2023-2024學年七年級數(shù)學下冊單元速記·巧練（湘教版）第三章 因式分解（單元重點綜合測試）（解析版）

第三章因式分解（單元重點綜合測試）（考試時間：120分鐘；滿分：120分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（本題3分）（2023上·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的基本方法，提取公因式、平方差公式、完全平方公式進行求解，即可得到答案．本題主要考查了因式分解，解決問題的關鍵是熟練掌握提公因式法，公式法因式分解，注意不要漏項．【詳解】A．，所以錯誤，不符合題意；B．有理數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，所以錯誤，不符合題意；C．，所以正確，符合題意；D．有理數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，所以錯誤，不符合題意．故選：C．2．（本題3分）（2024上·重慶渝北·八年級統(tǒng)考期末）已知，，則的值為（

）A．1 B．0 C． D．【答案】A【分析】先利用平方差公式分解因式，再運用整體的思想求代數(shù)式的值，熟練掌握和運用平方差公式是解本題的關鍵．【詳解】解：，，故選：A3．（本題3分）（2024上·北京大興·八年級統(tǒng)考期末）下列各式中，能用平方差公式進行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了利用平方差公式進行因式分解，根據(jù)平方差公式的結構特點逐項分析即可，熟練掌握是解此題的關鍵．【詳解】解：A、是平方和的性質(zhì)，不能因式分解，故該選項不符合題意；B、，故該選項符合題意；C、，不能用平方差公式分解，故該選項不符合題意；D、，不能用平方差公式分解，故該選項不符合題意；故選：B．4．（本題3分）（2023上·山東淄博·八年級?？茧A段練習）下列因式分解中：①；②；③；④，正確的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解題的關鍵．【詳解】解：①，原式因式分解錯誤；②，原式因式分解正確；③，原式因式分解正確；④，原式因式分解錯誤；∴正確的有2個，故選：B．5．（本題3分）（2024上·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期末）因式分解，其中m、n都為整數(shù)，則m的值是（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】本題主要考查了因式分解與多項式乘法之間的關系，根據(jù)多項式乘法把等式右邊展開得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．6．（本題3分）（2024上·上海普陀·七年級統(tǒng)考期末）如果，那么的值是（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】本題考查了因式分解，代數(shù)式求值，根據(jù)已知可得，根據(jù)完全平方公式因式分解代數(shù)式，進而代入即可求解．【詳解】解：∵∴，則，∴，故選：A．7．（本題3分）（2023下·廣東茂名·八年級校聯(lián)考階段練習）小林是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：，，3，，，分別對應六個字：國，愛，我，數(shù)，學，祖，現(xiàn)將因式分解，結果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）A．我愛數(shù)學 B．愛祖國 C．祖國數(shù)學 D．我愛祖國【答案】D【分析】將所給的多項式先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一個因式都不能再分解為止，從而結合密碼手冊即可得出答案．【詳解】解：，而3對應的是我，對應的是國，對應的是祖，對應的是愛，結果呈現(xiàn)的密碼信息可能是我愛祖國，故選：D．8．（本題3分）（2023上·河南南陽·八年級?？茧A段練習）在多項式上添加一個單項式，使得到的多項式可以用完全平方公式進行因式分解，則添加的單項式不可以是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查完全平方公式的運用，根據(jù)完全平方和（差）公式的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：A選項，，可以構成完全平方和公式，不符合題意；B選項，，可以構成完全平方差公式，不符合題意；C選項，，可以構成完全平方和公式，不符合題意；D選項，，不可以構成完全平方公式，符合題意．故選：D．9．（本題3分）（2023上·陜西延安·八年級校聯(lián)考階段練習）若為任意整數(shù)，則的值總能（

