核心考點08二次根式

核心考點08二次根式考點精講目錄一．二次根式的定義（共3小題）二．二次根式有意義的條件（共3小題）三．二次根式的性質(zhì)與化簡（共4小題）四．最簡二次根式（共4小題）五．二次根式的乘除法（共7小題）六．分母有理化（共7小題）七．同類二次根式（共2小題）八．二次根式的加減法（共5小題）九．二次根式的混合運算（共2小題）十．二次根式的化簡求值（共5小題）十一．二次根式的應(yīng)用（共8小題）考點考向考點考向一．二次根式的定義二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”稱為二次根號②a（a≥0）是一個非負數(shù)；學習要求：理解被開方數(shù)是非負數(shù)，給出一個式子能準確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被開方數(shù)中的字母取值范圍．二．二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．（3）二次根式具有非負性．（a≥0）是一個非負數(shù)．學習要求：能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的非負性解決相關(guān)問題．【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．三．二次根式的性質(zhì)與化簡（1）二次根式的基本性質(zhì)：①≥0；a≥0（雙重非負性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．③＝|a|＝（算術(shù)平方根的意義）（2）二次根式的化簡：①利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行化簡．＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法1．常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合．2．解題方法：（1）化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進行化簡．（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果．（3）檢驗結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式．四．最簡二次根式最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．五．二次根式的乘除法（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）規(guī)律方法總結(jié)：在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運算也是如此．六．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），這里的a可以是任意有理數(shù)．七．同類二次根式同類二次根式的定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．合并同類二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．【知識拓展】同類二次根式把幾個二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式．（1）同類二次根式類似于整式中的同類項．（2）幾個同類二次根式在沒有化簡之前，被開方數(shù)完全可以互不相同．（3）判斷兩個二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡二次根式，然后再看被開方數(shù)是否相同．八．二次根式的加減法（1）法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．（2）步驟：①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號．②把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡．③合并被開方數(shù)相同的二次根式．（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進行合并．合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．九．二次根式的混合運算（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用．學習二次根式的混合運算應(yīng)注意以下幾點：①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“．（2）二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式．（3）在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．十．二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾．十一．二次根式的應(yīng)用把二次根式的運算與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學知識之間的聯(lián)系，感受所學知識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運算的方法．考點精講考點精講一．二次根式的定義（共3小題）1．（2022春?海安市校級月考）如果是二次根式，那么x應(yīng)滿足的條件是（）A．x≠3 B．x＜3 C．x＞3 D．x≥3【分析】一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．【解答】解：由題意可知：＞0，∴x﹣3＜0，∴x＜3，故選：B．【點評】本題考查二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．（2022春?海安市期中）下列各式中，，，，，，其中一定是二次根式的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)二次根式的定義分別進行判斷即可得解．【解答】解：是二次根式的有、，共2個；故選：B．【點評】本題考查了二次根式的定義，要注意二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù)．3．（2015春?揚州校級期末）已知n為正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是21．【分析】如果一個根式是整數(shù)，則被開方數(shù)是完全平方數(shù)，首先把化簡，然后求n的最小值．【解答】解：∵189＝32×21，∴＝3，∴要使是整數(shù)，n的最小正整數(shù)為21．故填：21．【點評】本題考查了二次根式的意義，主要考查學生的理解能力和求值能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．二．