首屆全國(guó)中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力競(jìng)賽大綱及樣題-高中數(shù)學(xué)

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首屆全國(guó)中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力競(jìng)賽

參考資料

（高中數(shù)學(xué)部分）

第一部分解題技能競(jìng)賽大綱

第二部分解題技能競(jìng)賽試題樣題

第三部分?jǐn)?shù)學(xué)建模論文示范論文

全國(guó)組委會(huì)編

首屆全國(guó)中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力競(jìng)賽

數(shù)學(xué)學(xué)科筆試部分競(jìng)賽大綱（2008年試驗(yàn)稿）

為了提高廣大青少年走進(jìn)科學(xué)、熱愛(ài)科學(xué)的興趣，培養(yǎng)和發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新型人才，團(tuán)中央中國(guó)

青少年發(fā)展服務(wù)中心、全國(guó)“青少年走進(jìn)科學(xué)世界”科普活動(dòng)指導(dǎo)委員會(huì)辦公室共同舉辦首

屆“全國(guó)中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力競(jìng)賽”（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“競(jìng)賽”）。競(jìng)賽由北京師范大學(xué)《高中數(shù)理

化》雜志社承辦。為保證競(jìng)賽活動(dòng)公平、公正、有序地進(jìn)行，現(xiàn)將數(shù)學(xué)學(xué)科筆試部分競(jìng)賽大

綱頒布如下：

1命題指導(dǎo)思想和要求

根據(jù)教育部《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》

的要求，著重考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力、科學(xué)素養(yǎng)和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)

題力與創(chuàng)新能力。命題吸收各地高考和中考的成功經(jīng)驗(yàn)，以能力測(cè)試為主導(dǎo)，體現(xiàn)新課程標(biāo)

準(zhǔn)對(duì)能力的要求，注意數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)涵的豐富的思維素材，強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系；注重

考查數(shù)學(xué)的通法通則，注重考查數(shù)學(xué)思想和方法。激發(fā)學(xué)生學(xué)科學(xué)的興趣，培養(yǎng)實(shí)事求是的

科學(xué)態(tài)度和創(chuàng)新能力，促進(jìn)新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“知識(shí)與技能”、“過(guò)程與方法”、“情感與價(jià)值

觀”三維目標(biāo)的落實(shí)?？傮w難度把握上，要追求“源于教材，高于教材，略高于高考”的原

則。并提出以下三個(gè)層面上的命題要求：

1）從宏觀上看：注意對(duì)知識(shí)點(diǎn)和能力點(diǎn)的全面考查，注意對(duì)數(shù)學(xué)基本能力（空間想象、

抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力）的考查，注意對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法方

面的考查，注意考查通則通法。

2）從中觀上看：注意各個(gè)主要知識(shí)塊的重點(diǎn)考查，注意對(duì)主要數(shù)學(xué)思維方法的考查。

3）從微觀上看：注意每個(gè)題目的基礎(chǔ)性（知識(shí)點(diǎn)）、技能性（能力點(diǎn)）、能力性（五大

基本能力為主）和思想性（四種思想為主），注意考查大的知識(shí)塊中的重點(diǎn)內(nèi)容（如：代數(shù)中

的函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性），注意從各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的交匯命題，注意每個(gè)題目的通

則通法使用的同時(shí)也適度引進(jìn)必要的特技，注意題目編擬中一些題目的結(jié)構(gòu)特征對(duì)思路形成

的影響。

2命題范圍

依據(jù)教育部《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》

的要求，初賽和決賽所考查的知識(shí)點(diǎn)范圍，不超出相關(guān)年級(jí)在相應(yīng)的時(shí)間段內(nèi)的普遍教學(xué)進(jìn)

度。另外要明確初二年級(jí)以上開(kāi)始，每個(gè)年級(jí)的命題范圍包含下年級(jí)的所有的內(nèi)容。比如：

高一的命題范圍包括初中所有內(nèi)容和高中階段所學(xué)的內(nèi)容。

3考試形式

初一、初二、初三、高一、高二組：閉卷，筆答?？荚嚂r(shí)間為120分鐘，試卷滿分為120

分。

4試卷結(jié)構(gòu)

全卷選擇題6題，非選擇題9題（填空6題、解答題3題）

5難度系數(shù)

