專題04因式定理與綜合除法（原卷版）

專題04因式定理與綜合除法考點(diǎn)點(diǎn)撥1、如果多項(xiàng)式f（x）除以多項(xiàng)式g（x）所得的商式為，余式為r（x），則有f（x）＝g（x）?q（x）+r（x）其中r（x）的次數(shù)小于g（x）的次數(shù)，或者r（x）為常數(shù)，當(dāng)r（x）＝0時(shí)，我們稱f（x）能被g（x）整除．2、余數(shù)定理：多項(xiàng)式f（x）除以x﹣a所得的余數(shù)等于f（a）．3、因式定理：（1）如果x﹣a是多項(xiàng)式f（x）的一個(gè)因式，那么f（a）＝0，反之亦然．（2）如果整系數(shù)多項(xiàng)式f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0有因式px﹣q（p、q是互質(zhì)整數(shù)），那么p是高次項(xiàng)系數(shù)an的約數(shù)，q是常數(shù)項(xiàng)a0的約數(shù)．4、綜合除法：多項(xiàng)式f（x）除以x﹣a可以采用綜合除法簡(jiǎn)化運(yùn)算．5、待定系數(shù)法的常見(jiàn)步驟：（1）先假定一個(gè)恒等式，其中含有待定的系數(shù)，這通常需要知道問(wèn)題的預(yù)定結(jié)構(gòu)，否則恒等式列不出來(lái)，其中待定系數(shù)是整式中的系數(shù)；（2）根據(jù)恒等式的性質(zhì)列出方程（組），通常是比較恒等式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)或?qū)ψ帜溉√厥庵?；?）解方程（組）求出個(gè)待定系數(shù)，或者從方程（組）中消去待定系數(shù)，找出原來(lái)那些已知系數(shù)間所存在的關(guān)系．典例精選1．（新編）多項(xiàng)式x3+ax2+bx+5被x﹣1除余7，被x+1除余9，則數(shù)對(duì)（a，b）＝（）A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2）2．（新編）在1到1990之間有（）個(gè)整數(shù)n能使x2+x﹣3n可分解為兩個(gè)整系數(shù)一次因式的乘積．A．1990 B．75 C．50 D．443．（浦東新區(qū)校級(jí)）多項(xiàng)式a3﹣b3+c3+3abc有因式（）A．a(chǎn)+b+c B．a(chǎn)﹣b+c C．a(chǎn)2+b2+c2﹣bc+ca﹣ab D．bc﹣ca+ab4．（余姚市校級(jí)自主招生）若2x3+A．818 B．778 C．5．（新編）多項(xiàng)式x135+x125﹣x115+x5+1除以多項(xiàng)式x3﹣x多得的余式是．6．（合肥校級(jí)自主招生）若a、b為整數(shù)，且x2﹣x﹣1是ax17+bx16+1的因式，則a的值為．7．（張掖）如果（x+3）（x+a）﹣2可以因式分解為（x+m）（x+n）（其中m，n均為整數(shù)），則a的值是．8．（新編）已知6x2+7xy﹣3y2﹣8x+10y+c是兩個(gè)x，y的一次多項(xiàng)式的乘積，而c是常數(shù)，則c＝．9．（新編）若多項(xiàng)式x4﹣x3+ax2+bx+c能被（x﹣1）3整除，求a、b、c的值．10．（新編）多項(xiàng)式f（x）以x﹣1除之余式為9，以x﹣2除之余式為16，求f（x）除以（x﹣1）（x﹣2）的余式．精準(zhǔn)預(yù)測(cè)1．以下三個(gè)判斷中，正確的判斷的個(gè)數(shù)是（）（1）x2+3x﹣1＝0，則x3﹣10x＝﹣3（2）若b+c﹣a＝2+5，c+a﹣b＝4-5，a+b﹣c=5-2，則a4+b4+c4﹣2（a2b2+b2c2+c2（3）若a2＝a1q，a3＝a2q，a4＝a3q，則a1+a2+a3+a4=a1(q4-1)A．0 B．1 C．2 D．32．如果x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解為兩個(gè)一次因式之積，那么a＝．3．多項(xiàng)式x5n+xn+1的兩個(gè)因式的和當(dāng)n＝1，x＝2時(shí)的值為．4．設(shè)x3+3x2﹣2xy﹣kx﹣4y分解為一次與二次因式之積．則k＝．5．x2﹣y2+3x﹣7y+k可分解成兩個(gè)系數(shù)為有理數(shù)的一次因式，則k＝．6．（蚌山區(qū)校級(jí)自主招生）多項(xiàng)式x243+x81+x27+x9+x3+x被x﹣1除的余數(shù)為．7．（攀枝花）閱讀下列解答過(guò)程，然后回答問(wèn)題．已知多項(xiàng)式x3+4x2+mx+5有一個(gè)因式（x+1），求m的值．解法一：設(shè)另一個(gè)因式為（x2+ax+b），則x3+4x2+mx+5＝（x+1）（x2+ax+b）＝x2+（a+1）x2+（a+b）x+b，∴a+1＝4，a+b＝m，b＝5，∴a＝3，b＝5，∴m＝8；解法二：令x+1＝0得x＝﹣1，即當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原多項(xiàng)式為零，∴（﹣1）3+4×（﹣1）2+m×（﹣1）+5＝0，∴m＝8用以上兩種解法之一解答問(wèn)題：若x3+3x2﹣3x+k有一個(gè)因式是x+1，求k的值．8．已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且多項(xiàng)式x3+ax2+bx+c能夠被x2+3x﹣4整除．（1）求4a+c的值；（2）求2a﹣2b﹣c的值．9．若2x2+7xy﹣15y2+ax+by+3可以分解成兩個(gè)一次整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，其中a、b為實(shí)數(shù)，那么，a+b的最小值是．10．（重慶校級(jí)模擬）因?yàn)椋▁+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，所以（x2+x﹣2）÷（x﹣1）＝x+2，這說(shuō)明x2+x﹣2能被x﹣1整除，同時(shí)也說(shuō)明多項(xiàng)式x2+x﹣2有一個(gè)因式為x﹣1