第三章圓（單元測試）

圓單元測試參考答案與試題解析一、單選題1．（2022·廣東·開平市忠源紀(jì)念中學(xué)八年級期中）在三角形內(nèi)部，到三角形三邊距離相等的點是（

）A．三條中線的交點 B．三條高線交點 C．三邊垂直平分線交點 D．三個內(nèi)角平分線交點【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊距離相等，即可求解．【詳解】解：在三角形內(nèi)部，到三角形三邊距離相等的點是三個內(nèi)角平分線交點，故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇宿遷·九年級階段練習(xí)）下列說法：（1）長度相等的弧是等??；（2）相等的圓周角所對的弧相等；（3）劣弧一定比優(yōu)弧短；（4）直徑是圓中最長的弦．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】利用等弧的定義、圓周角定理、弧的定義及弦的定義分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：（1）長度相等的弧不一定是等弧，弧的度數(shù)必須相同，故錯誤；（2）同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤；（3）同圓或等圓中劣弧一定比優(yōu)弧短，故錯誤；（4）直徑是圓中最長的弦，正確，綜上所述，四個說法中正確的只有1個，故選：A．【點睛】本題考查圓中有關(guān)定義，能夠熟練掌握圓的有關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022·河北邯鄲·九年級期末）過⊙O內(nèi)一點M的最長弦為10cm，最短弦長為8cm，則OM的長為（

）A．9cm B．6cm C．3cm D．cm【答案】C【分析】先根據(jù)垂徑定理求出OA、AM的長，再利用勾股定理求OM．【詳解】解：由題意知，最長的弦為直徑，最短的弦為垂直于直徑的弦，如圖所示．直徑ED⊥AB于點M，則ED=10cm，AB=8cm，由垂徑定理知：點M為AB中點，∴AM=4cm，∵半徑OA=5cm，∴OM2=OA2AM2=2516=9，∴OM=3cm．故選：C．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，連接半徑是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022·陜西·寧陜縣蒲河九年制學(xué)校九年級期中）已知OA=4，以O(shè)為圓心，r為半徑作⊙O．若使點A在⊙O內(nèi)，則r的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)點A與⊙O的位置關(guān)系確定點到圓心的距離與圓的半徑大小即可．【詳解】∵已知OA＝4，以O(shè)為圓心，r為半徑作⊙O．若使點A在⊙O內(nèi)，∴點A到圓心的距離應(yīng)該小于圓的半徑，∴圓的半徑應(yīng)該大于4．故選：D．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解圓的位置關(guān)系與點與圓心的距離及半徑的大小關(guān)系，難度不大．5．（2022·北京·北大附中九年級階段練習(xí)）如圖，以點P為圓心作圓，所得的圓與直線l相切的是（）A．以PA為半徑的圓 B．以PB為半徑的C．以PC為半徑的圓 D．以PD為半徑的圓【答案】C【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷即可得出．【詳解】解：于C，∴以點P為圓心，PC為半徑的圓與直線l相切．故選：C．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：判斷直線和圓的位置關(guān)系:設(shè)的半徑為r，圓心O到直線1的距離為d，若直線1和相交直線1和相切直線1和相離6．（2022·浙江·杭州市文暉中學(xué)九年級期中）如圖，在半徑為5的中，弦BC，DE所對的圓心角分別是，．若，，則弦BC的弦心距為（

）.A． B． C．4 D．3【答案】D【分析】作AH⊥BC于H，作直徑CF，連接BF，先利用等角的補(bǔ)角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根據(jù)垂徑定理得CH=BH，則AH為△CBF的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到AH=BF=3．【詳解】作AH⊥BC于H，作直徑CF，連接BF，如圖，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH為△CBF的中位線，∴AH=BF=3,故選：D.【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理和三角形中位線性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．7．如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，線段PO交⊙O于點C，連接BC，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用切線的性質(zhì)得出，再利用三角形內(nèi)角和定理得出，結(jié)合圓周角定理得出答案．【詳解】解：PA切⊙O于點A，∴，∵，∴，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查切線的性質(zhì)以及圓周角定理，正確得出的度數(shù)是解題關(guān)鍵．8．（2022·北京市第九十六中學(xué)九年級期中）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，BC，AC相切于點D，E，F(xiàn)，且AD＝2，BC＝5，則△ABC的周長為（）A．16 B．14 C．12 D．10【答案】B【分析】根據(jù)切線長定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，根據(jù)BC＝5即可得到△ABC的周長．【詳解】解：∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，BC，AC相切于點D，E，F(xiàn)，且AD＝2，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE=CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BE+CE=BC＝5，∴△ABC的周長＝2+2+5+5＝14，故選：B．