第05講逆命題和逆定理（6類題型）（原卷版）

第05講逆命題和逆定理（6類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.逆命題逆定理的概念；2.證明的過程；3.互逆命題的概念；1.掌握逆定理與逆命題的概念；2.學(xué)會(huì)正確書寫證明過程；知識(shí)點(diǎn)01：定義、命題與證明1.定義：能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語的意義的句子叫做該名稱或術(shù)語的定義。2.命題：定義：判斷某一件事情的句子結(jié)構(gòu)：由條件和結(jié)論兩部分組成。句式改寫：如果……那么……分類：真命題通過推理的方式來判斷、人們經(jīng)過長期實(shí)踐公認(rèn)為正確的假命題通過舉反例(具備命題的條件但不具備命題的結(jié)論的實(shí)例)3.互逆命題原命題、逆命題互逆定理原定理、逆定理每個(gè)命題都有它的逆命題，但每個(gè)真命題的逆命題不一定是真命題。4.證明：從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、基本事實(shí)、定理(包括推論)、一步一步推得結(jié)論成立的推理過程。證明幾何命題的格式：(1)按題意畫出圖形(2)分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在已知中寫出條件，在求證中寫出結(jié)論(3)在證明中寫出推理過程。在解決幾何問題時(shí)，有時(shí)需要添加輔助線。添輔助線的過程要寫入證明中，輔助線通常畫成虛線?！炯磳W(xué)即練1】（2023春·福建寧德·八年級(jí)?？计谥校┛扇∠旅婺慕M值說明“如果，那么”的逆命題是假命題（

）A．， B．， C．， D．，【即學(xué)即練2】（2023春·山東臨沂·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列命題中，逆命題是真命題的是（）A．對(duì)頂角相等 B．全等三角形的面積相等C．平行四邊形的對(duì)角線互相平分 D．如果，那么題型01寫出一個(gè)命題的已知、求證及證明過程1．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）證明：平行于同一條直線的兩條直線平行．已知：____________．求證：____________．證明：2．（2023春·福建漳州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某同學(xué)制作了一個(gè)簡易的形分角儀來二等分任意一個(gè)角．如圖，該形分角儀是由相互垂直的兩根細(xì)棍，組成，是的中點(diǎn)．尋找角的平分線時(shí)，需要調(diào)整位置，使得所分角的頂點(diǎn)在上，同時(shí)保證形分角儀的，兩點(diǎn)正好落在所分角的兩條邊，上，此時(shí)就會(huì)平分．為說明制作原理，請(qǐng)結(jié)合下邊圖形，用數(shù)學(xué)符號(hào)語言補(bǔ)全“已知”、“求證”，并寫出證明過程．

已知：如圖，點(diǎn)，分別在的邊上，經(jīng)過點(diǎn)，__________，__________．求證：__________．證明：3．（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）證明：直角三角形的兩個(gè)銳角互余．（在下列方框內(nèi)畫出圖形）

已知：求證：證明：4．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)在上，直線交于點(diǎn)．請(qǐng)從①，②平分，③中任選兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)真命題，并求證．已知：______，求證：______．（只須填寫序號(hào)）證明：5．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖1，油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品之一，起源于中國的一種紙制或布制年，油紙傘的制作工藝十分巧妙，如圖2，傘圈沿著傘柄滑動(dòng)時(shí)，總有傘骨，從而使得傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的．為了說明這一制作方法的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明．如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過程已知：如圖2，點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)，___________，_____________．求證：_________________．題型02根據(jù)給出的論斷組命題并證明1．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，現(xiàn)有以下3個(gè)論斷：①；②；③．請(qǐng)以其中2個(gè)論斷為條件，另一個(gè)論斷為結(jié)論構(gòu)造命題．

