問當(dāng)代數(shù)式取得最小值時的條件下，將拋物線向右平移6個單位長度得到新拋物線，平移后的新拋物線與原拋物線相交于點，為直線上一點，點為平面坐標系內(nèi)一點，直接寫出所有使得以點、、、為頂點的四邊形是菱形的點的坐標，并寫出其中一個點的坐標的解答過程．40．（2023?永川區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于、兩點（點在點的左側(cè)），交軸于點，連接．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1，將直線沿軸向上平移6個單位長度后與拋物線交于、兩點，交軸于點，若點是拋物線上位于直線下方（不與、重合）的一個動點，過點作軸交于點，交于點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，當(dāng)點滿足（2）問條件時，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，此時點恰好落到直線上，已知點是拋物線上的一個動點，在直線上是否存在一點，使得以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．41．（2023?開州區(qū)模擬）如圖1，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和，點在點的左側(cè)，與軸交于點．（1）求二次函數(shù)的函數(shù)解析式；（2）如圖1，點在直線上方的拋物線上運動，過點作交于點，作軸交于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿水平方向向右平移4個單位，點為點的對應(yīng)點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上一點，在平移后的拋物線上確定一點，使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．42．（2023?開州區(qū)校級模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，已知，．（1）求拋物線的解析式；（2）是下方的拋物線上一點，過點作軸交于點，過點作軸的平行線交于點．求周長的最大值，以及此時點的坐標；（3）如圖2，在（2）中周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿軸向下平移5個單位長度，點為平移點的對應(yīng)點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平移后的拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．

專題11解答壓軸題：二次函數(shù)綜合一．解答題（共42小題）1．（2023?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，其中，．（1）求該拋物線的表達式；（2）點是直線下方拋物線上一動點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）的條件下，將該拋物線向右平移5個單位，點為點的對應(yīng)點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．【答案】見解析【詳解】（1）由題意得：，解得：，則拋物線的表達式為：；（2）令，則或3，則點，由點、知，直線的表達式為：，過點作軸的平行線交于點，則，則，則，則，設(shè)點，則點，則，即的最大值為：，此時點；（3）平移后的拋物線的表達式為：，則點，設(shè)點，，則，，，當(dāng)時，則，解得：，則點的坐標為，；當(dāng)時，則，解得：或，則點的坐標為：，或，；綜上，點的坐標為：，或，或，．2．（2023?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，且交軸于點，兩點，交軸于點．（1）求拋物線的表達式；（2）點是直線上方拋物線上的一動點，過點作于點，過點作軸的平行線交直線于點，求周長的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個單位長度，點為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平面內(nèi)確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．【答案】見解析【詳解】（1）由題意得：，解得：，則拋物線的表達式為：；（2）令，解得：或，即點，軸，則，則，則，，由點、的坐標得，直線的表達式為：，則，即的最大值為2，此時，點，則周長的最大值，即周長的最大值為，點；（3）拋物線沿射線方向平移個單位長度，相當(dāng)于向右平移2個單位向下平移1個單位，則平移后拋物線的對稱軸為，設(shè)點，，點，由點、的坐標得，，當(dāng)是對角線時，由中點坐標公式和得：，解得：，即點的坐標為：，；當(dāng)或是對角線時，由中點坐標公式和或得：或，解得：（不合題意的值已舍去），即點的坐標為：，；綜上，點的坐標為：，或，或，．3．（2022?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于點，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點是直線下方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點為點的對應(yīng)點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平移后的拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．【答案】見解析【詳解】（1）把，代入得：，解得，拋物線的函數(shù)表達式為；（2）設(shè)直線解析式為，把，代入得：，解得，直線解析式為，設(shè)，則，在中，令得，，，，，，當(dāng)時，取最大值，此時，，；答：的最大值為，此時點的坐標是，；（3）將拋物線向左平移5個單位得拋物線，新拋物線對稱軸是直線，在中，令得，，將，向左平移5個單位得，，設(shè)，，①當(dāng)、為對角線時，、的中點重合，，解得，，，；②當(dāng)、為對角線時，、的中點重合，，解得，，，；③當(dāng)、為對角線時，、的中點重合，，解得，，，；綜上所述，的坐標為：，或，或，．4．（2022?