蘇州市屆初三年級上冊期中復(fù)習(xí)《壓軸題》專題訓(xùn)練含答案

初三數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)《壓軸題》專題訓(xùn)練(1)

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+c過A,B,C三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是

(2)是否存在點(diǎn)P,使得4ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合

條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

(3)過動點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作x軸的垂線.垂足為F,

連接EF,當(dāng)線段EF的長度最短時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.如圖，拋物線y=-x?+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)

D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸DE交x軸于點(diǎn)E,連接BD.

(1)求經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，當(dāng)PE=PC時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)P作PFLx軸于點(diǎn)EG為拋物線上一動點(diǎn)，M為x軸上一

動點(diǎn)，N為直線PF上一動點(diǎn)，當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時，請求出點(diǎn)M

的坐標(biāo).

12M

3.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-3x2+3x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A

在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E.

(1)判斷AABC的形狀，并說明理由；

(2)經(jīng)過B,C兩點(diǎn)的直線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D,點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一

動點(diǎn)，當(dāng)4PCD的面積最大時，Q從點(diǎn)P出發(fā)，先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動到拋物線的對稱軸上

點(diǎn)M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運(yùn)動到y(tǒng)軸上的點(diǎn)N處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動

到點(diǎn)A處停止.當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑最短時，求點(diǎn)N的坐標(biāo)及點(diǎn)Q經(jīng)過的最短路徑的長；

(3)如圖2,平移拋物線，使拋物線的頂點(diǎn)E在射線AE上移動，點(diǎn)E平移后的對應(yīng)點(diǎn)為

點(diǎn)E,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A-將△AOC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至△AiOCi的位置，點(diǎn)A,C

的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)Ai,Ci,且點(diǎn)Ai恰好落在AC上，連接CiA-CiE\△ACiE是否能為

等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點(diǎn)E，的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

4.己知二次函數(shù)y=x2-(2k+l)x+k2+k(k>0)

(1)當(dāng)k=2時，求這個二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求證：關(guān)于x的一元次方程x2-(2k+l)x+k2+k=0有兩個不相等的實數(shù)根：

(3)如圖，該二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè))，與y軸交于C點(diǎn)，P

1-

2丁2-2

是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且OP=1,直線AP交BC于點(diǎn)Q,求證：OAABAQ.

5.已知拋物線y=a(x+3)(x-1)(aWO),與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y

軸相交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)A的直線y=-V3x+b與拋物線的另一個交點(diǎn)為D.

(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2,求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與aABC相似,

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(1)的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接BE.一動點(diǎn)Q從

2屈

點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)E,再沿線段ED以每秒3個單位

的速度運(yùn)動到點(diǎn)D后停止，問當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時，點(diǎn)Q在整個運(yùn)動過程中所用時間最

少？

6.若兩條拋物線的頂點(diǎn)相同，則稱它們?yōu)?友好拋物線”，拋物線Ci：yi=-2x?+4x+2與C2：

U2=-x2+mx+n為"友好拋物線

(1)求拋物線C2的解析式.

(2)點(diǎn)A是拋物線C2上在第一象限的動點(diǎn)，過A作AQ，x軸，Q為垂足，求AQ+OQ的

最大值.

(3)設(shè)拋物線C2的頂點(diǎn)為C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,4),問在C2的對稱軸上是否存在點(diǎn)

M,使線段MB繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段MBT且點(diǎn)B，恰好落在拋物線C2上？若存

在求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，不存在說明理由.

7.如圖1,拋物線y=ax?+(a+3)x+3(a#0)與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)B,

在x軸上有一動點(diǎn)E(m,0)(0<m<4),過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N,交拋物

線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PMLAB于點(diǎn)M.

(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式;

(2)設(shè)△PMN的周長為Ci,ZXAEN的周長為C2,若02=5,求m的值;

(3)如圖2,在(2)條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE,旋轉(zhuǎn)角為a((T<a

2

<90"),連接E'A、E'B,求EA+3EB的最小值.

8.如圖1,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,

連結(jié)BC,點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線1,交直線BC于點(diǎn)G,交x軸于點(diǎn)

E.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)當(dāng)P位于y軸右邊的拋物線上運(yùn)動時，過點(diǎn)C作CF,直線1,F為垂足，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動

到何處時，以P,C,F為頂點(diǎn)的三角形與AOBC相似？并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在位于直線BC上方的拋物線上運(yùn)動時，連結(jié)PC,PB,請問aPBC的

面積S能否取得最大值？若能，請求出最大面積S,并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不能，請說

明理由.