(1)請(qǐng)寫出所有的真命題；(2)請(qǐng)選擇其中一個(gè)命題加以證明．2．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在三角形中，點(diǎn)在邊的延長線上，射線在的內(nèi)部．給出下列信息：①；②平分；③．請(qǐng)選擇其中的兩條信息作為條件，余下的一條信息作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，并說明理由．3．（2021秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)證明是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程，例如在證明命題“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”時(shí)，我們進(jìn)行了分類討論，使證明過程完整且正確．下面是小明同學(xué)根據(jù)題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知和求證．已知：如圖，直線l為線段的垂直平分線，點(diǎn)P為l上一點(diǎn)．求證：______________________．請(qǐng)你補(bǔ)全求證，并寫出證明過程．4．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有下列三個(gè)條件：①DE//BC；②；③．(1)若從這三個(gè)條件中任選兩個(gè)作為題設(shè)，另一個(gè)作為結(jié)論，組成一個(gè)命題，一共能組成幾個(gè)命題？請(qǐng)你都寫出來；(2)你所寫出的命題都是真命題嗎？若是，請(qǐng)你就其中的一個(gè)真命題給出推理過程；若不是，請(qǐng)你對(duì)其中的假命題舉出一個(gè)反例（）5．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知直線，給出下列信息：①；②平分；③．(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，你選擇的條件是，結(jié)論是(只要填寫序號(hào))，并說明理由．(2)在（1）的條件下，若比的倍少度，求的度數(shù)．題型03寫出命題的逆命題1．（2023春·貴州安順·八年級(jí)?？计谥校┫铝忻}中其逆命題不成立的是（

）A．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行； B．如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；C．全等三角形的三組對(duì)應(yīng)邊相等； D．兩個(gè)正實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；2．（2023春·福建寧德·八年級(jí)?？计谥校┛扇∠旅婺慕M值說明“如果，那么”的逆命題是假命題（

）A．， B．， C．， D．，3．（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）寫出命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是．4．（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）命題“如果兩個(gè)數(shù)是正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的和也是正數(shù)”的逆命題是命題．（填“真”或“假”）．5．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）寫出下列命題的逆命題，并判斷原命題與逆命題的真假．(1)內(nèi)錯(cuò)角相等．(2)若兩個(gè)角相加等于180°，則這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角．6．（2022春·山東棗莊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）同學(xué)們知道：“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．”（1）請(qǐng)寫出它的逆命題；該逆命題是一個(gè)命題（填“真”或“假”）（2）若你的判斷是真命題請(qǐng)寫出證明過程（要求畫圖，并寫出已知，求證）．若是假命題，請(qǐng)說明理由．題型04判斷是否為互逆命題1．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）“直角都相等”與“相等的角是直角”是（

）A．互為逆命題 B．互逆定理 C．公理 D．假命題2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）命題“如果|x|＝|y|，那么x2＝y(tǒng)2”的逆命題是（）A．如果|x|≠|(zhì)y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2C．如果x2＝y(tǒng)2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|(zhì)y|3．（2022春·八年級(jí)課前預(yù)習(xí)）題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做．如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的．4．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）命題1：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，那么．命題2：如果一個(gè)三角形的三條邊長分別為，，，且，那么這個(gè)三角形是直角三角形．則命題1與命題2是命題．5．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）已知：如圖，直線AB、CD、EF被直線BF所截，，．求證：；（2）你在（1）的證明過程中應(yīng)用了哪兩個(gè)互逆的真命題．題型05定理與證明1．（2022秋·河南洛陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說法中，正確的是（）A．等腰三角形兩腰上的高相等 B．等腰三角形頂角的平分線與底邊不垂直C．等腰三角形有兩條對(duì)稱軸 D．每個(gè)定理都有逆定理2．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．任何命題都有逆命題 B．真命題的逆命題不一定是正確的C．任何定理都有逆定理 D．一個(gè)定理若存在逆定理，則這個(gè)逆定理一定是正確的3．（2023春·七年級(jí)課前預(yù)習(xí)）命題由和兩部分組成，通常寫成形式．4．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，，那么，依據(jù)是．5．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列說法對(duì)嗎？請(qǐng)說明理由．(1)每個(gè)定理都有逆定理．(2)每個(gè)命題都有逆命題．(3)假命題沒有逆命題．(4)真命題的逆命題是真命題．題型06互逆命題1．（2023春·吉林松原·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．任何命題都有逆命題 B．任何定理都有逆定理C．真命題的逆命題一定是真命題 D．定理的逆命題一定是真命題2．（2023秋·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列命題，屬于真命題的是（）A．三角形的外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C．一個(gè)定理的逆命題就是這個(gè)定理的逆定理 D．三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角3．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）請(qǐng)寫出一個(gè)存在逆定理的定理：．4．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，說出它的逆定理．(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等．(2)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．(3)對(duì)頂角相等．A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2023春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）下列命題的逆命題為真命題的是（