1）初賽試卷的難度系數(shù)控制在0.6左右；

2）決賽試卷的難度系數(shù)控制在0.5左右。

高中一年級(jí)樣題

-選擇題（每小題5分，共30分）

1.已知/（2工一2一"）=4'+4丁則/（x）=（B）

(A)4r+4-x(B)x2+2(C)x2-2(D)x2

2.已知A=|x|/(x)=x2+B=1/(x)|/(x)=x2+11,C=1/[/(x)]|/(x)=x2+11,則下列結(jié)論正

確的是(D)

(A)A=B=C(B)A^B=C(C)A^B=C(D)A^B^C

3.設(shè)則在四個(gè)數(shù)2,log/,log必log2中，最大的和最小的分別是(A)

2

(A)2,log》。(B)2,logaba(C)logab,logba(D)log/,log環(huán)。2

令a=2,b=3,則

log“b=log23e(1,2),log&a=log32=log94e(0,1),logaZ)cr=log64>log94

故選A

4.如果關(guān)于X的方程》2—公+1―3=0至少有一個(gè)正根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(C

(A)[-2,2](B)(A/3,2](C)(-后2](D)[-后2]

A=4-4(tz23-3)>0,

由1一3<0,或，或<?！?,解得，ae(-A^,2],故選C

cT—3>0,

5.不等式Jl+k)g2X>1-log2%的解是(B)

(A)x>2(B)x>1(C)1<x<8(D)x>2

—l-logx>0

1+12

V°g2X>l-log2x<^>\',或

~l+log9x>(l-log2x)'

o0<log2X<1,或log2X>1,故選B

6.已知y=/(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，則(D)

(A)函數(shù)x=「i(y)與y=/(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)

(B)函數(shù)/(t)與/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

(C)/1(x)和/(x)的單調(diào)性相反

(D)函數(shù)/(x+1)和尸(％)-1的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)

二填空題(每小題5分，共30分)

7.已知不等式([)？-。>4-，的解集是(-2,4),則實(shí)數(shù)a的值是苴。

2—

8.已知函數(shù)y=lg(77iN_4x+〃L3)的值域是R,則的取值范圍是|0,4|。

fm>0

加=0,或《，解得。(加工4

A=16—4m(m—3)>0

9.如果函數(shù)/(%)=〃x2+加什0,x^[2a-3,4]是偶函數(shù)，則q=3或1,b-0o

10.多項(xiàng)式6/一5孫+J一12%+2y—48因式分解的結(jié)果是(2x-y—8)(3%—y+6)。

提示：十字相乘法

3

11.若方程|/_4x+3|-x=〃有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則。=-1或-1。

提示：圖象法

12.函數(shù)y=Nx+2—y/x—1的最大值是y/3o

提示：y=y/x+2->Jx-l=]----——

vx+2+<x—1

三解答題

13(本小題滿分20分)

已知a>0,awl,試求使方程loga(x-ak)=log(x2-a?)有解的k的取值范圍.

a2

解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，原方程的解X應(yīng)滿足

\x-ak)2=x2-a2,(1)

<x-ak>0,(2)

X2-a2>0.(3)

當(dāng)(1),(2)同時(shí)成立時(shí)，(3)顯然成立，因此只需解

(x-ak)2=x2-a2,(1)

<

x-ak>0,(2)

由(1)得2kx=a(l+k2)(4)

當(dāng)k=0時(shí)，由a〉0知(4)無(wú)解，因而原方程無(wú)解.

當(dāng)kWO時(shí)，(4)的解是

,把(5)代入(2),得

解得：—8<k<—1或0<k<l.

綜合得，當(dāng)k在集合(-8,-1)。(0,1)內(nèi)取值時(shí)，原方程有解.

14(本小題滿分20分)

已知A=y+s?卜,se,且x,yeA

(1)若5=Z,求證：xy&A

(2)若3=Q,且ywO,求證：

(1)證明：因?yàn)?=Z,且％,yeA,

所以可設(shè)x=n?+〃2,丁=°?+“2,其中m,n,p,qwZ

2222

因?yàn)楦?(m+?)(/7+42)=(mpY+(mq)+(np)2+(nq￥-(mp+nqy+(叩-mqf

而m,n,p,qZ=>(mp+nq),(np-mq)GZ

所以孫eA

(2)證明：因?yàn)?=Q,且x,yeA,

所以可設(shè)x=冽2+〃2,y=p2+g2,其中

因?yàn)?/p>

2

x_xy_(m,+〃2)(p2+q-)_(mp+nq)'+(np-mq)_mp+nq2np-mq2

7=下=(p2+/)2—=(7T7P=(7W+正彳

h八,mp+nqnp-mq

而佻%p,qeQn(———-)eQ

p~+qp~+q~

所以

15(本小題滿分20分)

已知點(diǎn)M是AABC的中線AD上的一點(diǎn)，直線BM交邊AC于點(diǎn)

N,且AB是NNBC的外接圓的切線，設(shè)，試求典(用2表示).