9.如圖,長方形OABC的OA邊在x軸的正半軸上,OC在y軸的正半軸上,拋物線y=ax2+bx

經(jīng)過點(diǎn)B(1,4)和點(diǎn)E(3,0)兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)D在線段OC上，且BDLDE,BD=DE,求D點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)在條件(2)下，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M,使得△BDM的周長為最小，并求△

BDM周長的最小值及此時點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(4)在條件(2)下，從B點(diǎn)到E點(diǎn)這段拋物線的圖象上，是否存在一個點(diǎn)P,使得4PAD

的面積最大？若存在，請求出APAD面積的最大值及此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

10.如圖，拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過AABC的三個頂點(diǎn)，與y軸相交于(0,4),點(diǎn)A坐標(biāo)

為(-1,2),點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸的正半軸上.

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式.

(2)點(diǎn)F為線段AC上一動點(diǎn)，過F作FE，x軸，F(xiàn)G，y軸，垂足分別為E、G,當(dāng)四邊

形OEFG為正方形時，求出F點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)將(2)中的正方形OEFG沿0C向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG,

當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時停止運(yùn)動，設(shè)平移的距離為t,正方形的邊EF與AC交于點(diǎn)M,DG

所在的直線與AC交于點(diǎn)N,連接DM,是否存在這樣的t,使aDNIN是等腰三角形？若存

在，求t的值；若不存在請說明理由.

11.如圖，直線y=5x+5交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)C,過A,C兩點(diǎn)的二次函數(shù)y=ax?+4x+c

的圖象交x軸于另一點(diǎn)B.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接BC,點(diǎn)N是線段BC上的動點(diǎn)，作NDLx軸交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D,求線段

ND長度的最大值；

(3)若點(diǎn)H為二次函數(shù)y=ax2+4x+c圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M(4,m)是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，

在x軸、y軸上分別找點(diǎn)F,E,使四邊形HEFM的周長最小，求出點(diǎn)F,E的坐標(biāo).

溫馨提示：在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為PCxi,yi),Q(x2,y2),

當(dāng)PQ平行x軸時，線段PQ的長度可由公式PQ=|xi-x2l求出；

當(dāng)PQ平行y軸時，線段PQ的長度可由公式PQ=|y-y2l求出.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtZ\ABC的三個頂點(diǎn)分別是A(-8,3),B(-4,0),

1_4

C(-4,3),ZABC=a°.拋物線y=2x?+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C,且對稱軸為x=-5,并與y軸交

于點(diǎn)G.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(2)將RtAABC沿x軸向右平移m個單位，使B點(diǎn)移到點(diǎn)E,然后將三角形繞點(diǎn)E順時

針旋轉(zhuǎn)a。得到aDEF.若點(diǎn)F恰好落在拋物線上.

①求m的值；

②連接CG交x軸于點(diǎn)H,連接FG,過B作BP〃FG,交CG于點(diǎn)P,求證：PH=GH.

X

13.如圖1,二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A(3,0),B(0,4)兩點(diǎn)，動點(diǎn)P從A

出發(fā)，在線段AB上沿A9B的方向以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，過點(diǎn)P作PDLy于點(diǎn)

D,交拋物線于點(diǎn)C.設(shè)運(yùn)動時間為t(秒).

(1)求二次函數(shù)y=-x2+bx+c的表達(dá)式；

5_

(2)連接BC,當(dāng)t=6時，求4BCP的面積；

(3)如圖2,動點(diǎn)P從A出發(fā)時，動點(diǎn)Q同時從O出發(fā)，在線段OA上沿。玲A的方向以

1個單位長度的速度運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)P與B重合時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，連接DQ,PQ,

將ADP、沿直線PC折疊得到ADPE.在運(yùn)動過程中，設(shè)4DPE和AOAB重合部分的面積

為S,直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系及t的取值范圍.

14.如圖，在RtaABC中，ZB=90°,點(diǎn)。在邊AB上，以點(diǎn)。為圓心，OA為半徑的圓

經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)C作直線MN,使/BCM=2/A.

(1)判斷直線MN與。O的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若OA=4,ZBCM=60°,求圖中陰影部分的面積.

15.已知：如圖，AM為。O的切線，A為切點(diǎn)，過。O上一點(diǎn)B作BD_LAM于點(diǎn)D,BD

交。。于點(diǎn)C,OC平分/AOB.

(1)求/AOB的度數(shù)；

(2)當(dāng)。O的半徑為2cm,求CD的長.

B

o.

