專題06函數(shù)的性質(zhì)(2)(原卷版+解析)

專題06函數(shù)的性質(zhì)（2）題型一函數(shù)的對稱性函數(shù)的對稱性要注意一下三點(diǎn)：（1）關(guān)于軸對稱（當(dāng)時(shí)，恰好就是偶函數(shù)）（2）關(guān)于軸對稱（3）是偶函數(shù)，則，進(jìn)而可得到：關(guān)于軸對稱。最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對稱性，則只需要分析一側(cè)的性質(zhì)，便可得到整個函數(shù)的性質(zhì)，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：（1）可利用對稱性求得某些點(diǎn)的函數(shù)值（2）在作圖時(shí)可作出一側(cè)圖像，再利用對稱性得到另一半圖像（3）極值點(diǎn)關(guān)于對稱軸（對稱中心）對稱（4）在軸對稱函數(shù)中，關(guān)于對稱軸對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；在中心對稱函數(shù)中，關(guān)于對稱中心對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同例1、（2021·山東菏澤市·高三期末）已知函數(shù)對任意的都有，若的圖象關(guān)于直線對稱，且，則______．變式1、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．函數(shù)為上的偶函數(shù) D．函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)變式2、（2020屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知是定義在上的奇函數(shù)，且的圖像關(guān)于直線對稱.若當(dāng)時(shí)，，則（）A．0 B．1 C．2 D．4變式3、（2021·山東青島市·高三二模）已知定義在上的函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，有下列四個命題：甲：是奇函數(shù)；乙：的圖象關(guān)于直線對稱；丙：在區(qū)間上單調(diào)遞減；丁：函數(shù)的周期為2.如果只有一個假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁變式4、（2018年徐州模擬）已知，方程在內(nèi)有且只有一個，則在區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)為題型二單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合例2、【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)函數(shù)，則f(x)A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減變式1、【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）變式2、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．函數(shù)為上的偶函數(shù) D．函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)題型三性質(zhì)的結(jié)合例3、（2021·興寧市第一中學(xué)高三期末）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的（）A．最小值為 B．最小值為 C．最大值為 D．最大值為變式1、（2021·江蘇揚(yáng)州市高三模擬）已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且滿足，則關(guān)于的不等式的解集為（）A． B．C． D．變式2、（福建省泉州市2021屆高三聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖放置的邊長為的正方形沿軸滾動（無滑動滾動），點(diǎn)恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，則對函數(shù)的判斷正確的是()A．函數(shù)是奇函數(shù) B．對任意的，都有C．函數(shù)的值域?yàn)?D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增變式3、（2020·湖北荊州市·高三月考）對于定義在R上的函數(shù)，下列命題中正確的有（）A．若為奇函數(shù)，則B．若，當(dāng)時(shí)，恒有成立，則為減函數(shù)C．若函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù).則為周期函數(shù)且最小正周期為4D．若函數(shù)為奇函數(shù)且在上有最大值1，則在上有最小值1、（2021·山東濟(jì)南市·高三二模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．為奇函數(shù) B．為減函數(shù)C．有且只有一個零點(diǎn) D．的值域?yàn)?、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知定義在上的函數(shù)滿足，且圖像關(guān)于對稱，當(dāng)時(shí)，，則________.3、（江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月調(diào)研）設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為_____________.4、（湖北省宜昌市2020-2021學(xué)年高三聯(lián)考）已知函數(shù)，則（）A．的最小正周期是B．的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移個單位而得到C．是的一條對稱軸D．的一個對稱中心是5、（湖南省衡陽市2020-2021學(xué)年高三模擬）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中，正確的有（）A．是的最小正周期B．在上單調(diào)遞增C．的圖象的對稱軸為直線D．的值域?yàn)?、（2021·天津高三三模）已知為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，且時(shí)；，給出下列命題：①；②函數(shù)在定義域上是周期為2的周期函數(shù)；③直線與函數(shù)的圖象有1個交點(diǎn)；④函數(shù)的值域?yàn)椋渲姓_命題有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個專題06函數(shù)的性質(zhì)（2）題型一函數(shù)的對稱性函數(shù)的對稱性要注意一下三點(diǎn)：（1）關(guān)于軸對稱（當(dāng)時(shí)，恰好就是偶函數(shù)）（2）關(guān)于軸對稱（3）是偶函數(shù)，則，進(jìn)而可得到：關(guān)于軸對稱。