MN

A

B

證明：在ABCN中，由Menelaus定理得.

因?yàn)锽D=DC,所以.

由ZABN=ZACB,知AABN-AACB,則.

所以，，即.

因此，.又，故.

高中二年級(jí)樣題

-選擇題（每小題5分，共30分）

1.已知A=^x\f(x)=x2+1},3={/(x)|/(x)=*+11,C={/"(%)]〃(%)=%2+1},則下列結(jié)論正

確的是(D)

(A)A=B=C(B)A衛(wèi)B=C(C)AoB=C(D)AoBoC

2.設(shè)則在四個(gè)數(shù)2,log疝，loglog小2中，最大的和最小的分別是(A)

(A)2,logba(B)2,log"〃2(C)log/,log乩(D)log?Z?,log^tz2

令a=2,b=3,則

2

log“b=log23e(1,2),log》a=log32=log94e(0,l),logafta=log64>log94

故選A

3.圓x2+(y_l)2=1上任意一點(diǎn)p(x,口都滿足x+y+c",則c的取值范圍是(C)

(A)(e,0](B)[42,+oo)(C)[V2-1,+00)(D)[1-V2,+00)

4.不等式J1+log?x>1Togax的解是(B)

(A)x>2(B)x>1(C)1<x<8(D)x>2

1-----------[1-log2x>0、

Jl+logx>l-logX<^><c，或

992

N[l+10g2X>(l-10g2X)

o0<log2x<1,或log2x>1,故選B

5.棱長(zhǎng)為26的正四面體內(nèi)切一球，然后在它四個(gè)頂點(diǎn)的空隙處各放入一個(gè)小球，則這些的最大半徑為

(C)

(A)V2(B)半(C)孚(D)半

246

如果正四面體的棱長(zhǎng)為。，則根據(jù)正四面體的性質(zhì)和球的性質(zhì)可計(jì)算出正四面體的內(nèi)切球半徑為逅。(正

12

四面體的內(nèi)切球的球心將高四等分)，后放入小球是一個(gè)新正四面體的內(nèi)切球，且新正四面體的高為原正

四面體的高減去其內(nèi)切球的直徑，所以新正四面體的高為，進(jìn)而得到所求球的半徑為

6.函數(shù)y=&+4+&-2丁+10的最小值是(口)

(A)2^5(B)2底(C)厲(D)>/26

222

y=&+4+Jf_2x+10=J(x-O,+(0+2)2++(0-3)>7(1-0)+(3+2)

-填空題(每小題5分，共30分)

7.已知函數(shù)丁=必—2x—3,當(dāng)xe[—2,a)時(shí)的值域是[—4,5],則4]。

8.函數(shù)的最大值是Q。

x-1+1=x-l+^—+2<-2+2=0

y二

x-lX~1X~1

}的通項(xiàng)公式是則數(shù)列{}的前項(xiàng)和

9.已知數(shù)列｛aan=12〃-1,bn=(n=1,2,3,…)，bnn

s“=，2向-1-1

bn=---=2"='2用-1-"-1

On+"〃+1V2"-1+V2n+1-1'

所以S"=，2角—1—1

3

10.若方程|%2_4x+3|T=〃有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則〃=一1或——。

4

11.已知直線4的方向向量是〃冽+〃)，直線L的斜率是/-〃+1，

直線4斜率是。其中小.都可取任何實(shí)數(shù)，則三條直線中傾斜角為鈍角的條數(shù)的最大值是一2。

因?yàn)槿龡l直線的斜率之和

JTJT

=_(m+n)+(m2-n+1)+(n2-m+—)=(m-1)2+(n-1)2+--1>0

所以至多有兩條直線的斜率小于零。

12.給出下列5個(gè)命題：

(1)函數(shù)是奇函數(shù)；

(2)函數(shù)/(x—a)與/Xa—x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；

(3)函數(shù)/(x)與/(x+1)的值域一定相等，但定義域不同；

(4)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象若有交點(diǎn)，則交點(diǎn)不一定在直線y=x上；

