2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊單元速記·巧練（湘教版）第三章 因式分解（單元重點(diǎn)綜合測試）（解析版）

第三章因式分解（單元重點(diǎn)綜合測試）（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：120分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（本題3分）（2023上·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的基本方法，提取公因式、平方差公式、完全平方公式進(jìn)行求解，即可得到答案．本題主要考查了因式分解，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握提公因式法，公式法因式分解，注意不要漏項(xiàng)．【詳解】A．，所以錯(cuò)誤，不符合題意；B．有理數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，所以錯(cuò)誤，不符合題意；C．，所以正確，符合題意；D．有理數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，所以錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．2．（本題3分）（2024上·重慶渝北·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，則的值為（

）A．1 B．0 C． D．【答案】A【分析】先利用平方差公式分解因式，再運(yùn)用整體的思想求代數(shù)式的值，熟練掌握和運(yùn)用平方差公式是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，故選：A3．（本題3分）（2024上·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式中，能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了利用平方差公式進(jìn)行因式分解，根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)逐項(xiàng)分析即可，熟練掌握是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、是平方和的性質(zhì)，不能因式分解，故該選項(xiàng)不符合題意；B、，故該選項(xiàng)符合題意；C、，不能用平方差公式分解，故該選項(xiàng)不符合題意；D、，不能用平方差公式分解，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．4．（本題3分）（2023上·山東淄博·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列因式分解中：①；②；③；④，正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①，原式因式分解錯(cuò)誤；②，原式因式分解正確；③，原式因式分解正確；④，原式因式分解錯(cuò)誤；∴正確的有2個(gè)，故選：B．5．（本題3分）（2024上·安徽蕪湖·八年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解，其中m、n都為整數(shù)，則m的值是（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】本題主要考查了因式分解與多項(xiàng)式乘法之間的關(guān)系，根據(jù)多項(xiàng)式乘法把等式右邊展開得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．6．（本題3分）（2024上·上海普陀·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果，那么的值是（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】本題考查了因式分解，代數(shù)式求值，根據(jù)已知可得，根據(jù)完全平方公式因式分解代數(shù)式，進(jìn)而代入即可求解．【詳解】解：∵∴，則，∴，故選：A．7．（本題3分）（2023下·廣東茂名·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）小林是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：，，3，，，分別對應(yīng)六個(gè)字：國，愛，我，數(shù)，學(xué)，祖，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）A．我愛數(shù)學(xué) B．愛祖國 C．祖國數(shù)學(xué) D．我愛祖國【答案】D【分析】將所給的多項(xiàng)式先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止，從而結(jié)合密碼手冊即可得出答案．【詳解】解：，而3對應(yīng)的是我，對應(yīng)的是國，對應(yīng)的是祖，對應(yīng)的是愛，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是我愛祖國，故選：D．8．（本題3分）（2023上·河南南陽·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在多項(xiàng)式上添加一個(gè)單項(xiàng)式，使得到的多項(xiàng)式可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則添加的單項(xiàng)式不可以是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查完全平方公式的運(yùn)用，根據(jù)完全平方和（差）公式的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：A選項(xiàng)，，可以構(gòu)成完全平方和公式，不符合題意；B選項(xiàng)，，可以構(gòu)成完全平方差公式，不符合題意；C選項(xiàng)，，可以構(gòu)成完全平方和公式，不符合題意；D選項(xiàng)，，不可以構(gòu)成完全平方公式，符合題意．故選：D．9．（本題3分）（2023上·陜西延安·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若為任意整數(shù)，則的值總能（

