熱點06解直角三角形（原卷版）

熱點06解直角三角形命題趨勢命題趨勢在中考中，直角三角形這一知識點一般不會進行單獨考察，往往會和實際問題結合在一起，在求解三角形的實際問題中，正確選擇銳角三角函數(shù)關系是解題關鍵。在直角三角形的應用題中，題目中常常涉及仰俯角和坡度角的解決。所以對三角函數(shù)公式要非常熟悉。熱點解讀熱點解讀在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。解直角三角形需要除直角之外的兩個元素，且至少有一個元素是邊。三角函數(shù)本質(zhì)上是線段之間的比例關系，我們可以把正弦和余弦放在一起來記憶，正弦和余弦的分母都是斜邊，正弦是正對著的直角邊除以斜邊，余弦是相鄰的直角邊除以斜邊。兩個都是直角邊除以斜邊，而我們知道直角邊長度小于斜邊，所以正弦余弦值一定小于1。而正切指的是正對著的直角邊和相鄰的直角邊值比，而直角邊長度沒有大小之分，所以正切可能大于1，也可以小于1.滿分技巧滿分技巧命題熱點1：銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)的概念（1）銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).（2）在△ABC中，∠C=90°,∠A的正弦sinA=,∠A的余弦cosA=,∠A的正切tanA=.特殊角的三角函數(shù)值(填寫下表)三角函數(shù)30°45°60°sinacosatana1命題熱點2：解直角三角形解直角三角形（1）解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外,一共有5個元素，即3條邊和2個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形.（2）直角三角形的解法直角三角形的解法按除直角外已知2個元素的不同情況可大致分為四種類型:①已知一條直角邊和一個銳角(如a，∠A)，其解法為:∠B=90°∠A,c=;

②已知斜邊和一個銳角(如c，∠A)，其解法為:∠B=90°∠A,a=;

③已知兩直角邊(如a,b),其解法為:c2=a2+b2，tanA=;

④已知斜邊和一直角邊(如c,a)，其解法為:b2=c2a2,sinA=.

與解直角三角形有關的名詞、術語（1）視角:視線與水平線的夾角叫做視角.從下向上看，叫做仰角;從上往下看，叫做俯角.（2）方位角:目標方向線與正北方向線順時針時的夾角.（3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡度(或坡比),記作i=.坡面與水平面的夾角(α),叫做坡角.【注】正弦函數(shù)和余弦函數(shù)也具有一些性質(zhì)，可以幫助我們更好地進行記憶。一個角的正弦等于與它互余的角的余弦。本質(zhì)上是因為直角三角形ABC中，若角A與角B互余，那么角A的對邊BC就是角B的鄰邊BC，所以角A的正弦等于角B的余弦。限時檢測限時檢測1．（2023·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學校考一模）桑梯是我國古代發(fā)明的一種采桑工具．圖1是明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖2所示，已知米，米，與的張角為，為保證安全，的調(diào)整范圍是，為固定張角大小的繩索．(1)求繩索長的最大值．(2)若時，求桑梯頂端到地面的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，最后結果精確到0.01米）2．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖是置物架的側面示意圖，置物板與地面平行，斜支架與地面的夾角，；擋板與置物板的夾角，．求擋板頂端F到地面的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）3．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）某校九年級數(shù)學項目化學習主題是“測量物體高度”．小明所在小組想測量中國文字博物館門口字坊的高度．如圖，在處測得字坊頂端的仰角為，然后沿方向前進到達點處，測得字坊頂端的仰角為，求字坊的高度．結果精確到，參考數(shù)據(jù)：s，，，)4．（2023·山東棗莊·校考一模）小王和小李負責某企業(yè)宣傳片的制作，期間要使用無人機采集一組航拍的資料．在航拍時，小王在處測得無人機的仰角為，同時小李登上斜坡的處測得無人機的仰角為．若小李所在斜坡的坡比為：，鉛垂高度米（點，，，在同一水平線上）．(1)小王和小李兩人之間的距離；(2)此時無人機的高度．（，，，結果精確到米）5．（2023·安徽合肥·?？家荒＃殪柟剔r(nóng)村脫貧成果，利興村委會計劃利用一塊如圖所示的空地，培育綠植銷售，空地南北邊界，西邊界，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)，點在點的北偏東方向，在點的北偏東方向，米，求空地南北邊界和的長（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）．6．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）周末，小紅和小宇相約一起去郊外勞動基地參加勞動.已知小紅家在小宇家的北偏西方向上，.兩人到達勞動基地處后，發(fā)現(xiàn)小宇家在勞動基地的南偏西方向上，小紅家在勞動基地的南偏西方向上.求小宇家到勞動基地的距離.（結果保留1位小數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，，，）7．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）在湖面上修建一座觀景橋是鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略中一項重要工程．在觀測點，兩處測得，，，千米，千米，求觀景橋的長．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．8．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┠成虉鲆ㄒ粋€地下停車場，下圖是地下停車場的入口設計示意圖，擬設計斜坡的傾斜角為，一樓到地下停車場地面的距離米，地平線到一樓的垂直距離米．(1)為保證斜坡傾斜角為，應在地面上距點多遠的處開始斜坡的施工？（精確到米）(2)如果一輛高米的小貨車要進入地下停車場，能否進入？為什么？（參考數(shù)據(jù)：，，）9．（2023·陜西西安·西安建筑科技大學附屬中學?？家荒＃?022年6月28日，美國“本福德”號導彈驅(qū)逐艦穿航臺灣海峽并公開炒作，為了維護國家安全和祖國統(tǒng)一，我中國人民解放軍東部戰(zhàn)區(qū)組織?？毡γ琅炦M行全程跟監(jiān)警戒．一架飛機沿水平直線飛行，在點處測得正前方水平地面上某建筑物的頂端的俯角為，飛機面向方向繼續(xù)飛行米至點處，測得該建筑物底端的俯角為，已知建筑物的高為米，求飛機飛行的高度．(結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，)10．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考一模）在交城縣城西北方向的卦山群峰中，位于中央的小山峰上屹立著一座白塔，它在卦山諸多名勝中最引人注目如圖．某數(shù)學小組為測量白塔的高度，在處如圖測得塔頂?shù)难鼋菫?，然后沿著斜坡前進米到達處，在處測得到塔腳的距離米，已知，，求白塔的高度．中考連接1．（2022·天津）的值等于（