）A．對(duì)頂角相等 B．若，則C．全等三角形的面積相等 D．兩直線平行，同位角相等2．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）下列各命題的逆命題是假命題的是（）A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) B．如果，那么C．若，則 D．相等的角是對(duì)頂角3．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）命題“如果，那么”的逆命題是假命題，可取下面哪組值反例說明（）A．， B．， C．， D．，4．（2023春·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校┫铝忻}：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②若，則；③銳角與鈍角互為補(bǔ)角；④相等的角是對(duì)頂角．它們的逆命題是真命題的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)5．（2023春·山東德州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）命題“等角的余角相等”的逆命題是命題（填“真”或“假”）．6．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”的逆命題為（選填“真”或“假”）命題．7．（2023春·廣東揭陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）命題“若，則”的逆命題是．8．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列命題中逆命題成立的有．（填序號(hào)）．①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

②如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；③如果，那么，；

④如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等．9．（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）證明：直角三角形的兩個(gè)銳角互余．（在下列方框內(nèi)畫出圖形）

已知：求證：證明：10．（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）卡鉗是一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽寬的工具．如圖，師傅通常把兩根鋼條，的中點(diǎn)連在一起，就可以做成一個(gè)簡易卡鉗．只要量得的長度，就可知工件的內(nèi)徑是否符合標(biāo)準(zhǔn)．請(qǐng)結(jié)合題意及圖示，用符號(hào)語言寫出已知和求證，并完成證明．已知：求證：證明：B能力提升1．（2023春·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題的逆命題成立的是（

）A．若，則 B．矩形的對(duì)角線互相垂直 C．對(duì)角線相等的四邊形是菱形 D．對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等2．（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題中逆命題錯(cuò)誤的是（

）A．內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行 B．直角三角形的兩銳角互余C．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 D．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等3．（2023春·河南鄭州·八年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┫铝忻}的逆命題是真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是全等三角形 D．對(duì)頂角相等4．（2023春·山東德州·七年級(jí)校考期中）下列命題中：（1）對(duì)頂角相等；（2）相等的角是對(duì)頂角；（3）同一個(gè)角的兩個(gè)鄰角是對(duì)頂角；（4）有公共頂點(diǎn)且相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角；其中，互為逆命題的是（）A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（4）5．（2023春·陜西安康·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）命題：“若，，則”的逆命題是．6．（2023春·陜西漢中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）命題“若，則”的逆命題是．7．（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）命題“如果兩個(gè)數(shù)是正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的和也是正數(shù)”的逆命題是命題．（填“真”或“假”）．8．（2023春·湖北咸寧·八年級(jí)咸寧市溫泉中學(xué)校聯(lián)考期中）命題“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等”的逆命題“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等”是命題．（執(zhí)“真”或“假”）9．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）寫出下列命題的逆命題，并判斷原命題與逆命題的真假．(1)內(nèi)錯(cuò)角相等．(2)若兩個(gè)角相加等于180°，則這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角．10．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知命題“如果，那么．”(1)寫出此命題的條件和結(jié)論；(2)寫出此命題的逆命題；(3)判斷此命題的逆命題是真命題還是假命題，如果是假命題，請(qǐng)舉出一個(gè)反例進(jìn)行說明．C綜合素養(yǎng)1．（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列命題中，其逆命題為真命題的是（

）A．內(nèi)錯(cuò)角相等 B．若，則C．對(duì)頂角相等 D．等腰三角形兩底角相等2．（2023春·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）老師布置了一項(xiàng)作業(yè)，對(duì)一個(gè)真命題進(jìn)行證明，下面是小云給出的證明過程：

證明：如圖，，．，，，已知該證明過程是正確的，則證明的真命題是（

）A．在同一平面內(nèi)，若，且，則 B．在同一平面內(nèi)，若，且，則C．兩直線平行，同位角不相等 D．兩直線平行，同位角相等3．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）下列命題是真命題的是（

）A．“對(duì)頂角相等”的逆命題是真命題B．平行線的同旁內(nèi)角的平分線互相垂直C．和為的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角D．在同一平面內(nèi)，，，是直線，且，，則4．（2023秋·湖南衡陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列命題中，逆命題是真命題的是（

）A．如果，那么B．如果兩個(gè)數(shù)相等，那么這兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等C．對(duì)頂角相等D．如果，那么5．（2023春·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)?？计谥校┟}“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)都是正數(shù)，那么它們的積是正數(shù)”的逆命題是．它是命題．（填“真”