DM

16.如圖，Z\ABC內(nèi)接于。0,AC為。O的直徑，PB是。O的切線，B為切點(diǎn)，OPJ_BC,

垂足為E,交。O于D,連接BD.

(1)求證：BD平分NPBC；

(2)若的半徑為1,PD=3DE,求OE及AB的長.

17.如圖，在Rt/XABC中，/C=90。，點(diǎn)。在AB上，經(jīng)過點(diǎn)A的。O與BC相切于點(diǎn)D,

與AC,AB分別相交于點(diǎn)E,F,連接AD與EF相交于點(diǎn)G.

(1)求證：AD平分/CAB；

(2)若OH_LAD于點(diǎn)H,FH平分NAFE,DG=1.

①試判斷DF與DH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②求。O的半徑.

18.如圖，在Rtz^ABC中，ZBAC=90°,O是AB邊上的一點(diǎn)，以0A為半徑的。0與邊

BC相切于點(diǎn)E.

(1)若AC=5,BC=13,求。。的半徑；

(2)過點(diǎn)E作弦EFLAB于M,連接AF,若NF=2NB,求證：四邊形ACEF是菱形.

19.如圖，AB是(DO的直徑，點(diǎn)C、D在。O上，ZA=2ZBCD,點(diǎn)E在AB的延長線上,

ZAED=ZABC

(1)求證：DE與。O相切；

(2)若BF=2,DF=V10,求。0的半徑.

20.某蛋糕產(chǎn)銷公司A品牌產(chǎn)銷線，20XX年的銷售量為9.5萬份，平均每份獲利1.9元，

預(yù)計以后四年每年銷售量按5000份遞減，平均每份獲利按一定百分?jǐn)?shù)逐年遞減；受供給側(cè)

改革的啟發(fā)，公司早在20XX年底就投入資金10.89萬元，新增一條B品牌產(chǎn)銷線，以滿足

市場對蛋糕的多元需求，B品牌產(chǎn)銷線20XX年的銷售量為1.8萬份，平均每份獲利3元，

預(yù)計以后四年銷售量按相同的份數(shù)遞增，且平均每份獲利按上述遞減百分?jǐn)?shù)的2倍逐年遞

增；這樣，20XX年，A、B兩品牌產(chǎn)銷線銷售量總和將達(dá)到11.4萬份，B品牌產(chǎn)銷線20XX

年銷售獲利恰好等于當(dāng)初的投入資金數(shù).

(1)求A品牌產(chǎn)銷線2018年的銷售量；

(2)求B品牌產(chǎn)銷線20XX年平均每份獲利增長的百分?jǐn)?shù).

21.為了經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需要，某市20XX年投入科研經(jīng)費(fèi)500萬元，20XX年投入科研經(jīng)費(fèi)720

萬元.

(1)求2014至20XX年該市投入科研經(jīng)費(fèi)的年平均增長率；

(2)根據(jù)目前經(jīng)濟(jì)發(fā)展的實際情況，該市計劃20XX年投入的科研經(jīng)費(fèi)比20XX年有所增

加，但年增長率不超過15%,假定該市計劃20XX年投入的科研經(jīng)費(fèi)為a萬元，請求出a

的取值范圍.

22.在直角墻角AOB(OAXOB,且OA、OB長度不限)中，要砌20m長的墻，與直角墻

角AOB圍成地面為矩形的儲倉，且地面矩形AOBC的面積為96m2.

(1)求這地面矩形的長；

(2)有規(guī)格為0.80X0.80和1.00X100(單位:m)的地板磚單價分別為55元/塊和80元/

塊，若只選其中一種地板磚都恰好能鋪滿儲倉的矩形地面(不計縫隙)，用哪一種規(guī)格的地

板磚費(fèi)用較少？

23.如圖，一塊長5米寬4米的地毯，為了美觀設(shè)計了兩橫、兩縱的配色條紋(圖中陰影部

17

分)，已知配色條紋的寬度相同，所占面積是整個地毯面積的畫.

(1)求配色條紋的寬度；

(2)如果地毯配色條紋部分每平方米造價200元，其余部分每平方米造價100元，求地毯

的總造價.

24.某地區(qū)20XX年投入教育經(jīng)費(fèi)2900萬元，20XX年投入教育經(jīng)費(fèi)3509萬元.

(1)求20XX年至20XX年該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率：

(2)按照義務(wù)教育法規(guī)定，教育經(jīng)費(fèi)的投入不低于國民生產(chǎn)總值的百分之四，結(jié)合該地區(qū)

國民生產(chǎn)總值的增長情況，該地區(qū)到2018年需投入教育經(jīng)費(fèi)4250萬元，如果按(1)中教

育經(jīng)費(fèi)投入的增長率，到2018年該地區(qū)投入的教育經(jīng)費(fèi)是否能達(dá)到4250萬元？請說明理由.

