專題14銳角三角函數(shù)與解直角三角形（原卷版）

專題14銳角三角函數(shù)與解直角三角形一、單選題1．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin∠A＝，則cosB＝（）A． B． C． D．2．（2023·河南洛陽(yáng)·東方二中?？级＃┤鐖D，為測(cè)量一條河的寬度，分別在河岸一邊相距米的A、B兩點(diǎn)處，觀測(cè)對(duì)岸的標(biāo)注物，測(cè)得、，那么這條河的寬度是（

）A．米 B．米 C．米 D．米3．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，相交于點(diǎn)O，則（

）A． B． C． D．4．（2023·陜西西安·統(tǒng)考二模）在中，，已知，，那么下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．5．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)?？级＃┤鐖D，為蹺蹺板的中點(diǎn)，支柱與地面垂直，垂足為點(diǎn)，當(dāng)蹺蹺板的一端著地時(shí)，蹺蹺板與地面的夾角，測(cè)得．則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東東莞·?？级＃┤鐖D，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足為E，DE與AC交于點(diǎn)F，則sin∠DFC的值為（）A． B． C． D．7．（2023·廣東汕頭·林百欣中學(xué)校考二模）將拋物線先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)是點(diǎn)，連接、，則的值為（

）A． B． C． D．8．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，為直徑，內(nèi)接于，為內(nèi)心，交圓于D，且于I，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題9．（2023·陜西西安·?？级＃┰谥?，，，則的值為______.10．（2023·湖南邵陽(yáng)·校聯(lián)考二模）在中，，若，則_____．11．（2023·安徽阜陽(yáng)·統(tǒng)考二模）由6個(gè)形狀相同、大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)，，都在格點(diǎn)網(wǎng)格線的交點(diǎn))上，若，則的值為______．12．（2023·廣東汕尾·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、O在小正方形的頂點(diǎn)上，則_________13．（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，兩條直角邊，的長(zhǎng)度分別為，，折疊，使點(diǎn)，重合，為折痕，連接，則_________．14．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sinA的值為_______．15．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）如圖，將矩形紙片沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，與邊相交于點(diǎn)F．如果，那么的正弦值等于_____．16．（2023·湖北黃岡·校考二模）某艦艇上午9時(shí)在A處測(cè)得燈塔C在其南偏東的方位上，然后以每小時(shí)海里的速度沿南偏東的方向航行，時(shí)到達(dá)B處，在B處測(cè)得燈塔C在其北偏東的方位上，則B處到燈塔C的距離是_________．17．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考二模）高速公路上有一種標(biāo)線叫縱向減速標(biāo)線，外號(hào)叫魚骨線，作用是為了提醒駕駛員在開車時(shí)減速慢行．如圖，用平行四邊形表示一個(gè)“魚骨”，平行于車輛前行方向，，過B作的垂線，垂足為（A點(diǎn)的視覺錯(cuò)覺點(diǎn)），若，則________．18．（2023·廣東深圳·深圳市南山外國(guó)語學(xué)校校聯(lián)考二模）如圖，某學(xué)校數(shù)學(xué)探究小組利用無人機(jī)在操場(chǎng)上開展測(cè)量教學(xué)樓高度的活動(dòng)，此時(shí)無人機(jī)在高地面米的點(diǎn)處，操控者站在點(diǎn)處，無人機(jī)測(cè)得點(diǎn)的俯角為．測(cè)得教學(xué)樓樓頂點(diǎn)處的俯角為，操控者和教學(xué)樓的距離為米，則教學(xué)樓的高度是______米．19．（2023·寧夏吳忠·統(tǒng)考二模）公元三世紀(jì)，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果大正方形的面積是25，小正方形面積是1，則=___________．20．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校?？