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸交于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點為直線上方拋物線上一動點，過點作軸于點，交于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）的條件下，點與點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．將拋物線向右平移，使新拋物線的對稱軸經(jīng)過點．點在新拋物線上，點在上，直接寫出所有使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．【答案】見解析【詳解】（1）拋物線與軸交于點，與軸交于點．，．拋物線的函數(shù)表達式為；（2），，，，由勾股定理得，，，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，開口向下，，當(dāng)時，的最大值為，此時；（3）由知，對稱軸，，直線，拋物線向右平移個單位，平移后拋物線解析式為，設(shè)，，①與為對角線時，，，，②與為對角線時，，，，③與為對角線時，，，，綜上：或或．5．（2021?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過，．直線交軸于點，是直線下方拋物線上的一個動點．過點作，垂足為，軸，交于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）當(dāng)?shù)闹荛L取得最大值時，求點的坐標和周長的最大值；（3）把拋物線平移，使得新拋物線的頂點為（2）中求得的點．是新拋物線上一點，是新拋物線對稱軸上一點，直接寫出所有使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．【答案】見解析【詳解】（1）拋物線經(jīng)過，，，解得：，該拋物線的函數(shù)表達式為；（2）如圖1，設(shè)直線的函數(shù)表達式為，，，，解得：，直線的函數(shù)表達式為，令，得，解得：，，設(shè)，其中，點在直線上，軸，，，，，，，，又軸，，，，，，的周長為，令的周長為，則，，當(dāng)時，周長取得最大值，最大值為．此時，點的坐標為．（3）如圖2，滿足條件的點坐標為，，．由題意可知，平移后拋物線的函數(shù)表達式為，對稱軸為直線，①若是平行四邊形的對角線，當(dāng)與互相平分時，四邊形是平行四邊形，即經(jīng)過的中點，點的橫坐標為2，點的橫坐標為2，點的坐標為，②若是平行四邊形的邊，Ⅰ．當(dāng)且時，四邊形是平行四邊形，，，點的橫坐標為2，點的橫坐標為，點的坐標為；Ⅱ．當(dāng)且時，四邊形是平行四邊形，，，點的橫坐標為2，點的橫坐標為，點的坐標為；綜上所述，點的坐標為或或．6．（2021?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．（1）求該拋物線的解析式；（2）直線為該拋物線的對稱軸，點與點關(guān)于直線對稱，點為直線下方拋物線上一動點，連接，，求面積的最大值．（3）在（2）的條件下，將拋物線沿射線平移個單位，得到新的拋物線，點為點的對應(yīng)點，點為的對稱軸上任意一點，在上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并任選其中一個點的坐標，寫出求解過程．【答案】見解析【詳解】（1）將，代入得，，，（2）當(dāng)時，，點，點與點關(guān)于直線對稱，且對稱軸為直線，，，直線的函數(shù)關(guān)系式為：，設(shè)，作軸交直線于，，，，當(dāng)時，最大為8，（3）直線與軸正方向夾角為，沿方向平移，實際可看成向右平移4個單位，再向下平移4個單位，，，拋物線平移后，拋物線的對稱軸為：直線，當(dāng)為平行四邊形的邊時：若平移到對稱軸上點，則的橫坐標為，代入得，，若平移到對稱軸上點，則的橫坐標為，代入得，，若為平行四邊形的對角線時，若平移到對稱軸上點，則平移到點，的橫坐標為，代入得，或或.7．（2023?沙坪壩區(qū)模擬）如圖，拋物線與軸交于，兩點，點的坐標為，拋物線與軸交于點，對稱軸為直線，連接，過點作交拋物線于點．（1）求拋物線的解析式；（2）點是線段下方拋物線上的一個動點，過點作軸交直線于點，過點作交直線于點，連接，求面積的最大值及此時點的坐標；（3）在第（2）小問的條件下，將原拋物線沿著射線方向平移，平移后的拋物線過點，點在平移后拋物線的對稱軸上，點是平面內(nèi)任意一點，是否存在以、、、為頂點的四邊形是以為邊的菱形，若存在，直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）點的坐標為，拋物線的對稱軸為直線，則點，，設(shè)拋物線的表達式為：，即，即，解得：，故拋物線的表達式為：；（2）由點、、的坐標知，，，，則為直角三角形且為直角，，為直角，則，由點、的坐標得，直線的表達式為：①，同理可得：直線的表達式為：，直線的表達式為：，設(shè)點，則點，，則直線的表達式為：②，聯(lián)立①②得：，解得：，則面積，，故面積有最大值，最大值為：，此時，，點，；（3）存在，理由：，設(shè)拋物線沿向右個單位，則向上平移個單位，則平移后的拋物線表達式為：，將點的坐標代入上式得：，解得：，則新拋物線的對稱軸為，則設(shè)點，，點，由點、的坐標得，，當(dāng)為菱形的邊時，則，即，解得：或，即點的坐標為，或，，當(dāng)為菱形的邊時，的中點即為的中點，由中點坐標公式得：，則點的坐標為：，或，．8．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）如圖1，點為直線與拋物線在軸上的一個交點，點為直線上一點，拋物線與軸交于點．（1）求的面積；（2）點是直線上方的拋物線上一點，過作軸交直線于，作軸交直線于，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線向右平移2個單位得到新拋物線，平移后的拋物線與原拋物線交于點，點是新拋物線的對稱軸上一點．若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標．【答案】見解析【詳解】（1）當(dāng)時，解得：，即點；令，則或3，即點，設(shè)直線和軸的交點為點，則點，則的面積；（2）如圖2，由直線的表達式知，，軸，則，則，則，則，設(shè)點，則點，則，即的最大值為，則的最大值為：，此時，點，；（3）①，則平移后的拋物線表達式為：②，聯(lián)立①②得：，解得：，則點，設(shè)點，由點、、的坐標得，，，，當(dāng)時，則，解得：，則點的坐標為：或；當(dāng)時，則，解得：，即點的坐標為：或，綜上，點的坐標為：或或或．