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專題11利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根一、單選題1.若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍()A. B. C. D.2.若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知是方程的實(shí)根,則關(guān)于實(shí)數(shù)的判斷正確的是()A. B.C. D.5.已知函數(shù)在上是增函數(shù),在[0,2]上是減函數(shù),且方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根,它們分別是,,2,則的最小值是()A.5 B.6 C.7 D.86.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知關(guān)于x的方程在上有兩解,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A. B. C. D.8.設(shè)函數(shù),若存在區(qū)間,使在上的值域是,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、多選題9.若函數(shù)的圖像和直線y=ax有四個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值可以是()A.4 B.2 C.0 D.10.已知函數(shù),,若,,則的可能取值為()A. B. C. D.11.已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)),若關(guān)于的方程有且僅有四個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)的值可能為()A. B. C. D.12.已知函數(shù),,若關(guān)于的方程的解,則實(shí)數(shù)的可能取值為()A. B. C.0 D.1三、填空題13.若函數(shù)的圖像與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是___.14.函數(shù),若方程有一個(gè)解,則的取值范圍為__________.15.已知函數(shù),,若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.16.已知關(guān)于x的方程在上有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______四、解答題17.已知函數(shù).(1)當(dāng)且時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若,關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根,求的取值范圍.18.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)函數(shù),求的解的個(gè)數(shù).19.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)與圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍,并證明.21.已知函數(shù),其中.(1)若,求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;(2)設(shè)方程在上恰有個(gè)不等實(shí)根,求證:.22.已知函數(shù),,(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)當(dāng)時(shí),,求的取值范圍;(3)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求的取值范圍專題11利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根一、單選題1.若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍()A. B. C. D.【解析】設(shè),,令,解得或,則,隨的變化如下表單調(diào)遞增極大值4單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增則當(dāng)時(shí),函數(shù)有極大值;當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值,又當(dāng)時(shí),,當(dāng),,所以當(dāng)時(shí),有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,此時(shí),故選:.2.若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【解析】由題意得,設(shè),.當(dāng)時(shí),,為增函數(shù);當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),且.所以有最大值,簡圖如下,由圖可知,時(shí)符合題意.故選:C.3.若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【解析】,當(dāng)時(shí),無實(shí)數(shù)解,不符合題意,故.于是有,令,顯然當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,因此當(dāng)時(shí),,函數(shù)的圖象一致如下圖所示:因此要想有實(shí)數(shù)根,只需方程組:有交點(diǎn),如上圖,則有實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:D4.已知是方程的實(shí)根,則關(guān)于實(shí)數(shù)的判斷正確的是()A. B.C. D.【解析】設(shè),其中,則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù),且當(dāng)時(shí),函數(shù),且,可得方程的實(shí)根,則,又由,可得,即,構(gòu)造新函數(shù),可得,所以在上為單調(diào)遞增函數(shù),可得,因?yàn)閷?shí)數(shù)是方程的實(shí)根,則,即,所以,即,所以A正確,B不正確.令,可得,為單調(diào)遞增函數(shù),由,即,所以,又由,且,所以,所以C、D不正確.故選:A.5.已知函數(shù)在上是增函數(shù),在[0,2]上是減函數(shù),且方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根,它們分別是,,2,則的最小值是()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】由,求導(dǎo)得,在上是增函數(shù),在[0,2]上是減函數(shù),,即,此時(shí)的另外一個(gè)根為,且方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根,它們分別是,,2,,即,且,所以,化簡函數(shù),所以則,所以,因?yàn)?,所以,所以的最小值?.故選:A.6.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【解析】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,其大致圖象如圖所示,由,得,令,關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于函數(shù),的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn).當(dāng)時(shí),的圖象在點(diǎn)處切線斜率為,該切線過點(diǎn)時(shí),滿足,即,解得,所以的圖象過點(diǎn)的切線斜率為;的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為,該切線過點(diǎn)時(shí),,因?yàn)椋獾?,所以的圖象過點(diǎn)的切線斜率為.結(jié)合函數(shù)圖象可知,當(dāng)?shù)娜≈捣秶菚r(shí),的圖象有四個(gè)不同的公共點(diǎn).故選:A.7.已知關(guān)于x的方程在上有兩解,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A. B. C. D.【解析】由的方程,則,,設(shè),,則,令,,則,即在上為增函數(shù),,,當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,,關(guān)于的方程在,上有兩解,,又,即,故選:B8.設(shè)函數(shù),若存在區(qū)間,使在上的值域是,則的取值范圍是()A. B. C. D.【解析】,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,遞增,當(dāng)時(shí),,遞減,故,故在區(qū)間上遞增,又∵,故在上單調(diào)遞增.∴在上的值域?yàn)椋帧呱系闹涤蚴牵?,,存在區(qū)間滿足題意,等價(jià)于方程在上至少有兩個(gè)不等正根,分離參數(shù)得,令,則題意等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線的圖象至少有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).,得,由得,當(dāng)?shù)?,得在遞減,在遞增,又∵當(dāng)時(shí),,趨近于時(shí),趨近于.∴題意等價(jià)于,∵,,,故選:B.二、多選題9.若函數(shù)的圖像和直線y=ax有四個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值可以是()A.4 B.2 C.0 D.【解析】當(dāng)時(shí),由得,即;當(dāng)時(shí),由得,此時(shí)是方程的一個(gè)根,當(dāng)時(shí),得,設(shè),所以原題等價(jià)于函數(shù)的圖像和直線有三個(gè)不同的交點(diǎn),當(dāng)時(shí),,由得,此時(shí)單調(diào)遞增;由得,此時(shí)單調(diào)遞減,故,取得極小值;當(dāng)時(shí),,作出的函數(shù)圖象,如圖:數(shù)形結(jié)合知:要使函數(shù)的圖像和直線有三個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a滿足或,結(jié)合選項(xiàng)知BD符合.故選:BD.10.已知函數(shù),,若,,則的可能取值為()A. B. C. D.