第1章《豐富的圖形世界》

20222023學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級上冊章節(jié)考點精講精練第1章《豐富的圖形世界》知識互聯(lián)網(wǎng)知識互聯(lián)網(wǎng)知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航知識點01:立體圖形定義：圖形的各部分不都在同一平面內(nèi)，這樣的圖形就是立體圖形，如長方體、圓柱、圓錐、球等．棱柱、棱錐也是常見的立體圖形．細(xì)節(jié)剖析常見的立體圖形有兩種分類方法：棱柱的相關(guān)概念：在棱柱中，相鄰兩個面的交線叫做棱，相鄰兩個側(cè)面的交線叫做側(cè)棱．通常根據(jù)底面圖形的邊數(shù)將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它們底面圖形的形狀分別為三角形、四邊形、五邊形、六邊形……（如下圖）細(xì)節(jié)剖析（1）棱柱所有側(cè)棱長都相等．棱柱的上、下底面的形狀相同，側(cè)面的形狀都是平行四邊形．（2）長方體、正方體都是四棱柱．（3）棱柱可分為直棱柱和斜棱柱．直棱柱的側(cè)面是長方形，斜棱柱的側(cè)面是平行四邊形．3．點、線、面、體：長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體,幾何體也簡稱體；包圍著體的是面,面有平的面和曲的面兩種；面和面相交的地方形成線，線也分為直線和曲線兩種；線和線相交的地方形成點．從上面的描述中我們可以看出點、線、面、體之間的關(guān)系．此外，從運動的觀點看：點動成線，線動成面，面動成體．知識點02:展開與折疊有些立體圖形是由一些平面圖形圍成，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖．細(xì)節(jié)剖析(1)不是所有的立體圖形都可以展成平面圖形．例如，球便不能展成平面圖形．(2)不同的立體圖形可展成不同的平面圖形；同一個立體圖形，沿不同的棱剪開，也可得到不同的平面圖．知識點03:截一個幾何體用一個平面去截一個幾何體，截出的面叫做截面．截面的形狀可能是三角形、四邊形、五邊形、六邊形或圓等等．知識點04:從三個方向看物體的形狀一般是從以下三個方向：(1)從正面看；(2)從左面看；(3)從上面看．（如下圖）考點提優(yōu)練考點提優(yōu)練考點01：點、線、面、體1．（2022春?綏棱縣期末）長方形長5厘米，寬3厘米，以寬為軸旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱的體積是（）立方厘米．A．225.5 B．235.5 C．245.5 D．255.5解：由題意可知，圓柱體的底面半徑為5厘米，高為3厘米，所以體積為π×52×3＝75π≈235.5（立方厘米），故選：B．2．（2021秋?宣漢縣期末）在朱自清的《春》中描寫春雨“像牛毛、像花針、像細(xì)絲，密密麻麻地斜織著”的語句，這里把雨看成了線，這說明了（）A．點動成線 B．線動成面 C．面動成體 D．以上都不對解：在朱自清的《春》中描寫春雨“像牛毛、像花針、像細(xì)絲，密密麻麻地斜織著”的語句，這里把雨看成了線，這說明了：點動成線，故選：A．3．（2021秋?蘇州期末）將一個長方形繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是圓柱體．解：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，形成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱體．故答案為：圓柱體．4．（2020秋?碑林區(qū)校級期末）如圖，三邊長分別為3cm，4cm，5cm的直角三角形，繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積為9.6πcm3．（結(jié)果保留π）解：如圖．∵OB⊥AC，∠ABC＝90°，∴OB＝＝，幾何體的體積為×π×（）2×5＝9.6π（cm3）．故答案為：9.6π．5．（2019秋?蘭州期末）如圖所示，已知直角三角形紙板ABC，直角邊AB＝4cm，BC＝8cm．（1）將直角三角形紙板繞三角形的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，能得到3種大小不同的幾何體？