(5)若函數(shù)/(x)存在反函數(shù)，則在其定義域內(nèi)一定單調(diào)

其中正確命題的題號(hào)是—(1)、(4)_

三解答題

13(本小題滿分20分)

定義在(-OO,+00)上的減函數(shù)/(X)也是奇函數(shù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù)X,

不等式/[(m+2)sinx+2cos2x]+f(-sinxcos2x-sin2x-2m)<0恒成立。

求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍。

分析：根據(jù)題設(shè)，可以將/[(m+2)sinx+2cos2x]+/(-sin%cos2x-sin2x-2m)<0等價(jià)轉(zhuǎn)化為可分

離參數(shù)的不等式形式。

解:因?yàn)?(x)是奇函數(shù)

所以不等式可化為f[(/n+2)sinx+2cos2x]</(sinxcos2x+sin2x+2m)

又因?yàn)?(x)在(-8,+o。)上是減函數(shù)

不等式可進(jìn)一步化為(m+2)sin%+2cos2x>sinxcos2%+sin2x+2m

即(2-sinx)m<(2-sinx)(cos2x+sinx)

因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x,都有一l?sinx<l,所以2—sinx>。

進(jìn)而得到m<cos2x+sinx

[9

令y=cos2x+sinx,則y=1—2sin2x+sinx=-2(sinx--)2+—

ffi]-l<sinx<l,所以當(dāng)sinx=—l時(shí)，=-2

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍是加<-2

14(本小題滿分20分)

已知A={產(chǎn)+Yb,s金B(yǎng)},且％,ywA

(1)若_B=Z,求證：xyeA

(2)若6=。，且yW0,求證：

(1)證明：因?yàn)?=Z,且匹

所以可設(shè)％=加？+〃2,丁=+/，其中m,〃,p,q￡Z

因?yàn)閷O二(m2+/)(p2+q2)=(呻丫+(mq)2+(np)2+{nqf=(jnp+nq)2+{np-mqf

而W,p,4￡Z=(mp+nq),(np-mq)eZ

所以刈￡A

(2)證明：因?yàn)間=Q,且無(wú)ywA,

所以可設(shè)%=加2+〃2,)=〃2+92,其中W,p,q￡。

因?yàn)?/p>

22

x_xy_(m+/)(p2+,2)_(mp+nq)2^-(np-mq)_mp-^-nq2(rip.mq2

7=下=(p2+q2)2—==(7W+7W

H?,mp+nqnp-mq

而m,n,p,qwQn(———r),(———eQ

p-+qp~+q~

所以

15(本小題滿分20分)

已知點(diǎn)M是AABC的中線AD上的一點(diǎn)，直線BM交邊AC于點(diǎn)

N,且回是ANBC的外接圓的切線，設(shè)，試求典(用X表示).

MN

A,

N

B

DC

證明：在ABCN中，由Menelaus定理得.

因?yàn)锽D=DC,所以.

由ZABN=ZACB,知^ABN-AACB,則.

所以，，即.

因此，.又，故.

高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新小論文要求與范文

論文形式：科學(xué)論文

科學(xué)論文是對(duì)某一課題進(jìn)行探討、研究，表述新的科學(xué)研究成果或創(chuàng)見(jiàn)的文章。

注意：它不是感想，也不是調(diào)查報(bào)告。

二、論文選題：新穎，有意義，力所能與

要求：

1.有背景.

應(yīng)用問(wèn)題要來(lái)源于學(xué)生生活與其周?chē)澜绲恼鎸?shí)問(wèn)題，要有具體的對(duì)象和真實(shí)的數(shù)據(jù)。

理論問(wèn)題要了解問(wèn)題的研究現(xiàn)狀與其理論價(jià)值。要做必要的學(xué)術(shù)調(diào)研和研究特色。

2.有價(jià)值.