(參考數(shù)據(jù)：V1.21=1/，V1.44=1.2,V1.69-1.3,41.96=1.4)

25.某地20XX年為做好"精準(zhǔn)扶貧"，投入資金1280萬元用于異地安置，并規(guī)劃投入資金

逐年增加，20XX年在20XX年的基礎(chǔ)上增加投入資金1600萬元.

(1)從20XX年到20XX年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為多少？

(2)在20XX年異地安置的具體實施中，該地計劃投入資金不低于500萬元用于優(yōu)先搬遷

租房獎勵，規(guī)定前1000戶(含第1000戶)每戶每天獎勵8元，1000戶以后每戶每天補(bǔ)助5

元，按租房400天計算，試求今年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎勵？

k-1

26.已知在關(guān)于x的分式方-程--*------12①和一元二次方程(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0②

中，k、m、n均為實數(shù)，方程①的根為非負(fù)數(shù).

(1)求k的取值范圍；

(2)當(dāng)方程②有兩個整數(shù)根xi、X2,k為整數(shù)，n=l時，求方程②的整數(shù)根；

(3)當(dāng)方程②有兩個實數(shù)根xi、X2,滿足xi(xi-k)+x2(X2-k)=(xi-k)(X2-k),

且k為負(fù)整數(shù)時，試判斷Im|W2是否成立？請說明理由.

27.菜農(nóng)李偉種植的某蔬菜計劃以每千克5元的單價對外批發(fā)銷售，由于部分菜農(nóng)盲目擴(kuò)大

種植，造成該蔬菜滯銷.李偉為了加快銷售，減少損失，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克

3.2元的單價對外批發(fā)銷售.

(1)求平均每次下調(diào)的百分率；

(2)小華準(zhǔn)備到李偉處購買5噸該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選

擇：

方案一：打九折銷售；

方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元.

試問小華選擇哪種方案更優(yōu)惠，請說明理由.

28.廣安市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米6000元的均價對外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政

策出臺后，購房者持幣觀望，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決

定以每平方米4860元的均價開盤銷售.

(1)求平均每次下調(diào)的百分率.

(2)某人準(zhǔn)備以開盤價均價購買一套100平方米的住房，開發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案以

供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，一次性送裝修費(fèi)每平方米80元，試問哪種方案更優(yōu)

惠？

29.先閱讀下列第(1)題的解答過程：

(1)己知a,B是方程x2+2x-7=0的兩個實數(shù)根，求a2+3)?2+4B的值.

解法1：Va,p是方程X2+2X-7=0的兩個實數(shù)根，

Aa2+2a-7=0,p2+2p-7=0,且a+B=-2.

Aa2=7-2a,p2=7-2p.

.,.a2+3|32+4p=7-2a+3(7-2p)+4(3=28-2(a+0)=28-2X(-2)=32.

解法2：由求根公式得a=l+2&,p=-1-2V2.

Aa2+3P2+4P=(-I+2V2)2+3(-1-2V2)2+4(-1-2&)

=9-4V2+3(9+4V2)-4-872=32.

當(dāng)a=-1-2&,p=-1+2&時,同理可得a2+3p2+4p=32.

解法3：由已知得a+0=-2,ap=-7.

.*.a2+p2=(a+p)2-2aB=18.

令a2+3f+4B=A,p2+3a2+4a=B.

AA+B=4(a2+p2)+4(a+p)=4X18+4X(-2)=64.①

A-B=2(p2-a2)+4(P-a)=2(p+a)(p-a)+4(P-a)=0.②

①+②，得2A=64,；.A=32.

請仿照上面的解法中的一種或自己另外尋注一種方法解答下面的問題：

(2)已知xi,X2是方程X?-x-9=0的兩個實數(shù)根，求代數(shù)式XI3+7X2?+3X2-66的值.

參考答案與解析

I.（2016?梅州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+c過A,B,C三點(diǎn)，點(diǎn)

A的坐標(biāo)是（3,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0,-3）,動點(diǎn)P在拋物線上.

