專題06整式的加減專題復(fù)習(xí)規(guī)律探究

專題06整式的加減專題復(fù)習(xí)——規(guī)律探究（解析版）第一部分典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練類型一數(shù)式規(guī)律典例1（2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）有一列數(shù)，按一定規(guī)律排列而成：﹣1，3，﹣9，27，﹣81，243，…，其中某三個(gè)相鄰數(shù)的和是1701，則這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)是．思路引領(lǐng)：設(shè)三個(gè)數(shù)中最前面的數(shù)為x，則另外兩個(gè)數(shù)分別為﹣3x，9x，根據(jù)三個(gè)數(shù)之和為1701，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其代入﹣3x和9x中，取其中最小值即可得出結(jié)論．解：設(shè)三個(gè)數(shù)中最前面的數(shù)為x，則另外兩個(gè)數(shù)分別為﹣3x，9x，依題意，得：x﹣3x+9x＝1701，解得：x＝243，∴﹣3x＝﹣729，9x＝2187．∵﹣729＜243＜2187，故答案為：﹣729．總結(jié)升華：本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．典例2（2022秋?漣水縣校級(jí)月考）觀察下面三行數(shù)，并按規(guī)律填空：①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，，，…；②0，6，﹣6，18，﹣30，66，，…；③﹣3，3，﹣9，15，﹣33，63，，…．（1）按第①行數(shù)的規(guī)律，分別寫出第7和第8個(gè)數(shù)；（2）請(qǐng)你分別寫出第②③行的第7個(gè)數(shù)；（3）取每行數(shù)的第9個(gè)數(shù)，計(jì)算這三個(gè)數(shù)的和．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)都是前一個(gè)數(shù)乘2的到得，再利用第奇數(shù)個(gè)系數(shù)為負(fù)數(shù)即可得出答案；（2）根據(jù)3行數(shù)據(jù)關(guān)系分別分析得出即可；（3）根據(jù)（2）得出的規(guī)律分別求出每行第9個(gè)數(shù)，再把它們相加即可．解：（1）∵①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，∴第7個(gè)數(shù)是﹣128，第八個(gè)數(shù)是256；（2）第②行數(shù)是第①行數(shù)加上2，第③行數(shù)正好比第①行數(shù)少1得到的，即第二行的第7個(gè)數(shù)是﹣128+2＝﹣126，第三行的第7個(gè)數(shù)是﹣128﹣1＝﹣129；（3）根據(jù)以上所求得出：第一行第9個(gè)數(shù)為﹣512，第二行第9個(gè)數(shù)為﹣512+2＝﹣510，第三行第9個(gè)數(shù)為﹣512﹣1＝﹣513，則這三個(gè)數(shù)的和是：﹣512﹣510﹣513＝﹣1535．總結(jié)升華：此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出得數(shù)字第②行數(shù)是第①行數(shù)加上2，第③行數(shù)正好比第①行數(shù)少1得到的是解題關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練11．（2021?武漢）按照一定規(guī)律排列的n個(gè)數(shù)：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后三個(gè)數(shù)的和為768，則n為（）A．9 B．10 C．11 D．12思路引領(lǐng)：觀察得出第n個(gè)數(shù)為（﹣2）n，根據(jù)最后三個(gè)數(shù)的和為768，列出方程，求解即可．解：由題意，得第n個(gè)數(shù)為（﹣2）n，那么（﹣2）n﹣2+（﹣2）n﹣1+（﹣2）n＝768，當(dāng)n為偶數(shù)：整理得出：3×2n﹣2＝768，解得：n＝10；當(dāng)n為奇數(shù)：整理得出：﹣3×2n﹣2＝768，則求不出整數(shù)．故選：B．總結(jié)升華：此題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找出數(shù)字的變化規(guī)律，得出第n個(gè)數(shù)為（﹣2）n是解決問題的關(guān)鍵．2．（2021秋?新洲區(qū)期中）有一串?dāng)?shù)：﹣2018，﹣2014，﹣2010，﹣2006，﹣2002…按一定的規(guī)律排列，那么這串?dāng)?shù)中前個(gè)數(shù)的和最?。悸芬I(lǐng)：根據(jù)題目中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，可以寫出第n個(gè)數(shù)，然后令第n個(gè)數(shù)等于0，即可得到相應(yīng)的n的值，從而可以解答本題．解：∵有一串?dāng)?shù)：﹣2018，﹣2014，﹣2010，﹣2006，﹣2002…∴這串?dāng)?shù)的第n個(gè)數(shù)為﹣2018+4（n﹣1）＝4n﹣2022，當(dāng)4n﹣2022＝0時(shí)，解得，n＝505…2，∴那么這串?dāng)?shù)中前505個(gè)數(shù)的和最小，故答案為：505．