二次根式有意義的條件（共3小題）4．（2023春?天寧區(qū)校級期中）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞5 B．x≥﹣5 C．x＜5 D．x≥5【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)為非負數(shù)進行求解即可得．【解答】解：由題意x﹣5≥0，解得x≥5，故選：D．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春?邗江區(qū)月考）已知，則a﹣20222＝2023．【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件得到a≥2023，則，由此求出a﹣2023＝20222，據(jù)此即可得到答案．【解答】解：∵有意義，∴a﹣2023≥0，即a≥2023，∴，∴，∴a﹣2023＝20222，∴a﹣20222＝2023，故答案為：2023．【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件，代數(shù)式求值，正確得到a≥2023是解題的關(guān)鍵．6．（2022春?興化市月考）若實數(shù)m滿足，則m＝22．【分析】先根據(jù)二次根式有意義得m﹣6≥0，即m≥6，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)得到足，即＝4，再求m的值即可．【解答】解：根據(jù)題意，得：m﹣6≥0，即m≥6，∴由|4﹣m|+＝m，得，即＝4，兩邊平方，得m﹣6＝42，∴m＝22．故答案為：22．【點評】本題考查了二次根式的意義和性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．三．二次根式的性質(zhì)與化簡（共4小題）7．（2022秋?阜寧縣期末）化簡＝．【分析】根據(jù)二次根式的化簡，可以解答本題．【解答】解：＝＝，故答案為：．【點評】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡的方法．8．（2022秋?蘇州期末）已知+＝0，則+＝．【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【解答】解：由題意得，a﹣3＝0，2﹣b＝0，解得a＝3，b＝2，所以，+＝+＝+＝．故答案為：．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的化簡求值及非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．9．（2023春?邗江區(qū)月考）閱讀材料：康康在學習二次根式后、發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的康康進行了以下探索：設(shè)（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有（有理數(shù)和無理數(shù)分別對應(yīng)相等），∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣康康就找到了一種把式子化為平方式的方法．請你仿照康康的方法探索并解決下列問題：（1）當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若，用含c、d的式子分別表示a、b，得：a＝c2+3d2，b＝2cd；（2）若，且e、f均為正整數(shù)，試化簡：；（3）化簡：．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式進行計算進行求解；（2）將變?yōu)榧纯汕蠼?；?）將化為進行求解即可．【解答】解：（1）∵，∴a＝c2+3d2，b＝2cd．故答案為：c2+3d2，2cd．（2）∵，∴．（3）＝＝＝＝＝＝＝．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，關(guān)鍵是能準確理解并運用相關(guān)知識進行求解．10．（2022春?海州區(qū)校級期末）材料：如何將雙重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化簡呢？如能找到兩個數(shù)m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a，即m+n＝a，且使＝，即m?n＝b，那么＝（）2+（）2±2＝（±）2∴＝，雙重二次根式得以化簡．例如化簡：因為3＝1+2且2＝1×2∴3±2＝（）2+（）2±2×＝|1±|．由此對于任意一個二次根式只要可以將其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m?n＝b，那么這個雙重二次根式一定可以化簡為一個二次根式．請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）填空：＝±，＝±；（2）化簡：；（3）計算：+．【分析】（1）仿照閱讀材料，把被開方數(shù)變形成完全平方式，即可得答案；（2）把6變形成2，仿照閱讀材料的方法可得答案；（3）將變形成2，變形成2，再把被開方數(shù)變形成完全平方式，即可算得答案．【解答】解：（1）＝＝±，＝＝±，故答案為：±，±；（2）＝＝＝±；（3）+＝+＝+＝﹣++＝，同理可得+＝．【點評】本題考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能仿照閱讀材料將被開方數(shù)變形乘完全平方．四．最簡二次根式（共4小題）11．（2022春?鹽都區(qū)月考）下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可．【解答】解：A．，被開方數(shù)中含有能開得盡方的因式，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；B．，被開方數(shù)中含有能開得盡方的因式，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；C．，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；D．是最簡二次根式，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵．最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．12．（2022春?靖江市校級期末）我們把形如a+b（a，b為有理數(shù)，為最簡二次根式）的數(shù)叫做型無理數(shù)，如3+1是型無理數(shù)，則（+）2是（）A．型無理數(shù) B．型無理數(shù) C．型無理數(shù) D．型無理數(shù)【分析】根據(jù)完全平方公式展開，化簡二次根式即可得出答案．【解答】解：原式＝2+2+10＝2×2+12＝4+12，它屬于型無理數(shù)，故選：B．【點評】本題考查了最簡二次根式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解題的關(guān)鍵．13．（2022春?