9．（2023?沙坪壩區(qū)校級一模）如圖，拋物線與軸交于點、，與軸交于點，拋物線的對稱軸為直線，點是拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）過點作交對稱軸于點，在直線下方對稱軸右側(cè)的拋物線上有一動點，過點作軸交直線于點，過點作交于點，求最大值及此時點的坐標；（3）將原拋物線沿著軸正方向平移，使得新拋物線經(jīng)過原點，點是新拋物線上一點，點是平面直角坐標系內(nèi)一點，是否存在以、、、為頂點的四邊形是以為對角線的菱形，若存在，求所有符合條件的點的坐標．【答案】見解析【詳解】（1）拋物線與軸交于點，、，與軸交于點，拋物線的對稱軸為直線，設(shè)拋物線的頂點式為，將，代入得，，；（2），，，，，，，是等腰直角三角形，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，設(shè)，則，，，，，，當(dāng)時，最大值為，此時點的坐標為，；（3）由題意得，將原拋物線沿著軸正方向平移個單位，新拋物線經(jīng)過原點，新拋物線的解析式為，作的垂直平分線交軸于，垂足為，拋物線與軸交于點，、，與軸交于點，拋物線的對稱軸為直線，，、，，，垂直平分，，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，，，直線的解析式為，聯(lián)立得，解得或，或，以、、、為頂點的四邊形是以為對角線的菱形，點的坐標為，或，．10．（2023?沙坪壩區(qū)校級一模）如圖，拋物線與軸交于點，（點在點的左側(cè)），與軸交于點，拋物線的對稱軸與直線的交點為．（1）如圖1，求直線的表達式；（2）如圖1，點是直線上方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交直線于點，過點作軸的平行線交直線于點，求周長的最大值和此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線沿射線方向平移4個單位得到新拋物線，新拋物線與坐標軸軸交于點．點與點關(guān)于軸對稱，連接，將沿直線平移得到△．平移過程中，在直線上是否存在點，使得，，，為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標，并寫出求解其中一個點坐標的過程．【答案】見解析【詳解】（1）在中，令，得，，令，得，解得：，，，，，，設(shè)直線的表達式為，則，解得：，直線的表達式為；（2）設(shè)，則，，軸，軸，，，，記的周長為，的周長為，，，，，，，在中，，，即，，，，當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)時，，此時點的坐標為，；（3）平移過程中，在直線上存在點，使得，，，為頂點的四邊形是菱形．，原拋物線的頂點坐標為，，對稱軸為直線，拋物線沿射線方向平移4個單位得到新拋物線，原拋物線向左平移個單位，再向上平移2個單位得到新拋物線，即新拋物線的頂點坐標為，，新拋物線的解析式為，令，得，，點與點關(guān)于軸對稱，，原拋物線的對稱軸與直線的交點為，，，，，，是等邊三角形，將沿直線平移得到△，，，即向右平移個單位，向上平移個單位，得到等邊△，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，設(shè)，當(dāng)、為菱形的對角線時，與的中點重合，，解得：，，；當(dāng)、為菱形的對角線時，與的中點重合，，解得：，，；當(dāng)、為菱形的對角線時，與的中點重合，，解得：，，；綜上所述，點的坐標為，或，或，．11．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，，與軸于點，連接，為拋物線的頂點．（1）求該拋物線的解析式；（2）點為直線下方拋物線上的一動點，過作于點，過作軸于點，交直線于點，求的最大值，以及此時點的坐標；（3）將拋物線沿射線方向平移，平移后的圖象經(jīng)過點，點為的對應(yīng)點，平移后的拋物線與軸交于點，點為平移后的拋物線對稱軸上的一點，且點在第一象限．在平面直角坐標系中確定點，使得以點，，，為頂點的四邊形為菱形，請寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．【答案】見解析【詳解】（1）拋物線與軸交于點、兩點，拋物線的表達式為：，即；（2），令，則，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，軸，軸，，，，，，，，，設(shè)，則，，當(dāng)時，最大為2，的最大值為，此時點的坐標為；（3）將拋物線沿射線方向平移，，，設(shè)拋物線向上平移個單位，向右平移個單位，新拋物線的解析式為，平移后的圖象經(jīng)過點，，解得或（舍去），新拋物線的解析式為，點，，點的坐標為，設(shè)，，，，，①當(dāng)時，，解得或（舍去），此時，、為對角線，，，，，，；②當(dāng)時，，解得，此時，、為對角線，，，，，，；③當(dāng)時，，解得或（舍去），此時，、為對角線，，，，，，；綜上所述，點的坐標為或或．12．（2023?渝中區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點、點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，連接．（1）求線段的長度；（2）如圖1，點為直線上方拋物線上一動點，過點作交軸于點，連接交于點，連接，求面積的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，點與點關(guān)于原拋物線對稱軸對稱，將原拋物線沿著射線方向平移個單位，得到新拋物線，為直線與軸的交點，為直線上一點，將直線繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，交新拋物線于點，點為平面直角坐標系內(nèi)任意一點，直接寫出所有使得四邊形為菱形的點的橫坐標．