第07講二次函數(shù)與一元二次方程（知識解讀真題演練課后鞏固）（原卷版）3

第07講二次函數(shù)與一元二次方程會用圖象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關系；經歷探索驗證二次函數(shù)與一元二次方程的關系的過程，學會用函數(shù)的觀點去看方程和用數(shù)形結合的思想去解決問題．會求拋物線與x軸交點的坐標，掌握二次函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系；經歷探索驗證二次函數(shù)與一元二次方程的關系的過程，學會用函數(shù)的觀點去看方程和用數(shù)形結合的思想去解決問題．知識點1二次函數(shù)與一元二次方程的關系1.二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點坐標，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時二次函數(shù)就轉化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點的個數(shù)，它們的關系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點坐標根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點，且，此時稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點，此時稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根△＜0拋物線與x軸無交點，此時稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實數(shù)范圍內無解（或稱無實數(shù)根）注意：二次函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)由的值來確定的.當二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點時，，方程有兩個不相等的實根；(2)當二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點時，，方程有兩個相等的實根；(3)當二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點時，，方程沒有實根.2.拋物線與直線的交點問題拋物線與x軸的兩個交點的問題實質就是拋物線與直線的交點問題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．拋物線(a≠0)與y軸的交點是(0，c)．拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點個數(shù)由方程組的解的個數(shù)決定．（1）當方程組有兩組不同的解時兩函數(shù)圖象有兩個交點；（2）當方程組有兩組相同的解時兩函數(shù)圖象只有一個交點；（3）當方程組無解時兩函數(shù)圖象沒有交點．總之，探究直線與拋物線的交點的問題，最終是討論方程(組)的解的問題．注意：求兩函數(shù)圖象交點的問題主要運用轉化思想，即將函數(shù)的交點問題轉化為求方程組解的問題或者將求方程組的解的問題轉化為求拋物線與直線的交點問題．知識點2：利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解用圖象法解一元二次方程的步驟：1.作二次函數(shù)的圖象，由圖象確定交點個數(shù)，即方程解的個數(shù)；2.確定一元二次方程的根的取值范圍．即確定拋物線與x軸交點的橫坐標的大致范圍；3.在(2)確定的范圍內，用計算器進行探索.即在(2)確定的范圍內，從大到小或從小到大依次取值，用表格的形式求出相應的y值．4.確定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所對應的x值即是一元二次方的近似根．注意：求一元二次方程的近似解的方法（圖象法）：(1)直接作出函數(shù)的圖象，則圖象與x軸交點的橫坐標就是方程的根；(2)先將方程變?yōu)樵僭谕蛔鴺讼抵挟嫵鰭佄锞€和直線圖象交點的橫坐標就是方程的根；(3)將方程化為，移項后得，設和，在同一坐標系中畫出拋物線和直線的圖象，圖象交點的橫坐標即為方程的根.知識點3：點拋物線與不等式的關系二次函數(shù)(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關系如下：【題型1：二次函數(shù)與x軸交點問題】【典例1】（2023?遵義三模）二次函數(shù)y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的圖象與x軸的交點情況是（）A．有1個交點 B．有2個交點 C．無交點 D．無法確定【變式11】（2023?遵義三模）二次函數(shù)y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的圖象與x軸的交點情況是（）A．有1個交點 B．有2個交點 C．無交點 D．無法確定【變式12】（2023?汝陽縣一模）二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+2的圖象與x軸有兩個不同交點，則a可以是（）A．0 B．1 C．2 D．3【變式13】（2023?雨山區(qū)校級一模）若函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣x+1（a為常數(shù)）的圖象與x軸有且只有一個交點，那么a滿足（）A．a＝且a≠1 B．a＝ C．a＝1 D．a＝或a＝1【典例2】（2023?河西區(qū)二模）拋物線y＝x2﹣4x+3與x軸的交點坐標為（）A．（0，3） B．（2，0） C．（1，0）和（3，0） D．（﹣1，0）和（﹣3，0）【變式21】（2022秋?東麗區(qū)期末）二次函數(shù)y＝2x2﹣8x+m的圖象與x軸有兩個交點，若其中一個交點的坐標為（﹣1，0），則另一個交點坐標為（）A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（5，0） D．（9，0）【變式22】（2022秋?太和縣期末）若二次函數(shù)y＝a（x+1）2+k的圖象與x軸交于A（﹣3，0），B兩點，則點B的坐標是（）A．（1，0） B．（2，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）【題型2:圖像法確定一元二次方程的根】【典例3】（2022秋?