專題02解題技巧專題構(gòu)造等腰三角形的技巧(原卷版)（重點突圍）

專題02解題技巧專題：構(gòu)造等腰三角形的技巧【考點導航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【技巧一結(jié)合平行線構(gòu)造新等腰三角形】 1【技巧1.1利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形】 1【技巧1.2過腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形】 9【技巧二利用倍角關系構(gòu)造新等腰三角形】 20【典型例題】【技巧一結(jié)合平行線構(gòu)造新等腰三角形】【技巧1.1利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形】例題：（2021春·遼寧盤錦·八年級?？计谥校?1)如圖，在中，，的平分線交于點，過點作分別交于點．直接寫出線段與，之間的數(shù)量關系：___________．(2)如圖，若中的平分線與三角形外角平分線交于點，過點作交于點，交于點．則與，之間的數(shù)量關系又如何？說明你的理由．【變式訓練】1．（2022春·重慶合川·八年級期末）如圖，在中，，是的角平分線，交AB于點F．的一個外角的平分線與的延長線交于點G．(1)求證：；(2)若，求的大小．2．（2022春·吉林長春·八年級長春市解放大路學校期末）如圖，在中，．是角平分線，E是邊上一點，過點C作交的延長線于點F．(1)求證：；(2)若，則______．3．（2022春·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）（1）如圖1，中，作、的角平分線相交于點O，過點O作分別交、于E、F．（1）①求證：；②若的周長是25，，試求出的周長；（2）如圖2，若的平分線與外角的平分線相交于點O，過點O作分別交、于E、F，則，，之間有何數(shù)量關系，直接寫出結(jié)論．4．（2022春·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考期中）在中，點，點在直線上，，過點作，交射線于點，過點作，交直線于點．(1)當是的角平分線，點在邊延長線上時，如圖①，求證：；（提示：延長，相交于點．）(2)當是的角平分線，點在邊上時，如圖②；當是外角的角平分線，點在邊延長線上時，如圖③，請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關系，不需要證明；(3)在（1）、（2）的條件下，若，則_____________．【技巧1.2過腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形】例題：（2022春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）已知：等邊中．(1)如圖1，點M是BC的中點，點N在AB邊上，滿足，求的值；(2)如圖2，點M在AB邊上（M為非中點，不與A，B重合），點N在CB的延長線上且，求證：．(3)如圖3，點P為AC邊的中點，點E在AB的延長線上，點F在BC的延長線上，滿足，求的值．【變式訓練】1．（2022春·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）在等邊中，是的中點，，的兩邊分別交直線、于、．(1)問題：如圖1，當、分別在邊、上，，時，直接寫出線段與的數(shù)量關系；(2)探究：如圖2，當落在邊上，落在射線上時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？寫出理由；(3)應用：如圖3，當落在射線上，F(xiàn)落在射線上時，，，則___________．2．（2022春·遼寧大連·八年級期末）是等邊三角形，點是上一點，點在的延長線上，且．(1)如圖1，當點是的中點時，求證：；(2)如圖2，當點是上任意一點時，取的中點，連接．求的度數(shù)3．（2022春·湖北黃岡·八年級校聯(lián)考階段練習）已知：在等邊中，點是邊所在直線上的一個動點（與、兩點均不重合），點在的延長線上，且．(1)如圖①，當是邊的中點時，求證：；(2)如圖②，當是線段邊上任意一點時，（1）中的結(jié)論是否一定成立？請說明理由；(3)若點是線段的延長線上任一點，，，，求的長．4．（2022春·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點E，使，請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到的理由是．A．B．C．D．(2)求得的取值范圍是．A．B．C．D．(3)如圖2，是的中線，交于E，交于F，且．求證：．【技巧二利用倍角關系構(gòu)造新等腰三角形】例題：（2022春·福建福州·八年級福建省福州第一中學?？计谥校┤鐖D，在中，，(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，求證：平分．【變式訓練】1．（2021春·福建福州·八年級?？计谀┰谥?，，點在邊上，，點在線段上，．(1)如圖，若點與點重合，則______；(2)如圖，若點與點不重合，試說明與的數(shù)量關系；(3)在（1）的情況下，試判斷，與的數(shù)量關系，并說明你的理由．2．（2022春·浙江·八年級專題練習）在中，，(1)如圖①，當，為的角平分線時，在上截取，連接，易證．請證明；(2)①如圖②，當，為的角平分線時，線段又有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的結(jié)論，不要求證明；②如圖③，當，為的外角平分線時，線段又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想并證明．3．（2022春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）【問題背景】小明遇到這樣一個問題：如圖1，在中，，平分，試判斷和之間的數(shù)量關系．【初步探索】小明發(fā)現(xiàn)，將沿翻折，使點A落在邊上的E處，展開后連接，則得到一對全等的三角形，從而將問題解決（如圖2）（1）寫出圖2中全等的三角形____________________；（2）直接寫出和之間的數(shù)量關系__________________；【類比運用】（3）如圖3，在中，，平分，求的周長．小明的思路：借鑒上述方法，將沿翻折，使點C落在邊上的E處，