【答案】見解析【詳解】（1）拋物線與軸交于點、點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，令，得，令，得，解得：，，，，，，，在中，；（2）如圖1，過點作軸，交直線于點，交直線于點，作于點，交于點，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，，設(shè)直線的解析式為，把代入，得，解得：，直線的解析式為，令，得，，在中，，設(shè)，則，，軸，，，，，即，，，，當(dāng)時，取得最大值，此時點的坐標為，；（3），拋物線的對稱軸為直線，頂點為，點與點，關(guān)于直線對稱，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，將原拋物線沿著射線方向平移個單位，得到新拋物線，即將原拋物線向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到新拋物線，新拋物線為，為直線與軸的交點，，設(shè)，將直線繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，則，當(dāng)為菱形的對角線時，如圖2、圖3，設(shè)直線交軸于點，直線交軸于點，則，，，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立方程組，得，，解得：，，當(dāng)為菱形的對角線時，如圖2、圖3，設(shè)直線交軸于點，直線交軸于點，則，，，，，，，，，同理可得直線的解析式為，聯(lián)立方程組，得，，解得：，，綜上所述，點的橫坐標為或或或．13．（2023?沙坪壩區(qū)校級二模）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點（點在點左側(cè)），與軸交于點．（1）求直線的解析式；（2）點是直線上方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，在（2）中取得最大值的條件下，將拋物線沿著射線方向平移得到新拋物線，且新拋物線經(jīng)過線段的中點，新拋物線與軸交于點，點為新拋物線對稱軸上一點，點為坐標平面內(nèi)一點，若以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．【答案】見解析【詳解】（1）令，得，解得：，，，，令，得，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為；（2）設(shè)，則，，，，，，軸，軸，，，，，即，，，，當(dāng)時，取得最大值，此時點的坐標為；（3），，拋物線沿著射線方向平移得到新拋物線，且新拋物線經(jīng)過線段的中點，相當(dāng)于向右平移1個單位，向下平移個單位，新拋物線的函數(shù)表達式為，即，新拋物線對稱軸是直線，與軸交于點，設(shè)，，，又，當(dāng)、是對角線時，與的中點重合，且，，解得：或，點的坐標為，或，；當(dāng)、是對角線時，與的中點重合，且，，解得：，點的坐標為，；當(dāng)、是對角線時，與的中點重合，且，，解得：或，點的坐標為，或，；綜上所述，點的坐標為，或，或，或，或，．14．（2023?渝中區(qū)校級二模）如圖1，拋物線與軸交于和兩點（點在點左側(cè)），與軸交于點，連接，直線經(jīng)過點、．（1）求直線的函數(shù)表達式；（2）點是位于直線上方拋物線上的一個動點，過點作于點，連接．求面積的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿著射線方向平移個單位得到新拋物線，與原拋物線相交于點，點是新拋物線對稱軸上的一個動點，點為平面內(nèi)一點，若以、、、為頂點的四邊形是以為邊的菱形，直接寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．【答案】見解析【詳解】（1）拋物線，令，則，令，則，解得或，，，，直線經(jīng)過點、，，解得，直線的函數(shù)表達式為；（2）過點作軸交于點，過點作于點，設(shè)，則，，，，，，軸，，，是等腰直角三角形，，，，，，面積的最大值為，此時點的坐標為，；（3），，，將拋物線沿著射線方向平移個單位得到新拋物線，即將拋物線向左平移2個單位長度，向下平移6個單位長度，拋物線，新拋物線，解方程組得，，，新拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，，，，①當(dāng)時，，，，點的坐標為，，點的坐標為；②當(dāng)時，，，或，點的坐標為，，點的坐標為或；綜上，點的坐標為或或．15．（2023?渝中區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．（1）求的面積；（2）點是直線下方拋物線上一動點，過作于點，求線段的最大值及此時點的坐標；（3）將拋物線沿射線平移個單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點，將沿直線平移得到△（不與重合），若以點，，為頂點的三角形是以為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點坐標的其中一種情況的過程．【答案】見解析【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得：，，，，，，，，，；（2）過點作軸交于點，，，，，，軸，，，，則當(dāng)最大時，也最大，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，設(shè)，，，當(dāng)時，最大，則，線段的最大值為，此時點的坐標為，；（3），將拋物線沿射線平移個單位得到新拋物線，即原拋物線向下平移個單位長度，向左平移個單位長度，原拋物線，新拋物線，令，解得，，，設(shè)向下平移個單位長度，向左平移個單位長度，則，，，，，，，，①當(dāng)時，，（舍去）或，點的坐標為，；②當(dāng)時，，或，點的坐標為，或，；綜上所述：點的坐標為，或，或，．16．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖1，拋物線與軸相交于點、（點在點左側(cè)），與軸相交于點．（1）求點到直線的距離；（2）點是直線上方拋物線上一動點，過點作直線的垂線，垂足為點，過點作，平行軸交于點，求周長的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，將該拋物線向左平移2個單位長度得到新的拋物線，平移后的拋物線與原拋物線相交于點，點為直線上的一點，點是平面坐標系內(nèi)一點，是否存在點，，使以點，，，為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）連接，過作于，如圖：在中，令得，，，在中，令得，解得：或，，，，，，，，，點到直線的距離為；（2）由，可得直線解析式為，，，軸，，是等腰直角三角形，，，設(shè)，則，，，當(dāng)時，周長最大，最大為，此時，；（3）存在點，，使以點，，，為頂點的四邊形為菱形，理由如下：將拋物線向左平移2個單位長度得到新的拋物線，由得，，設(shè)，，又，①以，為對角線，則，的中點重合，且，，解得或，，或，；②以，為對角線，則，中點重合，且，，解得與重合，舍去）或，；③以，為對角線，則，的中點重合，且，，解得，，；綜上所述，的坐標為，或，或或，．