级＃┮阎赫叫蔚倪呴L(zhǎng)為8，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，若，則的值是________．三、解答題21．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）2023年3月，在天府新區(qū)組織的“迎大運(yùn)盛會(huì)，創(chuàng)文明典范——小手拉大手”暨天府少年追光行動(dòng)啟動(dòng)儀式上，某學(xué)校的中國(guó)鼓表演獲得了大家的一致好評(píng)．圓圓同學(xué)按照中國(guó)鼓（上下兩個(gè)面是半徑相同的圓）畫出了它的主視圖．如圖，點(diǎn)O是圖形內(nèi)部一點(diǎn)，若，，求該鼓的厚度．（精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，）22．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，在坡角為的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹，當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線成角沿斜坡照下時(shí)，在斜坡上的樹影長(zhǎng)為米，求大樹的高．（結(jié)果精確到米，，）23．（2023·安徽阜陽(yáng)·統(tǒng)考二模）圖1是某型號(hào)挖掘機(jī)，該挖掘機(jī)是由基座、主臂和伸展臂構(gòu)成的，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖（是基座的高，是主臂，是伸展臂）．已知主臂長(zhǎng)為米，伸展臂長(zhǎng)為米，當(dāng)伸展臂伸展角時(shí)，求挖掘機(jī)能挖得到的距離的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）24．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）為給人們的生活帶來方便，共享單車的租賃在我市正方興未艾．圖1是公共自行車的實(shí)物圖，圖2是公共自行車的車架示意圖，點(diǎn)A、D、C、E在同一條直線上，，，，于點(diǎn)，座桿，且．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求的長(zhǎng)；(2)求點(diǎn)到的距離（結(jié)果保留整數(shù)）．25．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖，有A，B兩個(gè)居民樓，相距100米，B樓在A樓的東北方向，在點(diǎn)C處有一處超市，該超市在樓A的北偏西方向上，在樓B的北偏西方向上，求超市C與樓A的距離．（結(jié)果保留整數(shù)，，，）26．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）如圖，在修建公路時(shí)，需要挖掘一段隧道，已知點(diǎn)A、B、C、D在同一直線上，，，米；(1)求隧道兩端B、C之間的距離（精確到個(gè)位）；（參考數(shù)據(jù)：，，）．(2)原計(jì)劃單向開挖，但為了加快施工進(jìn)度，從B、C兩端同時(shí)相向開挖，這樣每天的工作效率提高了20%，結(jié)果提前2天完工．問原計(jì)劃單向開挖每天挖多少米？27．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）圖示為某校園的閘口，其雙翼展開時(shí)為兩個(gè)圓心角的扇形，，C、D處于同一水平線上且距離地面高度為，水平距離為．(1)求A點(diǎn)距離地面的高度（精確到）(2)為了起到有效的阻隔作用，要求，請(qǐng)通過計(jì)算說明該設(shè)備的安裝是否符合要求．（參考數(shù)據(jù)）28．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）為測(cè)量校園某一塊路線指示牌的高度，小明繪制了該指示牌支架側(cè)面的截面圖如圖所示，并測(cè)得，，，，四邊形為矩形底座，且．請(qǐng)幫助小明求出指示牌最高點(diǎn)到地面的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）29．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考二模）2022年12月7日，國(guó)務(wù)院發(fā)布10條防疫政策，宣告我國(guó)3年疫情開始全面放開，但個(gè)人衛(wèi)生防護(hù)依然不能放松，為加強(qiáng)學(xué)生自我防護(hù)意識(shí)，學(xué)校購(gòu)進(jìn)一批酒精消毒瓶如圖11．所示，為噴嘴，為按壓柄，為伸縮連桿，和為導(dǎo)管，其示意圖如圖2，，，．當(dāng)按壓柄按壓到底時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)到，此時(shí)（如圖3）．(1)求點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)的路徑長(zhǎng)；(2)求點(diǎn)D到直線的距離（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）30．