河南省滑縣2025屆數學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

河南省滑縣2025屆數學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設等比數列，有下列四個命題：①{a②是等比數列；③是等比數列；④lgan其中正確命題的個數是（）A.1 B.2C.3 D.42．已知命題，則為（）A. B.C. D.3．在空間直角坐標系中，方程所表示的圖形是（）A圓 B.橢圓C.雙曲線 D.球4．設是等差數列，是其公差，是其前n項的和．若，，則下列結論不正確的是（）A. B.C. D.與均為的最大值5．過雙曲線的右焦點有一條弦是左焦點，那么的周長為（）A.28 B.C. D.6．已知等差數列中，，則（）A.15 B.30C.45 D.607．在平面上有及內一點O滿足關系式：即稱為經典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現有則O為的（）A.外心 B.內心C.重心 D.垂心8．若將一個橢圓繞其中心旋轉90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”，下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（）A. B.C. D.9．古希臘數學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓的面積為，、分別是的兩個焦點，過的直線交于、兩點，若的周長為，則的離心率為（）A. B.C. D.10．《周髀算經》中有這樣一個問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣日影長依次成等差數列，若冬至、大寒、雨水的日影長的和為36.3尺，小寒、驚蟄、立夏的日影長的和為18.3尺，則冬至的日影長為（）A4尺 B.8.5尺C.16.1尺 D.18.1尺11．在平面上給定相異兩點，設點在同一平面上且滿足，當且時，點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.現有雙曲線，為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線的虛軸端點，動點滿足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．橢圓的左、右焦點分別為、，上存在兩點、滿足，，則的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數列滿足，，，則公差______14．若直線:x-2y+1=0與直線:2x+my-1=0相互垂直，則實數m的值為________.15．古希臘數學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓的中心為原點，焦點，均在軸上，且，的面積為，則的標準方程為______16．已知斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點A，B，M為y軸上一點且滿足|MA|=|MB|，則點M的縱坐標的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）填寫函數的相關性質；定義域值域零點極值點單調性性質（2）通過（1）繪制出函數的圖像，并討論方程解的個數18．（12分）已知圓（1）若直線與圓C相交于A、B兩點,當弦長最短時,求直線l的方程;（2）若與圓C相外切且與y軸相切的圓的圓心記為D,求D點的軌跡方程19．（12分）已知數列的前n項和為，，且（1）求數列的通項公式；（2）令，記數列的前n項和為，求證：20．（12分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且的面積為（為坐標原點）（1）求拋物線的標準方程；（2）點、是拋物線上異于原點的兩點，直線、的斜率分別為、，若，求證：直線恒過定點21．（12分）已知橢圓左，右頂點分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點（1）若，證明：直線必過坐標原點；（2）設點是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點，記線段的中點為，若，求動點的軌跡方程22．（10分）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，與直線交于點Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若．證明：為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據等比數列的性質對四個命題逐一分析，由此確定正確命題的個數.【詳解】是等比數列可得（為定值）①為常數，故①正確②，故②正確③為常數，故③正確④不一定為常數，故④錯誤故選C.【點睛】本小題主要考查等比數列的性質，屬于基礎題.2、C【解析】將全稱命題否定為特稱命題即可【詳解】由題意，根據全稱命題與特稱命題的關系，可得命題，則，故選：C.3、D【解析】方程表示空間中的點到坐標原點的距離為2，從而可知圖形的形狀【詳解】由，得，表示空間中的點到坐標原點的距離為2，所以方程所表示的圖形是以原點為球心，2為半徑的球，故選：D4、C【解析】由已知條件可以得出，，，即可得公差，再利用等差數列的性質以及前n項的和的性質可判斷每個選項的正誤，進而可得正確選項.【詳解】由可得，由可得，故選項B正確；由可得，因為公差，故選項A正確，，所以，故選項C不正確；由于是等差數列，公差，，，，所以都是的最大值，故選項D正確；所以選項C不正確，故選：C5、C【解析】根據雙曲線方程得，，由雙曲線的定義，證出，結合即可算出△的周長【詳解】雙曲線方程為，，根據雙曲線的定義，得，，，，相加可得，，，因此△的周長，故選：C6、D【解析】根據等差數列的性質，可知，從而可求出結果.【詳解】解：根據題意，可知等差數列中，，則，所以.故選：D.7、B【解析】利用三角形面積公式，推出點O到三邊距離相等。【詳解】記點O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因為，則，即，又因為，所以，所以點P是△ABC的內心.