）A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除【答案】A【分析】本題考查因式分解的應用，用平方差公式進行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數(shù)或式．【詳解】解：，的值總能被4整除，因此的值總能被4整除，故選A．10．（本題3分）（2024上·四川內(nèi)江·八年級?？计谥校┤?，則代數(shù)式的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】此題考查了因式分解的應用，由，，的代數(shù)式，求出，，的值，原式利用完全平方公式變形后代入計算即可求出值．【詳解】解：，，，，，，則，當，，時，原式．故選：D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（本題3分）（2024上·廣東肇慶·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：．【答案】【分析】本題考查的是因式分解，利用平方差公式分解因式即可，熟記平方差公式是解本題的關鍵．【詳解】解：，故答案為：12．（本題3分）（2023上·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）用提公因式法分解因式時，從多項式中提出的公因式為．【答案】【分析】本題考查了因式分解-提公因式法，確定一個多項式的公因式時，要對數(shù)字系數(shù)和字母分別進行考慮，可歸納為“五看”：一看系數(shù)，若各項系數(shù)都是整數(shù)，應提取各項系數(shù)的最大公因數(shù)；二看字母，公因式的字母是各項相同的字母；三看字母的指數(shù)，各相同字母的指數(shù)取指數(shù)最低的；四看整體，如果多項式中含有相同的多項式，應將其看成整體，不要拆開；五看首項符號，若多項式中首項的符號為“－”，則公因式的符號一般為負．正確找出公因式是解題的關鍵．【詳解】解：，從多項式中提出的公因式為，故答案為：．13．（本題3分）（2024上·寧夏吳忠·八年級統(tǒng)考期末）已知，，則．【答案】【分析】本題考查了利用提公因式法因式分解，代數(shù)式求值，先對代數(shù)式進行添括號變形，再提取公因式因式分解，把，代入因式分解后的式子計算即可求解，正確提取出公因式是解題的關鍵．【詳解】解：，∵，，∴原式，故答案為：．14．（本題3分）（2024上·重慶綦江·八年級統(tǒng)考期末）一個長為a，寬為b的長方形的周長為12，面積為7，則的值為．【答案】42【分析】此題考查了提取公因式法分解因式，正確分解因式是解題關鍵．利用長方形的性質(zhì)得出和的值，進而將原式變形得出答案．【詳解】解：∵長為a，寬為b的長方形的周長為12，面積為7，∴，故，，則．故答案為：42．15．（本題3分）（2023下·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考期中）若，則M與N的大小關系為．【答案】/【分析】本題考查了整式的加減，完全平方公式因式分解，計算，進而即可求解．【詳解】解：∵∴∴，故答案為：．16．（本題3分）（2024上·重慶長壽·八年級統(tǒng)考期末）對于任意的正整數(shù)，所有形如的數(shù)的最大公約數(shù)是．【答案】【分析】主要考查了利用因式分解的方法解決實際問題．要先分解因式并根據(jù)其實際意義來求解．把所給的等式因式分解，因為、、是連續(xù)的三個正整數(shù)，所以其中必有一個是的倍數(shù)、一個是的倍數(shù)，所以原式一定是的倍數(shù)，即最大公約數(shù)為．【詳解】解：，、、是連續(xù)的三個正整數(shù)，其中必有一個是2的倍數(shù)、一個是3的倍數(shù)，一定是的倍數(shù)，又的最小值是，最大公約數(shù)為，故答案為：．17．（本題3分）（2019下·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）計算：.【答案】【分析】原式利用平方差公式分解，約分即可得到結果．【詳解】解：原式==，故答案為18．（本題3分）（2021下·浙江·七年級期中）如圖，邊長為4的正方形ABCD中放置兩個長寬分別為a，b的長方形AEFG與長方形CHIJ，如圖陰影部分的面積之和記為，長方形AEFG的面積記為，若，，則長方形AEFG的周長為．【答案】【分析】根據(jù)可設a＝3x，b＝2x，由此可表示出相關線段長，進而可表示出S1＝38x2－80x＋48，S2＝6x2，再根據(jù)即可列出等式化簡整理可得（6x－5）2＝0，由此可求得x＝，最后根據(jù)長方形的周長公式即可求得答案．【詳解】解：∵，∴設a＝3x，b＝2x，則AG＝EF＝CJ＝HI＝3x，AE＝FG＝CH＝IJ＝2x，∵正方形ABCD的邊長為4，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴BH＝BE＝4－2x，DG＝DJ＝4－3x，IP＝IQ＝3x－(4－2x)＝5x－4，∴S1＝S正方形BEPH＋S正方形IPFQ＋S正方形DGQJ＝（4－2x）2＋（5x－4）2＋（4－3x）2＝16－16x＋4x2＋25x2－40x＋16＋16－24x＋9x2＝38x2－80x＋48，S2＝ab＝3x·2x＝6x2，又∵，∴3（38x2－80x＋48）＋5×6x2＝44，∴114x2－240x＋144＋30x2＝44，∴144x2－240x＋100＝0，∴36x2－60x＋25＝0，∴（6x－5）2＝0，解得：x＝，∴C長方形AEFG＝2（a＋b）＝2（3x＋2x）＝10x＝10×＝，故答案為：．