有一定的應(yīng)用價(jià)值，或理論價(jià)值，或教育價(jià)值，學(xué)生通過(guò)課題的研究可以掌握必須的

科學(xué)概念，提升科學(xué)研究的能力。

3.有基礎(chǔ)

對(duì)所研究問(wèn)題的背景有一定了解，掌握一定量的參考文獻(xiàn)，積累了一些解決問(wèn)題的方

法，所研究問(wèn)題的數(shù)據(jù)資料是能夠獲得的。

4.有特色

思路創(chuàng)新，有別于傳統(tǒng)研究的新思路；

方法創(chuàng)新，針對(duì)具體問(wèn)題的特點(diǎn)，對(duì)傳統(tǒng)方法的改進(jìn)和創(chuàng)新；

結(jié)果創(chuàng)新，要有新的，更深層次的結(jié)果。

5.問(wèn)題可行

適合學(xué)生自己探究并能夠完成，要有學(xué)生的特色，所用知識(shí)應(yīng)該不超過(guò)初中生（高中

生）的能力范圍。

三、（數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題）數(shù)據(jù)資料：來(lái)源可靠，引用合理，目標(biāo)明確

要求：

1.數(shù)據(jù)真實(shí)可靠，不是編的數(shù)學(xué)題目；

2.數(shù)據(jù)分析合理，采用分析方法得當(dāng)。

四、（數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題）數(shù)學(xué)模型：通過(guò)抽象和化簡(jiǎn)，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)近

似描述，以便于人們更深刻地認(rèn)識(shí)所研究的對(duì)象。

要求：

1.抽象化簡(jiǎn)適中，太強(qiáng)，太弱都不好；

2.抽象出的數(shù)學(xué)問(wèn)題，參數(shù)選擇源于實(shí)際，變量意義明確；

3.數(shù)學(xué)推理嚴(yán)格，計(jì)算準(zhǔn)確無(wú)誤，得出結(jié)論；

4.將所得結(jié)論回歸到實(shí)際中，進(jìn)行分析和檢驗(yàn)，最終解決問(wèn)題，或者提出建設(shè)性意見(jiàn)；

5.問(wèn)題和方法的進(jìn)一步推廣和展望。

五、（數(shù)學(xué)理論問(wèn)題）問(wèn)題的研究現(xiàn)狀和研究意義：了解透徹

要求:

1.對(duì)問(wèn)題了解足夠清楚，其中指導(dǎo)教師的作用不容忽視；

2.問(wèn)題解答推理嚴(yán)禁，計(jì)算無(wú)誤；

3.突出研究的特色和價(jià)值。

六、論文格式：符合規(guī)范，內(nèi)容齊全，排版美觀

1.標(biāo)題：

是以最恰當(dāng)、最簡(jiǎn)明的詞語(yǔ)反映論文中主要內(nèi)容的邏輯組合。

要求：反映內(nèi)容準(zhǔn)確得體，外延內(nèi)涵恰如其分，用語(yǔ)凝練醒目。

2.摘要：

全文主要內(nèi)容的簡(jiǎn)短陳述。

要求：

1）摘要必須指明研究的主要內(nèi)容，使用的主要方法，得到的主要結(jié)論和成果；

2）摘要用語(yǔ)必須十分簡(jiǎn)練，內(nèi)容亦須充分概括。文字不能太長(zhǎng)，6000字以內(nèi)的文章摘

要一般不超過(guò)300字；

3）不要舉例，不要講過(guò)程，不用圖表，不做自我評(píng)價(jià)。

3.關(guān)鍵詞：文章中心內(nèi)容所涉與的重要的單詞，以便于信息檢索。

要求：數(shù)量不要多，以3-5各為宜，不要過(guò)于生僻。

4.正文

1）前言：

問(wèn)題的背景：?jiǎn)栴}的來(lái)源；

提出問(wèn)題：需要研究的內(nèi)容與其意義；

文獻(xiàn)綜述：國(guó)內(nèi)外有關(guān)研究現(xiàn)狀的回顧和存在的問(wèn)題；

概括介紹論文的內(nèi)容，問(wèn)題的結(jié)論和所使用的方法。

2）主體：（數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題）數(shù)學(xué)模型的組建、分析、檢驗(yàn)和應(yīng)用等。