宿城區(qū)期末）若二次根式是最簡二次根式，則x可取的最小整數(shù)是﹣2．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義解答即可．【解答】解：∵二次根式是最簡二次根式，∴2x+7＞0，∴2x＞﹣7，∴x＞﹣3.5，∵x取整數(shù)值，當x＝﹣3時，二次根式為＝1，不是最簡二次根式，不合題意；當x＝﹣2時，二次根式為，是最簡二次根式，符合題意；∴若二次根式是最簡二次根式，則x可取的最小整數(shù)是﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題主要考查了最簡二次根式的定義，熟記定義是解答此題的關(guān)鍵．14．（2022春?泰興市期中）已知：最簡二次根式與的被開方數(shù)相同，則a+b＝8．【分析】已知兩個最簡二次根式的被開方數(shù)相同，因此它們是同類二次根式，即：它們的根指數(shù)和被開方數(shù)相同，列出方程組求解即可．【解答】解：由題意，得：解得：，∴a+b＝8．【點評】本題考查了同類二次根式的定義及二元一次方程組的應(yīng)用．五．二次根式的乘除法（共7小題）15．（2022春?科左中旗月考）計算：×．【分析】根據(jù)二次根式的乘除運算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝2，【點評】本題考查二次根式的乘除運算法則，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的乘除運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．16．（2022春?科左中旗月考）計算：÷．【分析】根據(jù)二次根式的乘除運算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝÷＝?＝．【點評】本題考查二次根式的乘除運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的乘除運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．17．（2021春?姑蘇區(qū)校級月考）已知等式＝成立，化簡|x﹣6|+的值．【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的值，再將x代入化簡即可求值．【解答】解：由題意得，，∴3＜x≤5，∴|x﹣6|+＝6﹣x+x﹣2＝4．【點評】此題考查了二次根式有意義的條件，熟記二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．18．（2022春?亭湖區(qū)校級月考）若實數(shù)p在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡下列式子：+（）2【分析】直接利用數(shù)軸得出p的取值范圍，再利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【解答】解：由數(shù)軸可得：2＜p＜3，則原式＝+4﹣p＝3﹣p+4﹣p＝7﹣2p．【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡、實數(shù)與數(shù)軸等知識，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．19．（2022春?靖江市月考）（1）發(fā)現(xiàn)規(guī)律：特例1：＝＝＝2；特例2：＝＝＝3；特例3：＝4；特例4：．（填寫一個符合上述運算特征的例子）；（2）歸納猜想：如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運算規(guī)律為：；（3）請證明你的猜想．【分析】根據(jù)前面幾個算式的值，然后找出規(guī)律．【解答】解：（1）；故答案為：．（2）；故答案為：．（3）＝＝．【點評】本題考查了有理數(shù)的運算，屬于規(guī)律型題目，解答本題的關(guān)鍵是總結(jié)規(guī)律，難度較大．20．（2023春?海安市月考）計算：＝4a．【分析】先根據(jù)二次根式被開方數(shù)的非負性確定a的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡．【解答】解：∵2a≥0，∴a≥0∴原式＝＝|4a|＝4a，故答案為：4a．【點評】本題考查二次根式的乘除法，掌握二次根式的化簡是解題的關(guān)鍵．21．（2022春?亭湖區(qū)校級期末）若無理數(shù)x與的積是一個正整數(shù)，則x的最小值是．【分析】由題意可得x是含有的無理數(shù)，再根據(jù)最小的正整數(shù)是1，從而可求x的值．【解答】解：∵，無理數(shù)x與的積是一個正整數(shù)，∴x是含有的無理數(shù)，∵最小的正整數(shù)是1，∴x其最小值為：．故答案為：．【點評】本題主要考查二次根式的乘除法，無理數(shù)，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．六．分母有理化（共7小題）22．（2022春?江陰市期末）寫出一個二次根式，使它與的積是有理數(shù)．這個二次根式是．【分析】根據(jù)有理化因式的定義：兩個根式相乘的積不含根號，即可判斷．【解答】解：×＝＝2；故答案為：．【點評】考查了正確選擇二次根式，使它們的積是有理數(shù)是解答問題的關(guān)鍵．23．（2022春?江都區(qū)校級月考）“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法，如：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數(shù)，如：對于，設(shè)，易知，故x＞0，由x2＝（）2＝＝2，解得x＝，即．根據(jù)以上方法，化簡后的結(jié)果為．【分析】令x＝﹣，可求x2＝6，再由x＜0，可得﹣＝﹣，再將所求式子化簡即可．【解答】解：令x＝﹣，∴x2＝（﹣）2＝6﹣3+6+3﹣2＝12﹣6＝6，∵＜，∴x＝﹣，∴﹣＝﹣，∴＝﹣＝5+2﹣＝5+，故答案為：5+．【點評】本題考查分母有理化，熟練掌握分母有理化的方法，靈活應(yīng)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．24．（2021春?靖江市月考）實數(shù)2﹣的倒數(shù)是2+．【分析】利用倒數(shù)的定義，以及分母有理化性質(zhì)計算即可．【解答】解：實數(shù)2﹣的倒數(shù)是＝＝2+．故答案為：2+．【點評】此題考查了分母有理化，以及倒數(shù)，熟練找到有理化因式也是解本題的關(guān)鍵．25．（2021春?金壇區(qū)期末）比較大?。海迹ㄌ顚憽埃尽被颉埃健被颉埃肌保痉治觥扛鶕?jù)分母有理化分別化簡，即可得出答案．【解答】解：∵＝＝＝＝1+，＝＝＝，∴1+＜+1，故答案為：＜．【點評】本題考查了分母有理化，實數(shù)的比較大小，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．26．（2021春?丹陽市期中）像?