（1）b=-2,c=-3,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,0）；（直接填寫結(jié)果）

（2）是否存在點(diǎn)P,使得4ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合

條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）過動點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作x軸的垂線.垂足為E

連接EF,當(dāng)線段EF的長度最短時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【分析】（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求

得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）分別過點(diǎn)C和點(diǎn)A作AC的垂線，將拋物線與Pi,P2兩點(diǎn)先求得AC的解析式，然后

可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）連接OD.先證明四邊形OEDF為矩形，從而得到OD=EF,然后根據(jù)垂線段最短可求

得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，然后由拋物線的解析式可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

fc=~3

【解答】解：（1）???將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：l9+3b+c=0,解得：b=

-2,c=-3.

拋物線的解析式為y=x2-2x-3.

令x2-2x-3=0,解得:xi--1,X2=3.

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,0）.

故答案為：-2；-3；（-1,0）.

（2）存在.

理由：如圖所示：

①當(dāng)NACPi=90°.

由（1）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）.

設(shè)AC的解析式為y=kx-3.

:將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得3k-3=0,解得k=l,

直線AC的解析式為y=x-3.

直線CPi的解析式為y=-x-3.

,將y=-x-3與y=x?-2x-3聯(lián)立解得xi=l,X2=0（舍去），

.?.點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（1,-4）.

②當(dāng)NP2AC=90。時.

設(shè)AP2的解析式為y=~x+b.

?.?將x=3,y=0代入得：-3+b=0,解得b=3.

直線AP2的解析式為y=-x+3.

?.?將y=-x+3與y=x2-2x-3聯(lián)立解得xi=-2,X2=3（舍去）,

.,.點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（-2,5）.

綜上所述，P的坐標(biāo)是（1,-4）或（-2,5）.

（3）如圖2所示：連接OD.

由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF.

根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)ODLAC時，0D最短，即EF最短.

由（1）可知，在RtZiAOC中，

：OC=OA=3,ODJLAC,

；.D是AC的中點(diǎn).

XVDF/70C,

.一而1。，3

_3_

...點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是~2.

2+VIU_3_2_VI5_3_

.?.當(dāng)EF最短時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（一~2一,5）或（2,7）.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函

數(shù)、二次函數(shù)的解析式、矩形的性質(zhì)、垂線的性質(zhì)，求得PiC和P2A的解析式是解答問題

（2）的關(guān)鍵，求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是解答問題（3）的關(guān)鍵.

2.（2016?茂名）如圖，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A（-1,0）,B（3,0）兩點(diǎn)，且與y軸

交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸DE交x軸于點(diǎn)E,連接BD.

（1）求經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，當(dāng)PE=PC時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作PF，x軸于點(diǎn)EG為拋物線上一動點(diǎn)，M為x軸上一

動點(diǎn)，N為直線PF上一動點(diǎn)，當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時，請求出點(diǎn)M

的坐標(biāo).

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)連接PC、PE,利用公式求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式,

設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,-2x+6),利用勾股定理表示出PC?和PE2,根據(jù)題意列出方程，解

方程求出x的值，計算求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,0),表示出點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)正方形的性質(zhì)列出方程，解方程

即可.

【解答】解：(1)；拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A(-I,0),B(3,0)兩點(diǎn)，

'-1-b+c=0

--9+3b+c=0

(b=2

解得，lc=3,

經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x?+2x+3；

(2)如圖1,連接PC、PE,

b2

x=一二=-2X(-1)=],

當(dāng)x=l時，y=4,

???點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4),

設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n,

firi+n=4

則l3in+n=0,

firF-2

解得，ln=6,

直線BD的解析式為y=-2x+6,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,-2x+6),

則PC2=x2+(3+2x-6)2,PE2=(x-1)2+(-2x+6)2,

VPC=PE,

.\x2+(3+2x-6)2=(x-1)2+(-2x+6)2,

解得,x=2.

貝ijy=-2X2+6=2,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,2）；

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a,0）,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a,-a2+2a+3）,

?.?以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，

FM=MG,即12-a|=|-a2+2a+31,

當(dāng)2-a=-a2+2a+3時，

整理得,a2-3a-l=0?

3±而

解得，a=-2一,

當(dāng)2-a=-（-a2+2a+3）時，

整理得，a2-a-5=0,

]±亞

解得，a=-2一,

...當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2—,0）,（

1+亞L歷

0）,（2,0）,（2,0）.

1圖1

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及正方形的性質(zhì),

掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運(yùn)用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

1_2V3_

3.（2016?重慶）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-3x2+3x+3與x軸交于A,

B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E.