）A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除【答案】A【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，用平方差公式進(jìn)行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數(shù)或式．【詳解】解：，的值總能被4整除，因此的值總能被4整除，故選A．10．（本題3分）（2024上·四川內(nèi)江·八年級(jí)?？计谥校┤?，則代數(shù)式的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，由，，的代數(shù)式，求出，，的值，原式利用完全平方公式變形后代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，，，，，，則，當(dāng)，，時(shí)，原式．故選：D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（本題3分）（2024上·廣東肇慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式：．【答案】【分析】本題考查的是因式分解，利用平方差公式分解因式即可，熟記平方差公式是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：12．（本題3分）（2023上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）用提公因式法分解因式時(shí)，從多項(xiàng)式中提出的公因式為．【答案】【分析】本題考查了因式分解-提公因式法，確定一個(gè)多項(xiàng)式的公因式時(shí)，要對數(shù)字系數(shù)和字母分別進(jìn)行考慮，可歸納為“五看”：一看系數(shù)，若各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)，應(yīng)提取各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)；二看字母，公因式的字母是各項(xiàng)相同的字母；三看字母的指數(shù)，各相同字母的指數(shù)取指數(shù)最低的；四看整體，如果多項(xiàng)式中含有相同的多項(xiàng)式，應(yīng)將其看成整體，不要拆開；五看首項(xiàng)符號(hào)，若多項(xiàng)式中首項(xiàng)的符號(hào)為“－”，則公因式的符號(hào)一般為負(fù)．正確找出公因式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，從多項(xiàng)式中提出的公因式為，故答案為：．13．（本題3分）（2024上·寧夏吳忠·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，則．【答案】【分析】本題考查了利用提公因式法因式分解，代數(shù)式求值，先對代數(shù)式進(jìn)行添括號(hào)變形，再提取公因式因式分解，把，代入因式分解后的式子計(jì)算即可求解，正確提取出公因式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∵，，∴原式，故答案為：．14．（本題3分）（2024上·重慶綦江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)長為a，寬為b的長方形的周長為12，面積為7，則的值為．【答案】42【分析】此題考查了提取公因式法分解因式，正確分解因式是解題關(guān)鍵．利用長方形的性質(zhì)得出和的值，進(jìn)而將原式變形得出答案．【詳解】解：∵長為a，寬為b的長方形的周長為12，面積為7，∴，故，，則．故答案為：42．15．（本題3分）（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）若，則M與N的大小關(guān)系為．【答案】/【分析】本題考查了整式的加減，完全平方公式因式分解，計(jì)算，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵∴∴，故答案為：．16．（本題3分）（2024上·重慶長壽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對于任意的正整數(shù)，所有形如的數(shù)的最大公約數(shù)是．【答案】【分析】主要考查了利用因式分解的方法解決實(shí)際問題．要先分解因式并根據(jù)其實(shí)際意義來求解．把所給的等式因式分解，因?yàn)?、、是連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，所以其中必有一個(gè)是的倍數(shù)、一個(gè)是的倍數(shù)，所以原式一定是的倍數(shù)，即最大公約數(shù)為．【詳解】解：，、、是連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，其中必有一個(gè)是2的倍數(shù)、一個(gè)是3的倍數(shù)，一定是的倍數(shù)，又的最小值是，最大公約數(shù)為，故答案為：．17．（本題3分）（2019下·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：.【答案】【分析】原式利用平方差公式分解，約分即可得到結(jié)果．【詳解】解：原式==，故答案為18．（本題3分）（2021下·浙江·七年級(jí)期中）如圖，邊長為4的正方形ABCD中放置兩個(gè)長寬分別為a，b的長方形AEFG與長方形CHIJ，如圖陰影部分的面積之和記為，長方形AEFG的面積記為，若，，則長方形AEFG的周長為．【答案】【分析】根據(jù)可設(shè)a＝3x，b＝2x，由此可表示出相關(guān)線段長，進(jìn)而可表示出S1＝38x2－80x＋48，S2＝6x2，再根據(jù)即可列出等式化簡整理可得（6x－5）2＝0，由此可求得x＝，最后根據(jù)長方形的周長公式即可求得答案．【詳解】解：∵，∴設(shè)a＝3x，b＝2x，則AG＝EF＝CJ＝HI＝3x，AE＝FG＝CH＝IJ＝2x，∵正方形ABCD的邊長為4，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴BH＝BE＝4－2x，DG＝DJ＝4－3x，IP＝IQ＝3x－(4－2x)＝5x－4，∴S1＝S正方形BEPH＋S正方形IPFQ＋S正方形DGQJ＝（4－2x）2＋（5x－4）2＋（4－3x）2＝16－16x＋4x2＋25x2－40x＋16＋16－24x＋9x2＝38x2－80x＋48，S2＝ab＝3x·2x＝6x2，又∵，∴3（38x2－80x＋48）＋5×6x2＝44，∴114x2－240x＋144＋30x2＝44，∴144x2－240x＋100＝0，∴36x2－60x＋25＝0，∴（6x－5）2＝0，解得：x＝，∴C長方形AEFG＝2（a＋b）＝2（3x＋2x）＝10x＝10×＝，故答案為：．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（本題6分）（2023上·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解答本題的關(guān)鍵．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．（1）用平方差公式分解即可；（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解．【詳解】（1）（2）20．（本題6分）（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式因式分解，即可求解；（2）根據(jù)平方差公式因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．21．（本題8分）（2023下·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）已知，求的值．【答案】【詳解】解：，，，．22．（本題8分）（2021下·四川成都·七年級(jí)?？计谥校┤绻?，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】由已知可得，然后對所求式子變形，再整體代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴．23．（本題9分）（2018下·七年級(jí)單元測試）兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成，另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而分解成，求出原多項(xiàng)式．【答案】【分析】由于含字母x的二次三項(xiàng)式的一般形式為ax2+bx+c（其中a、b、c均為常數(shù)，且abc≠0），所以可設(shè)原多項(xiàng)式為ax2+bx+c．看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)即b值看錯(cuò)而a與c的值正確，根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算，可將2（x-1）（x-9）運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則展開求出a與c的值；同樣，看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)即c值看錯(cuò)而a與b的值正確，可將2（x-2）（x-4）運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則展開求出b的值，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：設(shè)原多項(xiàng)式為（其中，，均為常數(shù)，且）．因?yàn)椋?，，又因?yàn)?，所以，所以原多?xiàng)式為．24．（本題9分）（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）我們知道幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，只有這幾個(gè)數(shù)同時(shí)等于0才成立，如．因?yàn)槎际欠秦?fù)數(shù)，則，可求得，可求得．應(yīng)用上述知識(shí)解答下列各題：(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得．?）因?yàn)椋?，所以，所以，解得，所以?5．（本題10分）（2023上·山東日照·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：若，求m、n的值．解：∵，∴∴，∴，，∴，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則______，______(2)已知的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足．求的周長．(3)當(dāng)a，b為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最小值，并求出這個(gè)最小值．【答案】(1)2，0(2)7(3)，23【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，偶次方的非負(fù)性，三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是熟記完全平方公式并靈活運(yùn)用．（1）把原式變形為，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)完全平方公式平方式的非負(fù)性求得a、b，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得c，進(jìn)而求解即可；（3）把原式變形為，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）∵，∴，∴．∵，∴，∴．故答案為：2，0；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∵的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，∴，即，∴，∴的周長為．（3）∵，∵，∴當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式有最小值23．26．（本題10分）（2022下·貴州銅仁·七年級(jí)統(tǒng)考期中）(1)【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項(xiàng)式分解因式呢？我們已經(jīng)知道：．反過來，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)的系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，并且把，，，，如圖1所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，把常數(shù)項(xiàng)也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)，于是就可以分解為．請同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解與應(yīng)用】請你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：①

__________；②

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