27.2.3相似三角形的性質(zhì)（分層練習(xí)）

27.2.3相似三角形的性質(zhì)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題：1．若，其相似比為，則與的面積比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】相似三角形的對應(yīng)邊之比、周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．【詳解】解：且相似比為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．2．如圖，∽，：：，其中，的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：：：，：：，∽，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．3．如圖，在中，E為CD的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)O，＝12，則等于（

）A．48 B．36 C．24 D．12【答案】A【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】∵在中，E為中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∴．故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出是解題關(guān)鍵．4．如圖，在中，是上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，已知，則的值是(

)A．9 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】證明，可證得，得，即可得結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，，則．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)與判定．5．如圖，中，，，以BC邊上一點(diǎn)O為圓心作，分別與AB，AC相切于點(diǎn)D，E，則AD的長為（

）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】A【分析】連接，根據(jù)切線性質(zhì)可得，證明，再證明相似即可解得．【詳解】連接∵AB，AC相切于點(diǎn)D，E，∴，又∵∴∴又∵∴，根據(jù)勾股定理得∵∴∴∴故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了切線性質(zhì)、三角形全等和相似、勾股定理，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形．6．如圖，在等邊中，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長度為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，證明，即可得解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．本題考查一線三等角相似模型，平時(shí)多歸納總結(jié)，可以快速進(jìn)行解題．7．如圖，將沿邊上的中線平移到的位置，已知的面積為，陰影部分三角形的面積為若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先證明，再由相似三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得．【詳解】解：如圖，、，且為邊的中線，，，將沿邊上的中線平移得到，，，∴，即，解得或（舍去），．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)．二、填空題：8．已知與相似，且與的相似比為，如果的面積為18，那么的面積等于______．【答案】8【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可找到和的面積之比從而解決此題．【詳解】且相似比為和的面積比為故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形的性質(zhì)是解決本題關(guān)鍵．9．如圖，在中，D，E兩點(diǎn)分別在邊上，，如果，則與的面積之比為______．【答案】【分析】由，根據(jù)相似三角形的判定方法得到，然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求解．【詳解】】解：∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截的三角形與原三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊的比相等，都等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．10．如圖，在中，，，，則______cm．【答案】4【分析】證明，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，，∴，解得：．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在平行四邊形中，：：，則：______．【答案】【分析】根據(jù)四邊形是平行四邊形，可得，，所以，再根據(jù)相似三角形判定可知，從而可求．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，∴∵∴，故答案是．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意先求出的值．12．如圖，矩形的面積為36，對角線與雙曲線相交于點(diǎn)，且，則的值為__________．【答案】【分析】由矩形的性質(zhì)求出的面積，由平行線分線段成比例可求，可求的面積，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可求解．【詳解】如圖，連接，過點(diǎn)D作于E，∵矩形的面積為36，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵雙曲線圖象過點(diǎn)D，∴，又∵雙曲線圖象在第二象限，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，求出的面積是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在中，，上的高，矩形的頂點(diǎn)E、F在邊上，G、H分別在邊、上，，則該矩形的面積為________．【答案】##【分析】如圖，證明，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，問題即可解決．【詳解】解：∵，∴設(shè)，則；由題意得：，；∴，而，，∴，即，解得：，∴，．∴該矩形的面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】該題考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．14．如圖，在中，E是線段上一點(diǎn)，，過點(diǎn)C作，交BE的延長線于點(diǎn)D．若的面積等于16，則的面積等于______．【答案】12【分析】先根據(jù)得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，從而求出，再根據(jù)求出，最后求出的面積即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，∵，∴，∵的面積等于16，∴，∵，∴，∴．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)．三、解答題：15．如圖，在正方形中，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，延長交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：∽；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】由正方形的性質(zhì)與已知得出，證出，即可得出結(jié)論；由，為的中點(diǎn)，得出，由勾股定理得出，由，得出，可求得的長度，進(jìn)而可以解決問題．【詳解】（1）證明：四邊形為正方形，且，，，，，∴；（2）解：，為的中點(diǎn)，．在中，，由知，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定得出比例式是解題的關(guān)鍵．16．如圖，中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，交于G，且．