（1）判斷AABC的形狀，并說明理由；

（2）經(jīng)過B,C兩點(diǎn)的直線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D,點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一

動點(diǎn)，當(dāng)4PCD的面積最大時，Q從點(diǎn)P出發(fā)，先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動到拋物線的對稱軸上

點(diǎn)M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運(yùn)動到y(tǒng)軸上的點(diǎn)N處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動

到點(diǎn)A處停止.當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑最短時，求點(diǎn)N的坐標(biāo)及點(diǎn)Q經(jīng)過的最短路徑的長；

（3）如圖2,平移拋物線，使拋物線的頂點(diǎn)E在射線AE上移動，點(diǎn)E平移后的對應(yīng)點(diǎn)為

點(diǎn)E，，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A-將△AOC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至△AiOCi的位置，點(diǎn)A,C

的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)Ai,Ci,且點(diǎn)Ai恰好落在AC上，連接CiA-CiE\△A，CiE是否能為

等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點(diǎn)E，的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

【分析】（1）先求出拋物線與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用勾股定理的逆定理判斷出AABC

是直角三角形；_

37315

（2）先求出SAPCD最大時，點(diǎn)P（一，T）,然后判斷出所走的路徑最短，即最短路徑

的長為PM+MN+NA的長，計算即可；

（3）△A，CiE，是等腰三角形，分三種情況分別建立方程計算即可.

【解答】解：（1）AABC為直角三角形，

1_273,

當(dāng)y=0時，即-3x2+3x+3=0,

Axi=-Vs,X2=SV3

AA(-V3,0),B(3V3,0),

.,.OA=V3,OB=3?,

當(dāng)x=0時,y=3,

AC(0,3),

，OC=3,

根據(jù)勾股定理得，AC2-OB2+OC2-12,BC2=OB2+OC2-36,

.".AC2+BC2=48,

VAB2=[3V3-(-V3)]2=48,

二AC2+BC2=AB2,

...△ABC是直角三角形，

(2)如圖，

返

/.直線BC解析式為y=-3x+3,

過點(diǎn)P作PG〃y軸，

1_2A/3_

設(shè)P(a,-3a2+3a+3),

返

/.G(a,-3a+3),

PG=-3a2+V3a,

設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為XD,C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xc,_

1_返3\/3_W3_

SAPCD=2X(XD-xc)XPG=-6(a-2)2+8,

?；0<a<3代，

訴37315

工當(dāng)舊2時，SaPCD最大，此時點(diǎn)P(2,4),

將點(diǎn)P向左平移F個單位至P',連接AP,交y軸于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作MNJ_拋物線對稱軸

于點(diǎn)M,

連接PM,點(diǎn)Q沿P玲M玲N玲A運(yùn)動，所走的路徑最短，即最短路徑的長為PM+MN+NA的

長，_

37315

.".P(2,4)

返

.,.P,(2,4),

?.?點(diǎn)A(-阮0),

而5_

直線AP'的解析式為y=飛-x+5,

5_

當(dāng)x=0時，y=2,

5_

AN(0,2),

過點(diǎn)P'作PzH±x軸于點(diǎn)H,_

3731537^7

；.AH=2,P，H=4,AP'=4,

?'?點(diǎn)Q運(yùn)動得最短路徑長為PM+MN+AN=4+J5=4；

(3)在RtAAOC中，

0C

VtanZOAC=0A=V3,

Z.NOAC=60。，

VOA=OAi,

.??△OAAi為等邊三角形，

ZAOA1=60°,

.?.ZBOCi=30",

VOCi=OC=3,

3733.

/.Ci(2,2),

;點(diǎn)A(-V3,o),E(娟,4),

；.AE=2W,

.?.A,E/=AE=2VT,

2M

?.?直線AE的解析式為y=3x+2,

設(shè)點(diǎn)E，(a,3a+2),

2」a

.,.A-(a-273,3-2)_

2aa3_7_773

22

.?.CIEA(a-2代)2+(3+2-2)=3a-3a+7,

3V32花3_7_3乖

CIA,2=(a-2V3-2)2+(3-2-2)2=3a2-3a+49,

①若CiA^CiE1,則CIA,2=CIE'2

1TVs7_3/

即：3a?-3a+7=3a2-3a+49,

373

/.a=2,

373

AE(2,5),

②若A，C1=A，E-

.,.A，C|2=A，E，2

7_35^

即：3a2-3a+49=28,

??ai2，32=2

.'.E'(2,7+V13),或(2,7-V13),

③若E-A^ECi,

.,.EZA,2=EZCI2

7_7V3

BP：3a2-3a+7=28,

百+我我一體

；.ai=2,a2=2(舍)，

向+病

；.E'(2,3+V13),

而浦+屈/一倔

即，符合條件的點(diǎn)E，(2,5),(2,7+V13),或(2,7-V13),

向+我

(2,3+713).