最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對稱性，則只需要分析一側(cè)的性質(zhì)，便可得到整個函數(shù)的性質(zhì)，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：（1）可利用對稱性求得某些點(diǎn)的函數(shù)值（2）在作圖時(shí)可作出一側(cè)圖像，再利用對稱性得到另一半圖像（3）極值點(diǎn)關(guān)于對稱軸（對稱中心）對稱（4）在軸對稱函數(shù)中，關(guān)于對稱軸對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；在中心對稱函數(shù)中，關(guān)于對稱中心對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同例1、（2021·山東菏澤市·高三期末）已知函數(shù)對任意的都有，若的圖象關(guān)于直線對稱，且，則______．【答案】3【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對稱，所以的圖象關(guān)于軸對稱，所以為偶函數(shù)，令則，所以，又，則,所以周期為6，所以,故答案為：3變式1、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．函數(shù)為上的偶函數(shù) D．函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)【答案】ABC【解析】因?yàn)?，所以，即，故A正確；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，所以B正確；又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，根據(jù)，令代有，所以，令代有，即函數(shù)為上的偶函數(shù)，C正確；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，又函數(shù)為上的偶函數(shù)，，所以函數(shù)不單調(diào)，D不正確.故選：ABC.變式2、（2020屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知是定義在上的奇函數(shù)，且的圖像關(guān)于直線對稱.若當(dāng)時(shí)，，則（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】是定義在上的奇函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對稱，，，是周期為的周期函數(shù)，.故選:C.變式3、（2021·山東青島市·高三二模）已知定義在上的函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，有下列四個命題：甲：是奇函數(shù)；乙：的圖象關(guān)于直線對稱；丙：在區(qū)間上單調(diào)遞減；丁：函數(shù)的周期為2.如果只有一個假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】由連續(xù)函數(shù)的特征知：由于區(qū)間的寬度為2，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減與函數(shù)的周期為2相互矛盾，即丙、丁中有一個為假命題；若甲、乙成立，即，，則，所以，即函數(shù)的周期為4，即丁為假命題.由于只有一個假命題，則可得該命題是丁，故選：D.變式4、（2018年徐州模擬）已知，方程在內(nèi)有且只有一個，則在區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)為【答案】2018【解析】，可得關(guān)于軸對稱，因?yàn)樵趦?nèi)有且只有一個零點(diǎn)，所以由對稱性可得在只有兩個零點(diǎn)。所以一個周期中含有兩個零點(diǎn)，區(qū)間共包含1009個周期，所以有2018個零點(diǎn)變式5、（2019年宿遷中學(xué)模擬）已知定義在上的函數(shù)滿足：，當(dāng)時(shí)，，則______________【答案】-【解析】：由可得：關(guān)于中心對稱，由可得：關(guān)于軸對稱，所以可求出的周期，則題型二單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合例2、【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)函數(shù)，則f(x)A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】由得定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D．本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，根據(jù)與的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.變式1、【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）【答案】C【解析】是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，．，又在(0，+∞)上單調(diào)遞減，∴，即.故選C．變式2、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．函數(shù)為上的偶函數(shù) D．函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)【答案】ABC【解析】因?yàn)?，所以，即，故A正確；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，所以B正確；又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，根據(jù)，令代有，所以，令代有，即函數(shù)為上的偶函數(shù)，C正確；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，又函數(shù)為上的偶函數(shù)，，所以函數(shù)不單調(diào)，D不正確.故選：ABC.題型三性質(zhì)的結(jié)合例3、（2021·興寧市第一中學(xué)高三期末）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的（）A．最小值為 B．最小值為 C．最大值為 D．