第3講軌跡方程的求法(合理建立坐標(biāo)系)(原卷版+解析)

第3講軌跡方程的求法（合理建立坐標(biāo)系）考情分析求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一。求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系這類問題除了考查學(xué)生對圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn)。二、經(jīng)驗(yàn)分享求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法(1)直接法直接法是將圓錐曲線中動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何關(guān)系或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)的要滿足的條件簡單明確時(shí)，直接按“建系設(shè)點(diǎn)、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡、限制說明”五個(gè)基本步驟求軌跡方程,稱之直接法.(2)定義法若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求；(3)相關(guān)點(diǎn)法根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(4)參數(shù)法若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程；求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念三、題型分析(一)直接法直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)的要滿足的條件簡單明確時(shí)，直接按“建系設(shè)點(diǎn)、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡、限制說明”五個(gè)基本步驟求軌跡方程,稱之直接法.已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長與的比等于常數(shù)（如圖），求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線．【變式訓(xùn)練】【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F。(二)相關(guān)點(diǎn)代入法據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程例2.如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程【變式訓(xùn)練1】已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和，且．記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為．設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合．（1）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（2）若曲線與有公共點(diǎn)，試求的最小值．(三)參數(shù)法參數(shù)法是指先引入一個(gè)中間變量（參數(shù)），使所求動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得到間的直接關(guān)系式，即得到所求軌跡方程.例3設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4px(p＞0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線【變式訓(xùn)練1】設(shè)橢圓中心為原點(diǎn)O，一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，1），長軸和短軸的長度之比為t．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)P在該直線上，且，當(dāng)t變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．（四)定義法定義法是指先分析、說明動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種特殊曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）的定義或特征，再求出該曲線的相關(guān)參量，從而得到軌跡方程.例4已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．【變式訓(xùn)練1】在直角坐標(biāo)系中，曲線的點(diǎn)均在：外，且對上任意一點(diǎn)，到直線的距離等于該點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)（）為圓外一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)A，B和C，D.證明：當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值．四、遷移應(yīng)用1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)滿足，，點(diǎn)的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）為C上動(dòng)點(diǎn)，為C在點(diǎn)處的切線，求點(diǎn)到距離的最小值．

2．已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．3．在直角坐標(biāo)系中，曲線：與直線交與，兩點(diǎn)，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程；（Ⅱ）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由．4．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓：上，過做軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足QUOTE．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且QUOTE．證明：過點(diǎn)且垂直于的直線過的左焦點(diǎn)．