＝2：（+1）（﹣1）＝2：（+）（﹣）＝3…兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，則稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式，愛動腦筋的小明同學在進行二次根式計算時，利用有理化因式化去分母中的根號．（1）＝＝；（2）＝＝＝3+2．勤奮好學的小明發(fā)現(xiàn)：可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數(shù)．（3）化簡：﹣．解：設(shè)x＝﹣，易知＞，∴x＞0．由：x2＝3++3﹣﹣2＝6﹣2＝2．解得x＝．即﹣＝．請你解決下列問題：（1）2﹣3的有理化因式是2+3；（2）化簡：++；（3）化簡：﹣．【分析】（1）根據(jù)平方差公式可得其有理化因式；（2）原式進行分母有理化得++，再進一步求解即可；（3）原式變形為﹣＝﹣，再進一步求解即可．【解答】解：（1）2﹣3的有理化因式是2+3，故答案為：2+3；（2）原式＝++＝++2+＝+；（3）原式＝﹣＝﹣＝+1﹣+1＝2．【點評】本題主要考查分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性質(zhì)．27．（2021春?蘇州期末）像（+）（﹣）＝3、?＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）…兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．請寫出﹣的一個有理化因式．【分析】根據(jù)題意可以解答本題．【解答】解：∵，∴是的一個有理化因式．故答案為：（答案不唯一）．【點評】本題考查有理化因式，分母有理化，解答本題的關(guān)鍵是掌握有理化因式的定義特征．28．（2021春?邗江區(qū)期中）閱讀材料并解決問題：＝＝＝﹣1，像上述解題過程中，+1與﹣1相乘的積不含二次根式，我們可以將這兩個式子稱為互為有理化因式，上述解題過程也稱為分母有理化．（1）將下列式子進行分母有理化：①＝；②＝+；（2）化簡：+．【分析】根據(jù)題意即可進行分母有理化【解答】解：（1）；+（2）原式＝+＝＝故答案為：（1）；+【點評】本題考查分母有理化，解題的關(guān)鍵是正確理解題，熟練運用平方差公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．七．同類二次根式（共2小題）29．（2023春?海安市月考）若和最簡二次根式是同類二次根式，則m的值為（）A．m＝5 B．m＝2 C．m＝3 D．m＝6【分析】先把化為最簡二次根式2，再根據(jù)同類二次根式得到3m﹣7＝2，然后解方程即可．【解答】解：∵＝2，∴3m﹣7＝2，∴m＝3．故選：C．【點評】本題考查了同類二次根式：幾個二次根式化為最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式．30．（2022春?靖江市校級月考）如果最簡二次根式與是同類二次根式，那么a的值是3．【分析】先把化成最簡二次根，再根據(jù)同類二次根式的定義得出3a﹣7＝2，然后求解即可得出答案．【解答】解：由題意可知：＝2，3a﹣7＝2，a＝3．故答案為：3．【點評】本題考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解最簡二次根式以及同類二次根式的概念，本題屬于基礎(chǔ)題型．八．二次根式的加減法（共5小題）31．（2020春?贛榆區(qū)期末）如果與的和等于3，那么a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】直接利用二次根式的加減運算法則計算得出答案．【解答】解：∵與＝2的和等于3，∴＝3﹣2＝，故a+1＝3，則a＝2．故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式的加減法，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．32．（2022春?海安市期中）已知x+y＝?6，xy＝6．求的值．【分析】先根據(jù)題意得出x，y是負數(shù)，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可求解．【解答】解：∵x+y＝?6，xy＝6，∴x＜0，y＜0，∴＝x?+y＝﹣（）＝＝﹣，當x+y＝?6，xy＝6時，原式＝﹣×＝﹣4．【點評】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．33．（2021春?廣陵區(qū)校級期末）計算：9﹣＝﹣．【分析】先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可．【解答】解：原式＝9×﹣4＝3﹣4＝﹣，故答案為：﹣．【點評】本題考查了二次根式的化簡，二次根式的加減法，會正確地化簡二次根式是解題的關(guān)鍵．34．（2021春?錫山區(qū)期末）計算：+|1﹣|．【分析】先化簡，然后合并同類二次根式即可．【解答】解：＝2﹣6+﹣1＝﹣3﹣1．【點評】本題考查了二次根式的加減法，注意正數(shù)的絕對值等于它本身．35．（2022?南京一模）計算﹣的結(jié)果為．【分析】首先化簡二次根式，進而合并求出答案．【解答】解：﹣＝2﹣＝．故答案為：．【點評】此題主要考查了二次根式的加減運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．九．二次根式的混合運算（共2小題）36．（2023春?邗江區(qū)月考）計算：（1）（）2﹣+；（2）×÷．【分析】（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行計算，再算加減即可；（2）先根據(jù)二次根式的乘法和除法法則進行計算，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行計算即可．【解答】解：（1）原式＝16﹣5+2＝13；（2）原式＝＝＝＝8．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，能正確根據(jù)二次根式的運算法則進行計算是解此題的關(guān)鍵．37．（2023春?啟東市期中）在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如，，一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：；；﹣1．以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．（1）化簡：＝；＝．（2）填空：的倒數(shù)為﹣．（3）化簡：．【分析】（1）根據(jù)題目的定義化簡即可；（2）根據(jù)倒數(shù)的定義即可求解；（3）首先把每個代數(shù)式分母有理化，然后合并即可求解．【解答】解：（1）＝＝；＝＝；（2）∵（）（﹣）＝6﹣5＝1，∴+的倒數(shù)為﹣；故答案為：（1）；；（2）﹣；（3）原式＝（﹣1+﹣+…+﹣）×（+1）＝（﹣1）×（+1）＝（2n+1﹣1）＝n．【點評】此題主要考查了二次根式的混合運算，解題首先正確理解題目定義，然后注意利用平方差公式簡化計算．一十．二次根式的化簡求值（共5小題）38．（2021春?射陽縣校級月考）已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代數(shù)式的值：（1）a2﹣2ab+b2；（2）a2﹣b2．