總結(jié)升華：本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，求出第多少個(gè)數(shù)的值為0．類型二數(shù)陣、數(shù)表規(guī)律典例3（2020秋?江漢區(qū)月考）將全體正偶數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上規(guī)律排列，第25行第20個(gè)數(shù)是．思路引領(lǐng)：觀察數(shù)字的變化，第n行有n個(gè)偶數(shù)，求出第n行的第一個(gè)數(shù)，結(jié)論可得．解：觀察數(shù)字的變化可知：第n行有n個(gè)偶數(shù)．∵第1行的第一個(gè)數(shù)是：2＝1×0+2；第2行第一個(gè)數(shù)是：4＝2×1+2；第3行第一個(gè)數(shù)是：8＝3×2+2；第4行第一個(gè)數(shù)是：14＝4×3+2；???∴第n行第一個(gè)數(shù)是：n（n﹣1）+2．∴第25行第一個(gè)數(shù)是：25×24+2＝602．∴第25行第20個(gè)數(shù)是：602+2×19＝640．故答案為：640．總結(jié)升華：本題主要考查了數(shù)字的變化的規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算．準(zhǔn)確找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．典例4（2019秋?江漢區(qū)期中）有這樣一對(duì)數(shù)，如下表，第n+3個(gè)數(shù)比第n個(gè)數(shù)大2（其中n是正整數(shù)）第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)第5個(gè)……abc（1）第5個(gè)數(shù)表示為；第7個(gè)數(shù)表示為；（2）若第10個(gè)數(shù)是5，第11個(gè)數(shù)是8，第12個(gè)數(shù)為9，則a＝，b＝，c＝；（3）第2019個(gè)數(shù)可表示為．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)第n+3個(gè)數(shù)比第n個(gè)數(shù)大2，即可求解；（2）根據(jù)第n+3個(gè)數(shù)比第n個(gè)數(shù)大2，分別求出第10、11、12個(gè)數(shù)即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律，解：（1）∵第n+3個(gè)數(shù)比第n個(gè)數(shù)大2，∴第5個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大2，∴第5個(gè)數(shù)為b+2．∵第4個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大2，∴第4個(gè)數(shù)為a+2，∴第7個(gè)數(shù)比第4個(gè)數(shù)大2，∴第7個(gè)數(shù)為a+4．故答案為b+2、a+4．（2）∵第10個(gè)數(shù)為a+6，第11個(gè)數(shù)為b+6，第12個(gè)數(shù)為c+6，∴a+6＝5，b+6＝8，c+6＝9解得a＝﹣1，b＝2，c＝3．故答案為﹣1、2、3．（3）第一組數(shù)是a、b、c第二組數(shù)是a+2、b+2、c+2第三組數(shù)是a+4、b+4、c+4第四組數(shù)是a+6、b+6、c+6…第n組數(shù)的第三個(gè)數(shù)是c+（2n﹣2）2019÷3＝673，第2019個(gè)數(shù)是第673組的第三個(gè)數(shù)，∴第673組的第三個(gè)數(shù)是c+2×673﹣2＝c+1344．故答案為c+1344．總結(jié)升華：本題考查了數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是尋找數(shù)字的變化規(guī)律．針對(duì)訓(xùn)練21．（2021秋?播州區(qū)期中）如表被稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”．其規(guī)律是：從第三行起，每行兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和．表中兩平行線之間的一列數(shù)：1，3，6，10，15，…，我們把第一個(gè)數(shù)記為a1，第二個(gè)數(shù)記為a2，第三個(gè)數(shù)記為a3，…，第n個(gè)數(shù)記為an，則a6＝，a2020＝．思路引領(lǐng)：根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以寫出前幾項(xiàng)，從而可以數(shù)字的變化特點(diǎn)，然后即可得到a6和a2020的值．解：由題意可得，a1＝1，a2＝1+2＝3，a3＝1+2+3＝6，a4＝1+2+3+4＝10，a5＝1+2+3+4+5＝15，…，∴an＝1+2+3+…+n=n∴當(dāng)n＝6時(shí)，a6=6×72當(dāng)n＝2020時(shí)，a2020=2020×20212故答案為：21，2041210．總結(jié)升華：本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，求出所求項(xiàng)的值．2．（2018秋?江夏區(qū)期中）已知一列數(shù)：1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、……，將這列數(shù)排成下列形式：按照上述規(guī)律排列下去，第10行數(shù)的第1個(gè)數(shù)是（）A．﹣46 B．﹣36 C．37 D．