即墨區(qū)校級期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的y與x的部分對應值如表：x3.233.243.253.26y﹣0.06﹣0.08﹣0.030.09判斷方程ax2+bx+c＝0.02的一個解x的取值范圍是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26【變式31】（2022秋?夏津縣期中）如下表給出了二次函數(shù)y＝x2+2x﹣9中，x，y的一些對應值，則可以估計一元二次方程x2+2x﹣9＝0的一個近似解（精確到0.1）為（）x……22.12.22.32.4……y……﹣1﹣0.390.240.891.56……A．﹣4 B．2.2 C．﹣4.2 D．﹣4.3【變式32】（2022秋?荊門期末）一元二次方程2x2﹣x﹣2＝0的近似根可以看做是下列哪兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標（）A．y＝2x2和y＝x+2 B．y＝2x2和y＝﹣x﹣2 C．y＝﹣2x2和y＝x+2 D．y＝﹣2x2和y＝﹣x+2【題型3：已知函數(shù)值y求X的取值范圍】【典例4】（2022秋?西湖區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，函數(shù)值y與自變量x的部分對應值如表：x…﹣10123…y…188202…則當y＞8時，x的取值范圍是（）A．0＜x＜4 B．0＜x＜5 C．x＜0或x＞4 D．x＜0或x＞5【變式41】（2023?博興縣模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函數(shù)y與自變量x的部分對應值如下表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…當y＜5時，自變量x的取值范圍是（）A．x＜﹣2 B．﹣1＜x＜5 C．x＞4 D．﹣2＜x＜4【變式42】（2023?阿瓦提縣模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）經過點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1．若y＜0，則x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜1 D．x＜﹣1或x＞3【變式43】（2022秋?西崗區(qū)校級期末）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c≥0的解集是（）A．1＜x＜5 B．x≤5 C．﹣1≤x≤5 D．x＜﹣1或x＞5【題型4：二次函數(shù)與不等式的關系】【典例5】（2023?鄒城市一模）如圖是二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c和一次函數(shù)y2＝mx+n的圖象，觀察圖象寫出y2＞y1時，x的取值范圍（）A．x≥0 B．0≤x≤1 C．﹣2＜x＜1 D．x≤1【變式51】（2023春?蘇州月考）如圖，已知拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）兩點，則關于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3【變式52】（2022秋?仙居縣期末）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）兩點，則不等式ax2+bx﹣h≥kx﹣c的取值范圍是．【變式53】（2022秋?大興區(qū)校級期末）某二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c（a≠0）Z的圖象與直線y2＝kx+m（k≠0）相交于點M、N，則當y1＜y2時，自變量x的取值范圍是．【題型5:二次函數(shù)綜合】【典例6】（2023?牡丹區(qū)二模）已知拋物線y＝﹣x2+bx+4的對稱軸是直線x＝3，與x軸相交于A，B兩點（點B在點A右側），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B、C重合），是否存在點P，使四邊形PBOC的面積最大？若存在，求點P的坐標及四邊形PBOC面積的最大值；若不存在，請說明理由．【變式61】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的一個交點為A（3，0），與y軸的交點為B（0，3），其頂點為C，對稱軸為x＝1．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷△ABC的形狀；（3）已知點M為線段AB上方拋物線上的一個動點，請寫出△ABM面積關系式，并求出當△ABM面積最大時點M的坐標．【變式62】如圖，二次函數(shù)y＝（t﹣1）x2+（t+1）x+2（t≠1），x＝0與x＝3時的函數(shù)值相等，其圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸正半軸交于C點．（1）求二次函數(shù)的解析式．（2）在第一象限的拋物線上求點P，使得S△PBC最大．（3）點P是拋物線上x軸上方一點，若∠CAP＝45°，求P點坐標．1．（2021?銅仁市）已知直線y＝kx+2過一、二、三象限，則直線y＝kx+2與拋物線y＝x2﹣2x+3的交點個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．1個或2個2．（2023?武功縣模擬）在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+x﹣5與y＝x2+（m+n）x﹣5（m＞0＞n）關于y軸對稱，則拋物線y＝mx2+2nx+m與x軸的交點情況是（）A．沒有或有一個交點 B．只有一個交點 C．有兩個交點 D．沒有交點3．（2023?上虞區(qū)模擬）已知二次方程x2+bx+c＝0的兩根為﹣1和5，則對于二次函數(shù)y＝x2+bx+c，下列敘述正確的是（）A．當x＝2時，函數(shù)的最大值是9 B．當x＝﹣2時，函數(shù)的最大值是9 C．當x＝2時，函數(shù)的最小值是﹣9 D．當x＝﹣2時，函數(shù)的最小值是﹣94．（2023?城中區(qū)三模）已知關于x的一元二次方程x2+2x+c＝0無實數(shù)根，則拋物線y＝x2﹣2x+c的頂點所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2021?