5．如圖5，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線和橢圓均過點(diǎn)，且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形．（Ｉ）求的方程；（Ⅱ）是否存在直線，使得與交于兩點(diǎn)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，且？證明你的結(jié)論．6．設(shè)圓與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切．（1）求的圓心軌跡L的方程；（2）已知點(diǎn)M，且為上動(dòng)點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．第3講軌跡方程的求法（合理建立坐標(biāo)系）考情分析求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一。求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系這類問題除了考查學(xué)生對圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn)。二、經(jīng)驗(yàn)分享 求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法(1)直接法直接法是將圓錐曲線中動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何關(guān)系或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)的要滿足的條件簡單明確時(shí)，直接按“建系設(shè)點(diǎn)、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡、限制說明”五個(gè)基本步驟求軌跡方程,稱之直接法.(2)定義法若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求；(3)相關(guān)點(diǎn)法根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(4)參數(shù)法若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程；求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念三、題型分析(一)直接法直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)的要滿足的條件簡單明確時(shí)，直接按“建系設(shè)點(diǎn)、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡、限制說明”五個(gè)基本步驟求軌跡方程,稱之直接法.已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長與的比等于常數(shù)（如圖），求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線．【解析】：設(shè)M（x，y），直線MN切圓C于N，則有，即，．整理得，這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．若，方程化為，它表示過點(diǎn)和x軸垂直的一條直線；若λ≠1，方程化為，它表示以為圓心，為半徑的圓．【變式訓(xùn)練】【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F。因此點(diǎn)P的軌跡方程為。（2）由題意知。設(shè),則，。由得，又由（1）知，故。所以，即。又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F。(二)相關(guān)點(diǎn)代入法據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程例2.如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程【解析】設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng)設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程【變式訓(xùn)練1】已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和，且．記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為．設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合．（1）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（2）若曲線與有公共點(diǎn)，試求的最小值．【解析】（1）聯(lián)立與得，則中點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，又點(diǎn)在曲線上，∴化簡可得，又點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且不與點(diǎn)和點(diǎn)重合，則，即，∴中點(diǎn)的軌跡方程為（）．（2）曲線，即圓：，其圓心坐標(biāo)為，半徑，設(shè)圓與直線：相切于點(diǎn)，則有，即．過點(diǎn)與直線垂直的直線的方程是，即．由，解得，．當(dāng)時(shí)，．∵分別是上的點(diǎn)的最小和最大橫坐標(biāo)，∴切點(diǎn)，故．(三)參數(shù)法參數(shù)法是指先引入一個(gè)中間變量（參數(shù)），使所求動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得到間的直接關(guān)系式，即得到所求軌跡方程.例3設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4px(p＞0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線【解法一】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)(x≠0)直線AB的方程為x=my+a由OM⊥AB，得m=－由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0所以y1y2=－4pa,x1x2=所以，由OA⊥OB，得x1x2=－y1y2所以故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)【解法二】設(shè)OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得∴AB的方程為，過定點(diǎn)，由OM⊥AB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（O點(diǎn)除外）故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)【解法三】設(shè)M(x,y)(x≠0)，OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得由OM⊥AB，得M既在以O(shè)A為直徑的圓……①上，又在以O(shè)B為直徑的圓……②上（O點(diǎn)除外），+②得x2+y2－4px=0(x≠0)故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)【變式訓(xùn)練1】設(shè)橢圓中心為原點(diǎn)O，一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，1），長軸和短軸的長度之比為t．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)P在該直線上，且，當(dāng)t變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．【解析】：（1）設(shè)所求橢圓方程為由題意得解得所以橢圓方程為．(2)設(shè)點(diǎn)解方程組得由和得其中t＞1．消去t，得點(diǎn)P軌跡方程為和．其軌跡為拋物線在直線右側(cè)的部分和拋物線在直線在側(cè)的部分．【方法】求兩曲線的交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，或者先引入?yún)?shù)來建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)來得到軌跡方程，稱之交軌法.（四)定義法定義法是指先分析、說明動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種特殊曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）的定義或特征，再求出該曲線的相關(guān)參量，從而得到軌跡方程.例4已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．【解析】：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即．∴點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：．說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程．這是求軌跡方程的一種重要思想方法．【變式訓(xùn)練1】在直角坐標(biāo)系中，曲線的點(diǎn)均在：外，且對上任意一點(diǎn)，到直線的距離等于該點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)（）為圓外一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)A，B和C，D.證明：當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值．【解析】（Ⅰ）【解法1】：設(shè)M的坐標(biāo)為，由已知得，易知圓上的點(diǎn)位于直線的右側(cè).于是，所以.化簡得曲線的方程為．【解法2】：由題設(shè)知，曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為．（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為，又，則過P且與圓相切的直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為.于是整理得①設(shè)過P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程①的兩個(gè)實(shí)根，故②由得③設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為，則是方程③的兩個(gè)實(shí)根，所以④同理可得⑤于是由②，④，⑤三式得.所以，當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值6400．四、遷移應(yīng)用1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)滿足，，點(diǎn)的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）為C上動(dòng)點(diǎn)，為C在點(diǎn)處的切線，求點(diǎn)到距離的最小值．【解析】（Ⅰ）設(shè)，由已知得，．所以=，=(0，)，=(，-2).再由題意可知（+）?

=0，即（，）?

(，－2)=0．所以曲線C的方程式為．（Ⅱ）設(shè)為曲線C：上一點(diǎn)，因?yàn)?，所以的斜率為，因此直線的方程為，即．則點(diǎn)到的距離．又，所以當(dāng)=0時(shí)取等號，所以點(diǎn)到距離的最小值為2．2．已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．【解析】（Ⅰ）依題意，解得（負(fù)根舍去）拋物線的方程為．（Ⅱ）設(shè)點(diǎn),，，由,即得．∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即．∵，∴．∵點(diǎn)在切線上,∴.①同理，.②綜合①、②得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.∵經(jīng)過兩點(diǎn)的直線是唯一的，∴直線的方程為，即．（Ⅲ）由拋物線的定義可知，所以聯(lián)立，消去得，當(dāng)時(shí)，取得最小值為．3．在直角坐標(biāo)系中，曲線：與直線交與，兩點(diǎn)，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程；（Ⅱ）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由．【解析】（Ⅰ）由題設(shè)可得，，或，.∵，故在=處的導(dǎo)數(shù)值為，在處的切線方程為，即.故在處的導(dǎo)數(shù)值為，在處的切線方程為，即.故所求切線方程為或.（Ⅱ）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)為符合題意的點(diǎn)，，，直線，的斜率分別為.將代入的方程整理得.∴.∴==.當(dāng)時(shí)，有=0，則直線的傾斜角與直線的傾斜角互補(bǔ)，故∠=∠，所以符合題意．4．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)