45思路引領(lǐng)：觀察排列規(guī)律得到第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)，第3行有1個(gè)數(shù)，…，第9行有9個(gè)數(shù)，則可計(jì)算出前9行的數(shù)的個(gè)數(shù)45，而數(shù)字的序號(hào)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)字為負(fù)數(shù)，于是可判斷第10行數(shù)的第1個(gè)數(shù)為﹣46．故選A．解：第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)，第3行有1個(gè)數(shù)，…，第9行有9個(gè)數(shù)，所以前9行的數(shù)的個(gè)數(shù)為1+2+3+…+9＝45，而數(shù)字的序號(hào)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)字為正數(shù)，數(shù)字的序號(hào)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)字為負(fù)數(shù)，所以第10行數(shù)的第1個(gè)數(shù)為﹣46．故選：A．總結(jié)升華：本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，利用數(shù)字與序號(hào)數(shù)的關(guān)系解決這類問題．3．（2017秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，從左邊第一個(gè)格子開始向右數(shù)，在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，使得其中任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等．（1）可求得x＝，第2017個(gè)格子中的數(shù)為．（2）判斷：前m個(gè)格子中所填整數(shù)之和是否可能為2018？若能，求出m的值，若不能，請(qǐng)說明理由．（3）若取前3格子中的任意兩個(gè)數(shù)記作a、b，且a≥b，那么所有的|a﹣b|的和可以通過計(jì)算|9﹣★|+|9﹣☆|+|★﹣☆|得到，其結(jié)果為；若a、b為前19格子中的任意兩個(gè)數(shù)記作a、b，且a≥b，則所有的|a﹣b|的和為．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)三個(gè)相鄰格子的整數(shù)的和相等列式求出x的值，再根據(jù)第9個(gè)數(shù)是2可得☆＝2，然后找出格子中的數(shù)每3個(gè)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，在用2014除以3，根據(jù)余數(shù)的情況確定與第幾個(gè)數(shù)相同即可得解；（2）可先計(jì)算出這三個(gè)數(shù)的和，再照規(guī)律計(jì)算．（3）由于是三個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，因此可用前三個(gè)數(shù)的重復(fù)多次計(jì)算出結(jié)果．解：（1）∵任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等，∴9+★+☆＝★+☆+x，解得：x＝9，★+☆+x＝☆+x﹣6，∴★＝﹣6，所以，數(shù)據(jù)從左到右依次為9、﹣6、☆、9、﹣6、☆、…，第9個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)相同，即☆＝2，所以，每3個(gè)數(shù)“9、﹣6、2”為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵2017÷3＝672…1，∴第2017個(gè)格子中的整數(shù)與第1個(gè)格子中的數(shù)相同，為9．故答案為：9，9；（2）9﹣6+2＝5，2018＝2015+3＝2015+9﹣6，2015÷5＝403，403×3＝1209，所以是第1209+1+1＝1211個(gè)數(shù)，即m＝1211，故前1211個(gè)數(shù)的和為2018；（3）∵取前3格子中的任意兩個(gè)數(shù)，記作a、b，且a≥b，∴所有的|a﹣b|的和為：|9﹣（﹣6）|+|9﹣2|+|﹣6﹣2|＝30．∵由于是三個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，那么前19個(gè)格子中，這三個(gè)數(shù)，9出現(xiàn)了7次，﹣6和2各出現(xiàn)了6次．∴代入式子可得：|9﹣（﹣6）|×7×6+|9﹣2|×7×6+|2﹣（﹣6）|×6×6＝1212．故答案為：30，1212．總結(jié)升華：本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是找出數(shù)字間的關(guān)系，得出規(guī)律．類型三圖形的增長(zhǎng)規(guī)律典例4（2021?漢川市模擬）古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10、…，這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16、…，這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．從圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和．則第10個(gè)圖形中右下方的“三角形數(shù)”中的所有點(diǎn)數(shù)是．