專題15利用二次求導(dǎo)法解決導(dǎo)數(shù)問題(原卷版+解析)

專題15利用二次求導(dǎo)法解決導(dǎo)數(shù)問題1．已知，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．2．若關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若，使得在恒成立，則的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．54．若對(duì)任意正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．5．已知函數(shù)，若，且對(duì)任意的恒成立，則的最大值為______．6．已知，函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的極值；（2）若，當(dāng)時(shí)，求證：．7．函數(shù)，，為常數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，若，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，．8．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)且時(shí)，證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).9．已知函數(shù)，.（1）若在上為單調(diào)遞減函數(shù)，求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，且，若不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．10．已知函數(shù)滿足，且曲線在處的切線方程為．（1）求，，的值；（2）設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，求的最大值．11．記，為的導(dǎo)函數(shù)．若對(duì)，，則稱函數(shù)為上的“凸函數(shù)”．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)為上的凸函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)在上有極值，求的取值范圍．12．已知函數(shù).（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知，若在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.13．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．14．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，若在點(diǎn)，切線垂直于軸，求證：；（2）若，求的取值范圍．15．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若對(duì)任意的，都有，求的取值范圍.16．已知函數(shù)．（1）若對(duì)恒成立：求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．17．已知函數(shù).（1）證明：曲線在點(diǎn)處的切線恒過定點(diǎn)；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，證明：.18．已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，求證：函數(shù)存在極小值；（3）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；（2）當(dāng)且時(shí)，不等式在上恒成立，求的最大值.20．已知函數(shù).（1）若在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且專題15利用二次求導(dǎo)法解決導(dǎo)數(shù)問題1．已知，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【解析】，令，則，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，又的定義域?yàn)?，所以在和上單調(diào)遞減，又，，，，所以．故選：B．2．若關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由，得，又關(guān)于的不等式在上有解，所以在上有解，即，令，，則，設(shè)，，則，即在上單調(diào)遞增，則，于是有，從而得在上單調(diào)遞增，因此，，則，所以的取值范圍是.故選：D3．已知函數(shù)，若，使得在恒成立，則的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】依題意，，令，則．令，，∴時(shí)，，即單調(diào)遞增，∵，，設(shè)并記其零點(diǎn)為，故．且，所以當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增，所以，因此，由于且，即，所以，故選:C4．若對(duì)任意正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【解析】由，，得，設(shè)，即恒成立，，，所以在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值為，即，所以，故答案為：.5．已知函數(shù)，若，且對(duì)任意的恒成立，則的最大值為______．【解析】由，則對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，令，則，令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，因?yàn)椋苑匠淘谏洗嬖谖ㄒ粚?shí)根，且滿足，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，故，所以，所以實(shí)數(shù)的最大值為．6．已知，函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的極值；（2）若，當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】（1）因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，對(duì)，，則在是增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)不存在極值；當(dāng)時(shí)，，令，解得，若，則，若，則，當(dāng)時(shí)，取得極小值，所以當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極小值；（2）時(shí)，設(shè)，，求導(dǎo)得，設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，于是得在單調(diào)遞增，，即，從而得在上單調(diào)遞增，因此有，即，所以在上恒成立.7．函數(shù)，，為常數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，若，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，．【解析】（1）因?yàn)椋?，，解得：．?）因?yàn)?，所以，則要證，只需證．設(shè)則，設(shè)，，故單調(diào)遞增．又因?yàn)?，，所以存在，使得，即，所以，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．由知，所以，所以，故，從而．8．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)且時(shí)，證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).【解析】（1）當(dāng)時(shí)，則，則，又，則圖象在點(diǎn)處的切線方程為；（2）由，則恒成立，單調(diào)遞增；又；，則必然存在一點(diǎn)，使得，且，，單減，，，單增，即，則，故若有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則，只需最小值點(diǎn)不在處取得即可，即，即，故當(dāng)且時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).9．已知函數(shù)，.（1）若在上為單調(diào)遞減函數(shù)，求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，且，若不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），由，令，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù).，.（2）函數(shù)有兩個(gè)不等的零點(diǎn)且，，兩式相除得，若證不等式恒成立，即證，即證，令，，.①時(shí)，，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，，在為單調(diào)遞增函數(shù)，，滿足條件.②時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，在上為單調(diào)遞減函數(shù)．，不滿足條件，舍去.綜上，正實(shí)數(shù)．10．已知函數(shù)滿足，且曲線在處的切線方程為．（1）求，，的值；（2）設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，求的最大值．【解析】（1）由已知得，且函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，則解得，，．