（數(shù)學(xué)理論問(wèn)題）推理論證，得出結(jié)論等。

3）討論

解釋研究的結(jié)果，揭示研究的價(jià)值，指出應(yīng)用前景，提出研究的不足。

要求：

1）背景介紹清楚，問(wèn)題提出自然；

2）思路清晰，涉與到得數(shù)據(jù)真是可靠，推理嚴(yán)密，計(jì)算無(wú)誤；

3）突出所研究問(wèn)題的難點(diǎn)和意義。

5.參考文獻(xiàn)：

是在文章最后所列出的文獻(xiàn)目錄。他們是在論文研究過(guò)程中所參考引用的主要文獻(xiàn)資

料，是為了說(shuō)明文中所引用的的論點(diǎn)、公式、數(shù)據(jù)的來(lái)源以表示對(duì)前人成果的尊重和提

供進(jìn)一步檢索的線索。

要求：

1）文獻(xiàn)目錄必須規(guī)范標(biāo)注；

2）文末所引的文獻(xiàn)都應(yīng)是論文中使用過(guò)的文獻(xiàn)，并且必須在正文中標(biāo)明。

示范小論文：

演出收入計(jì)稅的數(shù)學(xué)模型

［內(nèi)容提要］

本文運(yùn)用了Y=aX+b這一最基本的函數(shù)，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，簡(jiǎn)化了比較復(fù)

雜的演出收入計(jì)算個(gè)人所得稅的問(wèn)題。

［關(guān)鍵詞］演出收入個(gè)人所得稅數(shù)學(xué)模型

問(wèn)題的提出

我的表姐是一個(gè)演員，每次演出的收入較高，但是她總覺(jué)得繳納個(gè)人所得

稅的計(jì)稅方法太復(fù)雜，到底要繳多少稅，心里沒(méi)底。為了幫表姐解決這個(gè)問(wèn)題,

我上網(wǎng)查證了計(jì)稅方法，詢問(wèn)了稅務(wù)局的專(zhuān)家，通過(guò)分析后發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用Y=ax+b

這一最基本的函數(shù)，通過(guò)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，可以簡(jiǎn)化比較復(fù)雜的演出收入

計(jì)算個(gè)人所得稅的問(wèn)題。

一、由演出者繳稅的數(shù)學(xué)模型

（一）、稅法規(guī)定的數(shù)學(xué)模型

個(gè)人所得稅稅法規(guī)定，演出收入要在減去一定費(fèi)用，計(jì)算出應(yīng)納稅所得額

以后，再按規(guī)定稅率來(lái)計(jì)算應(yīng)納稅額。

假設(shè)：應(yīng)納稅額為Y元，總收入為M元，應(yīng)納稅所得額為X元，稅率為Z。

則丫=乂2。這個(gè)關(guān)系式中，有兩點(diǎn)需要說(shuō)明:

1.級(jí)數(shù)x(每次應(yīng)納稅所得額)Z（稅率%）這里的

應(yīng)納稅1不超過(guò)20000元(含)的部分20所得額

X,是在

2超過(guò)20000元至50000元(含)的部分30獲得的

總收入M的基

3超過(guò)50000元的部分40

礎(chǔ)上扣除一定

費(fèi)用后的余額。稅法規(guī)定，費(fèi)用的扣除標(biāo)準(zhǔn)如下：

(1)當(dāng)MW4000時(shí)，費(fèi)用扣除額為800元，即X=M-800.

(2)當(dāng)M>4000時(shí)，費(fèi)用扣除額為收入的20%,即X=M-20%M=0.8M

2.這里的稅率Z規(guī)定如下表(見(jiàn)表1)

表1演出收入個(gè)人所得稅稅率表

該稅率表在稅法里有一個(gè)術(shù)語(yǔ)，叫三級(jí)超額累進(jìn)稅率。即：它將收入分為

三段，每段的稅率分別不同，收入越高，稅率越高。如果用數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)來(lái)表達(dá)