【分析】（1）直接利用已知得出a+b，a﹣b的值，進而結(jié)合完全平方公式計算得出答案；（2）結(jié)合平方差公式計算得出答案．【解答】解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a+b＝+2+﹣2＝2，a﹣b＝（+2）﹣（﹣2）＝4，（1）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝42＝16；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×4＝8．【點評】此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確運用乘法公式計算是解題關(guān)鍵．39．（2022春?鹽都區(qū)期中）已知a+1＝，則a2+2a+3＝4．【分析】利用完全平方公式對所求式子變形，然后整體代入計算．【解答】解：∵，∴，故答案為：4．【點評】本題考查了完全平方公式，二次根式的運算，靈活運用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．40．（2023春?邗江區(qū)月考）如果f（x）＝并且f（）表示當x＝時的值，即f（）＝＝，f（）表示當x＝時的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（）A．n B．n C．n D．n+【分析】認真觀察題中式子的特點，找出其中的規(guī)律，代入計算即可．【解答】解：代入計算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1，所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．故選：A．【點評】解答此類題目的關(guān)鍵是認真觀察題中式子的特點，找出其中的規(guī)律．41．（2022春?江都區(qū)期末）已知實數(shù)a、b滿足，則的值為．【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根和絕對值的非負性得出a﹣3＝0且b﹣1＝0，求出a、b的值，再代入求出答案即可．【解答】解：∵實數(shù)a、b滿足，∴a﹣3＝0，b﹣1＝0，∴a＝3，b＝1，∴＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了算術(shù)平方根和絕對值的非負性，二次根式的化簡求值等知識點，能求出a、b的值是解此題的關(guān)鍵．42．（2022秋?城關(guān)區(qū)期末）先化簡，后求值：，其中．【分析】求出a的值，根據(jù)平方差公式得出a2﹣3﹣a2+6a，推出6a﹣3，把a的值代入求出即可．【解答】解：∵a＝+＝+，∴（a+）（a﹣）﹣a（a﹣6），＝a2﹣3﹣a2+6a，＝6a﹣3，＝6×（+）﹣3，＝3．【點評】本題考查了平方差公式和二次根式的化簡求值的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)進行化簡，題目比較好，但是一道比較容易出錯的題目．一十一．二次根式的應(yīng)用（共8小題）43．（2022春?鹽城期末）直角三角形的兩條直角邊長分別為、，則這個直角三角形的面積為．【分析】根據(jù)三角形的面積公式求解．【解答】解：S＝××＝，故答案為：．【點評】本題考查了二次根式的乘除法，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法法則．44．（2021春?如東縣期中）如圖，在長方形ABCD中無重疊放入面積分別為16cm2和12cm2的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為（）cm2．A．16﹣8 B．﹣12+8 C．8﹣4 D．4﹣2【分析】根據(jù)正方形的面積求出兩個正方形的邊長，從而求出AB、BC，再根據(jù)空白部分的面積等于長方形的面積減去兩個正方形的面積列式計算即可得解．【解答】解：∵兩張正方形紙片的面積分別為16cm2和12cm2，∴它們的邊長分別為＝4cm，＝2cm，∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm，∴空白部分的面積＝（2+4）×4﹣12﹣16，＝8+16﹣12﹣16，＝（﹣12+8）cm2．故選：B．【點評】本題考查了二次根式的應(yīng)用，算術(shù)平方根的定義，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)正方形的面積求出兩個正方形的邊長．45．（2022春?江都區(qū)校級月考）古希臘幾何學家海倫和我國宋代數(shù)學家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫﹣秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是a，b，c，記，那么三角形的面積．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別記為a，b，c，若a＝5，b＝7，c＝8，則△ABC的面積為10．【分析】利用閱讀材料，先計算出p的值，然后根據(jù)海倫公式計算△ABC的面積；【解答】解：∵a＝5，b＝7，c＝8．∴p＝＝10，∴△ABC的面積S＝＝10，故答案為：10．【點評】考查了二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是代入后正確的運算．46．（2022春?亭湖區(qū)校級月考）據(jù)研究，高空拋物下落的時間t（單位：s）加高度h（單位：m）近似滿足公式t＝（不考慮風速的影響）．（1）求從40m高空拋物到落地時間；（2）已知高空墜物動能w（單位：J）＝10×物體質(zhì)量（單位：kg）×高度（單位：m），某質(zhì)量為0.1kg的玩具被拋出后經(jīng)過4s后落在地上，這個玩具產(chǎn)生的動能會傷害到樓下的行人嗎？請說明理由（注：傷害無防護人體只需要65J的動能）．【分析】（1）把40m代入公式即可；（2）求出h，代入動能計算公式即可求出．【解答】解：（1）由題意知h＝40m，∴t＝＝＝2（s），故從40m高空拋物到落地時間為2s；（2）這個玩具產(chǎn)生的動能會傷害到樓下的行人，理由：當t＝4s時，4＝，∴h＝80m，這個玩具產(chǎn)生的動能＝10×0.1×80＝80（J）＞65J，∴這個玩具產(chǎn)生的動能會傷害到樓下的行人．【點評】本題考查二次根式的應(yīng)用，通過具體情境考查二次根式，理解公式，正確運算代入求值是解決本題的關(guān)鍵．47．（2022春?新吳區(qū)期末）我國南宋數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S＝，其中a、b、c為三角形的三條邊，c為最長邊．若一個三角形的三邊長分別為2，3，4，則此三角形面積為．【分析】直接代入公式，再利用二次根式的運算進行化簡．【解答】解：a＝2，b＝3，c＝4；∴S＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．48．（2022春?