（2）分別計算繞三角形直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體的體積？（圓錐的體積＝πr2h，其中π取3）解：（1）將直角三角形紙板ABC繞三角形的三條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，能得到3種大小不同的幾何體．故答案為：3．（2）以AB為軸：×3×82×4＝×3×64×4＝256（立方厘米）；以BC為軸：×3×42×8＝×3×16×8＝128（立方厘米）．答：以AB為軸得到的圓錐的體積是256立方厘米，以BC為軸得到的圓錐的體積是128立方厘米．6．（2012秋?羅平縣期末）如圖，第二行的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，便能形成第一行的某個幾何體，請把相對應(yīng)的圖形和幾何體用線連起來．解：連接后的圖形如下：．考點02：幾何體的表面積7．（2021?蘇州二模）某幾何體的主視圖和俯視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積是（）A．60πcm2 B．65πcm2 C．90πcm2 D．120πcm2解：由圖象可得圓錐底面半徑r＝5cm，則母線l長為：＝13cm，∴側(cè)面積S＝πrl＝5×13π＝65π（cm2），故選：B．8．（2018秋?寧陽縣期末）如圖，把一個高6分米的圓柱的底面分成許多相等的扇形，然后把圓柱切開，拼成一個與它等底等高的近似長方體，它的表面積比圓柱體的表面積增加了36平方分米．原來這個圓柱的體積是（）立方分米．A．105π B．54π C．36π D．18π解：∵近似長方體的表面積比圓柱體的表面積增加了36平方分米，∴圓柱體的半徑為：36÷2÷6＝3（分米），∴圓柱的體積為：π×32×6＝54π（立方分米），故選：B．9．（2022?婺城區(qū)一模）已知圓柱形瓶子的底面半徑為cm．其側(cè)面貼合了一條寬為3cm的環(huán)形裝飾帶．（1）如圖1，若裝飾帶水平環(huán)繞，則瓶子側(cè)面被裝飾帶覆蓋的面積為72cm2；（2）如圖2，若裝飾帶斜貼側(cè)面環(huán)繞，裝飾帶的最高點與最低點高度差為4cm，則瓶子側(cè)面被裝飾帶覆蓋的面積為cm2．解：（1）圖1的圓柱形瓶子的側(cè)面展開圖如圖所示．∵圓柱形瓶子的底面半徑為cm，∴底面周長為2π×＝24cm，即長方形的長為24cm，∴AC＝24cm，∵環(huán)形裝飾帶的寬為3cm，即CD＝3cm，∴瓶子側(cè)面被裝飾帶覆蓋的面積為24×3＝72（cm2）．故答案為：72．（2）圖2的圓柱形瓶子的側(cè)面展開圖如圖所示．過點C作CE⊥DF于E．由題意，可得DB＝4cm，CE＝3cm，AB＝12cm，四邊形ACDF是平行四邊形，∴∠FAC＝∠EDC，∵∠FAC+∠CAB＝90°，∠EDC+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠CAB，易得△ABC∽△CED，∴．設(shè)CD＝x，則BC＝4﹣x，在Rt△CDE中，ED＝＝，∴，解得，（舍去），∴FA＝CD＝，∴瓶子側(cè)面被裝飾帶覆蓋的面積為24×＝cm2．故答案為：．10．（2020?市南區(qū)二模）如圖所示，一個長方體的長、寬、高分別是3cm，3cm，5cm，在這個長方體每個面的中心位置，從前到后，從左到右，從上到下分別打一個邊長為1cm的正方形通孔，那么打孔后的長方體的表面積為104cm2．解：打孔后的長方體的表面積＝2×（3×3+3×5+3×5）﹣6+8×（1×1）+8×（1×1）+8×（2×1）＝104（cm2）11．（2018秋?雙流區(qū)校級月考）將一個長方形繞它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是圓柱，現(xiàn)在有一個長為4cm，寬為3cm的長方形，分別繞它的長、寬所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到不同的圓柱體，它們的表面積分別是多大？（結(jié)果保留π）解：情況①：π×3×2×4+π×32×2＝24π+18π＝42π（cm2）；情況②：π×4×2×3+π×42×2＝24π+32π＝56π（cm2）．答：它們的表面積分別是42πcm2或56πcm2．12．（2016秋?普寧市期中）已知正方體的棱長為a．（1）一個正方體的表面積是多少？體積是多少？