17．（2023?兩江新區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點為線段下方拋物線上的一動點，過點作軸交直線于點，為上一點，且，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿射線方向平移，得到新拋物線，新拋物線和原拋物線交于點，與軸交于點，點是新拋物線對稱軸上的一點，若是以為腰的等腰三角形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．【答案】見解析【詳解】（1）把，代入得：，解得，拋物線的函數(shù)表達式為；（2）如圖：在中，令得，，，，，，直線函數(shù)表達式為，設(shè)，則，，，軸，，，，，即，；，當(dāng)時，取最大值，最大值為，此時，的最大值為，此時點的坐標是；（3）直線函數(shù)表達式為，將拋物線沿射線方向平移個單位，相當(dāng)于向右平移個單位，再向上平移個單位，新拋物線函數(shù)表達式為，新拋物線和原拋物線交于點，，解得（舍去）或，新拋物線函數(shù)表達式為，新拋物線對稱軸是直線，設(shè)，，在中，令得，，，，，，①若為腰，則，，解得，，；②若為腰，則，，解得或，，或，，綜上所述，點的坐標為，或，或，．18．（2023?沙坪壩區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點．（1）求線段的長度；（2）點為直線下方拋物線上的一動點，且點在拋物線對稱軸左側(cè)，過點作軸，交于點，作軸，交拋物線于點．求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿著射線方向平移個單位長度，得到一條新拋物線，為射線上的動點，過點作軸交新拋物線的對稱軸于點，點為直角坐標系內(nèi)一點，請直接寫出所有使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．【答案】見解析【詳解】（1）在中，令得；；令得：，解得或，，，，線段的長度為；（2），拋物線的對稱軸是直線，設(shè)，由，得直線的解析式為，，，關(guān)于直線對稱，，，，當(dāng)時，取最大值6，此時的坐標為；（3），，將拋物線沿著射線方向平移個單位長度相當(dāng)于先向左平移3個單位，再向上平移2個單位，新拋物線解析式為，新拋物線的對稱軸為直線；設(shè)，，則，而，①若，為對角線，則，的中點重合，且，，解得：或（此時不在射線上，舍去）；，；②若，為對角線，則，的中點重合，且，，解得：（此時，重合，舍去）或，；③若，為對角線，則，的中點重合，且，，解得：或，，或，；綜上所述，的坐標為，或或，或，．19．（2023?渝中區(qū)校級一模）已知拋物線與軸交于、兩點點在點左側(cè)），與軸交于點，且，該拋物線的對稱軸為直線．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1，為直線下方拋物線上一點，過點作軸交直線于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）將該拋物線沿射線方向平移個單位，得到新的拋物線，為與軸的交點，為新拋物線對稱軸上一點，點平移后的對應(yīng)點為，平面內(nèi)是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形為矩形，若存在，請寫出所有點的坐標，并寫出其中一種情況的過程；若不存在，請說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）拋物線與軸交于點，，，，，稱軸為直線，，解得，拋物線的解析式為；（2），，對稱軸為直線，，，，過點作于點，則軸，，，，，即，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，設(shè)，則，，，，當(dāng)時，的最大值為，此時，點的坐標為，；（3）拋物線沿射線方向平移個單位，得到新的拋物線，，拋物線向右平移3個單位，向上平移1個單位，拋物線的解析式為，，新的拋物線，平移后拋物線的對稱軸為，與軸的交點，以、、、為頂點的四邊形為矩形，為直角三角形，設(shè)，，，，，①當(dāng)為對角線，時，，，，，，，，點的坐標為，；②當(dāng)為對角線，時，，，或，的坐標為，或，，，，點的坐標為，或，；③當(dāng)為對角線，時，，，，，，，，點的坐標為，；綜上，存在，點的坐標，或，或，或，．20．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線相交于軸上的點，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)）．（1）求直線的解析式；（2）如圖1，連接，點為直線、之間第二象限拋物線上的一動點，過點作軸交直線點，過點作交于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，將原拋物線沿射線方向平移個單位長度，得到新拋物線，新拋物線與直線交于第一象限的點記為，線段在直線上運動，記運動中的點為，點為，當(dāng)△是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出點的橫坐標．【答案】見解析【詳解】（1）拋物線與直線相交于軸上的點，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），當(dāng)時，代入直線中，得，，將代入拋物線中，得，拋物線為，當(dāng)時，，解得，，，，設(shè)直線的解析式為，將，代入得，，解得，直線的解析式為．答：直線的解析式為．（2）設(shè)點為，則，，，如圖，過點作于，設(shè)交于，交軸于，則，，，軸，，，，，，，，，，，，為等腰直角三角形，，設(shè)，則，，，，，，，，，當(dāng)時，有最大值，此時點的坐標為．答：有最大值，此時點的坐標為．（3），設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，原拋物線沿射線方向平移個單位長度，得到新拋物線，原拋物線向右平移3個單位，向上平移個單位，，，聯(lián)立，解得（舍去），，，由（2）得，當(dāng)時，，，設(shè)，，，，，當(dāng)時，，，解得，或，當(dāng)時，，，解得，，綜上，點的橫坐標為，或．答：點的橫坐標為，或．21．（2023?北碚區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)）．