2025屆河北省承德市第八中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

2025屆河北省承德市第八中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（）A. B.C.或 D.或2．直線x﹣y+3＝0的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.150°3．一個(gè)公司有8名員工，其中6名員工的月工資分別為5200，5300，5500，6100，6500，6600，另兩名員工數(shù)據(jù)不清楚，那么8位員工月工資的中位數(shù)不可能是（）A.5800 B.6000C.6200 D.64004．若隨機(jī)事件滿足，，，則事件與的關(guān)系是（）A.互斥 B.相互獨(dú)立C.互為對立 D.互斥且獨(dú)立5．若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．設(shè)雙曲線（）的焦距為12，則（）A.1 B.2C.3 D.47．已知空間向量，，，下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）①若與共線，與共線，則與共線；②若，，非零且共面，則它們所在的直線共面；⑧若，，不共面，那么對任意一個(gè)空間向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使得；④若，不共線，向量，則可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.A.0 B.1C.2 D.38．《米老鼠和唐老鴨》這部動(dòng)畫給我們的童年帶來了許多美好的回憶，令我們印象深刻.如圖所示，有人用3個(gè)圓構(gòu)成米奇的簡筆畫形象.已知3個(gè)圓方程分別為：圓圓，圓若過原點(diǎn)的直線與圓、均相切，則截圓所得的弦長為（）A B.C. D.9．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B.C. D.10．已知直線方程為，則其傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°11．在棱長為1的正方體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的點(diǎn)且滿足，則兩異面直線，所成角的余弦值是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則的最大值為（）A.9 B.12C.20 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)a為實(shí)數(shù)，若直線與直線平行，則a值為______.14．如圖，莖葉圖所示數(shù)據(jù)平均分為91，則數(shù)字x應(yīng)該是__________15．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線過焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，，則__________16．如圖所示，高爾頓釘板是一個(gè)關(guān)于概率的模型，每一黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間．小球每次下落時(shí)，將隨機(jī)的向兩邊等概率的落下．當(dāng)有大量的小球都落下時(shí)，最終在釘板下面不同位置收集到小球．現(xiàn)有5個(gè)小球從正上方落下，則恰有3個(gè)小球落到2號位置的概率是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，點(diǎn)（1）若點(diǎn)在圓外部，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的直線交圓于，兩點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線l的斜率18．（12分）已知點(diǎn)，圓C：，l：.（1）若直線過點(diǎn)M，且被圓C截得的弦長為，求該直線的方程；（2）設(shè)P為已知直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C作一條切線，切點(diǎn)為Q，求的最小值.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且短軸長為2.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，問是否存在直線l，使得F為的垂心，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.20．（12分）設(shè)等差數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，且滿足對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱這樣的數(shù)列具有性質(zhì)（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列是否具有性質(zhì)？并說明理由；（2）若，求出具有性質(zhì)的數(shù)列公差的所有可能值；（3）對于給定的，具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個(gè)，還是可以無窮多個(gè)？(直接寫出結(jié)論)21．（12分）為了符合國家制定的工業(yè)廢氣排放標(biāo)準(zhǔn)，某工廠在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用新工藝，對其排放的廢氣中的二氧化硫轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該工廠每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每處理一噸二氧化硫得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元（1）該工廠每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？（2）該工廠每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤：如果不獲利，則國家每月至少應(yīng)補(bǔ)貼多少元才能使工廠不虧損？22．