多邊形的內角和課件

1.經歷探索多邊形的內角和與外角和公式的過程.

2.學會運用多邊形的內角和與外角和公式解決問題.

學習目標某社區(qū)公園的邊緣是一個四邊形（如圖），小唯唯每天下班后圍繞公園跑步，你能求出小唯唯圍繞公園環(huán)跑一圈總共拐彎的度數嗎？我們知道正方形，矩形他們的角都是90°，內角的和為360°，那任意一個四邊形的內角和是否都為360°呢？

新課引入研究多邊形的問題通過添加對角線，都可以轉化為三角形.你能利用三角形內角和定理，證明任意一個四邊形ABCD

的內角和等于360°嗎？已知：四邊形ABCD，求證：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.DCAB探究1新知學習已知：四邊形ABCD，求證：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.DCAB方法1證明：如圖，連接AC，∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=∠1

+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=(∠1

+∠3+∠B)+(∠2+∠4+∠D)=180°+180°=360°.1234方法2證明：如圖，在四邊形內部取一點O，連接OA，OB，OC，OD，把四邊形分成四個三角形.所以四邊形ABCD

的內角和=180°×4-(∠AOB+∠AOD+∠COD+∠COB)=180°×4-360°=360°.DCABO方法3證明：如圖，在BC

邊上取一點O

，連接OA，OD，把四邊形分成三個三角形.所以四邊形ABCD

的內角和=180°×3-(∠AOB+∠AOD+∠COD)=180°×3-180°=360°DCABO方法4證明：如圖，在四邊形外任取一點O，連接OA，OB，OC，OD，把四邊形轉化為有一個公共頂點的三個三角形.所以四邊形ABCD

的內角和=180°×3-(∠COB+∠CBO+∠BCO)=180°×3-180°=360°DCABO以上這四種方法都運用了轉化的思想，把四邊形分割成三角形，轉化為已學的三角形內角和進行求解.類比上面的過程，你能推導出五邊形和六邊形的內角和各是多少嗎？ACDEBABCDEF內角和為180°×3=540°.內角和為180°×4=720°.名稱四邊形五邊形六邊形n邊形圖形從一個頂點出發(fā)能作的對角線條數過一個頂點的對角線把多邊形分成的三角形個數多邊形內角和123n-3234n-22×180°3×180°4×180°(n-2)×180°

一般地，從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以作_________條對角線，它們將n邊形分為__________個三角形，n邊形的內角和等于______________.(n－3)（n－2)(n－2)×180°歸納多邊形的內角和公式：n邊形內角和等于(n-2)×180°.注意：①n邊形的內角和隨邊數的增加而增加，每增加一條邊其內角和增加180°.②多邊形的內角和是180°的整倍數.如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？DCAB解：

如圖，在四邊形ABCD

中，

∠A+∠C=180°，

∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，

∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C) =360°-180°=180°如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角也互補.思考后來小唯唯沿公園里面的一個五邊形小路按逆時針方向跑步，小唯唯每從一條小路轉到下一條小路時，身體總要轉過一個角，你知道是哪些角嗎？他跑一圈一共轉了多少度？探究2把上面的問題抽象為數學問題，如右圖.分析：1.任意一個外角同它相鄰的內角有什么關系？2.五邊形的6個外角加上與它們相鄰的內角的總和是多少？5×180°=900°互補解：

五邊形的任何一個外角加上與它相鄰的內角都等于180°，因此六邊形的5個外角加上它們相鄰的內角，所得的總和等于5×180°.這個總和就是五邊形的外角和加上內角和，所以外角和等于總和減去內角和，即外角和等于

5×180°-(5-2)×180°=2×180°=360°結論：五邊形的外角和等于360°.思考如果將五邊形換成n邊形（n是不小于3的任意整數），可以得到同樣結果嗎？n邊形外角和－(n－2)×180°=360°=n個平角-n邊形內角和=n×180°n邊形的外角和等于360°.歸納與多邊形邊數無關你知道正多邊形的每個內角是多少度嗎？每個外角呢？每個內角的度數是每個外角的度數是思考例

若小唯唯現(xiàn)在圍繞一個正多邊形的公園跑步，每一個內角都等于135°，則這個公園是幾邊形？解：設這個多邊形是n邊形，由題意得（n－2）×180o=n×135o

解得：n=8所以這個公園是八邊形.

還有其他解法嗎？解法二：∵正多邊形的每一個內角都等于135°，

∴正多邊形的每一個外角都等于180°-135°=45°，

由多邊形的外角和等于360°

360÷45=8

所以這個公園是八邊形.

1.多邊形的外角和為360°.2.多邊形的內(外)角和與邊數間的關系：(1)多邊形的內角與邊數有關，且隨著邊數的增加而增加．(2)多邊形的外角和恒等于360°，與邊數的多少無關，其作用是：①已知正多邊形外角的度數，求正多邊形的邊數；②已知正多邊形的邊數，求各相等外角的度數．總結歸納1.五邊形的外角和等于(

)A．180°B．360°C．540°D．720°B2.如果正n邊形每一個內角等于與它相鄰外角的2倍，則n的值是(

)A．4B．5C．6D．7C隨堂練習3．一個正多邊形的內角和是540゜，則這個正多邊形的每一個外角等于(

)．A．60゜B．72゜C．90゜D．108゜4．一個多邊形的內角和與外角和的和為540°，則它是(

)A．五邊形B．四邊形C．三角形D．不能確定BC5.一個正多邊形的一個外角比一個內角大60°，求這個多邊形的每個內角的度數及邊數．解：設該正多邊形的每個內角是

x°，相鄰外角是

y°，則得到一個方程組解得而任何多邊形的外角和是

360°，則該正多邊形的邊數為

360÷120

=

3.故這個多邊形的每個內角的度數是

60°，邊數是三條．6.如圖，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度數.解：如圖，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五邊形的內角和＝540°.89外角和內角和計算公式(n-2)×180°(n≥3的整數）多邊形的外角和等于360°，與邊數無關.多邊形正多邊形每個內角=