【點(diǎn)評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)極值的確定方法，等邊三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分類討論，也是解本題的難點(diǎn).

4.(2016?株洲)已知二次函數(shù)y=x2-(2k+l)x+k2+k(k>0)

(1)當(dāng)k=5時，求這個二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求證：關(guān)于x的一元次方程x2-(2k+l)x+k2+k=0有兩個不相等的實數(shù)根；

(3)如圖，該二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè))，與y軸交于C點(diǎn)，P

【分析】(1)直接將k的值代入函數(shù)解析式，進(jìn)而利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)利用根的判別式得出△=1,進(jìn)而得出答案；

(3)根據(jù)題意首先表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)，以及表示出OA,AB的長，再利用兩點(diǎn)之間距離求

出AQ的長，進(jìn)而求出答案.

1_

【解答】解：(1)將k=5代入二次函數(shù)可求得，

w

y=x2-2x+4

1_

=(x-1)2-4,

故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,-彳)：

(2):一元次方程x2-(2k+l)x+k2+k=O,

/.A=b2-4ac=[-(2k+l)]2-4(k2+k)=l>0,

二關(guān)于x的一元次方程x2-(2k+l)x+k2+k=0有兩個不相等的實數(shù)根;

(3)由題意可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-1),

則0=x2-(2k+l)x+k2+k

0=(x-k-1)(x-k),

故A(k,0),B(k+1,0),

當(dāng)x=0,則y=k2+k,

故C(0,k2+k)

則AB=k+l-k=l,OA=k,

可得

11

ypA=px1,

yBC=-kx+k2+k,

當(dāng)kx-1=-kx+k2+k,

k2

2

解得：x=k+k+1,

2

則代入原式可得：y=k+1,

則點(diǎn)Q坐標(biāo)為k+1k+1

k2kk2

292

運(yùn)用距離公式得：AQ2=(k+1)2+(k+1)2=k+1,

則OA2=k2,AB2=1,

1____1___1_1+k21

故0A2+AB2=k2+i=k2=AQ2,

1,1_1

則OA?AB2AQ2.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及根的判別式和配方法求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和兩點(diǎn)

之間距離求法等知識，正確表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

5.(2016?隨州)已知拋物線y=a(x+3)(x-1)(aWO),與x軸從左至右依次相交于A、B

兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)A的直線y=-JEx+b與拋物線的另一個交點(diǎn)為D.

(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2,求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與aABC相似,

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(1)的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接BE.一動點(diǎn)Q從

點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)E,再沿線段ED以每秒3個單位

的速度運(yùn)動到點(diǎn)D后停止，問當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時，點(diǎn)Q在整個運(yùn)動過程中所用時間最

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AD的解析式，接

著求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式確定a的值；

(2)由于沒有明確說明相似三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)，因此需要分情況討論：①△ABCs/\BAP；

②△ABCSAPAB；

(3)作DM〃x軸交拋物線于M,作DN_Lx軸于N,作EFJ_DM于F,根據(jù)正切的定義求

出Q的運(yùn)動時間t=BE+EF時，t最小即可.

【解答】解：(1)：y=a(x+3)(x-1),

...點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0)、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為(1,0),

?直線y=-V3x+b經(jīng)過點(diǎn)A,

；.b=-3代，

y=-V3x-3V3,

當(dāng)x=2時，y=-5a，

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-573),

???點(diǎn)D在拋物線上，

；.a(2+3)(2-1)=-543,

解得，a=-V3,

則拋物線的解析式為y=-M(x+3)(x-1)=-x2-2V3X+3V3；

(2)如圖1中，作PHLx軸于H,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)(,n),

當(dāng)△BPAs/^ABC時，NBAC=NPBA,

QCPH

tanZBAC=tanZPBA,即OA二HB,

-3af

3,即『-@(m-1),

n二-a(in-1)

"諦+3)(111-1)解得111=-4或1(舍棄),

當(dāng)m=-4時，n=5a,

VABPA^AABC,

ACAB

AB=PB,

.".AB2=AC?PB,

...42=79a2+9,^25a2+25,

V15V15

解得an，或-NT（舍棄），

V15

貝！Jn=5a=-3,

V15

，點(diǎn)P坐標(biāo)（-4,-3）.