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）智能如果安裝了一款測(cè)量軟件“SmartMeasure”后，就可以測(cè)量物高、寬度和面積等．如圖，打開軟件后將攝像頭的屏幕準(zhǔn)星對(duì)準(zhǔn)腳部按鍵，再對(duì)準(zhǔn)頭部按鍵，即可測(cè)量出人體的高度．其數(shù)學(xué)原理如圖②所示，測(cè)量者與被測(cè)量者都垂直于地面．(1)如圖①若顯示，，請(qǐng)確定此時(shí)被測(cè)量者的身高的長(zhǎng)；(2)如圖②若顯示，，，求此時(shí)被測(cè)量物的高．（結(jié)果保留根號(hào)）（，，）31．（2023·山西·校聯(lián)考二模）太陽(yáng)能路燈具有安全性能高、節(jié)能環(huán)保、經(jīng)濟(jì)實(shí)用等特點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于主、次干道，工廠，旅游景點(diǎn)等場(chǎng)所．如圖是太陽(yáng)能板及支架部分的示意圖，是太陽(yáng)能板，點(diǎn)A與點(diǎn)B是支架部分與太陽(yáng)能板的連接點(diǎn)，點(diǎn)C是支架部分與燈桿的連接點(diǎn)，點(diǎn)D是燈桿上一點(diǎn)，支架的長(zhǎng)為，與燈桿的夾角，支架的長(zhǎng)為，與燈桿的夾角，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在同一豎直平面內(nèi)，求點(diǎn)A和點(diǎn)B距地面的高度差．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）32．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）圖1是一款擺臂遮陽(yáng)篷的實(shí)物圖，圖2是其側(cè)面示意圖．如圖2，點(diǎn)A，O為墻壁上的固定點(diǎn)，m，擺臂OB可繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中遮陽(yáng)篷可自由伸縮，篷面始終保持平整，當(dāng)擺臂與墻壁垂直時(shí)，身高為m的同學(xué)（m）站在遮陽(yáng)篷下距離墻角m（m）處，剛好不被陽(yáng)光照射到，測(cè)得此時(shí)與擺臂的夾角，光線與水平地面的夾角，求的高度．（結(jié)果精確到m．參考數(shù)據(jù)：，，，）33．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）圖1是某地下商業(yè)街的入口的玻璃頂，它是由立柱、斜桿、支撐桿組成的支架撐起的，圖2是它的示意圖．經(jīng)過測(cè)量，支架的立柱與地面垂直（），米，點(diǎn)A、C、M在同一水平線上，斜桿與水平線的夾角，支撐桿，垂足為，該支架的邊與的夾角，又測(cè)得米．(1)求該支架的邊的長(zhǎng)；(2)求支架的邊的頂端D到地面的距離．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）34．（2023·陜西西安·校考二模）如圖，小明想測(cè)量建筑物的高度，已知斜坡米，斜坡的坡度為，建筑物底端和斜坡的底端在同一水平線上，小明從坡頂處沿水平方向前行若干米后至點(diǎn)處，在點(diǎn)處用儀器測(cè)得該建筑物的頂端的仰角為，到建筑物底端的俯角為，點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，你能幫小明計(jì)算出建筑物的高度嗎？（結(jié)果保留根號(hào)）35．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖是一座人行天橋的示意圖，已知天橋的高度米，坡面的傾斜角，距B點(diǎn)8米處有一建筑物，為了方便行人推自行車過天橋，市政府決定降低坡面的坡度，把傾斜角由減至，即使得新坡面的傾斜角為．若新坡面底端A處與建筑物之間需要留下至少3米寬的人行道，那么該建筑物是否需要拆除？請(qǐng)說明理由．（結(jié)果精確到0．1米；參考數(shù)據(jù)：，）36．（2023·遼寧鐵嶺·?？级＃?shù)學(xué)活動(dòng)小組欲測(cè)量山坡上一棵大樹的高度，如圖，于點(diǎn)E，在A處測(cè)得大樹底端C的仰角為，沿水平地面前進(jìn)米到達(dá)B處，測(cè)得大樹頂端D的仰角為，測(cè)得山坡坡角（圖中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求斜坡的長(zhǎng)，水平寬度長(zhǎng)度；(2)求這棵大樹的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．37．（2023·重慶大渡口·統(tǒng)考二模）如圖，某公園里的四條人行步道圍成四邊形，經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的北偏西，點(diǎn)A在點(diǎn)B的正西方向，點(diǎn)D在點(diǎn)A的北偏東，米，米．(1)求點(diǎn)D到的距離；(2)點(diǎn)C處有直飲水，小紅從點(diǎn)A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C，也可以經(jīng)過點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)C，請(qǐng)計(jì)算說明她走哪一條路較近．