專題36相似三角形旋轉(zhuǎn)型-初中數(shù)學(xué)模型與解題方法專題訓(xùn)練（原卷版）

36相似三角形旋轉(zhuǎn)型一、單選題1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中線，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD對折，使點(diǎn)C落在C′的位置，C′D交AB于點(diǎn)Q，則的值為（）A． B． C． D．2．如圖，正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，以為對角線作正方形，邊與正方形的對角線相交于點(diǎn)，連接．以下四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為（）A．個 B．個 C．個 D．個3．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)F，連接DF，給出下列四個結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四邊形CDEF＝2：5，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題4．已知正方形DEFG的頂點(diǎn)F在正方形ABCD的一邊AD的延長線上，連結(jié)AG，CE交于點(diǎn)H，若，，則CH的長為.5．如圖，在△ABC中，AB＝5，D為邊AB上－動點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CDEF，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長為．6．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，連接AF，以AF為對角線作正方形AEFG，邊FG與AC相交于點(diǎn)H，連接DG．以下四個結(jié)論：①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；②△ACF∽△ADG；③；④DG⊥AC．其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）三、解答題7．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，，D為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合）將線段繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；【探究證明】（2）如圖2，在和中，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時，與具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，將繞順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（），當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時，畫出圖形，并求出線段的長度．8．在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，．如圖②，若△ABC固定不動，把△ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點(diǎn)分別為M、N點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合．【探究】求證：．【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．(1)的值為______．(2)若，則MN的長為______．9．如圖，已知點(diǎn)在內(nèi)，，，，．（1）當(dāng)時，求證：；（2）當(dāng)時，求的值．10．已知中點(diǎn)分別在邊、邊上，連接點(diǎn)、點(diǎn)在直線同側(cè)，連接且．（1）點(diǎn)與點(diǎn)重合時，①如圖1，時，和的數(shù)量關(guān)系是；位置關(guān)系是；

②如圖2，時，猜想和的關(guān)系，并說明理由；（2）時，③如圖3，時，若求的長度；④如圖4，時，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn)，若，直接寫出的最小值．11．某校數(shù)學(xué)活動小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點(diǎn)P是底邊BC上一點(diǎn)，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點(diǎn)P是腰AB上一點(diǎn)，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以DP為邊作正方形DPEF，點(diǎn)Q是正方形DPEF兩條對角線的交點(diǎn)，連接CQ．若正方形DPEF的邊長為，，求正方形ABCD的邊長．12．在中，，，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段，連接，，.(1)觀察猜想如圖①，當(dāng)時，的值是_______，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是________．(2)類比探究如圖②，當(dāng)時，請寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形說明理由．13．如圖1，在中，，在斜邊上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．現(xiàn)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點(diǎn)D在的內(nèi)部），使得．（1）①求證：；②若，求的長；（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設(shè)，若，，求k的值；（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設(shè)，，試探究三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）14．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P是△ABC外一點(diǎn)，連接BP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，連接BD，CD，AP．觀察猜想：（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時，的值為，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為°；類比探究：（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，當(dāng)α＝90°時，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FE的延長線上，點(diǎn)A，D，P三點(diǎn)在一條直線上，BD交PF于點(diǎn)G，CD交AB于點(diǎn)H.若CD＝2＋，求BD的長．15．在和中，，，且，點(diǎn)E在的內(nèi)部，連接EC，EB，EA和BD，并且．【觀察猜想】（1）如圖①，當(dāng)時，線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為__________，線段EA，EB，EC的數(shù)量關(guān)系為__________．【探究證明】（2）如圖②，當(dāng)時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時，若，請直接寫出的面積．16．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P為線段CA延長線上一動點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（3）當(dāng)α＝120°時，若AB＝6，BP＝，請直接寫出點(diǎn)D到CP的距離．17．點(diǎn)為的斜邊上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，連結(jié)，，且，交的延長線于點(diǎn)，連結(jié)．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，求證：．18．幾何探究：【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1所示，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等邊三角形，BD、CE的關(guān)系是_______（選填“相等”或“不相等”）；（請直接寫出答案）【類比探究】（2）如圖2所示，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的含有角的直角三角形，（1）中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3所示，△ADE和△ABC是有公共頂點(diǎn)且相似比為1:2的兩個等腰直角三角形，將△ADE繞點(diǎn)A自由旋轉(zhuǎn)，若，當(dāng)B、D、E三點(diǎn)共線時，直接寫出BD的長．19．問題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，與相交于點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，直接寫出的長．20．一次小組合作探究課上，老師將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：（1）將正方形繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1），還能得到嗎？若能，請給出證明，請說明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），試問當(dāng)與的大小滿足怎樣的關(guān)系時，；（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．21．觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究如圖2，在等邊中，點(diǎn)M是延長線上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請說明理由．(3)拓展延伸如圖3，在等腰中，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．22．

(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．23．如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當(dāng)C、D、E共線時，AD的延長線AF⊥BC交BC于點(diǎn)F，則∠ACE＝______；(2)如圖2，連接CD、BE，延長ED交BC于點(diǎn)F，若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；(3)如圖3，延長DC到點(diǎn)M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長ED、BM交于點(diǎn)N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．24．在，，．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)．連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)時，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是．（2）類比探究如圖2，當(dāng)時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題當(dāng)時，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請直接寫出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時的值．25．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C為頂點(diǎn)作等腰直角三角形CMN．使∠CMN＝90°，連接BN，射線NM交BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，