麗水模擬）根據(jù)下列表格中二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對應值，x6.176.186.196.20y＝ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04判斷方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍可能是（）A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.206．（2023?邵陽縣二模）已知如圖，平面直角坐標系中，一條直線y2與拋物線y1相交于、兩點，求當y1＞y2時的x的取值范圍是．7．（2023?瀘縣二模）已知二次函數(shù)y＝﹣2x2﹣4x+5，當函數(shù)值y隨x值的增大而增大時，x的取值范圍是．8．（2022?鹽城）若點P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2+2x+2的圖象上，且點P到y(tǒng)軸的距離小于2，則n的取值范圍是．9．（2023?梧州一模）如圖，直線y＝kx+h與拋物線y＝ax2+bx+c交于A（﹣2，m），B（6，n）兩點，則關于x的不等式h＜ax2+（b﹣k）x+c的解集是．10．（2023?二道區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線和直線y2＝kx（k＞0）交于點O和點A．若點A的橫坐標是3，則﹣kx+2k＞ax2﹣2ax的解集為．1．（2023?匯川區(qū)三模）二次函數(shù)y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的圖象與x軸的交點情況是（）A．有1個交點 B．有2個交點 C．無交點 D．無法確定2．（2023?德城區(qū)三模）拋物線y＝ax2+bx+c上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如表．下列結論不正確的是（）x﹣2﹣101y0466A．拋物線的開口向下 B．拋物線與x軸的一個交點坐標為（2，0） C．拋物線的對稱軸為直線x＝ D．函數(shù)y＝ax2+bx+c的最大值為3．（2022秋?鄲城縣期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，可知方程ax2+bx+c＝0的所有解的積為（）A．﹣4 B．4 C．﹣5 D．54．（2023春?海淀區(qū)校級期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，當y＜0時，x的取值范圍是（）A．﹣1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜﹣1或x＞25．（2022秋?如皋市期末）如表給出了二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些對應值，則可以估計一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個近似解x1的范圍為（）x…1.21.31.41.51.6…y…﹣1.16﹣0.71﹣0.240.250.76…A．1.2＜x1＜1.3 B．1.3＜x1＜1.4 C．1.4＜x1＜1.5 D．1.5＜x1＜1.66．（2023秋?泉山區(qū)校級月考）y是x的二次函數(shù)，其對應值如下表：x…﹣101234…y…4m0149…下列敘述不正確的是（）A．該二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x＝1 B．m＝1 C．當x＞3時，y隨x的增大而增大 D．圖象與x軸有兩個公共點7．（2023秋?瑤海區(qū)校級期中）二次函數(shù)y＝x2+3x+n的圖象與x軸有一個交點在y軸右側，則n的值可以是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．48．（2023秋?叢臺區(qū)校級月考）拋物線y＝﹣（2x﹣1）（x+3）與x軸的兩個交點之間的距離是（）A． B．2 C． D．49．（2023秋?海淀區(qū)校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點A，B，C．下列四個結論中，所有正確結論的序號是（）①拋物線開口向上；②當x＝﹣2時，y取最大值；③當m＜4時，關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有兩個不相等的實數(shù)根；④直線y＝kx+c經過點A，C，當kx+c＜ax2+bx+c時，x的取值范圍是﹣4＜x＜0．A．③④ B．②③ C．②④ D．①②③④10．（2023春?倉山區(qū)校級期末）二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的圖象過點（3，0），方程ax2﹣2ax+c＝0的解為（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝111．（2023秋?蒙城縣月考）下列二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點的是（）A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2+x+1 C．y＝4x2+4x+1 D．12．（2023?長汀縣模擬）已知拋物線y＝ax2+4ax+3與x軸交于（﹣1，0），（m，0），該函數(shù)在m﹣1≤x≤﹣a時，下列說法正確的是（）A．有最小值﹣1，有最大值3 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值﹣3，有最大值4 D．有最小值﹣1，有最大值413．（2023?濟南模擬）二次函數(shù)y＝﹣x2+mx的圖象如圖，對稱軸為直線x＝2，若關于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t為實數(shù)）在1＜x＜5的范圍內有解，則t的取值范圍是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤414．（2022秋?肇源縣期末）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+n（k≠0）與二次函數(shù)y2＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象相交于A（﹣1，4），B（6，2）兩點，則關于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集為（）A．﹣1≤x≤6 B．﹣1≤x＜6 C．﹣1＜x≤6 D．x≤﹣1或x≥615．（2023秋?岳麓區(qū)校級月考）已知拋物線y＝x2+2x+k﹣1與x軸有兩個交