【點睛】本題考查切線長定理，熟練掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．9．（2021·新疆·烏魯木齊市第九中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦，，，則陰影部分圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理求得CE=ED=；然后由圓周角定理知∠COE=60°．然后通過解直角三角形求得線段OC，然后證明△OCE≌△BDE，得到求出扇形COB面積，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)AB與CD交于點E，∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD=2，如圖，∴CE=CD=，∠CEO=∠DEB=90°，∵∠CDB=30°，∴∠COB=2∠CDB=60°，∴∠OCE=30°，∴，∴，又∵，即∴，在△OCE和△BDE中，，∴△OCE≌△BDE（AAS），∴∴陰影部分的面積S=S扇形COB=，故選D．【點睛】本題考查了垂徑定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，扇形面積的計算等知識點，能知道陰影部分的面積=扇形COB的面積是解此題的關(guān)鍵．10．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個動點，連接，過點作于，連接，在點變化的過程中，線段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】由∠AEC＝90°知，點E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點C、可含點N），從而得BE最短時，即為連接BM與⊙M的交點（圖中點E′點），BE長度的最小值BE′＝BM?ME′．【詳解】如圖，由題意知，，在以為直徑的的上（不含點、可含點，最短時，即為連接與的交點（圖中點點），在中，，，則．，長度的最小值，故選：．【點睛】本題主要考查了勾股定理，圓周角定理，三角形的三邊關(guān)系等知識點，難度偏大，解題時，注意輔助線的作法．二、填空題11．（2021·全國·九年級單元測試）已知⊙O和⊙O＇的半徑分別為5cm和7cm，且⊙O和⊙O＇相切，則圓心距OO＇為__________【答案】2cm或12cm【分析】分⊙O和⊙O'相外切、內(nèi)切兩種情況，根據(jù)圓心距d與兩圓的半徑r、R之間的關(guān)系計算，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)⊙O和⊙O'相外切時，OO'=5+7=12cm；當(dāng)⊙O和⊙O'相內(nèi)切時，OO'=75=2cm故答案為：2cm或12cm．【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系；熟練掌握兩圓外切時d=r+R，內(nèi)切時d=Rr（R＞r），是解此題的關(guān)鍵．12．（2022·云南紅河·九年級期末）如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C，連接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，則弧BC的長為_____（結(jié)果保留π）．【答案】2π【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBA＝90°，求出∠OBC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC＝120°，根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：連接OB，∵AB與⊙O相切于點B，∴∠OBA＝90°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，∵OB＝OC，∴∠C＝∠B＝30°，∴∠BOC＝120°，∴弧BC的長＝＝2π，故答案為：2π．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，弧長公式，三角形內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．13．（2021·江蘇·阜寧縣實驗初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，是的直徑，弦于點E，若，，則的長為______．【答案】1【分析】由題意易得，根據(jù)勾股定理可求OE的長，然后問題可求解．【詳解】解：∵是的直徑，，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案為1．【點睛】本題主要考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．14．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在中，，以C為圓心，以為半徑的圓交于點D，交于點E，則的度數(shù)為________．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角和是90°，可以求出∠A的度數(shù)，在△ACD中由三內(nèi)角和為180°，可以求出∠ACD的度數(shù)，由∠ACB＝90°，求出∠BCD．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°．在△ACD中，∵CD＝CA，∴∠A＝∠CDA＝65°∴∠ACD＝180°?65°?65°＝50°．∴∠DCB＝90°?50°＝40°．故答案是：40°．【點睛】本題考查的是對圓的認(rèn)識，由圓中半徑都相等和直角三角形兩銳角互余，以及三角形三內(nèi)角和為180°，可以求出圓心角∠DCE的度數(shù)．15．（2022·山東·曲阜師范大學(xué)附屬實驗學(xué)校九年級期中）如圖，AB是半徑為4的⊙O的直徑，P是圓上異于A，B的任意一點，∠APB的平分線交⊙O于點C，連接AC和BC，△ABC的中位線所在的直線與⊙O相交于點E、F，則EF的長是_____．【答案】【分析】連接OE、OC，OC交EF于D，由圓周角定理得出，如果連接OC交EF于D，根據(jù)垂徑定理可知：OC必垂直平分EF．由EF是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線定理可得：OD=CD=OC=2．在Rt△OED中求出ED的長，即可得出EF的值．【詳解】解：如圖所示，∵PC是∠APB的角平分線，∴∠APC=∠CPB，∴，∴AC=BC；∵AB是直徑，∴∠ACB=90°．即△ABC是等腰直角三角形．連接OC，交EF于點D，則OC⊥AB；∵EF是△ABC的中位線，∴；∴OC⊥EF，OD=OC=2．