當(dāng)△PBAs/\ABC時，ZCBA=ZPBA,

OCPH

tanZCBA=tanZPBA,即OB=HB,

-3aL-

.?.1=~nrt-1,

n=-3a（m-1）,

‘n=-3a（in-1）

.?.[n=a（ni+3）（m-1）,

解得m=-6或1（舍棄），

當(dāng)m=-6時，n=21a,

VAPBA^AABC,

BCAB

/.BA=PB,即AB2=BC*PB,

42=Vl+9a2.V72+（-21a）2,

解得a=-7或7（不合題意舍棄），

JL

則點(diǎn)P坐標(biāo)（-6,-7）,__

逗V7

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（-4,-3）和（-6,-7）.

（3）如圖2中，作DM〃x軸交拋物線于M,作DN_Lx軸于N,作EFJ_DM于F,

DN訴

則tan/DAN=AN=5=?,

圖2

??.ZDAN=60°,

AZEDF=60°,_

EF273

.-.DE=sinZEDF=3EF,

DE

BE2M

；.Q的運(yùn)動時間t=1+3=BE+EF,

...當(dāng)BE和EF共線時，t最小，

則BE_LDM,此時點(diǎn)E坐標(biāo)（1,-473）.

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)知識的綜合運(yùn)用，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的交點(diǎn)式、

相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，解答時，注意分情況討論討論，屬于中考

壓軸題.

6.（2016?大慶）若兩條拋物線的頂點(diǎn)相同，則稱它們?yōu)?友好拋物線"，拋物線Ci：yi=-

2X2+4X+2與C2：U2=-x2+mx+n為“友好拋物線

（1）求拋物線C2的解析式.

（2）點(diǎn)A是拋物線C2上在第一象限的動點(diǎn)，過A作AQLx軸，Q為垂足，求AQ+OQ的

最大值.

（3）設(shè)拋物線C2的頂點(diǎn)為C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,4）,問在C2的對稱軸上是否存在點(diǎn)

M,使線段MB繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段MB-且點(diǎn)B，恰好落在拋物線C2上？若存

在求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，不存在說明理由.

【分析】（1）先求得yi頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后依據(jù)兩個拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)相同可求得m、n的值;

⑵設(shè)A（a,-a2+2a+3）.則OQ=x,AQ=-a2+2a+3,然后得到OQ+AQ與a的函數(shù)關(guān)系

式，最后依據(jù)配方法可求得OQ+AQ的最值；

（3）連接BC,過點(diǎn)B，作BDLCM,垂足為D.接下來證明aBCM畛△MDB，，由全等三

角形的性質(zhì)得到BC=MD,CM=B，D,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,a）.則用含a的式子可表示出

點(diǎn)B，的坐標(biāo)，將點(diǎn)B，的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo).

【解答】解：（1）；yi=-2x?+4x+2=--2（x-1）2+4,

拋物線Ci的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）.

；拋物線C1：與C2頂點(diǎn)相同，

-m

-1X2=1,_i+m+n=4.

解得：m=2,n=3.

拋物線C2的解析式為U2=-X2+2X+3.

（2）如圖1所示：

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,-a2+2a+3).

*.*AQ=-a2+2a+3,OQ=a,

3_21

/.AQ+OQ=-a2+2a+3+a=-a2+3a+3=-(a-2)2+4.

_321

???當(dāng)a=2時，AQ+OQ有最大值，最大值為4.

(3)如圖2所示；連接BC,過點(diǎn)B，作BDJ_CM,垂足為D.

VB(-1,4),C(1,4),拋物線的對稱軸為x=l,

ABC!CM,BC=2.

NBMB'=90°,

???NBMC+/B'MD=90°.

VBZD±MC,

/.ZMB/D+ZB,MD=90°.

.*.ZMBZD=ZBMC.

'/MB，D=/BMC

<ZBCM=ZMDBZ

在△BCM和△MDB，中，IBM=MB',

/.BC=MD,CM=B,D.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,a).則B'D=CM=4-a,MD=CB=2.

???點(diǎn)B，的坐標(biāo)為(a-3,a-2).

???-(a-3)2+2(a-3)+3=a-2.

整理得：a2-7a-10=0.

解得a=2,或a=5.

當(dāng)a=2時，M的坐標(biāo)為(1,2),

當(dāng)a=5時，M的坐標(biāo)為(1,5).

綜上所述當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)或(1,5)時，B"恰好落在拋物線C2上.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)

公式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析

式的關(guān)系，用含a的式子表示點(diǎn)B，的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

7.(2016?濟(jì)南)如圖1,拋物線y=ax?+(a+3)x+3(a/0)與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y

軸交于點(diǎn)B,在x軸上有一動點(diǎn)E(m,0)(0<m<4),過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于

點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM_LAB于點(diǎn)M.

(1)求a的值和直線AB的函數(shù)