常熟市期中）已知三角形的三邊長分別為a，b，c，求其面積S的問題，古希臘數(shù)學家海倫在其著作《度量論》一書中給出了著名的海倫公式：S＝，其中p＝（a+b+c）．若一個三角形的三邊長分別為5，6，7，則其面積是6．【分析】根據(jù)題目中的海倫公式，可以求得一個三角形的三邊長分別為5，6，7的面積，從而可以解答本題．【解答】解：若一個三角形的三邊長分別為5，6，7，∴a＝5，b＝6，c＝7，∴p＝（5+6+7）＝9，∴S＝＝＝6．故答案為：6．【點評】本題考查二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的三角形的面積．49．（2022春?江寧區(qū)期末）材料閱讀：古希臘的幾何學家海倫在他的著作《度量》中提出：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記p＝，那么三角形的面積為S＝，這一公式稱為海倫公式．我國南宋時期數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出利用三角形三邊a，b，c，求三角形面積的公式S＝，被稱之為秦九韶公式．（1）海倫公式與秦九韶公式本質(zhì)上是同一個公式．你同意這種說法嗎？請利用以下數(shù)據(jù)驗證兩公式的一致性．如圖①，在△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝5，AB＝c＝6，求△ABC的面積．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，作∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O．過點O作OD⊥AB，OD的長為．【分析】（1）分別代入公式求解，答案一樣就是一致的．（2）利用公式求解．【解答】解：（1）我同意這種說法．驗證：利用海倫公式：P＝0.5（5+6+7）＝9．△ABC的面積的面積為：＝6；利用秦九韶公式：△ABC的面積的面積為＝6．∵＝6，海倫公式與秦九韶公式本質(zhì)上是同一個公式．（2）∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，∴O為△ABC的內(nèi)心，且O到三角形的三條邊的距離相等，距離為OD的長，設(shè)為x，∴△ABC的面積等于：0.5×（5+6+7）x＝6，解得：x＝．所以O(shè)D的長為：．故填：．【點評】本題考查學生的運算能力和對三角形內(nèi)心的理解，熟練運算是解本題的關(guān)鍵．50．（2023春?惠山區(qū)校級期中）我們稱長與寬之比為的矩形為“奇異矩形”，特別地，我們稱長為，寬為1的矩形為“基本奇異矩形”，如圖1所示，它的奇異之處在于：可以用若干個基本奇異矩形（互不重疊且不留縫隙地）拼成一般的奇異矩形，例如，圖2中用2個基本奇異矩形拼成了一個奇異矩形．（1）①請你在圖3的虛線框中畫出用4個基本奇異矩形拼成的奇異矩形（請仿照圖1、圖2標注必要的數(shù)據(jù)）；②請你在圖4的虛線框中畫出用8個基本奇異矩形拼成的奇異矩形；（2）若用K個基本奇異矩形可以拼成一般的奇異矩形，你發(fā)現(xiàn)正整數(shù)K有何特點？請敘述你的發(fā)現(xiàn)若用k個基本奇異矩形拼成奇異矩形，則k＝2n或n2（n≥0）；（3）①用16個基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對角線長為2；②用128個基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對角線長為8；③用m個基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對角線長為，則m＝11．【分析】本題是新定義題，通過操作、類比尋找規(guī)律，從而解決問題．（1）根據(jù)定義，“奇異矩形”必須滿足長是寬的倍，依此規(guī)律可畫出圖形；（2）根據(jù)觀察，能夠拼成奇異矩形，則都需要1個、2個、4個、8個基本奇異矩形，這些數(shù)據(jù)分別對應(yīng)20、21、22、…或需要n2個基本奇異矩形，（3）由勾股定理可知：奇異矩形的寬、長、對角線之比為1：，由此規(guī)律可解決問題．【解答】解：如圖①②，相關(guān)數(shù)據(jù)已標出，圖①中，長為2，寬為2，長：寬＝2：2＝：1，符合奇異矩形的條件，圖②中，長為4，寬為2，長：寬＝4：2＝：1，符合奇異矩形的條件．（2）根據(jù)觀察，能夠拼成奇異矩形，則都需要1個、2個、4個、8個基本奇異矩形，這些數(shù)據(jù)分別對應(yīng)20、21、22、…或需要n2個基本奇異矩形，故答案為：若用k個基本奇異矩形拼成奇異矩形，則k＝2n或n2（n≥0），（3）①若用16個奇異矩形組成奇異矩形，則長＝4，寬＝2，此時滿足奇異矩形的條件，根據(jù)勾股定理，，故答案為：對角線為2，②若用128個基本奇異矩形拼成奇異矩形，則長＝8，寬＝8，此時滿足奇異矩形的條件，根據(jù)勾股定理：，故答案為：8；③根據(jù)規(guī)律可知：2m個基本矩形拼成的奇異矩形，長為（）m+1，寬為（）m，則對角線為（）m×，∴（）m×＝32，∴m＝11，故答案為：11．【點評】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，尋找規(guī)律的應(yīng)用，主要考查了學生的變換能力和動手畫圖操作能力．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2023春·江蘇無錫·八年級宜興市實驗中學校考階段練習）已知m是的小數(shù)部分，則的值是（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】先求出m值，然后根據(jù)完全平方公式，代入計算即可．【詳解】解：∵∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查無理數(shù)的估算、完全平方公式、二次根式的混合運算，熟練掌握無理數(shù)的估算，得出m值是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級期中）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別根據(jù)合并同類二次根式，立方根的意義，二次根式的乘法和除法法則計算即可．【詳解】A．和不是同類二次根式，不能合并，故A錯誤；B．，故B錯誤；C．，故C正確；D．，故D錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的運算，立方根的意義，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇常州·八年級校考期中）的倒數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義及二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：的倒數(shù)是，故選：C．【點睛】本題考查了倒數(shù)的定義，二次根式的化簡，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中?？贾軠y）下列二次根式中，不能再化簡的二次根式是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二次根式的性質(zhì)化簡后即可判斷．【詳解】解：A、不能再化簡，故符合題意；B、，故不符合題意；C、，故不符合題意；D、，故不符合題意；故選：A．【點睛】此題考查了二次根式的化簡，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇·八年級期中）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡結(jié)果為（