（2）2個正方體（如圖②）疊放在一起，它的表面積是多少？體積是多少？（3）n個正方體按照圖②的方式疊放在一起，它的表面積是多少？體積是多少？解：（1）依題意得：正方體的表面積＝6×正方形的面積＝×26a2，體積＝a3；（2）2個正方體疊放在一起，它的表面積＝6a2×2﹣2a2＝10a2，體積＝2a3；（3）n個正方體的方式疊放在一起，它的表面積＝n?6a2﹣（n﹣1）?2a2＝（4n+2）a2，體積＝na3．考點03：展開圖折疊成幾何體13．（2022?六盤水）如圖，裁掉一個正方形后能折疊成正方體，但不能裁掉的是（）A．① B．② C．③ D．④解：如圖，裁掉一個正方形后能折疊成正方體，但不能裁掉的是①，故選：A．14．（2022?館陶縣二模）已知圖1所示的平面圖形可以折疊成圖2所示的正方體，則小正方形P的圖案是（）A． B． C． D．解：觀察圖形可知，小正方形P的圖案是．故選：D．15．（2022?邯山區(qū)模擬）如圖是一個不完整的正方體平面展開圖，需再添上一個面，折疊后才能圍成一個正方體．下列添加方式（圖中陰影部分）正確的是（）A． B． C． D．解：選項A，B，C折疊后有一行兩個面無法折起來，而且都缺少一個面，不能折成正方體．選項D可折成正方體．故選：D．16．（2020秋?未央?yún)^(qū)校級期末）如圖是一個正方體紙盒的展開圖，當(dāng)折成紙盒時，與數(shù)11重合的數(shù)是1和7．解：由正方體展開圖的特征得出，折疊成正方體后，點11所在的正方形分別和點7、點1所在的兩個正方形相交，故點1與點7、點1重合．故答案為1和7；17．（2020秋?濟南期中）圖1和圖2中所有的正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中的①、②、③、④某一位置，所組成的圖形不能圍成正方體的位置是①．解：將圖1的正方形放在圖2中的①的位置出現(xiàn)重疊的面，所以不能圍成正方體．故答案為：①．18．（2018秋?江寧區(qū)期末）如圖，將一張長為17，寬為11的長方形紙片，去掉陰影部分，恰可以圍成一個寬是高2倍的長方體紙盒，這個長方體紙盒的容積是56．解：設(shè)長為y，高為x，則寬為2x，依題意得，解得，∴這個長方體紙盒的容積是4×2×7＝56，故答案為：56．19．（2021秋?思明區(qū)校級期末）小明在學(xué)習(xí)了《展開與折疊》這一課后，明白了很多幾何體都能展開成平面圖形．于是他在家用剪刀展開了一個長方體紙盒，可是一不小心多剪了一條棱，把紙盒剪成了兩部分，即圖中的①和②．根據(jù)你所學(xué)的知識，回答下列問題：（1）小明總共剪開了8條棱．（2）現(xiàn)在小明想將剪斷的②重新粘貼到①上去，而且經(jīng)過折疊以后，仍然可以還原成一個長方體紙盒，你認(rèn)為他應(yīng)該將剪斷的紙條粘貼到①中的什么位置？請你幫助小明在①上補全．（畫出一種情況即可）（3）小明說：他剪的所有棱中，最短的一條棱長為a，最長的一條棱是最短的一條棱的5倍．已知紙盒的底面是一個正方形，并且這個長方體紙盒所有棱長的和是88cm，求a的值及長方體紙盒的體積．解（1）小明共剪了8條棱，故答案為：8．（2）如圖，四種情況．（3）∵長方體紙盒的底面是一個正方形，∴設(shè)最短的棱長高為acm，則長與寬相等為5acm，∵長方體紙盒所有棱長的和是88cm，∴4（a+5a+5a）＝88，解得a＝2，∴這個長方體紙盒的體積為2×10×10＝200（cm3）．20．（2021秋?臨淄區(qū)期中）（1）如圖1四個幾何體分別是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5個面，9條棱，6個頂點，觀察圖形，并解答：四棱柱有6個面，12條棱，8個頂點；六棱柱有8個面，18條棱，12個頂點；由此猜想n棱柱有（n+2）個面，3n條棱，2n個頂點．（2）如圖2，小華用若干個正方形和長方形準(zhǔn)備拼成一個長方體的展開圖．拼完后，小華看來看去總覺得所拼圖形似乎存在問題．請你幫小華分析一下拼圖是否存在問題：若有多余塊，則把圖中多余部分涂黑；若還缺少，則直接在原圖中補全；若圖中的正方形邊長為2.1cm，長方形的長為3cm，寬為2.1cm，請直接寫出修正后所折疊而成的長方體的體積：13.23cm3．解：（1）四棱柱有6個面，12條棱，8個頂點；六棱柱有8個面，18條棱，12個頂點；由此猜想n棱柱有（n+2）個面，3n條棱，2n個頂點．故答案為：6，12，8；8，18，12；（n+2），3n，2n；（2）拼圖存在問題，如圖：多了一個正方形．