【解析】由題意得,,,因?yàn)?,,易得f(x)在(-∞,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增,又當(dāng)x∈(,0)時(shí),f(x)<0,x∈(0,+∞)時(shí),f(x)>0,作函數(shù)的圖象如圖所示.由圖可知,當(dāng)t>0時(shí),有唯一解,故,且,∴,設(shè),則,令解得t=e,易得在(1,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,∴,即的取值范圍為.故選:BC.11.已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)),若關(guān)于的方程有且僅有四個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)的值可能為()A. B. C. D.【解析】設(shè),則是偶函數(shù),由已知=0有4個(gè)解,所以時(shí),有2個(gè)解.時(shí),,,顯然不是方程的解,因此有兩個(gè)正實(shí)根.設(shè),則,當(dāng)且時(shí),時(shí),,在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,時(shí),,是極小值,所以時(shí),,而且時(shí),,時(shí),,所以有兩個(gè)正實(shí)根時(shí),.只有CD滿足.故選:CD.12.已知函數(shù),,若關(guān)于的方程的解,則實(shí)數(shù)的可能取值為()A. B. C.0 D.1【解析】,,當(dāng)時(shí),,故在單調(diào)遞減,則恒成立,則當(dāng)時(shí),在無解,故C錯(cuò)誤;令,若,則時(shí),,此時(shí)恒成立,顯然D錯(cuò)誤;對于A,B,,.,當(dāng)時(shí),在上恒為正,故在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?,.∴在上存在唯一零點(diǎn),當(dāng),;,.∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.∴,而,故在上存在唯一零點(diǎn),A,B正確.故選:AB.三、填空題13.若函數(shù)的圖像與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是___.【解析】,所以當(dāng)和時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,極大值,極小值,的圖像與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn),所以,得14.函數(shù),若方程有一個(gè)解,則的取值范圍為__________.【解析】,,在上,,單調(diào)遞減;在上,,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),取得極小值.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)趨近于時(shí)趨近于,∴函數(shù)的圖象如圖所示.方程有一個(gè)解,等價(jià)于函數(shù)的圖象與水平直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),∴或15.已知函數(shù),,若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【解析】當(dāng)時(shí),,此時(shí),所以不是方程的根,當(dāng)時(shí),方程可化為:,設(shè),方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,即與函數(shù)的圖像有3個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞減,且,,當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.且時(shí),,,當(dāng)時(shí),,時(shí),.作出的圖象如圖.由圖可得:當(dāng)時(shí),與函數(shù)的圖像沒有交點(diǎn)當(dāng)時(shí),與函數(shù)的圖像有1個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí),與函數(shù)的圖像有2個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí),與函數(shù)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí),與函數(shù)的圖像有2個(gè)交點(diǎn)所以方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為16.已知關(guān)于x的方程在上有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______【解析】,,方程兩邊同時(shí)除以得,,令,,,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,由得出,則,設(shè),,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,當(dāng),則當(dāng),即時(shí),對應(yīng)方程有兩個(gè)解,,此時(shí)分別對應(yīng)兩個(gè),故方程有四解,即四、解答題17.已知函數(shù).(1)當(dāng)且時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若,關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根,求的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)的定義域是,.①當(dāng)時(shí),在上恒成立,在上恒成立,的增區(qū)間為,的減區(qū)間為.②當(dāng)時(shí),,在和上恒成立,在上恒成立.∴時(shí),的增區(qū)間為和,的減區(qū)間為.綜上所述,當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)若,,關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根,等價(jià)于的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn).,由解得或,由,解得.∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,∴,,又∵當(dāng)趨近于時(shí)趨近于,當(dāng)在定義域內(nèi)趨近于0時(shí),趨近于-,∴趨近于-,∴的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍是.18.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)函數(shù),求的解的個(gè)數(shù).【解析】(1)由,得,故,令,解得,令,解得,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2)令,則,若,則,在上單調(diào)遞減,而,故有1個(gè)零點(diǎn),若,可得時(shí),,時(shí),,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,令,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,而,故時(shí),,有2個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí),,有1個(gè)零點(diǎn),綜上,時(shí),有1個(gè)解,當(dāng)時(shí),有2個(gè)解.19.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)與圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?,?令,即,解得;令,即,解得.因此,函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間;(2)由已知得:在有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.令,,由得.當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)為減函數(shù);當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)為增函數(shù).所以,函數(shù)在處取得極小值,又,且,當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍,并證明.【解析】(1)由在上單調(diào)遞增,所以在上恒成立,即在上恒成立,令,即求,求導(dǎo),當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是,(2)當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,∴有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,令,則,令,得,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;所以時(shí),函數(shù)取得極小值,也即是最小值,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是,易知,∵,∴,∴,∴,∵令,則,∴在上單調(diào)遞增,故,即,∴,∴.21.已知函數(shù),其中.(1)若,求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;(2)設(shè)方程在上恰有個(gè)不等實(shí)根,求證:.【解析】(1)因?yàn)?,所以,由得,,?dāng)時(shí),,所以和時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,所以和時(shí),,單調(diào)遞減,綜上所述,當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為和,當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為,當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為和,(2)由得,令(),則由題意得與直線恰有個(gè)交點(diǎn),所以,令(),則易知單調(diào)遞減,,,所以存在,使得,此時(shí),所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;所以,因
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