）A．7 B． C． D．無法確定【答案】A【分析】先根據(jù)數(shù)軸上點的位置得到，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：由題意得，，∴，∴，故選A．【點睛】本題主要考查了化簡二次根式，實數(shù)與數(shù)軸，正確得到是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·八年級單元測試）已知直角三角形的周長為厘米，斜邊上的中線長為2厘米，則這個三角形的面積是（）A．平方厘米 B．平方厘米 C．1平方厘米 D．平方厘米【答案】A【分析】由直角三角形斜邊上中線長可得斜邊長，則可直角三角形兩直角邊和，設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a厘米、b厘米，則有，由勾股定理得，利用完全平方公式變形可求得的值，從而求得三角形的面積．【詳解】解：∵直角三角形斜邊上的中線長為2厘米，∴直角三角形的斜邊長為4厘米，∵直角三角形的周長為厘米，∴直角三角形的兩條直角邊長和為厘米，設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a厘米、b厘米，∴①，又②，由①②可得，，即，∴平方厘米，故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，完全平方公式變形運用等知識，求出兩直角邊之積是問題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023春·江蘇南京·八年級南京鐘英中學校考階段練習）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，列出不等式，解不等式即可求解．【詳解】解：∵在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得：．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·江蘇·八年級專題練習）計算的結(jié)果是__．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行運算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的運算，先根據(jù)二次根式的性質(zhì)將式子中的根式化簡，再進行計算是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）已知m為正整數(shù)，若是整數(shù)，則根據(jù)可知m有最小值．設(shè)n為正整數(shù)，若是大于1的整數(shù)，則n的最小值為______．【答案】2【分析】根據(jù)n為正整數(shù)，是大于1的整數(shù)，先求出n的值可以為2、8、32，128，再結(jié)合是大于1的整數(shù)來求解．【詳解】解：∵，是大于1的整數(shù)，∴．∵n為正整數(shù)∴n的值可以為2、8、32，128，n的最小值是2，故答案為：2．【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算，理解無理數(shù)的估算方法是解答關(guān)鍵．10．（2023春·江蘇·八年級專題練習）對于有理數(shù)，定義的含義為：當時，．例如：．已知，，且和為兩個連續(xù)正整數(shù)，則的值為________．【答案】【分析】根據(jù)的含義可得，由a和b為兩個連續(xù)正整數(shù)求得它們的值，然后代入計算即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，且a和b為兩個連續(xù)正整數(shù)，，∴，∴．故答案為．【點睛】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用、立方根、實數(shù)的運算等知識點，根據(jù)題意理解新定義的計算公式是解題的關(guān)鍵．11．（2020秋·江蘇南通·八年級校考階段練習）閱讀理解:對于任意正整數(shù)，，∵，∴，∴，只有當時，等號成立；結(jié)論：在（、均為正實數(shù)）中，只有當時，有最小值.若，有最小值為__________．【答案】3【分析】根據(jù)（、均為正實數(shù)），對代數(shù)式進行化簡求最小值．【詳解】解：由題中結(jié)論可得即：當時，有最小值為3，故答案為：3．【點睛】準確理解閱讀內(nèi)容，靈活運用題中結(jié)論，求出代數(shù)式的最小值．三、解答題12．（2023春·江蘇·八年級專題練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）原式化簡為最簡二次根式后，合并同類二次根式即可得到結(jié)果；（2）原式利用二次根式的乘除法則計算即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】此題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．13．（2023春·八年級單元測試）已知，，分別求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)31【分析】(1)先計算，再根據(jù)代入計算即可．(2)根據(jù)代入計算即可．【詳解】（1）∵，，∴，∴．（2）∵，，∴，，∴．【點睛】本題考查了平方差公式，二次根式的乘法，完全平方公式，熟練掌握公式并活用公式計算是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·江蘇·八年級專題練習）化簡求值(1)已知，，試求代數(shù)式的值．(2)先化簡，再求值，其中，．【答案】(1)40；(2)，．【分析】（1）先利用提公因式法和完全平方公式，把原式進行因式分解，即可求解；（2）根據(jù)完全平方公式，分式的性質(zhì)，化簡，代入求值的方法即可求解．【詳解】（1）解：，當，時，原式；（2）解：，當，時，原式．【點睛】本題主要考查整式的運算，分式的化簡的綜合，掌握完全平方公式，平方差公式，乘方運算，分式的性質(zhì)，分式的化簡、代入求值的方法是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）定義：若分式M與分式N的和等于它們的積，即，則稱分式M與分式N互為“關(guān)聯(lián)分式”．如與，因為，所以與互為“關(guān)聯(lián)分式”，其中一個分式是另外一個分式的“關(guān)聯(lián)分式”．(1)試說明分式與分式互為“關(guān)聯(lián)分式”；(2)若分式是分式的“關(guān)聯(lián)分式”，，求分式的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)分式的定義判斷即可；（2）根據(jù)關(guān)聯(lián)分式的定義確定和關(guān)系，進而求出，再代入進行化簡即可．