5.1-5.2軸對(duì)稱現(xiàn)象與軸對(duì)稱性質(zhì)-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(北師大版)

軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一軸對(duì)稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.要求詮釋：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長線相交，那么它們的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二軸對(duì)稱圖形如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系要點(diǎn)詮釋:軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱；如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．題型一生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象【例題1】（2021春?威寧縣校級(jí)期末）在漢字“生活中的日常用品”中，成軸對(duì)稱的有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的定義，找出成軸對(duì)稱的字，即可解答．【解答】解：根據(jù)軸對(duì)稱的定義，在漢字“生活中的日常用品”中，成軸對(duì)稱的字有“中、日、品”3個(gè)；故選：．解題技巧提煉本題考查了生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱．【變式11】數(shù)學(xué)在我們的生活中無處不在，就連小小的臺(tái)球桌上都有數(shù)學(xué)問題．如圖所示，．若，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入底袋中，那么擊打白球時(shí)，必須保證為A． B． C． D．【分析】利用，進(jìn)而求出的度數(shù)，再利用即可得出答案．【解答】解：由題意可得：，，，，．故選：．【變式12】（2022秋?蘇州期中）有一個(gè)英語單詞，其四個(gè)字母都關(guān)于直線對(duì)稱，如圖是該單詞各字母的一部分，請(qǐng)寫出補(bǔ)全后的單詞所指的物品書．【分析】結(jié)合題意可知，題中的四個(gè)字母均是軸對(duì)稱圖形，所以直線是四個(gè)字母的對(duì)稱軸；將殘缺的字母關(guān)于直線對(duì)稱，即可得到完整字母，通過字母組成的單詞即可知道所指物品了．【解答】解：補(bǔ)全字母，如圖所示：故這個(gè)單詞所指的物品是書．故答案為：書．【變式13】（2022?豐順縣校級(jí)開學(xué)）指出下列圖形中的軸對(duì)稱圖形，并找出它們的對(duì)稱軸．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，把圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩側(cè)的部分能夠互相重合，這樣的直線就是圖形的對(duì)稱軸，據(jù)此即可作出．【解答】解：題型二軸對(duì)稱圖形【例題2】（2022秋?黃陂區(qū)校級(jí)期末）下列幾何圖形不一定是軸對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義（如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形）逐項(xiàng)判斷即可得．【解答】解：、不是軸對(duì)稱圖形，則此項(xiàng)符合題意；、是軸對(duì)稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；、是軸對(duì)稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；、是軸對(duì)稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意．故選：．解題技巧提煉本題考查了軸對(duì)稱圖形，熟記定義是解題關(guān)鍵．【變式21】（2022秋?臨渭區(qū)期末）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形．下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．【解答】解：、不是軸對(duì)稱圖形；、不是軸對(duì)稱圖形；、是軸對(duì)稱圖形；、不是軸對(duì)稱圖形；故選：．【變式22】（2022秋?泰興市期末）下列關(guān)于天氣預(yù)報(bào)的圖標(biāo)中是軸對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，確定四個(gè)選項(xiàng)中每個(gè)圖形對(duì)稱軸的數(shù)量，進(jìn)而可得答案．【解答】解：．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；．是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：．【變式23】（2022秋?沙依巴克區(qū)校級(jí)期末）下面圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：選項(xiàng)、、的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；故選：．題型三軸對(duì)稱的性質(zhì)【例題3】（2022秋?宣州區(qū)期末）如圖，在面積為4的等邊三角形中，是邊上的高，點(diǎn)、是上的兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是2．【分析】根據(jù)是等邊三角形的高可知，是線段的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)及三角形全等的判定定理可求出，故陰影部分的面積等于的面積，由銳角三角函數(shù)的定義可求出的長，再由三角形的面積公式即可求解．【解答】解：是等邊三角形的高，是線段的垂直平分線，，，，，，故答案為：2．解題技巧提煉本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，即等邊三角形底邊上的高、垂直平分線及頂角的角平分線三線合一．【變式31】（2022秋?河北期中）如圖，和△成軸對(duì)稱，若，，則為A． B． C． D．【分析】根據(jù)成軸對(duì)稱的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果．【解答】解：和△成軸對(duì)稱，，，故選：．【變式32】（2022秋?寶應(yīng)縣月考）如圖，與△關(guān)于直線對(duì)稱，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】先根據(jù)和△關(guān)于直線對(duì)稱得出△，故可得出，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【解答】解：和△關(guān)于直線對(duì)稱，，，△，，，，，，．故選：．【變式33】（2022秋?寶山區(qū)期末）圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有條．【分析】由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有無數(shù)條．【解答】解：圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有無數(shù)條．故答案為：無數(shù)．題型四最短路徑【例題4】（2022秋?烏魯木齊期末）如圖，在銳角中，；點(diǎn)是邊上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)、分別是和邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】分別作關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，交于，交于，此時(shí)的周長最小，由條件求出的度數(shù)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)得到，從而求出的度數(shù)．【解答】解：分別作關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，交于，交于，此時(shí)的周長最小，，，，，，，，，，．故選：．解題技巧提煉本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，關(guān)鍵是分別作關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，交于，交于，找到周長最小的．【變式41】（2022秋?天山區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知的大小為，是內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且，點(diǎn)、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，若周長的最小值等于5，則A． B． C． D．【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)、在上時(shí)，的周長為，此時(shí)周長最小，根據(jù)可求出的度數(shù)．【解答】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，于．此時(shí)，的周長最?。B接，，，．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，垂直平分，，，，同理，可得，，．，，．又的周長，，是等邊三角形，，．故選：．【變式42】（2022秋?南沙區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，，平分，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，若，，則的最小值是A． B．6 C． D．10【分析】在上截取，連接，，，交于點(diǎn)，得到是等邊三角形，利用等邊三角形三線合一，得到，進(jìn)而得到，找到當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，連接并延長交于，利用等邊三角形的三條高線相等，以及，求出的長度，即為的最小值．【解答】解：在上截取，連接，，，交于點(diǎn)，，，是等邊三角形，平分，，，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，是等邊三角形，是的中點(diǎn)，，連接并延長交于，等邊三角形三條高交于一點(diǎn)，且三條高相等，，，，，，，，最小值為．故選：．【變式43】（2022秋?天山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，，，平分，，點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是6．【分析】作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂線段最短，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且時(shí)，最小，平分，，在上，，，，，即：最小值為6．故答案為：6．題型五折疊問題【例題5】（2022秋?河北期末）如圖所示，把一張長方形的紙片沿著折疊，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】由題意得，根據(jù)，即可解決問題．【解答】解：由題意知：，，．故選：．解題技巧提煉該題考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用翻折變換的性質(zhì)，準(zhǔn)確找出圖形中隱含的等量關(guān)系，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷或解答．【變式51】（2022秋?豐滿區(qū)期末）如圖，在中，，，，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，則的度數(shù)是．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)以及周角的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：，，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，故答案為：．【變式52】（2022秋?定襄縣期末）如圖，在長方形紙片中，，將紙片沿折疊，，兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．若，則72．【分析】設(shè)，則，，由折疊的性質(zhì)得，根