的話，它是一個(gè)分段函數(shù)：

1、如果XW20000

則Y=20%X

2、如果500002X>20000

則Y=20000X20%+(X-20000)X30%

3、如果X>50000

則Y=20000X20%+(50000—20000)X30%+(X—50000)X40%

上述表達(dá)式告訴我們，計(jì)算個(gè)人所得稅時(shí)，應(yīng)先根據(jù)M計(jì)算出X,

再根據(jù)X找出相應(yīng)的Z,最后將X進(jìn)行分段，再計(jì)算出應(yīng)納稅額Y。

數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用：

問(wèn)題1：甲演員到杭州演出一場(chǎng)，收入3000元，應(yīng)繳納多少個(gè)人所得稅

1、：后？。。。元〈4000

VX=M-800=3000—800=2200元

2、VX<20000

.*.Y=20%X=2200X20%=440元

問(wèn)題2：乙演員到杭州演出一場(chǎng)，收入100000元，應(yīng)繳納多少個(gè)人所得稅

1、?.5=100000元>40000

.*.X=0.8M=0.8X100000=80000元

2、VX>20000

Y=20000X20%+(50000-20000)X3O%+(X一50000)X40%

=20000X20%+(50000-20000)X30%+(80000—50000)X40%

=25000元

從以上這些例子我們發(fā)現(xiàn)，在超額累進(jìn)稅率F,分段計(jì)稅確實(shí)比較復(fù)雜。我

們能不能找出簡(jiǎn)單一點(diǎn)的計(jì)算方法呢

(二)化簡(jiǎn)數(shù)學(xué)模型

我們將上面的分段函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)：

1、如果XW20000

則Y=200%X,這已經(jīng)很簡(jiǎn)單了，不需要再化簡(jiǎn)。

2、如果500002X>20000

則Y=20000X20%+(X-20000)X30%=30%X-2000

3、如果X>50000

則Y=20000X20%+(50000-20000)X30%+(X-50000)X40%

=40%X—7000

分析上述三個(gè)化簡(jiǎn)后的式子，我們可以得出以下兩個(gè)結(jié)論：

1、應(yīng)納稅額Y等于應(yīng)納稅所得額X與相應(yīng)稅率Z的乘積減去一個(gè)常數(shù)。假

設(shè)此常數(shù)為C,則丫=乂2-C。

2、可以把稅率表(表1)改寫(xiě)成表2

表2演出收入個(gè)人所得稅稅率表

級(jí)數(shù)x(每次應(yīng)納稅所得額)Z(稅率給C(常數(shù))

1不超過(guò)20000元(含)的部分200

2超過(guò)20000元至50000元(含)的部分302000

3超過(guò)50000元的部分407000

上述結(jié)論告訴我們，計(jì)算個(gè)人所得稅時(shí)，應(yīng)先根據(jù)M計(jì)算出X,再根據(jù)X找

出相應(yīng)的Z和C,代入關(guān)系式Y(jié)=XZ-C,就可以直接得出結(jié)

果了。

數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用：

問(wèn)題3資料同問(wèn)題1。

1、?.5=3000元〈4000

.?.X=M-800=3000-800=220元

2、VX<20000,則Z=20%,C=O

Z.Y=XZ-C=2200X20%-0=440元

問(wèn)題4資料同問(wèn)題2。

1、?.?后100000元>40000元

.*.X=0.8M=0.8X100000=80000元

2、VX>50000,則Z=40%,C=7000

AY=XZ-C=80000X40%-7000=25000元

這樣計(jì)算就簡(jiǎn)單多了！

(三)再化簡(jiǎn)數(shù)學(xué)模型

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后，計(jì)算確實(shí)簡(jiǎn)單了許多，但它還需要轉(zhuǎn)個(gè)彎，M的前提下，只有