(1)分別求出和的值；(2)若的面積為，求出四邊形的面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)可得，根據(jù)，可得，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)果；（2）連接，根據(jù)面積比等于相似比的平方可得，根據(jù)三角形中線等分三角形面積可得，然后根據(jù)得出，最后根據(jù)即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴；（2）連接，∵，相似比為，∴，∴，∵點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．17．已知，如圖，直線交于，兩點(diǎn)，是直徑，平分交于，過作于．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，且在上，故是的切線．（2）由直角三角形的特殊性質(zhì)，可得的長，又有，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求得圓的半徑．【詳解】（1）連接．，．，．．，即．在上，為的半徑，是的切線．（2），，，．連接．是的直徑，．，．．則．的半徑是．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定、圓周角定理、勾股定理切割線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，在圓中學(xué)會正確添加輔助線是解決問題的關(guān)鍵．18．如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，連接、，，．(1)求證：；(2)若，，求的面積．【答案】(1)證明過程見詳解．(2)的面積為2．【分析】（1）利用先判定，得到從而證明，結(jié)合，證明，得到即可．（2）利用及面積比值得到，通過得到，最后利用求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴∴，∴．（2）解：∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用，能夠熟練的根據(jù)條件判定三角形相似，并利用相似的性質(zhì)得到線段的比值是解題關(guān)鍵．提升篇提升篇1．如圖，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，延長交軸于點(diǎn)，若的面積是，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的值（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)是的中點(diǎn)，表示出的面積，再利用的幾何意義表示出和的面積，即可得出和的面積，易證∽，根據(jù)面積的比等于相似比的平方，列方程即可求出的值．【詳解】解：連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖所示：是的中點(diǎn)，，根據(jù)的幾何意義，，，，，，∽，是的中點(diǎn)，相似比為：，，，解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，運(yùn)用三角形中線的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．2．如圖，在矩形中，．對角線與相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作的垂線，交于點(diǎn)E，．則的值為（）A．4 B．2 C． D．4【答案】C【分析】由矩形的性質(zhì)可得結(jié)合可求得,再證，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式可得即可解答．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵∴∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證得判斷出相似三角形，并靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．如圖，在矩形中，是邊的中點(diǎn)，垂足為點(diǎn)F，連接，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①四邊形是矩形，，則，又，于是；②由，又，所以，故可得；③過D作交于N，得到四邊形是平行四邊形，求出，得到，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論；④由，推出，設(shè)，推出，，，，推出，故⑤正確．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴∵于點(diǎn)F，∴∴，故①正確；∵，∴，∴，∵，∴，∴，故②正確；如圖，過D作交于N，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∵于點(diǎn)F，，∴，∴垂直平分，∴，故③正確；，，設(shè)，，，，，故④正確；正確的個(gè)數(shù)為4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算以及解直角三角形的綜合應(yīng)用，正確的作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意：相似三角形的對應(yīng)邊成比例．4．如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接．在線段上有一點(diǎn)，若點(diǎn)P到正方形一邊的距離為，則的長為___________．【答案】或或【分析】根據(jù)勾股定理求得，再分三種情況討論，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定，即可求解．【詳解】解：正方形的邊長為，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，如圖1，作于點(diǎn)，使，，，，，如圖2，作于點(diǎn)，使，，，如圖3，作⊥于點(diǎn)，使，，，綜上所述：的長為或或，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．5．如圖，矩形中，對角線、交于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，______cm．【答案】12【分析】先證明，即可證明，從而求出，，最后根據(jù)勾股定理即可求出．【詳解】解：∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，又，，∴，∴，，∴．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，證明是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，中線、相交于點(diǎn)O，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的個(gè)數(shù)有____________（寫序號）．【答案】①③④【分析】、是的中線，即D、E是和的中點(diǎn)，即是的中位線，則，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和三角形中線的性質(zhì)即可判斷．【詳解】∵、是的中線，即D、E是和的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，即，①正確；∵∴，∴，②錯(cuò)誤；∵,，∴,③正確；∵，∴∴又∵是的中線∴∴，④正確故①正確，②錯(cuò)誤，③④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用三角形中線分三角形為面積相等的連個(gè)三角形證明和之間的關(guān)系是關(guān)鍵．7．如圖，在銳角三角形中，點(diǎn)D在邊上，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，．(1)求證：；(2)若，求的值．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）先證，再證，即可解決問題；（2）由（1）可知：，推出，再證，可得答案．【詳解】（1）解：，，，，，，，；（2）由（1）可知：，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．8．綜合與探究如圖，在中，，點(diǎn)M從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)C以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C開始沿邊向點(diǎn)B以的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M，N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．若，的長是的兩根（其中，單位：）．(1)求，的長；(2)如果點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，的面積為？(3)如果點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，是否能和相似？如果能，