熱點(diǎn)06解直角三角形（原卷版）

熱點(diǎn)06解直角三角形命題趨勢(shì)命題趨勢(shì)在中考中，直角三角形這一知識(shí)點(diǎn)一般不會(huì)進(jìn)行單獨(dú)考察，往往會(huì)和實(shí)際問(wèn)題結(jié)合在一起，在求解三角形的實(shí)際問(wèn)題中，正確選擇銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵。在直角三角形的應(yīng)用題中，題目中常常涉及仰俯角和坡度角的解決。所以對(duì)三角函數(shù)公式要非常熟悉。熱點(diǎn)解讀熱點(diǎn)解讀在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形。解直角三角形需要除直角之外的兩個(gè)元素，且至少有一個(gè)元素是邊。三角函數(shù)本質(zhì)上是線段之間的比例關(guān)系，我們可以把正弦和余弦放在一起來(lái)記憶，正弦和余弦的分母都是斜邊，正弦是正對(duì)著的直角邊除以斜邊，余弦是相鄰的直角邊除以斜邊。兩個(gè)都是直角邊除以斜邊，而我們知道直角邊長(zhǎng)度小于斜邊，所以正弦余弦值一定小于1。而正切指的是正對(duì)著的直角邊和相鄰的直角邊值比，而直角邊長(zhǎng)度沒(méi)有大小之分，所以正切可能大于1，也可以小于1.滿分技巧滿分技巧命題熱點(diǎn)1：銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)的概念（1）銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).（2）在△ABC中，∠C=90°,∠A的正弦sinA=,∠A的余弦cosA=,∠A的正切tanA=.特殊角的三角函數(shù)值(填寫(xiě)下表)三角函數(shù)30°45°60°sinacosatana1命題熱點(diǎn)2：解直角三角形解直角三角形（1）解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外,一共有5個(gè)元素，即3條邊和2個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形.（2）直角三角形的解法直角三角形的解法按除直角外已知2個(gè)元素的不同情況可大致分為四種類型:①已知一條直角邊和一個(gè)銳角(如a，∠A)，其解法為:∠B=90°∠A,c=;

②已知斜邊和一個(gè)銳角(如c，∠A)，其解法為:∠B=90°∠A,a=;

③已知兩直角邊(如a,b),其解法為:c2=a2+b2，tanA=;

④已知斜邊和一直角邊(如c,a)，其解法為:b2=c2a2,sinA=.

與解直角三角形有關(guān)的名詞、術(shù)語(yǔ)（1）視角:視線與水平線的夾角叫做視角.從下向上看，叫做仰角;從上往下看，叫做俯角.（2）方位角:目標(biāo)方向線與正北方向線順時(shí)針時(shí)的夾角.（3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平長(zhǎng)度(l)的比叫做坡度(或坡比),記作i=.坡面與水平面的夾角(α),叫做坡角.【注】正弦函數(shù)和余弦函數(shù)也具有一些性質(zhì)，可以幫助我們更好地進(jìn)行記憶。一個(gè)角的正弦等于與它互余的角的余弦。本質(zhì)上是因?yàn)橹苯侨切蜛BC中，若角A與角B互余，那么角A的對(duì)邊BC就是角B的鄰邊BC，所以角A的正弦等于角B的余弦。限時(shí)檢測(cè)限時(shí)檢測(cè)1．（2023·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學(xué)校考一模）桑梯是我國(guó)古代發(fā)明的一種采桑工具．圖1是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪的桑梯，其示意圖如圖2所示，已知米，米，與的張角為，為保證安全，的調(diào)整范圍是，為固定張角大小的繩索．(1)求繩索長(zhǎng)的最大值．(2)若時(shí)，求桑梯頂端到地面的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，最后結(jié)果精確到0.01米）2．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖是置物架的側(cè)面示意圖，置物板與地面平行，斜支架與地面的夾角，；擋板與置物板的夾角，．求擋板頂端F到地面的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）3．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考一模）某校九年級(jí)數(shù)學(xué)項(xiàng)目化學(xué)習(xí)主題是“測(cè)量物體高度”．小明所在小組想測(cè)量中國(guó)文字博物館門(mén)口字坊的高度．如圖，在處測(cè)得字坊頂端的仰角為，然后沿方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)處，測(cè)得字坊頂端的仰角為，求字坊的高度．結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：s，，，)4．（2023·山東棗莊·?？家荒＃┬⊥鹾托±钬?fù)責(zé)某企業(yè)宣傳片的制作，期間要使用無(wú)人機(jī)采集一組航拍的資料．在航拍時(shí)，小王在處測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰角為，同時(shí)小李登上斜坡的處測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰角為．若小李所在斜坡的坡比為：，鉛垂高度米（點(diǎn)，，，在同一水平線上）．(1)小王和小李兩人之間的距離；(2)此時(shí)無(wú)人機(jī)的高度．（，，，結(jié)果精確到米）5．（2023·安徽合肥·?？家荒＃殪柟剔r(nóng)村脫貧成果，利興村委會(huì)計(jì)劃利用一塊如圖所示的空地，培育綠植銷售，空地南北邊界，西邊界，經(jīng)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù)，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向，在點(diǎn)的北偏東方向，米，求空地南北邊界和的長(zhǎng)（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）．6．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）周末，小紅和小宇相約一起去郊外勞動(dòng)基地參加勞動(dòng).已知小紅家在小宇家的北偏西方向上，.兩人到達(dá)勞動(dòng)基地處后，發(fā)現(xiàn)小宇家在勞動(dòng)基地的南偏西方向上，小紅家在勞動(dòng)基地的南偏西方向上.求小宇家到勞動(dòng)基地的距離.（結(jié)果保留1位小數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，，，）7．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）在湖面上修建一座觀景橋是鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略中一項(xiàng)重要工程．在觀測(cè)點(diǎn)，兩處測(cè)得，，，千米，千米，求觀景橋的長(zhǎng)．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．8．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┠成虉?chǎng)要建一個(gè)地下停車場(chǎng)，下圖是地下停車場(chǎng)的入口設(shè)計(jì)示意圖，擬設(shè)計(jì)斜坡的傾斜角為，一樓到地下停車場(chǎng)地面的距離米，地平線到一樓的垂直距離米．(1)為保證斜坡傾斜角為，應(yīng)在地面上距點(diǎn)多遠(yuǎn)的處開(kāi)始斜坡的施工？（精確到米）(2)如果一輛高米的小貨車要進(jìn)入地下停車場(chǎng)，能否進(jìn)入？為什么？（參考數(shù)據(jù)：，，）9．（2023·陜西西安·西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃?022年6月28日，美國(guó)“本福德”號(hào)導(dǎo)彈驅(qū)逐艦穿航臺(tái)灣海峽并公開(kāi)炒作，為了維護(hù)國(guó)家安全和祖國(guó)統(tǒng)一，我中國(guó)人民解放軍東部戰(zhàn)區(qū)組織?？毡?duì)美艦進(jìn)行全程跟監(jiān)警戒．一架飛機(jī)沿水平直線飛行，在點(diǎn)處測(cè)得正前方水平地面上某建筑物的頂端的俯角為，飛機(jī)面向方向繼續(xù)飛行米至點(diǎn)處，測(cè)得該建筑物底端的俯角為，已知建筑物的高為米，求飛機(jī)飛行的高度．(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，)10．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考一模）在交城縣城西北方向的卦山群峰中，位于中央的小山峰上屹立著一座白塔，它在卦山諸多名勝中最引人注目如圖．某數(shù)學(xué)小組為測(cè)量白塔的高度，在處如圖測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，然后沿著斜坡前進(jìn)米到達(dá)處，在處測(cè)得到塔腳的距離米，已知，，求白塔的高度．中考連接1．（2022·天津）的值等于（