（參考數(shù)據(jù)：）38．（2023·四川成都·校考二模）升降臺(tái)可以自主調(diào)節(jié)臺(tái)面高度，能滿足不同人群的學(xué)習(xí)和工作需求．某數(shù)學(xué)興趣小組開展自制升降臺(tái)的綜合實(shí)踐活動(dòng)，如圖為該升降臺(tái)的截面示意圖，其中，為長(zhǎng)度相等的活動(dòng)支架，兩組支架的中點(diǎn)固定在一起，經(jīng)測(cè)量，臺(tái)面的最低高度為25cm，此時(shí)支架張角，將臺(tái)面抬升至最大高度后（點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，且點(diǎn)，與在一條垂直于的直線上），支架張角，求該升降臺(tái)抬升后的最大高度的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：，，）39．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組在河岸南側(cè)選定觀測(cè)點(diǎn)C，測(cè)得A，B均在C的東偏北方向上，沿正東方向行走60米至觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得B在D的西偏北方向上，A在D的西偏北方向上．求A，B兩點(diǎn)間的距離是多少米（精確到個(gè)位）？（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，）40．（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考二模）如圖，我邊防雷達(dá)站A處的工作人員測(cè)得在北偏東方向的點(diǎn)C處有一艘可疑船只，該船正在以每小時(shí)10海里的速度向正東方向航行，點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為海里，此時(shí)，我方一艘軍艦在距離點(diǎn)A的正東方向12海里的點(diǎn)B處．(1)求點(diǎn)B到點(diǎn)C之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)當(dāng)發(fā)現(xiàn)可疑船只后，我方軍艦立即沿著與正東方向成夾角的方向前往攔截，軍艦航行的速度為每小時(shí)20海里，請(qǐng)通過計(jì)算說明我方軍艦?zāi)芊裨诳梢纱坏恼胺降狞c(diǎn)D處成功攔截？（參考數(shù)據(jù)：，，，）41．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，在河流的右岸邊有一高樓，左岸邊有一坡度（坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度）的山坡，點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平面上，與在同一平面內(nèi)．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量樓的高度，在坡底C處測(cè)得樓頂A的仰角為45°，然后沿坡面上行了20米到達(dá)點(diǎn)D處，此時(shí)在D處測(cè)得樓頂A的仰角為14°．（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0．1米，參考數(shù)據(jù)：，，，，）(1)求點(diǎn)D到地面的垂直高度的長(zhǎng)；(2)求樓的高度．42．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考二模）如圖，小明在廣場(chǎng)上觀測(cè)商場(chǎng)墻上的大屏幕，他用測(cè)角儀在A處測(cè)得屏幕下端D處的仰角為，然后他正對(duì)屏幕方向前進(jìn)了9米到達(dá)B處，又測(cè)得幕上端C處的仰角為．已知屏幕的高度為3米，測(cè)角儀支架高（點(diǎn)A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)）(1)填空：________度，_________米；(2)如果設(shè)米，則可表示為_________米（用含的代數(shù)式表示）﹔(3)求屏幕下端D到地面的高度?（，，結(jié)果保留整數(shù)）43．（2023·陜西西安·統(tǒng)考二模）如圖，某建筑物樓頂掛有廣告牌，張偉準(zhǔn)備利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)估測(cè)該建筑的高度．由于場(chǎng)地有限，不便測(cè)量，所以張偉從點(diǎn)A沿坡度為的斜坡步行30米到達(dá)點(diǎn)P，測(cè)得廣告牌底部C點(diǎn)的仰角為，廣告牌頂部B點(diǎn)的仰角為，張偉的身高忽略不計(jì)，已知廣告牌米，求建筑物CO的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）44．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）酒駕猛于虎，但很多人不以為是，為了加強(qiáng)人們對(duì)酒駕危害