思路引領(lǐng)：觀察圖象中點(diǎn)的個(gè)數(shù)的規(guī)律有第一個(gè)圖形是4＝1+3，第二個(gè)圖形是9＝3+6，第三個(gè)圖形是16＝6+10，…則按照此規(guī)律得到第10個(gè)圖形的規(guī)律即可．解：∵第1個(gè)圖形是4＝1+（1+2），第2個(gè)圖形是9＝（1+2）+（1+2+3），第3個(gè)圖形是16＝（1+2+3）+（1+2+3+4），…∴第10個(gè)圖形是112＝（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）＝55+66．故答案為：66．總結(jié)升華：此題考查圖形的變化規(guī)律，通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．典例5（2020秋?江夏區(qū)期中）按照如圖所示的方法排列黑色小正方形地磚，則第14個(gè)圖案中黑色小正方形地磚的數(shù)量是（）A．360 B．363 C．365 D．369思路引領(lǐng)：觀察圖形可知，黑色與白色的地磚的個(gè)數(shù)的和是連續(xù)奇數(shù)的平方，而黑色地磚比白色地磚多1個(gè)，求出第n個(gè)圖案中的黑色與白色地磚的和，然后求出黑色地磚的塊數(shù)，再把n＝14代入進(jìn)行計(jì)算即可．解：第1個(gè)圖案只有（2×1﹣1）2＝12＝1塊黑色地磚，第2個(gè)圖案有黑色與白色地磚共（2×2﹣1）2＝32＝9，其中黑色的有12（9+1）＝5第3個(gè)圖案有黑色與白色地磚共（2×3﹣1）2＝52＝25，其中黑色的有12（25+1）＝13…第n個(gè)圖案有黑色與白色地磚共（2n﹣1）2，其中黑色的有12[（2n﹣1）2+1]當(dāng)n＝14時(shí)，黑色地磚的塊數(shù)有12×[（2×14﹣1）2+1]=12故選：C．總結(jié)升華：本題考查圖形的變化規(guī)律，觀察圖形找出黑色與白色地磚的總塊數(shù)與圖案序號(hào)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練31．（2021秋?中山市期中）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第10個(gè)圖形共有個(gè)〇．思路引領(lǐng)：觀察圖形的變化先得前幾個(gè)圖形中圓圈的個(gè)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n個(gè)圖形共有（3n+1）個(gè)〇，進(jìn)而可得結(jié)果．解：觀察圖形的變化可知：第1個(gè)圖形共有1×3+1＝4個(gè)〇；第2個(gè)圖形共有2×3+1＝7個(gè)〇；第3個(gè)圖形共有3×3+1＝10個(gè)〇；…所以第n個(gè)圖形共有（3n+1）個(gè)〇；所以第10個(gè)圖形共有10×3+1＝31個(gè)〇；故答案為：31．總結(jié)升華：本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律．2．（2018秋?硚口區(qū)期中）對(duì)于大于或等于2的整數(shù)的平方進(jìn)行如下“分裂”，如下分別將22、32、42分裂成從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和，依此規(guī)律，則20182的分裂數(shù)中最大的奇數(shù)是．思路引領(lǐng)：由題意可知：每個(gè)數(shù)中所分解的最大的奇數(shù)是前邊底數(shù)的2倍減去1．由此得出答案即可．解：自然數(shù)n2的分裂數(shù)中最大的奇數(shù)是2n﹣1．20182分裂的數(shù)中最大的奇數(shù)是2×2018﹣1＝4035，故答案為：4035．總結(jié)升華：此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，注意根據(jù)具體的數(shù)值進(jìn)行分析分解的最大的奇數(shù)和底數(shù)的規(guī)律，從而推廣到一般．3．（2022?仙居縣校級(jí)開學(xué)）如圖，都是由棱長(zhǎng)為1的正方體疊成的立體圖形，例如第（1）個(gè)圖形由1個(gè)正方體疊成，第（2）個(gè)圖形由4個(gè)正方體疊成，第（3）個(gè)圖形由10個(gè)正方體疊成，依次規(guī)律，第（10）個(gè)圖形由（）個(gè)正方體疊成．A．120 B．165 C．220 D．286思路引領(lǐng)：根據(jù)圖形的變換規(guī)律，可知第n個(gè)圖形中的正方體的個(gè)數(shù)為1+3+6+?+n(n解：由圖可得：第（1）個(gè)圖形中正方體的個(gè)數(shù)為1；第（2）個(gè)圖形中正方體的個(gè)數(shù)為4＝1+3；第（3）個(gè)圖形中正方體的個(gè)數(shù)為10＝1+3+6；第（4）個(gè)圖形中正方體的個(gè)數(shù)為20＝1+3+6+10；故第n個(gè)圖形中的正方體的個(gè)數(shù)為1+3+6+?+n∴第10個(gè)圖形中正方體的個(gè)數(shù)為1+3+6+10+15+21+28+36+45+55＝220．故選：C．總結(jié)升華：本題主要考查了圖形變化類問題，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)圖形得到變換規(guī)律．解題時(shí)注意：第n個(gè)圖形中的正方體的個(gè)數(shù)為1+3+6+?+n類型四乘方規(guī)律典例6（2022?內(nèi)蒙古）觀察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得70+71+72+…+72022的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（）A．0 B．1 C．7 D．