（10分）已知圓C：，圓C與x軸交于A，B兩點(diǎn)（1）求直線y＝x被圓C所截得的弦長；（2）圓M過點(diǎn)A，B，且圓心在直線y＝x+1上，求圓M的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)切線的方程為，然后利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解即可.【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為1，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，即直線的方程為，不與圓相切，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，即所以，解得或所以切線的方程為或故選：C2、C【解析】先求斜率，再求傾斜角即可【詳解】解：直線的斜截式方程為，∴直線的斜率，∴傾斜角，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角與斜率，屬于基礎(chǔ)題3、D【解析】解：∵一個(gè)公司有8名員工，其中6名員工的月工資分別為5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴當(dāng)另外兩名員工的工資都小于5300時(shí),中位數(shù)為(5300+5500)÷2=5400，當(dāng)另外兩名員工的工資都大于5300時(shí),中位數(shù)為(6100+6500)÷2=6300，∴8位員工月工資的中位數(shù)的取值區(qū)間為[5400,6300]，∴8位員工月工資的中位數(shù)不可能是6400.本題選擇D選項(xiàng).4、B【解析】利用獨(dú)立事件，互斥事件和對立事件的定義判斷即可【詳解】解：因?yàn)?，，又因?yàn)?，所以有，所以事件與相互獨(dú)立，不互斥也不對立故選：B.5、A【解析】方程化為圓錐曲線（橢圓與雙曲線）標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后由方程表示雙曲線可得不等關(guān)系【詳解】解：方程可化為，它表示雙曲線，則，解得.故選：A6、B【解析】根據(jù)可得關(guān)于的方程，解方程即可得答案.【詳解】因?yàn)榭苫癁?，所以，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查已知雙曲線的焦距求參數(shù)的值，考查函數(shù)與方程思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】用向量共線或共面的基本定理即可判斷.【詳解】若與，與共線，，則不能判定，故①錯(cuò)誤；若非零向量共面，則向量可以在一個(gè)與組成的平面平行的平面上，故②錯(cuò)誤；不共面，意味著它們都是非零向量，可以作為一組基底，故③正確；，∴與共面，故不能組成一個(gè)基底，故④錯(cuò)誤；故選：C.8、A【解析】設(shè)直線，利用直線與圓相切，求得斜率，再利用弦長公式求弦長【詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線.由直線與圓、圓均相切，得解得(1).設(shè)點(diǎn)到直線的距離為則(2).又圓的半徑直線截圓所得弦長結(jié)合(1)(2)兩式，解得9、B【解析】根據(jù)雙曲線的方程，求得，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，所以，且雙曲線的焦點(diǎn)再軸上，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B.10、D【解析】由直線方程可得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設(shè)，直線斜率，若直線的傾斜角為，則，∵，∴.故選：D11、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)、、、和向量的、坐標(biāo)，運(yùn)用求異面直線余弦值的公式即可求出.【詳解】解：以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)第,則，，，，故,,，故兩異面直線，所成角的余弦值是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求異面直線所成角的余弦值，屬于中檔題.12、C【解析】先得到及遞推公式，要想最大，則分兩種情況，負(fù)數(shù)且最小或?yàn)檎龜?shù)且最大，進(jìn)而求出最大值.【詳解】①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，當(dāng)是公差為2的等差數(shù)列，且時(shí)，最小，最大，此時(shí)，所以，此時(shí)；當(dāng)且是公差為2的等差數(shù)列時(shí)，最大，最大，此時(shí)，所以，此時(shí)綜上：的最大值為20故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列相關(guān)的最值求解，要結(jié)合題干條件，使用不等式放縮，函數(shù)單調(diào)性或?qū)Ш瘮?shù)等進(jìn)行求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)兩直線平行得到，解方程組即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，解得，故答案為：.14、1【解析】結(jié)合莖葉圖以及平均數(shù)列出方程，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，解得，故答案為：1.15、【解析】拋物線焦點(diǎn)為,由于直線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),故直線斜率存在.根據(jù)拋物線的定義可知,故的縱坐標(biāo)為,橫坐標(biāo)為.不妨設(shè),故直線的方程為,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化簡得,解得,故.所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查拋物線的幾何性質(zhì)和定義.考查三角形面積公式.