（1）求直線的解析式；（2）如圖1，點為線段上方的拋物線上任意一點，過點作軸于點，交于點．求的最大值及此時點的坐標；（3）將原拋物線沿射線方向平移個單位后得到新拋物線，為新拋物線的對稱軸上一動點，為平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，請直接寫出所有使以點、、、為頂點的四邊形是菱形的點的坐標，并寫出其中一個點的求解過程．【答案】見解析【詳解】（1）拋物線，當(dāng)時，；當(dāng)時，則，解得，，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為．（2）設(shè)，，軸于點，交于點，，，，，當(dāng)時，的值最大，最大值為，此時，．（3）如圖2，設(shè)新拋物線交于點，作軸于點，則，，，，，，，，拋物線的頂點坐標為，，設(shè)拋物線的頂點坐標為，將拋物線向左平移個單位，再向下平移個單位得到拋物線，，，新拋物線的解析式為，它的對稱軸是直線，設(shè)的中點為點，則，當(dāng)菱形以為對角線時，則點與點關(guān)于點對稱，點的橫坐標為，設(shè)，由得，解得，，過點作直線的垂線，垂足為點，則，，當(dāng)菱形以、為鄰邊，菱形以、為鄰邊時，則，，，，，，，，設(shè)，，將線段向右平移6個單位，再向下平多3個單位得到線段，，，；將線段向右平移6個單位，再向下平多3個單位得到線段，，，，，綜上所述，點的坐標為或或，．22．（2023?沙坪壩區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，連接、．（1）求的面積；（2）如圖1，點為線段下方拋物線上一動點，過點作軸交線段于點，過點作交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，點為原拋物線的頂點，動點為新拋物線對稱軸上一點，當(dāng)為等腰三角形時，請寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點坐標的其中一種情況的過程．【答案】見解析【詳解】（1）令，則，解得或，，，，令，則，，，的面積為：；（2）如圖1，過點作軸于點，，，，，，在中，，，，，，，設(shè)點的橫坐標為，，，，直線的解析式為：，，，，，當(dāng)時，的最大值為，此時，．（3）將拋物線沿射線方向平移個單位長度，即將拋物線向左平移1個單位，向上平移個單位，，，點為原拋物線的頂點，動點為新拋物線對稱軸上一點，，的橫坐標為，設(shè)點，，，，，若為等腰三角形時，則需要分以下三種情況：①，則，解得，②，則，解得，③，則，解得，綜上，符合題意的點的坐標為或或或或．23．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，連接、．（1）求的面積；（2）點為直線下方拋物線上的一動點，過點作軸交直線點，求的最大值及此時點的坐標；（3）將原拋物線沿射線方向平移個單位長度，得到新拋物線，新拋物線與軸交于點，點為新拋物線對稱軸上一動點，點為新拋物線上一動點，當(dāng)以、、、為頂點的四邊形的對角線互相平分時，請直接寫出此時點的縱坐標．【答案】見解析【詳解】（1）在中，令，得，，，令，得，解得：，，，，，；（2）設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，設(shè)，則，，如圖，過點作軸于點，則，在中，，，即，，，，當(dāng)時，取得最大值，最大值為，此時點的坐標為，；（3）在射線上取一點，使，過點作軸于點，則，如圖，，，，，，，，即，，，沿射線方向平移個單位相當(dāng)于向右平移個單位，再向上平移個單位，，將拋物線向右平移個單位，再向上平移個單位得到新拋物線，，新拋物線的對稱軸為直線，點為新拋物線對稱軸上一點，點的橫坐標為，設(shè)，，點是新拋物線與軸交點，，點為新拋物線上一動點，設(shè)，當(dāng)以、、、為頂點的四邊形的對角線互相平分時，有三種情形：①若、為對角線，則、的中點重合，，解得：，點的縱坐標為；②若、為對角線，則、的中點重合，，解得：，點的縱坐標為；③若、為對角線，則、的中點重合，，解得：，點的縱坐標為；綜上所述，點的縱坐標為或或．24．（2023?大渡口區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線交于點，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點是直線上方拋物線上的一動點，連接交于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向右平移3個單位，平移后點，的對應(yīng)點分別為，，點為平移后的拋物線的對稱軸上一點，在平移后的拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．【答案】見解析【詳解】（1）把，代入得：，解得，拋物線的函數(shù)表達式為；（2）過作軸于，過作軸于，如圖：由，得直線函數(shù)表達式為，設(shè)，直線函數(shù)表達式為，，解得，直線函數(shù)表達式為，聯(lián)立，解得，，，，，，，當(dāng)時，取最大值，最大值為，此時，，的最大值為，此時點的坐標是，；（3），將拋物線沿水平方向向右平移3個單位所得新拋物線函數(shù)表達式為，新拋物線對稱軸為直線，又，，，，，，設(shè)，，，；①若以，為平行四邊形對角線，則，的中點重合，，解得，；②若，為對角線，同理可得；，解得，；③若，為對角線，同理得；，解得，，綜上所述，的坐標為或或．25．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于，兩點，與軸交于點，連接，．（1）求線段的長度；（2）點是直線上方拋物線上的一動點，過點作軸的垂線分別交，軸于點，，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個單位長度，為點的對應(yīng)點，平移后的拋物線與軸交于點，點是平移后的拋物線的對稱軸上的一點，平面直角坐標系內(nèi)是否存在一點，使得以點、、、為頂點的四邊形是以為邊的菱形，寫出所有符合條件的點的坐標，并任選其中一個點的坐標，寫出求解過程．【答案】見解析【詳解】（1）在中，令，得，，，令，得，解得：，，，，，，在中，；（2）設(shè)直線的解析式為，將，代入，得：，解得：，直線的解析式為，設(shè)，則，，，，，，當(dāng)時，取得最大值，最大值為，此時點的坐標為；（3），，將拋物線沿著射線方向平移個單位長度相當(dāng)于先向左平移3個單位，再向下平移6個單位，新拋物線解析式為，新拋物線的對稱軸為直線；為點的對應(yīng)點，，平移后的拋物線與軸交于點，，點是平移后的拋物線的對稱軸上的一點，點是平面直角坐標系內(nèi)一點，設(shè)，，，①若，為對角線，則，的中點重合，且，，解得：或，，或，；②若，為對角線，則，的中點重合，且，，解得：，，；綜上所述，點的坐標為，或，或，．