8思路引領(lǐng)：由已知可得7n的尾數(shù)1，7，9，3循環(huán)，則70+71+…+72022的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字與70+71+72的個(gè)位數(shù)字相同，即可求解．解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…∴7n的尾數(shù)1，7，9，3循環(huán)，∴70+71+72+73的個(gè)位數(shù)字是0，∵2023÷4＝505…3，∴70+71+…+72022的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字與70+71+72的個(gè)位數(shù)字相同，∴70+71+…+72022的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是7，故選：C．總結(jié)升華：本題考查數(shù)的尾數(shù)特征，能夠通過所給數(shù)的特點(diǎn)，確定尾數(shù)的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．典例7（2022秋?東港區(qū)校級(jí)月考）求1+2+22+23+……+22007的值，可令S＝1+2+22+23+……+22007，則2S＝2+22+23+24+……+22008，因此2S﹣S＝22009﹣1，即S＝22009﹣1，仿照以上推理，計(jì)算出1+3+32+33+……+32022值為32023-思路引領(lǐng)：令S＝1+3+32+33+……+32022，則3S＝3+32+33+……+32023，作差求出S即可．解：令S＝1+3+32+33+……+32022，則3S＝3+32+33+……+32023，∴3S﹣S＝32023﹣1，則S=3即1+3+32+33+……+32022=3故答案為：32023總結(jié)升華：本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的求和方法，靈活應(yīng)用此方法求和是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練41．（2021秋?羅湖區(qū)期中）觀察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；……，已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2501，2502，2503，……，2999，21000．若2500＝a，用含a的式子表示這組數(shù)之和是（）A．2a2﹣2a B．2a10﹣2a5﹣2 C．2a2﹣a D．2a20﹣a思路引領(lǐng)：把所求的數(shù)列的各數(shù)提取2500，可得：2500×（2+22+23+…+2499+2500），利用所給的等式的規(guī)律求解即可．解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…，∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴2501+2502+2503+…+2999+21000＝2500×（2+22+23+…+2499+2500）＝2500×（2500+1﹣2）＝2500×（2×2500﹣2），∵2500＝a，∴原式＝a（2a﹣2）＝2a2﹣2a．故選：A．總結(jié)升華：本題主要考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出規(guī)律．2．（2019秋?汾陽市期末）任意大于1的正整數(shù)m的三次冪均可“分裂”成m個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此規(guī)律，若m3分裂后，其中有一個(gè)奇數(shù)是203，則m的值是（）A．13 B．14 C．15 D．16思路引領(lǐng)：觀察可知，分裂成的奇數(shù)的個(gè)數(shù)與底數(shù)相同，然后求出到m3的所有奇數(shù)的個(gè)數(shù)的表達(dá)式，再求出奇數(shù)203的是從3開始的第101個(gè)數(shù)，然后確定出101所在的范圍即可得解．解：∵底數(shù)是2的分裂成2個(gè)奇數(shù)，底數(shù)為3的分裂成3個(gè)奇數(shù)，底數(shù)為4的分裂成4個(gè)奇數(shù)，∴m3分裂成m個(gè)奇數(shù)，所以，到m3的奇數(shù)的個(gè)數(shù)為：2+3+4+…+m=(∵2n+1＝203，n＝101，∴奇數(shù)203是從3開始的第101個(gè)奇數(shù)，∵(13+2)(13-1)2=90，(14+2)(14-1)∴第101個(gè)奇數(shù)是底數(shù)為14的數(shù)的立方分裂的奇數(shù)的其中一個(gè)，即m＝14．故選：B．總結(jié)升華：本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出分裂的奇數(shù)的個(gè)數(shù)與底數(shù)相同是解題的關(guān)鍵，還要熟練掌握求和公式．3．在求兩位數(shù)的平方時(shí)，可以用“列豎式”的方法進(jìn)行速算，求解過程如圖所示：則第4個(gè)方框中x+y的值是（）A．11 B．12 C．13 D．14思路引領(lǐng)：找出求解過程圖中的規(guī)律，利用此規(guī)律求得m，n，x，y的值，將相應(yīng)字母的值代入即可得出結(jié)論．解：求解過程圖中的表格中的規(guī)律為：第一行前兩個(gè)格為十位數(shù)字的平方，后兩個(gè)格為個(gè)位數(shù)字的平方，平方后不是兩位數(shù)，十位數(shù)字用0代替，第二行從第二個(gè)格開始表示的是兩位數(shù)中個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積的2倍，第三行為從右開始將一二行數(shù)字相加的和，足10進(jìn)1，∵62＝36，∴m＝3，n＝6，∵6×7×2＝84，∴x＝8，y＝4，∴x+y＝12．