【詳解】（1）解：∵，，∴．∴分式是分式的“關(guān)聯(lián)分式”．（2）解：∵分式是分式的“關(guān)聯(lián)分式”，∴，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，當時，∴，當時，∴，∴分式的值為．【點睛】本題主要考查了新定義下的實數(shù)運算，分式的加減計算，分式的乘法，分母有理化，熟練掌握分式的相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·江蘇·八年級專題練習）濮陽市指出要全力做好國土綠化工作，加快推進森林濮陽生態(tài)建設(shè)．現(xiàn)濮陽某公園有一塊長方形綠地，為，為，內(nèi)有一塊長方形花壇（即圖中陰影部分），長為，寬為．(1)求長方形的周長；(2)圖片中的空白部分另作他用，需要50元/平方米的定期維護費，求定期維護的總費用．【答案】(1)(2)6600元【分析】（1）根據(jù)長方形的周長公式進行計算即可；（2）先計算空白部分面積，再乘以50即可．【詳解】（1）解：長方形的周長為：，答：長方形的周長是；（2）解：定期維護的總費用為：（元）．答：定期維護的總費用為6600元．【點睛】本題主要考查了二次根式混合運算的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式混合運算的運算順序和運算法則．17．（2023春·江蘇·八年級專題練習）閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方．如．善于思考的小明進行了以下探索：設(shè)（其中，，，均為整數(shù)），則有．故，，這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)當，，，均為正整數(shù)時，若，用含，的式子分別表示，，得，；(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)，，，填空：（）；(3)若，且a，m，n均為正整數(shù)，求的值．【答案】(1)，(2)28，16，4，2（答案不唯一）(3)的值是7或13【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式展開，再得出、的值即可；（2）設(shè)，根據(jù)完全平方公式求出，得出，，再取一組整數(shù)、代入即可；（3）根據(jù)完全平方公式求出，求出，，求出，根據(jù)、為正整數(shù)得出，或，，再求出即可．【詳解】（1）∵，又∵，∴，，故答案為：，；（2）設(shè)，∵，∴，，取，，則，，故答案為：28，16，4，2；（答案不唯一）（3），∵，∴，，∴，∵、都為正整數(shù)，∴，或，，當，時，；當，時，，∴a的值是7或13．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算和完全平方公式，能根據(jù)完全平方公式展開是解此題的關(guān)鍵．18．（2023春·江蘇鹽城·八年級?？计谥校?）比較大小：①_____；②_____；③_____（填“＞”，“＜”，或“=”）；（2）猜想證明：通過上面三個計算，可以初步對任意的非負實數(shù)a，b做出猜想：_____（填“＞”，“＜”，“≥”或“≤”），并請你對猜想的結(jié)論進行證明；（3）結(jié)論應(yīng)用．如圖，某同學用竹條做二個面積為，對角線相互垂直的四邊形玩具時，用來做對角線的竹條至少要________cm．【答案】（1）>，>，=（2）≥（3）240【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的非負性進行變形可得結(jié)論；（2）直接利用完全平方公式的非負數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)對角線互相垂直的四邊形面積=相互垂直的對角線乘積的一半，并綜合利用（2）的結(jié)論得出答案即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，同理可得，，∵∴故答案為：>，>，=；（2）猜想：，理由是：，∴；故答案為：≥（3）設(shè)由題意得：，，∴用來做對角線的竹條至少要厘米．故答案為：240.【點睛】此題考查了二次根式的實際應(yīng)用，非負數(shù)的性質(zhì)，掌握完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．19．（2023春·江蘇·八年級專題練習）閱讀下列材料，然后回答問題．在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：方法一：；方法二：．以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．(1)直接寫出化簡結(jié)果：＝，＝；(2)請參照以上化簡的方法，用兩種方法化簡：；(3)計算：．【答案】(1)；(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)分母有理化的方法進行運算即可；（2）根據(jù)所給的方法進行化簡即可；（3）把各個式子進行分母有理化，從而進行求解即可．【詳解】（1）解：①；②；故答案為：；；（2）解：方法一：；方法二：；（3）解：．【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算，理解分母有理化是解題的關(guān)鍵．20．（2023春·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中?？贾軠y）（1）[方法回顧]課本上“三角形中位線定理”的證明．已知：如圖1，在中，點D、E分別是邊的中點．求證：，．證明：如圖1，延長到點F，使得，連接；請繼續(xù)完成證明過程：（2）[問題解決]如圖2，，E為的中點，G、F分別為射線上的點，，線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）[思維拓展]如圖3，在四邊形中，，，，E為的中點，G、F分別為邊上的點，H是的中點，若，，的長為．【答案】（1）見解析；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）利用證明，得到，再得四邊形是平行四邊形，最后得到，；（2）過延長交的延長線于點H，得到三角形全等，據(jù)此即可求解；（3）延長至點M，使得，得三角形全等，和特殊的直角三角形，再求．【詳解】證明：（1）∵點D和點E分別是的中點，∴，∵，，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴．∴，；（2），理由如下，延長交的延長線于點H，則：，，∵點E是的中點，∴，∴，∴，，又∵，∴是線段的垂直平分線，∴；（3）延長至點M，使得，連接，過點M作，交的延長線于點N，同理可證，，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∵H是的中點，，∴是的中位線，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三