換算成X后才能計(jì)算稅款。能不能直接用M來(lái)：

答案是肯定的。因?yàn)镸與X之間存在著密切的關(guān)系。下面我佃

1、當(dāng)MW4000口寸.則X=M-800,Z=20%.C=0,代入Y=XZ-C

貝！J,Y=(M-800)X20%=0.2M-160

令Y=0,即0.2M-160=0,得M=800

所以，M的取值范圍為：800<M<4000

即當(dāng)800<M<4000時(shí)，Y=0.2M-160

2、當(dāng)M>4000時(shí)，X=O.8M,按照X的取值范圍分三種情況

⑴如果XW20000,則Z=20%,C=O,代入Y=XZ-C,

則，Y=20%X-0=0.2X0.8M=0.16M

令X=20000,得M=X+0.8=200004-0.8=25000

所以,M的取值范圍為4000<M<25000

即當(dāng)4000VMW25000時(shí),Y=0.16M

(2)如果如果0NX>20000,貝!JZ=30%,C=2000,代入Y=XZ-C

則，Y=30%X-2000=0.3X0.8M-2000=0.24M-2000=0.24M-2000

令X=50000,得M=X4-0.8=500004-0.8=62500

所以，M的取值范圍為：25000<M<62500

即，當(dāng)25000VMW62500時(shí),Y=0.24M-2000

20000,得M：X4-08：200004-08：25000

（3）如果X>50000,則Z=40%,C=7000,代入Y=XZ-C

則，Y=40%X-7000=0.4X0.8M-7000=0.32M-7000

M的取值范圍為M>625000

即，當(dāng)M>625000時(shí),Y=0.32M-7000

通過(guò)觀察上述式子，我們可以發(fā)現(xiàn)，他們都變成了一次函數(shù):Y=aM-b。將上

述推導(dǎo)結(jié)果整理成下表（表3）

表3演出收入個(gè)人所得稅計(jì)稅系數(shù)表

級(jí)數(shù)x（每次總收入）ab

1超過(guò)800元至4000元（含）的0.2160

2超過(guò)4000元至25000元（含）的0.160

3超過(guò)25000元至62500元（含）的0.242000

4超過(guò)62500元的0.327000

問(wèn)題5：資料同問(wèn)題1

?.?收3000元<4000,則a=0.2,b=160

AY=aM-b=0.2X3000—160=440元

問(wèn)題6:資料同問(wèn)題2

?.飛二100000元，M>62500,則a=0.32,b=7000

.,.Y=aM—b=0.32X100000—7000=25000元

這樣的計(jì)算就更簡(jiǎn)單了！

二、由舉辦方代付稅款的數(shù)學(xué)模型

問(wèn)題2中乙到杭州演出一場(chǎng)，總收入為100000元，繳了25000元個(gè)人所得

稅后，稅后凈收入只有75000元了。她覺(jué)得報(bào)酬太低，不合算。于是丙到演出

舉辦單位簽訂協(xié)議，要求演出的稅后凈收入為100000元，即個(gè)人所得稅由演出

舉辦者承擔(dān).則，舉辦者代為繳納的個(gè)人所得稅是不是25000元呢

（一）稅法規(guī)定的數(shù)學(xué)模型

假設(shè)：稅后凈收入為N,舉辦者為演員代付款為Y,演出舉辦方實(shí)際支出為

M,M也就是演出者的總收入。顯然M=Y+No這意味著計(jì)算代付稅款時(shí)，應(yīng)當(dāng)將

舉辦者支付給演員的的稅后凈收入N(或稱(chēng)不含稅支付額)換算為總收入M,按規(guī)

定扣除費(fèi)用后得巾應(yīng)納稅所得額X,然后按規(guī)定稅率Z計(jì)算出應(yīng)代付的個(gè)人所得

稅款Y。

現(xiàn)在N是已知條件，我們只要建立起以N為自變量、丫為因變量的函數(shù)關(guān)系

式，并且將表面化中的X換算成N,就可確定Z,計(jì)算出Y。

根據(jù)費(fèi)用扣除規(guī)定和表面化的信息，推導(dǎo)如下：

1、當(dāng)MW4000時(shí)，X=M-800,將X=M-800,代入Y=XZY

則，Y=(M-800)Z-C=(Y+N-800)Z-C,經(jīng)整理可得:

Y二

下面確定N的取值范圍。

當(dāng)MW4000時(shí),Z=20%,C=0

令丫=令即=0,則N=800。

令M=4000,即Y=XZ—C=(4000—800)X20%-0=640元，

N=M—￥=4000—640=3360元。

即：與M=4000元相對(duì)應(yīng)值為3360元。

也就是說(shuō)，當(dāng)3360^N>800時(shí)，按Y=來(lái)計(jì)算稅款。

此時(shí)，Z=20%,C=0o

2、當(dāng)M>4000時(shí),X=0.8M

那以，Y=XZ-C

=0.8MZ-C

=0.8(Y+N)Z-C

經(jīng)整理可得：

Y=

下面分別就X的三種取值范圍來(lái)確定N的對(duì)應(yīng)取值范圍。

(1)當(dāng)X=20000元時(shí),Y=XZ-C=20000X20%-0=4000元

M=X4-0.8=200004-0.8=25000元

N=M-Y=25000-4000=20111元。即：與X=2000元相對(duì)應(yīng)的N值為21000

mo

也就是說(shuō)，當(dāng)210002N>3360時(shí)，按丫=來(lái)計(jì)算稅款。此時(shí)，Z=20%,C=0。

（2）當(dāng)X=50000元時(shí),Y=XZ-C=50000X30%-2000=13000元

M=X4-

級(jí)數(shù)N（不含稅演出收入）Z（稅率%）C（常數(shù)）

1超過(guò)800元至3360元（含）的200

2超過(guò)3360元至21000元（含）的200

3超過(guò)21000元至49500元（含）的302000

4超過(guò)49500元的407000

0.8=50000+0.