故選：B．總結(jié)升華：本題主要考查了有理數(shù)的乘方，求代數(shù)式的值，找出求解過程圖中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．類型五幻方規(guī)律典例8（2021秋?江陰市期中）小學(xué)時(shí)候大家喜歡玩的幻方游戲，老師稍加創(chuàng)新改成了“幻圓”游戲，現(xiàn)在將﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等，老師已經(jīng)幫助同學(xué)們完成了部分填空，則圖中a+b的值為（）A．﹣6或﹣3 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1思路引領(lǐng)：由于八個(gè)數(shù)的和是4，所以需滿足兩個(gè)圈的和是2，橫、豎的和也是2．列等式可得結(jié)論．解：設(shè)小圈上的數(shù)為c，大圈上的數(shù)為d，﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4，∵橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等，∴兩個(gè)圈的和是2，橫、豎的和也是2，則﹣7+6+b+8＝2，得b＝﹣5，6+4+b+c＝2，得c＝﹣3，a+c+4+d＝2，a+d＝1，∵當(dāng)a＝﹣1時(shí)，d＝2，則a+b＝﹣1﹣5＝﹣6，當(dāng)a＝2時(shí)，d＝﹣1，則a+b＝2﹣5＝﹣3，故選：A．總結(jié)升華：本題考查了有理數(shù)的加法．解決本題的關(guān)鍵是知道橫豎兩個(gè)圈的和都是2．典例9（2020?冷水江市一模）我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：將1～9這九個(gè)數(shù)字填入3×3的方格內(nèi)，使三行、三列、兩對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等．如圖的幻方中，m＝．思路引領(lǐng)：根據(jù)“每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等”解答即可．解：1+2+3+…+9＝45，根據(jù)“每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等”，可知三行、三列、兩對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于15，∴第一列第三個(gè)數(shù)為：15﹣2﹣5＝8，第三列第二個(gè)數(shù)為：15﹣3﹣5＝7，第三個(gè)數(shù)為：15﹣2﹣7＝6，如圖所示：∴m＝15﹣8﹣6＝1．故答案為：1．總結(jié)升華：本題考查數(shù)的特點(diǎn)和有理數(shù)的加法，抓住每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等，數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練51．（2021秋?南安市期中）現(xiàn)有七個(gè)數(shù)﹣1，﹣2，﹣2，﹣4，﹣4，﹣8，﹣8將它們填入圖1（3個(gè)圓兩兩相交分成7個(gè)部分）中，使得每個(gè)圓內(nèi)部的4個(gè)數(shù)之積相等，設(shè)這個(gè)積為m，如圖2給出了一種填法，此時(shí)m＝64，在所有的填法中，m的最大值為256．思路引領(lǐng)：觀察圖象，可得這7個(gè)數(shù)，有的被乘了1次，2次，3次．要使得每個(gè)圓內(nèi)部的4個(gè)數(shù)之積相等且最大所以﹣8，﹣8必須放在被乘兩次的位置．與﹣8，﹣8同圓的只能為﹣1，﹣4，其中﹣4放在中心位置，可得m＝256解：觀察圖象，可得這7個(gè)數(shù)，有的被乘了1次，2次，3次．要使得每個(gè)圓內(nèi)部的4個(gè)數(shù)之積相等且最大所以﹣8，﹣8必須放在被乘兩次的位置．與﹣8，﹣8同圓的只能為﹣1，﹣4，其中﹣4放在中心位置，如圖∴m＝（﹣8）×（﹣8）×（﹣1）×（﹣4）＝256總結(jié)升華：本題考查有理數(shù)的乘法，關(guān)鍵是找到兩個(gè)（﹣8）的位置．2．將9個(gè)數(shù)填入幻方的九個(gè)方格中，使處于同一橫行、同一豎列、同一斜對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和相等，如表一：按此規(guī)律將滿足條件的另外6個(gè)數(shù)填入表二，則表二中這9個(gè)數(shù)的和為（用含a的整式表示）．表一492357816表二a+5a+1a﹣1思路引領(lǐng)：根據(jù)同一橫行、同一豎列、同一斜對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和相等作出圖形，根據(jù)題意列出關(guān)于a與x的方程，可得x＝a+2，進(jìn)一步求出這9個(gè)數(shù)的和即可．解：如圖所示：4+x+a﹣1+a+3＝a﹣3+a+1+a+3，解得x＝a﹣5，a+3+x+a+3＝2a+6+a﹣5＝3a+1，3（3a+1）＝9a+3．故答案為：9a+3．總結(jié)升華：此題考查了列代數(shù)式，整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．類型六其他規(guī)律典例10（2019秋?