）A．2 B．1 C． D．2．（2022·云南）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是OO的弦，AB?CD．垂足為E．若AB=26，CD=24，則∠OCE的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（2022·陜西）如圖，是的高，若，，則邊的長為（

）A． B． C． D．4．（2022·廣西貴港）如圖，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為，在點B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（

）A． B． C． D．5．（2022·湖北十堰）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的樹影BC長為m，則大樹AB的高為（

）A． B． C． D．6．（2022·福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，則高AD約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm7．（2022·廣西桂林）如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點O出發(fā)沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當觀景視角∠MPN最大時，游客P行走的距離OP是_____米．8．（2022·湖南衡陽）回雁峰座落于衡陽雁峰公園，為衡山七十二峰之首．王安石曾賦詩聯(lián)“萬里衡陽雁，尋常到此回”．峰前開辟的雁峰廣場中心建有大雁雕塑，為衡陽市城徽．某課外實踐小組為測量大雁雕塑的高度，利用測角儀及皮尺測得以下數(shù)據(jù)：如圖，，，．已知測角儀的高度為，則大雁雕塑的高度約為_________．（結果精確到．參考數(shù)據(jù)：）9．（2022·山東泰安）如圖，在一次數(shù)學實踐活動中，小明同學要測量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點處前行到達斜坡的底部點C處，然后沿斜坡前行到達最佳測量點D處，在點D處測得塔頂A的仰角為，已知斜坡的斜面坡度，且點A，B，C，D，在同一平面內(nèi)，小明同學測得古塔的高度是___________．10．（2022·江蘇連云港）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點、、都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點，則_________．11．（2022·山東聊城）我市某轄區(qū)內(nèi)的興國寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱為“宋塔唐槐”（如圖①）．數(shù)學興趣小組利用無人機測量古槐的高度，如圖②所示，當無人機從位于塔基B點與古槐底D點之間的地面H點，豎直起飛到正上方45米E點處時，測得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點B，H，D三點在同一直線上）．已知塔高為39米，塔基B與樹底D的水平距離為20米，求古槐的高度（結果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）12．（2022·內(nèi)蒙古通遼）某型號飛機的機翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算的長度（結果保留小數(shù)點后一位，）.13．（2022·天津）如圖，某座山的項部有一座通訊塔，且點A，B，C在同一條直線上，從地面P處測得塔頂C的仰角為，測得塔底B的仰角為．已知通訊塔的高度為，求這座山的高度（結果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：．14．（2022·浙江湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的長和sinA的值．15．（2022·新疆）周米，王老師布置了一項綜合實踐作業(yè)，要求利用所學知識測量一棟樓的高度．小希站在自家陽臺上，看對面一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，已知兩樓之間的水平距離為，求這棟樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：）16．（2022·湖南株洲）如圖1所示，某登山運動愛好者由山坡①的山頂點A處沿線段至山谷點處，再從點處沿線段至山坡②的山頂點處．如圖2所示，將直線視為水平面，山坡①的坡角，其高度為0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米．(1)求的度數(shù)；(2)求在此過程中該登山運動愛好者走過的路程．17．（2022·湖南郴州）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高，背水坡