在解題過程中,先根據(jù)題目所給拋物線的方程求得焦點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用拋物線的定義:到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離,由此求得點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得直線的方程,聯(lián)立直線方程和拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo).最后求得面積比.16、【解析】先研究一個(gè)小球從正上方落下的情況，從而可求出一個(gè)小球從正上方落下落到2號位置的概率，進(jìn)而可求出5個(gè)小球從正上方落下，則恰有3個(gè)小球落到2號位置的概率【詳解】如圖所示，先研究一個(gè)小球從正上方落下的情況，11，12，13，14指小球第2層到第3層的線路圖，以此類推，小球所有的路線情況如下：01-11-21-31，01-11-21-32，01-11-22-33，01-11-22-34，01-12-23-33，01-12-23-34，01-12-24-35，01-12-24-36，02-14-26-38，02-14-26-37，02-14-25-35，02-14-25-36，02-13-24-36，02-13-24-35，02-13-23-34，02-13-23-33，共16種情況，其中落入2號位置的有4種，所以每個(gè)球落入2號位置的概率為，所以5個(gè)小球從正上方落下，則恰有3個(gè)小球落到2號位置的概率為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）最大值為2，【解析】（1）根據(jù)題意，將圓的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得，求解不等式組得答案；（2）當(dāng)時(shí)，圓的方程為，求出圓心與半徑，設(shè)，則，分析可得面積的最大值，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得圓心到直線的距離，設(shè)直線的方程為，即，由點(diǎn)到直線的距離公式列式求得的值【詳解】解：（1）根據(jù)題意，圓，即，若在圓外，則有，解得：，即的取值范圍為；（2）當(dāng)時(shí)，圓的方程為，圓心為，半徑，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，且其最大值為2，此時(shí)為等腰直角三角形，圓心到直線的距離，設(shè)直線的方程為，即，則有，解得，即直線的斜率【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一問解答過程中，容易忽視二元二次方程表示圓的條件，導(dǎo)致出錯(cuò)，解題的時(shí)候要考慮周全，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.18、（1）或（2）【解析】（1）求出圓的圓心到直線的距離，再利用垂徑定理計(jì)算列方程計(jì)算；（2）由題意可知當(dāng)最小時(shí)，連線與已知直線垂直，求出，再利用計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意可知圓的圓心到直線的距離為①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，圓的圓心到直線距離為1，滿足題意；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)過的直線方程為：，即由點(diǎn)到直線距離公式列方程得：解得綜上，過的直線方程為或.【小問2詳解】由題意可知當(dāng)最小時(shí)，連線與已知直線垂直，由勾股定理知：，所以的最小值為.19、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)離心率及短軸長，利用橢圓中的關(guān)系可以求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合已知和斜率公式，可以求出直線的方程.【小問1詳解】，，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由已知可得，，，∴，∵，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程整理得，設(shè)，，則，，∵，∴.即，因?yàn)椋?，?.所以，或.又時(shí)，直線過點(diǎn)，不合要求，所以.故存在直線：滿足題設(shè)條件.20、（1）數(shù)列具有性質(zhì)，理由見解析；（2），；（3）有限個(gè).【解析】（1）由題意，由性質(zhì)定義，即可知是否具有性質(zhì).（2）由題設(shè)，存在，結(jié)合已知得且，則，由性質(zhì)的定義只需保證為整數(shù)即可確定公差的所有可能值；（3）根據(jù)（2）的思路，可得且，由為整數(shù)，在為定值只需為整數(shù)，即可判斷數(shù)列的個(gè)數(shù)是否有限.【小問1詳解】由，對任意正整數(shù)，，說明仍為數(shù)列中的項(xiàng)，∴數(shù)列具有性質(zhì).【小問2詳解】設(shè)的公差為．由條件知：，則，即，∴必有且，則，而此時(shí)對任意正整數(shù)，，又必一奇一偶，即為非負(fù)整數(shù)因此，只要為整數(shù)且，那么為中的一項(xiàng).易知：可取，對應(yīng)得到個(gè)滿足條件的等差數(shù)列.【小問3詳解】同（2）知：，則，∴必有且，則，故任意給定，公差均為有限個(gè)，∴具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個(gè).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)性質(zhì)的定義，在第2、3問中判斷滿足等差數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合各項(xiàng)均為整數(shù)，判斷公差的個(gè)數(shù)是否有限即可.21、（1）600噸（2）該工廠不獲利，且需要國家每月至少補(bǔ)貼52500元才能使工廠不虧損【解析】（1）設(shè)該工廠每噸平均處理成本為z，，利用基本不等式求最值可得答案；（2）設(shè)該工廠每月的利潤為，利用配方求最值可得答案.【小問1詳解】設(shè)該工廠每噸平均處理成本為z，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，當(dāng)時(shí)，每噸平均處理成本最低.【小問2詳解】設(shè)該工廠每月的利潤為，則，∴，當(dāng)時(shí)，，所以該工廠不獲利，且需要國家每月至少補(bǔ)貼52500元才能使工廠不虧損.22、（1）；