26．（2023?重慶模擬）如圖，拋物線與軸相交于點，點在的左側(cè)），與軸相交于點，連接，．（1）求的面積；（2）如圖，點是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，過點作軸，交直線于點，當(dāng)有最大值時，求的最大值與點的坐標；（3）將拋物線向右平移2個單位得到新拋物線，點為原拋物線與新拋物線的交點，點是原拋物線對稱軸上一點，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，直接寫出點的坐標．【答案】見解析【詳解】（1）對于①，當(dāng)時，，即點，令，則或，即點、的坐標分別為：、，則，則的面積，即的面積為9；（2）在中，，，則，則，則，由點、的坐標得，直線的表達式為：，設(shè)點，則點，則，的最大值為：，此時，點，；（3）②，聯(lián)立①②得：，解得：，則點，設(shè)點，而點，則，，，當(dāng)時，則，解得：，即點的坐標為：或；當(dāng)時，則，解得：，即點的坐標為：；綜上，點的坐標為：或或．27．（2023?渝中區(qū)模擬）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點是第三象限拋物線上一動點，連接，，求面積的最大值，并求出此時點的坐標；（3）若點在拋物線的對稱軸上，線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)后，點的對應(yīng)點恰好也落在此拋物線上，求點的坐標（如果有多個答案只需寫出其中一個答案的解答過程，其余答案直接寫出結(jié)果）．【答案】見解析【詳解】（1）拋物線與軸交于點和點，，解方程組，得．拋物線的表達式為；（2）如圖，過點作軸于點，設(shè)，．，，．當(dāng)時，．點的坐標為．．，當(dāng)時，最大，且最大值為．此時，點的坐標為；（3），拋物線的對稱軸為，點在拋物線的對稱軸上，設(shè)，線段繞點時順針旋轉(zhuǎn)后，點的對應(yīng)點恰好也落在此拋物線上，分兩種情況：①當(dāng)時，要使，由圖可知點與點重合．設(shè)拋物線對稱軸與軸相交于點，，．．②當(dāng)時，由題意，得，，如圖，過作對稱軸于點，，，，，△△，，，，代入得，解得，（舍去），．滿足條件的點的坐標為或．28．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸分別交于，兩點（點在點左側(cè)），與軸交于點．（1）求的面積；（2）點為直線上方拋物線上的任意一點，過點作軸交直線于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線沿著水平方向向右平移2個單位長度得到新的拋物線，點為原拋物線與平移后的拋物線的交點，點為平移后的拋物線對稱軸上的一動點，點為坐標平面內(nèi)的一點，直接寫出所有使得以點、、、為頂點的四邊形是菱形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的求解過程寫出來．【答案】見解析【詳解】（1）令，則，解得或，，，，令，則，，，的面積為：；（2）如圖1，過點作軸于點，，，，，軸，，設(shè)直線的解析式為：，，解得，直線的解析式為：，設(shè)點的坐標為，則，，，，當(dāng)時，的最大值為，此時；（3）將拋物線沿著水平方向向右平移2個單位長度得到新的拋物線，，新的拋物線，平移后的拋物線對稱軸為直線，點為原拋物線與平移后的拋物線的交點，點為平移后的拋物線對稱軸上的一動點，，設(shè)，，，，，以點、、、為頂點的四邊形是菱形時，則需要分以下三種情況：①當(dāng)為對角線時，，則，解得，或，點的坐標為或；②當(dāng)為對角線時，，則，解得，或，點的坐標為或；③當(dāng)為對角線時，，則，解得，，此時，、、三點共線，是線段的中點，此種情況不存在；綜上，符合題意的點的坐標為或或或．29．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，（點在點的左側(cè)），與軸交于點，且點的坐標為．（1）求點的坐標；（2）如圖1，若點是第二象限內(nèi)拋物線上一動點，求點到直線距離的最大值；（3）如圖2，若點是拋物線上一點，點是拋物線對稱軸上一點，是否存在點使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）點在拋物線的圖象上，，點的坐標為；（2）過作于點，過點作軸交于點，如圖，，是等腰直角三角形，，軸，，是等腰直角三角形，，當(dāng)最大時，最大，設(shè)直線解析式為，將代入得，，直線解析式為，設(shè)，，則，，，當(dāng)時，最大為，此時最大為，即點到直線的距離值最大；（3）存在，理由如下：，拋物線的對稱軸為直線，設(shè)點的坐標為，點的坐標為，分三種情況：①當(dāng)為平行四邊形對角線時，，解得，點的坐標為；②當(dāng)為平行四邊形對角線時，，解得，點的坐標為；③當(dāng)為平行四邊形對角線時，，解得，點的坐標為；綜上，點的坐標為：或或．30．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．（1）求直線的表達式；（2）如圖1，連接，，若點是第二象限內(nèi)拋物線上一點，過作軸，交于點，過作交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)取最大值時，將拋物線沿射線方向平移個單位，得到新拋物線，新拋物線與軸交于點，為軸右側(cè)新拋物線上一點，過作軸交射線于點，連接，當(dāng)為等腰三角形時，直接寫出點的坐標．【答案】見解析【詳解】（1）在中，令，得：，，令，得，解得：，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為；（2）延長交軸于，如圖：，，，是等腰直角三角形，，，，軸，是等腰直角三角形，，設(shè)，則，，，，，，當(dāng)時，取最大值，此時；（3），，，，在中，，，將拋物線沿射線方向平移個單位，相當(dāng)于把拋物線向右移6個單位，再向上移3個單位，如圖：新拋物線，新拋物線與軸交于點，，，直線解析式為，設(shè)，則，，，，當(dāng)時，，解得（與重合，舍去）或或，或；當(dāng)時，，解得（舍去）或，，，當(dāng)時，，解得（舍去）或或，或，綜上所述，的坐標為或或，或或．31．