）A．2 B．1 C． D．2．（2022·云南）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是OO的弦，AB?CD．垂足為E．若AB=26，CD=24，則∠OCE的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（2022·陜西）如圖，是的高，若，，則邊的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4．（2022·廣西貴港）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹(shù)的高度，在點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為，在點(diǎn)B處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若，則這棵樹(shù)的高度是（

）A． B． C． D．5．（2022·湖北十堰）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹(shù)AB，當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的樹(shù)影BC長(zhǎng)為m，則大樹(shù)AB的高為（

）A． B． C． D．6．（2022·福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，則高AD約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm7．（2022·廣西桂林）如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當(dāng)觀景視角∠MPN最大時(shí)，游客P行走的距離OP是_____米．8．（2022·湖南衡陽(yáng)）回雁峰座落于衡陽(yáng)雁峰公園，為衡山七十二峰之首．王安石曾賦詩(shī)聯(lián)“萬(wàn)里衡陽(yáng)雁，尋常到此回”．峰前開(kāi)辟的雁峰廣場(chǎng)中心建有大雁雕塑，為衡陽(yáng)市城徽．某課外實(shí)踐小組為測(cè)量大雁雕塑的高度，利用測(cè)角儀及皮尺測(cè)得以下數(shù)據(jù)：如圖，，，．已知測(cè)角儀的高度為，則大雁雕塑的高度約為_(kāi)________．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）9．（2022·山東泰安）如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)要測(cè)量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點(diǎn)處前行到達(dá)斜坡的底部點(diǎn)C處，然后沿斜坡前行到達(dá)最佳測(cè)量點(diǎn)D處，在點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為，已知斜坡的斜面坡度，且點(diǎn)A，B，C，D，在同一平面內(nèi)，小明同學(xué)測(cè)得古塔的高度是___________．10．（2022·江蘇連云港）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)、、都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則_________．11．（2022·山東聊城）我市某轄區(qū)內(nèi)的興國(guó)寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱為“宋塔唐槐”（如圖①）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量古槐的高度，如圖②所示，當(dāng)無(wú)人機(jī)從位于塔基B點(diǎn)與古槐底D點(diǎn)之間的地面H點(diǎn)，豎直起飛到正上方45米E點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點(diǎn)B，H，D三點(diǎn)在同一直線上）．已知塔高為39米，塔基B與樹(shù)底D的水平距離為20米，求古槐的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）12．（2022·內(nèi)蒙古通遼）某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算的長(zhǎng)度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，）.13．（2022·天津）如圖，某座山的項(xiàng)部有一座通訊塔，且點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，從地面P處測(cè)得塔頂C的仰角為，測(cè)得塔底B的仰角為．已知通訊塔的高度為，求這座山的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：．14．（2022·浙江湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的長(zhǎng)和sinA的值．15．（2022·新疆）周米，王老師布置了一項(xiàng)綜合實(shí)踐作業(yè)，要求利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量一棟樓的高度．小希站在自家陽(yáng)臺(tái)上，看對(duì)面一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，已知兩樓之間的水平距離為，求這棟樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：）16．（2022·湖南株洲）如圖1所示，某登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者由山坡①的山頂點(diǎn)A處沿線段至山谷點(diǎn)處，再?gòu)狞c(diǎn)處沿線段至山坡②的山頂點(diǎn)處．如圖2所示，將直線視為水平面，山坡①的坡角，其高度為0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米．(1)求的度數(shù)；(2)求在此過(guò)程中該登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者走過(guò)的路程．17．（2022·湖南郴州）如圖是某水庫(kù)大壩的橫截面，壩高，背水坡