折疊而成的長方體的體積為：3×2.1×2.1＝13.23（cm3）．故答案為：13.23．考點04：截一個幾何體21．（2021秋?七里河區(qū)校級期末）用一個平面去截一個正方體，截面的形狀不可能是（）A．正方形 B．圓形 C．三角形 D．長方形解：用一個平面去截一個正方體，截面的形狀不可能是圓形，故選：B．22．（2021秋?金水區(qū)校級期末）用一個平面去截一個三棱柱，所得截面的邊數(shù)最少是a條，最多是b條，下列的選項中正確的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝6 B．a(chǎn)＝2，b＝5 C．a(chǎn)＝3，b＝5 D．a(chǎn)＝4，b＝6解：用一個平面去截一個三棱柱，所得截面的邊數(shù)最少是3條，最多是5條，所以，a＝3，b＝5，故選：C．23．（2021秋?陳倉區(qū)期中）用一個平面截一個幾何體，截面中有圓，這個幾何體可以是球或圓柱或圓錐．．（寫一個即可）解：圓柱體，圓錐體用平行于底面的平面去截，可得到圓形的截面，用一個平面去截球體，所得任意截面都是圓．故答案為：球或圓柱或圓錐．24．（2021?膠州市一模）如圖，一個正方體形狀的木塊，棱長為2米，若沿正方體的三個方向分別鋸成3份、4份和5份，得到若干個大大小小的長方體木塊，則所有這些長方體木塊的表面積和是96平方米．解：沿水平方向?qū)⑺彸?片，是切割了2刀，同理，每片又鋸成4長條，是切了3刀，每條又鋸成5小塊，是切了4刀，所以一共切了2+3+4＝9（刀），所以這60個小長方體的表面積之和是：6×4+18×4＝96（平方米）．故答案為：96．25．（2020秋?雁塔區(qū)校級月考）如圖，將一個正方體截去一個角變成一個多面體，則這個多面體有10個頂點．解：正方體有8個頂點，將這個正方體按照如圖所示的方式截去一個角后，所得到的多面體的頂點數(shù)為8﹣1+3＝10，故答案為：10．26．（2019?黃巖區(qū)二模）如圖，一個5×5×5的正方體，先在它的前后方向正中央開鑿一個“十字形”的孔（打通），再在它的上下方向正中央也開鑿一個“十字形”的孔（打通），最后在它的左右方向正中央開鑿一個“十字形”的孔（打通），這樣得到一個被鑿空了的幾何體，則所得幾何體的體積為76．解：如圖所示：該正方體可按如圖方式分割，則體積為（1×1×1）×（8×8+12）＝1×76＝76故所得幾何體的體積為76．故答案為：76．27．（2021秋?龍口市期中）如圖，在棱長分別為2cm，3cm，4cm的長方體中截掉一個棱長為1cm的正方體，求剩余幾何體的表面積．解：（2×3+2×4+3×4）×2＝（6+8+12）×2＝26×2＝52（cm2），答：剩余幾何體的表面積為52cm2．28．（2017秋?鐵西區(qū)期中）我們知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等邊三角形．如圖，大正三棱柱的底面周長為10，截取一個底面周長為3的小正三棱柱．（1）請寫出截面的形狀；（2）請直接寫出四邊形DECB的周長．解：（1）由題可得，截面的形狀為長方形；（2）∵△ADE是周長為3的等邊三角形，∴DE＝AD＝1，又∵△ABC是周長為10的等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝，∴DB＝EC＝﹣1＝，∴四邊形DECB的周長＝1+×2+＝9．考點05：由三視圖判斷幾何體29．（2022?五華區(qū)校級三模）如圖是一個幾何體的立體圖及其三視圖，則這個幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．解：觀察圖形可知，這個幾何體的俯視圖是．故選：B．30．（2022?新華區(qū)校級四模）一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正三角形，則該幾何體的左視圖中a的值為（）A．1.8 B．1.7 C． D．2解：如圖，由圖形中所標(biāo)識的數(shù)據(jù)可知，在俯視圖中，AB＝2，△ABC是正三角形，過點C作CM⊥AB于M，∴AM＝BM＝AB＝1，∴CM＝AM＝，即左視圖中a的值為．故選：C．31．（2021秋?溧陽市期末）如圖所示是一個幾何體的三視圖，若這個幾何體的體積是6，則它的表面積是22．解：∵由主視圖得出長方體的長是3，寬是1，這個幾何體的體積是6，∴設(shè)高為h，則1×3×h＝6，解得：h＝2，∴它的表面積是：1×3×2+3×2×2+1×2×2＝22．故答案為：22．32．（2