故選：B8、A【解析】由題意可得，所給的橢圓中的，的值求出的值，進而判斷所給命題的真假【詳解】解：因為橢圓短的軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，即，即，中，，，所以，故，所以正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；故選：9、A【解析】本題首先可根據題意得出，然后根據的周長為得出，最后根據求出的值，即可求出的離心率.【詳解】因為橢圓的面積為，所以長半軸長與短半軸長的乘積，因為的周長為，所以根據橢圓的定義易知，，，，則的離心率，故選：A.10、C【解析】設等差數列，用基本量代換列方程組，即可求解.【詳解】由題意，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長依次成等差數列，記為數列，公差為d，則有，即，解得：，即冬至的日影長為16.1尺.故選：C11、C【解析】先求動點的軌跡方程，再根據面積的最大值求得，根據的面積最小值求，由此可求雙曲線的離心率.【詳解】設，，,依題意得,即,兩邊平方化簡得,所以動點的軌跡是圓心為,半徑的圓，當位于圓的最高點時的面積最大，所以,解得；當位于圓的最左端時的面積最小，所以,解得,故雙曲線的離心率為.故選:C.12、A【解析】作點關于原點的對稱點，連接、、、，推導出、、三點共線，利用橢圓的定義可求得、、、，推導出，利用勾股定理可得出關于、的齊次等式，即可求得該橢圓的離心率.【詳解】作點關于原點的對稱點，連接、、、，則為、的中點，故四邊形為平行四邊形，故且，則，所以，，故、、三點共線，由橢圓定義，，有，所以，則，再由橢圓定義，有，因為，所以，在中，即，所以，離心率故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據等差數列性質求得，再根據題意列出相關的方程組，解得答案.【詳解】為等差數列，故由可得：，即，故，故，所以，解得，故答案為：214、1【解析】由兩條直線垂直可知，進而解得答案即可.【詳解】因為兩條直線垂直，所以.故答案為：1.15、【解析】利用待定系數法列出關于的方程解出即可得結果.【詳解】設的標準方程為，則解得所以的標準方程為故答案為：.16、【解析】設直線的方程為，由消去并化簡得，設，，，解得..由于，所以是垂直平分線與軸的交點，垂直平分線方程為，令得，由于，所以.也即的縱坐標的取值范圍是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）利用導數判斷函數的性質；（2）由函數性質繪制函數的圖象，并將方程轉化為，即轉化為與的交點個數.【小問1詳解】函數的定義域是，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以當時，函數取得極大值，同時也是函數的最大值，，當時，，當時，，函數的值域是，，得，所以函數的零點是，定義域值域零點極值點單調性性質單調遞增區(qū)間，單調遞減區(qū)間【小問2詳解】函數的圖象如圖，，即，方程解的個數，即與的交點個數，當時，無交點，即方程無實數根；當或時，有一個交點，即方程有一個實數根；當時，有兩個交點，即方程有兩個實數根.18、（1）（2）【解析】(1)先求出直線過的定點,再根據弦長|AB|最短時,求解.(2)用直譯法求解【小問1詳解】直線即,所以直線過定點.當弦長|AB|最短時,因為直線PC的斜率所以此時直線的斜率所以當弦長|AB|最短時,求直線的方程為,即【小問2詳解】設,易知圓心D在軸上方,圓D半徑為因為圓與圓外切,所以即整理得點的軌跡方程為19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）依題意可得，即可得到是以為首項，為公比的等比數列，從而求出數列的通項公式；（2）由（1）可得，利用錯位相減法求和，即可證明；【小問1詳解】解：因為，，所以，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，所以①，所以②；①②得所以；20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由點在拋物線上可得出，再利用三角形的面積公式可得出關于的等式，解出正數的值，即可得出拋物線的標準方程；（2）設點、，利用斜率公式結合已知條件可得出的值，分析可知直線不與軸垂直，可設直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯立，利用韋達定理求出的值，即可得出結論.【小問1詳解】解：拋物線的焦點為，由已知可得，則，，，解得，因此，拋物線的方程為.【小問2詳解】證明：設點、，則，可得.若直線軸，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.設直線的方程為，聯立，可得，由韋達定理可得，可得，此時，合乎題意.所以，直線的方程為，故直線恒過定點.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設，首先證明，從而可得到，即得到；進而可得到四邊形為平行四邊形；再根據為的中點，即可證明直線必過坐標原點（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯立，消元，寫韋達；根據條件可求出直線MN過定點，從而可得到過定點，進而可得到點在以為直徑的圓上運動，從而可求出動點的軌跡方程【小問1詳解】設，則，即因為，，所以因為，所以，所以.同理可證.因為，，所以四邊形為平行四邊形，因為為的中點，所以直線必過坐標原點【小問2詳解】當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，聯立，整理得，則，，.因為，所以，因為，解得或.當時，直線的方程為過點A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過定點.當直線的斜率不存在時，因為，所以直線的方程為，經驗證，符合題意.故直線過定點.因為為的中點，為的中點，所以過定點.因為垂直平分公共弦，所以點在以為直徑的圓上運動，該圓的半徑，圓心坐標為，故動點的軌跡方程為22、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據橢圓離心率和橢圓經過的點建