（2）由（1）得．若在上恒成立，則在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)椋?，從而可得在上恒成立．令，則，令，則恒成立，在上為增函數(shù)．又，，所以存在，使得，得，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．則．又，所以，代入上式，得．又，所以．因?yàn)?，且，所以，故的最大值?．11．記，為的導(dǎo)函數(shù)．若對(duì)，，則稱函數(shù)為上的“凸函數(shù)”．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)為上的凸函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)在上有極值，求的取值范圍．【解析】（1），若函數(shù)為上的凸函數(shù)，則，即，令，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，解得：，的取值范圍為.（2），，在上有極值，在有變號(hào)零點(diǎn)，，令，則，，，在上單調(diào)遞增，；①當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，．即，在無零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)，即時(shí)，則，使得，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又時(shí)，，在上有零點(diǎn)，且在零點(diǎn)左右兩側(cè)符號(hào)相反，即該零點(diǎn)為的變號(hào)零點(diǎn)，在上有極值；綜上所述：的取值范圍為.12．已知函數(shù).（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知，若在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）的定義域?yàn)?0,+∞)，.①當(dāng)時(shí)，令，得到；令，得到，此時(shí)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+∞)上為增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，令，得到；令，得到或，此時(shí)在(a,1)上為減函數(shù)，在(0,a)和上為增函數(shù)；③當(dāng)a=1時(shí),顯然恒成立，此時(shí)在0,+∞)上為增函數(shù)；④當(dāng)a>1時(shí),令，得到；令，得到或.此時(shí)在(1,a)上為減函數(shù),在(0,1)和(a,+∞)上為增函數(shù).綜上：①當(dāng)時(shí)，在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+∞)上為增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，在(a,1)上為減函數(shù)，在(0,a)和上為增函數(shù)；③當(dāng)a=1時(shí)，在0,+∞)上為增函數(shù)；④當(dāng)a>1時(shí)，在(1,a)上為減函數(shù),在(0,1)和(a,+∞)上為增函數(shù).（2）在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.令則，令，則，顯然在上恒成立,故在上單調(diào)遞增.因?yàn)閜(1)=0，所以當(dāng)，有，即所以單調(diào)遞減；當(dāng)，有，即所以單調(diào)遞增；因?yàn)?，所以a的取值范圍13．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意得，的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，解得，時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由題意得，求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個(gè)極值點(diǎn)，不合題意．當(dāng)時(shí)，令，解得，時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，為．因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，即，解得．當(dāng)時(shí)，，，，，令，則，故在上單調(diào)遞增，，即，所以，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，若在點(diǎn)，切線垂直于軸，求證：；（2）若，求的取值范圍．【解析】（1）由題意可知，則，設(shè)切點(diǎn)為，，則由，解得，則，即，故等式得證；（2）解：因?yàn)?，其中，所以?duì)恒成立，令，則，即，令，則，其中，則為上的增函數(shù)，又因?yàn)椋?），，所以存在，使得，即，即，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故，即，又當(dāng)時(shí)，，所以為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以為增函數(shù)，所以，所以的取值范圍為，．15．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若對(duì)任意的，都有，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以切線的斜率，，切點(diǎn)為，所以切線方程為：，即（2）若對(duì)任意的，都有，取，則可得：，由可得：，，所以在單調(diào)遞增，，，即，因?yàn)?，，所以存在，使得，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，若對(duì)任意的，都有，只需解得：，所以的取值范圍是.16．已知函數(shù)．（1）若對(duì)恒成立：求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．【解析】（1）因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，顯然，則在上單調(diào)遞增，所以，不合題意；當(dāng)時(shí)，由得，則在上單調(diào)遞增，所以存在，使，不合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則在上單調(diào)遞減，所以.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，，要證，只需證，即證（*）.令（），則，令（），則，則在上單調(diào)遞減，所以，即，所以在上單調(diào)遞減.由（*）可知，只需證（）.令（），則，所以在上單調(diào)遞增，所以對(duì)任意，，即.故原不等式成立.17．已知函數(shù).（1）證明：曲線在點(diǎn)處的切線恒過定點(diǎn)；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，則，又，則曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，即，顯然恒過定點(diǎn).（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則，，得.因?yàn)?，令，則，得，則，所以.令，則，令，則，則在上單調(diào)遞增，所以.所以，則在上單調(diào)遞增，所以，即，故.18．已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，求證：函數(shù)存在極小值；（3）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以．所以．曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）由，得．令，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)．所以的最小值為．當(dāng)時(shí)，，．又在單調(diào)遞增，故存在，使得，在區(qū)間上，在區(qū)間上．所以，在區(qū)間上，在區(qū)間上，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)存在極小值．（3）對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，等價(jià)于的最小值大于或等于．①當(dāng)時(shí)，，由（2）得，所以．所以在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．由，得，滿足題意．②當(dāng)時(shí)，由（2）知，在上單調(diào)遞減，所以在上，不滿足題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．19．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；（2）當(dāng)且時(shí)，不等式在上恒成立，求的最大值.【解析】（1）∵，又函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)∴當(dāng)時(shí)，恒成立.∴.∴的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，.故不等式，∴即對(duì)任意恒成立，令，則，令，（）則，∴在上單增.又，，∴存在，使，即當(dāng)時(shí)即.當(dāng)時(shí)，，即∴在上單減，在上單增.令，即.∴，∴且，即.20．已知函數(shù).（1）若在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：存在唯一的