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，兩點，與軸交于點，連接，．（1）求出的面積；（2）如圖，點是直線上方拋物線上一點，是線段上一點且滿足，求的最大值及此時點的坐標；（3）將該拋物線沿射線方向平移2個單位得到新的拋物線，為與軸的交點，為新拋物線對稱軸上一點，點平移后的對應(yīng)點為，在平面內(nèi)確定一點，使得以，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出其中一種情況的過程．【答案】見解析【詳解】（1）對于①，當(dāng)時，，令，則或，即點、、的坐標分別為：，、，、，則的面積；（2）由點、的坐標知，，則，由點、的坐標得，直線的表達式為：，設(shè)，則點，則，則，，故有最大值為4，此時點的坐標為：，；（3）拋物線沿射線方向平移2個單位，相當(dāng)于拋物線向右平移個單位、向下平移1個單位，則點，，則，則點，設(shè)點，，點，由點、的坐標得，，由點、的坐標得：點向左平移個單位向下3個單位得到點，則點且向左平移個單位向下3個單位得到點且，則或，解得：或，故點的坐標為：，或，．32．（2023?大渡口區(qū)模擬）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，與軸交于點．（1）求和的值．（2）若點與點關(guān)于直線對稱，連接．①求點的坐標；②若點在反比例函數(shù)的圖象上，點在軸上，以點，，，為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，直接寫出點的坐標；若不能，請說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）將點代入得：，，直線的表達式為，把點代入，得：，，將代入得：，；（2）①連接，過作軸于，如圖：，，，是等腰直角三角形，，由點與點關(guān)于直線對稱，知，，，即，，點的坐標為；②以點，，，為頂點的四邊形能為平行四邊形，理由如下：設(shè)，，又，，（Ⅰ）若，是對角線，則，的中點重合，，解得，，；（Ⅱ）若，為對角線，則，的中點重合；，解得，；（Ⅲ）若，為對角線，則，的中點重合，，解得，，綜上所述，的坐標為，或或．33．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，已知，直線的解析式為．（1）求拋物線的解析式；（2）在線段上有一動點，過點作交拋物線于點，過點作軸的平行線交于點，求的最大值以及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線沿軸向下平移5個單位長度得到新拋物線，平移后的拋物線與坐標軸的交點分別為、、，在平面內(nèi)找一點，使得以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出點的坐標．【答案】見解析【詳解】（1）對，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，拋物線經(jīng)過點，，設(shè)拋物線的解析式為，將點代入得，，，二次函數(shù)的解析式為；（2）點，點，，是等腰直角三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，當(dāng)取最大時，取得最大值，設(shè)點的坐標為，則點的坐標為，，時，的最大值為，的最大值為，點的坐標為，；（3）函數(shù)向下平移5個單位，平移后的拋物線的解析式為，的坐標為，令，得，解得：或，點，，設(shè)點為，當(dāng)以為對角線時，有，解得：，點的坐標為；當(dāng)以為對角線時，有，解得：，點的坐標為；以為對角線時，有，解得：，點的坐標為；綜上所述，以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形時，點的坐標為或或．34．（2023?潼南區(qū)二模）拋物線交軸于、兩點，交軸于點．直線交軸于點，交拋物線于、兩點．（1）如圖1，求，，的值；（2）如圖2，為直線上方拋物線上一動點，軸交軸于點，交于點；過點平行軸的直線交于點，求線段的最大值及此時對應(yīng)點的坐標；（3）如圖3，將拋物線沿線平移一定的距離得新拋物線，使得拋物線過點，為新拋物線的頂點．點為拋物線上的一動點，點、為直線上的兩個動點，當(dāng)以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形時，請直接寫出所有符合條件的點的坐標，并選一個點坐標，寫出推理過程．【答案】見解析【詳解】（1）設(shè)拋物線的表達式為，則，則，則拋物線的表達式為：；將點的坐標代入一次函數(shù)表達式得：，則，則一次函數(shù)的表達式為：，即，，；（2）由一次函數(shù)的表達式知，，則，則，，則有最大值，為，此時點，；（3）由拋物線的表達式知，其頂點為，設(shè)拋物線沿射線向左移動個單位，則平移后拋物線的頂點為，平移后拋物線的解析式為，新拋物線經(jīng)過點，，解得或0（舍，，設(shè)點、的坐標分別為、，點，當(dāng)為對角線時，由中點坐標公式得：，解得：，則點的坐標為：，或，；當(dāng)或為對角線時，同理可得：或，解得：或，即點的坐標為：或；綜上，點的坐標為：，或，或或．35．（2023?銅梁區(qū)模擬）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸為直線，（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，是線段上方拋物線上一動點，過作交于，交于，求的最大值及此時點的坐標；（3）如圖2，將拋物線向左平移4個單位長度得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點，為直線上一動點，是坐標平面上一點，為（2）中取最大值時的點，當(dāng)以，，，為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出所有符合條件的點的坐標．【答案】見解析【詳解】（1）由題意得：，解得：，則拋物線的表達式為：①；（2）由函數(shù)的對稱性知，點，由拋物線的表達式知，點，則，則，由點、的坐標知，直線的表達式為：，設(shè)點的坐標為：，則點，則，即的最大值為4，此時點的坐標；（3）平移后的拋物線的表達式為：②，聯(lián)立①②并解得：，即點，設(shè)點，點，當(dāng)是對角線時，由中點坐標公式和得：，解得，即點的坐標為：，或，；當(dāng)或是對角線時，由中點坐標公式和或得：或，解得：或，即點的坐標為：，或；綜上，點的坐標為：，或，或，或．36．（2023?潼南區(qū)一模）如圖1，