武昌區(qū)校級(jí)期中）某初中七（5）班學(xué)生軍訓(xùn)排列成7×7＝49人的方陣，做了一個(gè)游戲，起初全體學(xué)生站立，教官每次任意點(diǎn)4個(gè)不同學(xué)號(hào)的學(xué)生，被點(diǎn)到的學(xué)生，站立的蹲下，蹲下的站立，且學(xué)生都正確完成指令，同一名學(xué)生可以多次被點(diǎn)，則15次點(diǎn)名后蹲下的學(xué)生人數(shù)可能是（）A．3 B．27 C．49 D．以上都不可能思路引領(lǐng)：假設(shè)站立記為“+1”，則蹲下為“﹣1”．原來49個(gè)“+1”，乘積為“+1”，每次改變其中的4個(gè)數(shù)，即每次運(yùn)算乘以4個(gè)“﹣1”，即乘以了“+1”，乘積為“+1”，即可得出結(jié)論．解：假設(shè)站立記為“+1”，則蹲下為“﹣1”．原來49個(gè)“+1”，乘積為“+1”，每次改變其中的4個(gè)數(shù)，即每次運(yùn)算乘以4個(gè)“﹣1”，即乘以了“+1”，15次點(diǎn)名后，乘積仍然是“+1”，所以，最后出現(xiàn)“﹣1”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，即蹲下的學(xué)生人數(shù)為偶數(shù)，選項(xiàng)A，B，C都不符合題意，故選：D．總結(jié)升華：此題主要考查了奇數(shù)與偶數(shù)，有理數(shù)乘法中積的符號(hào)的判斷，解決本題的關(guān)鍵是利用有理數(shù)的乘法進(jìn)行解決．針對(duì)訓(xùn)練61．（2019秋?硚口區(qū)期中）把幾個(gè)不同的數(shù)用大括號(hào)括起來，相鄰兩個(gè)數(shù)之間用逗號(hào)隔開，如：{1，2}；{1，4，7}；…我們稱之為集合，其中的每一個(gè)數(shù)稱為該集合的元素．規(guī)定：當(dāng)整數(shù)x是集合的一個(gè)元素時(shí)，100﹣x也必是這個(gè)集合的元素，這樣的集合又稱為黃金集合，例如{﹣1，101}就是一個(gè)黃金集合．若一個(gè)黃金集合所有元素之和為整數(shù)m，且1180＜m＜1260，則該黃金集的元素的個(gè)數(shù)是（）A．23 B．24 C．24或25 D．26思路引領(lǐng)：由黃金集合的定義，可知一個(gè)整數(shù)是x，則必有另一個(gè)整數(shù)是100﹣x，則這兩個(gè)整數(shù)的和為x+100﹣x＝100，只需判斷1180＜m＜1260內(nèi)100的個(gè)數(shù)即可求解．解：在黃金集合中一個(gè)整數(shù)是x，則必有另一個(gè)整數(shù)是100﹣x，∴兩個(gè)整數(shù)的和為x+100﹣x＝100，由題意可知，1180＜m＜1260時(shí)，100×12＝1200，100×13＝1300，∴這個(gè)黃金集合的個(gè)數(shù)是24或25個(gè)；故選：C．總結(jié)升華：本題考查有理數(shù)，新定義；理解題意，通過兩個(gè)對(duì)應(yīng)元素和的特點(diǎn)，結(jié)合m的取值范圍，進(jìn)而確定元素個(gè)數(shù)是解題關(guān)鍵．專題提優(yōu)訓(xùn)練1．觀察下面一列數(shù)：1，12，2，13，1，3，14，23，32，4，15，12，1，2，5（1）第7，第8，第9，第10個(gè)數(shù)的積是，前16個(gè)數(shù)的積是；（2）按此規(guī)律，第30個(gè)數(shù)是；（3）在上面這列數(shù)中，從左起第m個(gè)數(shù)記為F（m），當(dāng)F（m）=92020時(shí)，求思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)規(guī)律直接寫出數(shù)計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意將數(shù)字從左邊開始分別以1個(gè)數(shù)，2個(gè)數(shù)，3個(gè)數(shù)，…，為一組，每組數(shù)據(jù)的積為1，且分子遞增1，分母遞減1，然后根據(jù)規(guī)律得出第30個(gè)數(shù)即可；（3）根據(jù)F（m）=92020判斷出F（m）是第幾組第幾個(gè)數(shù)即可得出解：（1）根據(jù)題意知，第7，第8，第9，第10個(gè)數(shù)的積是14×23×32×4＝1，前16個(gè)數(shù)的積是1×（12×2）×（13故答案為：1，16（2）由（1）知，將數(shù)字從左邊開始分別以1個(gè)數(shù)，2個(gè)數(shù)，3個(gè)數(shù)，…，為一組，每組數(shù)據(jù)的積為1，且分子遞增1，分母遞減1，∵1+2+3+4+5+6+7＝28，∴第30個(gè)數(shù)在第8組的第2個(gè)數(shù)，即1+18-1故答案為：27（3）∵F（m）=92020，2020+9＝∴F（m）是第2028組第9個(gè)數(shù)，前面有2027組數(shù)，∴m＝（1+2+3+4+…+2027）+9=1+20272總結(jié)升華：本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的變化分組分析規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?丹江口市期中）觀察一列數(shù)：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…，將這列數(shù)排成下列形式：（1）在表中，第12行第6個(gè)數(shù)是；（2）在表中，“2021”是其中的第行，第個(gè)數(shù)；（3）將表中第i行的最后一個(gè)數(shù)記為ai，如第1行的最后一個(gè)數(shù)記為a1，即a1＝1，第2行的最后一個(gè)數(shù)記為a2，即a2＝3，如此下去，a3＝﹣6，a4＝﹣10，…，第n行的最后一個(gè)數(shù)記為an，則用含n的式子表示|an|為；（4）在（3）的條件下，計(jì)算1a思路引領(lǐng)：（1）先求出前11行一共有66，即可求解；（2）求出前n行共有n(n+1)2個(gè)數(shù)，再求前63行共有（3）由題意可得，1+2+3+......