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（本題6分）（2023上·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握因式分解的方法是解答本題的關鍵．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．（1）用平方差公式分解即可；（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解．【詳解】（1）（2）20．（本題6分）（2023上·八年級課時練習）計算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式因式分解，即可求解；（2）根據(jù)平方差公式因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．21．（本題8分）（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）已知，求的值．【答案】【詳解】解：，，，．22．（本題8分）（2021下·四川成都·七年級?？计谥校┤绻?，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】由已知可得，然后對所求式子變形，再整體代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴．23．（本題9分）（2018下·七年級單元測試）兩位同學將一個二次三項式分解因式，一位同學因看錯了一次項系數(shù)而分解成，另一位同學因看錯了常數(shù)項而分解成，求出原多項式．【答案】【分析】由于含字母x的二次三項式的一般形式為ax2+bx+c（其中a、b、c均為常數(shù)，且abc≠0），所以可設原多項式為ax2+bx+c．看錯了一次項系數(shù)即b值看錯而a與c的值正確，根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運算，可將2（x-1）（x-9）運用多項式的乘法法則展開求出a與c的值；同樣，看錯了常數(shù)項即c值看錯而a與b的值正確，可將2（x-2）（x-4）運用多項式的乘法法則展開求出b的值，進而得出答案．【詳解】解：設原多項式為（其中，，均為常數(shù)，且）．因為，所以，，又因為，所以，所以原多項式為．24．（本題9分）（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）我們知道幾個非負數(shù)的和等于0，只有這幾個數(shù)同時等于0才成立，如．因為都是非負數(shù)，則，可求得，可求得．應用上述知識解答下列各題：(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，解得．（2）因為，所以，所以，所以，解得，所以．25．（本題10分）（2023上·山東日照·八年級校考階段練習）閱讀材料：若，求m、n的值．解：∵，∴∴，∴，，∴，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則______，______(2)已知的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足．求的周長．(3)當a，b為何值時，多項式有最小值，并求出這個最小值．【答案】(1)2，0(2)7(3)，23【分析】本題考查完全平方公式的應用，偶次方的非負性，三角形的三邊關系，關鍵是熟記完全平方公式并靈活運用．（1）把原式變形為，然后利用非負數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)完全平方公式平方式的非負性求得a、b，再根據(jù)三角形的三邊關系求得c，進而求解即可；（3）把原式變形為，然后利用非負數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）∵，∴，∴．∵，∴，∴．故答案為：2，0；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∵的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，∴，即，∴，∴的周長為．（3）∵，∵，∴當時，多項式有最小值23．26．（本題10分）（2022下·貴州銅仁·七年級統(tǒng)考期中）(1)【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式分解因式呢？我們已經(jīng)知道：．反過來，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次三項式的二次項的系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，并且把，，，，如圖1所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即，把常數(shù)項也分解為兩個因數(shù)的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項的系數(shù)，于是就可以分解為．請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解與應用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：①

__________；②

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