最大值為【答案】B【解析】時(shí)，，且是減函數(shù)，∵是奇函數(shù)，∴在上是減函數(shù)且又，∴在上是減函數(shù)．由的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱得，又是奇函數(shù)，，∴，，即，∴是周期函數(shù)，周期為4．∴且，∴，∴．在上遞減，則在上遞減，，而，∴在上的最小值是．故選：B．變式1、（2021·江蘇揚(yáng)州市高三模擬）已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且滿足，則關(guān)于的不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，函數(shù)定義在上的奇函數(shù)，在單調(diào)減，所以在單調(diào)減，且若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，，可得，，此時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，，可得，此時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，可得，，所以，所以當(dāng)時(shí)，滿足不等式，令，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，滿足不等式成立，綜上可得，不等式的解集為.故選：B.變式2、（福建省泉州市2021屆高三聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖放置的邊長為的正方形沿軸滾動（無滑動滾動），點(diǎn)恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，則對函數(shù)的判斷正確的是()A．函數(shù)是奇函數(shù) B．對任意的，都有C．函數(shù)的值域?yàn)?D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓；當(dāng)，頂點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，與的形狀相同，因此函數(shù)在恰好為一個周期的圖像；所以函數(shù)的周期是；其圖像如下：A選項(xiàng)，由圖像及題意可得，該函數(shù)為偶函數(shù)，故A錯；B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以，因此；故B正確；C選項(xiàng)，由圖像可得，該函數(shù)的值域?yàn)?；故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)樵摵瘮?shù)是以為周期的函數(shù)，因此函數(shù)在區(qū)間的圖像與在區(qū)間圖像形狀相同，因此，單調(diào)遞增；故D正確；故選：BCD.變式3、（2020·湖北荊州市·高三月考）對于定義在R上的函數(shù)，下列命題中正確的有（）A．若為奇函數(shù)，則B．若，當(dāng)時(shí)，恒有成立，則為減函數(shù)C．若函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù).則為周期函數(shù)且最小正周期為4D．若函數(shù)為奇函數(shù)且在上有最大值1，則在上有最小值【答案】BD【解析】對于A，為定義在R上奇函數(shù)，則，錯誤；對于B，，當(dāng)時(shí)，恒有成立，則有時(shí)，，或者時(shí)，，則為減函數(shù)，正確；對于C，為奇函數(shù)，所以，，由函數(shù)為偶函數(shù)，，則為周期函數(shù)且最小正周期為8，錯誤；對于D，函數(shù)為奇函數(shù)且在上有最大值1，根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則在上有最小值，正確.故選：BD.1、（2021·山東濟(jì)南市·高三二模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．為奇函數(shù) B．為減函數(shù)C．有且只有一個零點(diǎn) D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】,,,故為奇函數(shù)，又，在R上單調(diào)遞增，，，，，，即函數(shù)值域?yàn)榱?，即，解得，故函?shù)有且只有一個零點(diǎn)0.綜上可知，AC正確，BD錯誤.故選：AC2、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知定義在上的函數(shù)滿足，且圖像關(guān)于對稱，當(dāng)時(shí)，，則________.【答案】-2【解析】因?yàn)閳D像關(guān)于對稱，則，，故是以8為周期的周期函數(shù)，故答案為：.3、（江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月調(diào)研）設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為_____________.【答案】【解析】因?yàn)?所以,所以函數(shù)為奇函數(shù),因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立)所以函數(shù)為上的遞增函數(shù),所以不等式可化為,所以根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可化為,所以根據(jù)函數(shù)為增函數(shù)可化為,可化為,可化為,解得:,所以不等式的解集為:.故答案為4、（湖北省宜昌市2020-2021學(xué)年高三聯(lián)考）已知函數(shù)，則（）A．的最小正周期是B．的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移個單位而得到C．是的一條對稱軸D．的一個對稱中心是【答案】AB【解析】，A.函數(shù)的最小正周期，故A正確；B.根據(jù)圖象的平移變換規(guī)律，可知函數(shù)的圖像向左平移個單位而得到，故B正確；C.當(dāng)時(shí)，，不是函數(shù)的對稱軸，故C不正確；D.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)值是2，故函數(shù)的一個對稱中心應(yīng)是，故D不正確.故選：AB5、（湖南省衡陽市2020-2021學(xué)年高三模擬）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中，正確的有（）A．是的最小正周期B．在上單調(diào)遞增C．的圖象的對稱軸為直線D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緽D【解析】由，知函數(shù)為偶函數(shù)，又，知是的周期，當(dāng)時(shí)，，畫出的圖象如圖所示：由圖知，的最小正周期是，A錯誤