+n=n（4）原式=2(1-1解：（1）由題可知，第一行1個(gè)數(shù)，第二行2個(gè)數(shù)，…，第n行n個(gè)數(shù)，∴前11行一共有1+2+3+…+11＝66，∴第12行第一個(gè)數(shù)是67，∴第12行第6個(gè)數(shù)是﹣72，故答案為：﹣72；（2）由題意可得，前n行共有n(∴當(dāng)n＝63時(shí)，前63行共有2016個(gè)數(shù)，∴2021時(shí)第64行的第5個(gè)數(shù)，故答案為：64，5；（3）由題意可得，1+2+3+......+n=n∴|an|=n故答案為：n(（4）1=1=2(1=2(1-1=2(1-1=20總結(jié)升華：本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題意探索數(shù)字的排列規(guī)律是解的關(guān)鍵．3．（2022?東莞市校級(jí)一模）找出以下圖形變化的規(guī)律，則第2022個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是3033．思路引領(lǐng)：仔細(xì)觀察圖形并從中找到規(guī)律，然后利用找到的規(guī)律即可得到答案．解：∵當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)第n個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為n+12n個(gè)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)第n個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為n+12∴當(dāng)n＝2022時(shí)，黑色正方形的個(gè)數(shù)為2022+1011＝3033個(gè)．故答案為：3033．總結(jié)升華：本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)的觀察圖形并正確的找到規(guī)律．4．（2020秋?西城區(qū)校級(jí)期中）古希臘畢達(dá)格拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究各種多邊形數(shù)，比如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，…．由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．（1）請(qǐng)你寫出一個(gè)既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的自然數(shù)．（2）類似地，我們將k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)記為N（n，k）（k≥3）．以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)：N（n，3）=12n2正方形數(shù)：N（n，4）＝n2五邊形數(shù)：N（n，5）=32n2六邊形數(shù)：N（n，6）＝2n2﹣n…根據(jù)以上信息，得出N（n，k）＝．（用含有n和k的代數(shù)式表示）思路引領(lǐng)：（1）由題意得第8個(gè)圖的三角形數(shù)是36，所以既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)，且大于1的最小正整數(shù)為36；（2）由已知等式進(jìn)行變形進(jìn)而可推出結(jié)果．解：（1）由題意第8個(gè)圖的三角形數(shù)為12×8（8+1）＝∴既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)，且大于1的最小正整數(shù)為36，故答案為36．（2）∵N（n，3）=nN（n，4）＝n2=2N（n，5）=32n2-1N（n，6）＝2n2﹣n=4由此推斷出N（n，k）=(k-2)n故答案為：(k-2)n2總結(jié)升華：本題考查三角形數(shù)、正方形數(shù)的規(guī)律、完全平方數(shù)與歸納推理等知識(shí)，觀察已知式子的規(guī)律并改寫形式是解決問題的關(guān)鍵．5．（2020秋?江夏區(qū)校級(jí)月考）觀察下列等式：12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，…，若12+22+32+42+52+…+n2的個(gè)位數(shù)字是1（0＜n≤2020，且n為整數(shù)），下列選項(xiàng)中，n的最大值是（）A．2001 B．2006 C．2011 D．2019思路引領(lǐng)：通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)每10個(gè)數(shù)，末位數(shù)字循環(huán)一次，再結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求解．解：∵12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，112＝121，122＝144，132＝169，…，∴每10個(gè)數(shù)，末位數(shù)字循環(huán)一次，∴1+4+9+6+5+6+9+4+1+0＝45，∵2001÷10＝200……1，∴200×45+1＝9001；∵2006÷10＝200……6