連接OE，根據(jù)勾股定理，得：DE==，∴EF=2ED=，故答案為：．【點睛】此題考查圓周角定理，垂徑定理，三角形的中位線，綜合運用了圓周角定理及其推論發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形，再進(jìn)一步根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及中位線定理，求得EF的弦心距，最后結(jié)合垂徑定理和勾股定理求得弦長．16．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在中，，，，將繞順時針旋轉(zhuǎn)后得，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得線段，分別以，為圓心，、長為半徑畫弧和弧，連接，則圖中陰影部分面積是________．【答案】【分析】作DH⊥AE于H，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)陰影部分面積=△ADE的面積+△EOF的面積+扇形AOF的面積－扇形DEF的面積計算即可得到答案．【詳解】解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB=90°，OA=3，OB=2，∴，由旋轉(zhuǎn)得△EOF≌△BOA，∴∠OAB=∠EFO，∵∠FEO+∠EFO=∠FEO+∠HED=90°，∴∠EFO=∠HED，∴∠HED=∠OAB，∵∠DHE=∠AOB=90°，，∴△DHE≌△BOA（AAS），∴DH=OB=1，，∴陰影部分面積=△ADE的面積+△EOF的面積+扇形AOF的面積－扇形DEF的面積，故答案為：．【點睛】本題考查的是扇形面積的計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握扇形的面積公式和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2022·浙江·舟山市定海區(qū)第五中學(xué)九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點F，C是⊙O上兩點，且，連接AC，AF，過點C作CD⊥AF交AF延長線于點D，垂足為D．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若CD＝，求⊙O的半徑．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）連接OC，由根據(jù)圓周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，則∠FAC=∠OCA，可判斷OC//AF，由于CD⊥AF，所以O(shè)C⊥CD，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；（2）連接BC，由AB為直徑得∠ACB=90°，由得∠BOC=60°，則∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理求得AB，進(jìn)而求得⊙O的半徑．（1）連接OC，如圖，∵，∴∠FAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC//AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）連接BC，如圖，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，CD=，∴AC=2CD=，在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2，即（）2+（AB）2=AB2，∴AB=8，∴⊙O的半徑為4．【點睛】本題考查了切線的判定定理，圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．18．（2022·天津二十五中九年級期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，，AC為直徑，過點D作BC的垂線，垂足為E．(1)求證：CD平分∠ACE．(2)若AC＝9，CE＝3，則CD的長為．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和同角的補(bǔ)角相等可得：∠BAD=∠DCE，再根據(jù)可得：∠BAD=∠ACD，即可證得結(jié)論；（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠BAD=∠DCE，∵，∴∠BAD=∠ACD，∴∠ACD=∠DCE，∴CD平分∠ACE；（2）∵∴∵AC是⊙O的直徑∴∴由（1）知CD平分∠ACE∴∴∴∴∴（負(fù)值舍去）故答案為：【點睛】本題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確識別圖形是解答本題的關(guān)鍵．19．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，已知AB是⊙O的直徑，．（1）求的度數(shù)；（2）過點D作，垂足為E，DE的延長線交⊙O于點F．若，求EF的長．【答案】（1）60°；（2）【分析】（1）連結(jié)，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到，然后由直徑所對的圓周角是直角得到，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求出的度數(shù)；（2）首先根據(jù)角所對的直角邊是斜邊的一半求得，然后根據(jù)勾股定理求出BD的長度，利用面積法求出DE的長度，最后根據(jù)垂徑定理即可求出EF的長度．【詳解】解：（1）如圖所示，連結(jié)，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴．（2）∵，，，∴，∵，即，∴，∵，且是直徑，∴．【點睛】此題考查了勾股定理，垂徑定理的運用，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角等知識，解題的關(guān)鍵是連接BD，得到．20．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，點D在⊙O上，連接AD，過點B作BE∥AD，交⊙O于點E，延長DC、BE交于點F．求證：（1）DB＝DF；（2）四邊形AEFD是平行四邊形．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）先證∠DBE=∠ACB，結(jié)合∠BDC=∠BAC，可得，進(jìn)而即可得到答案；（2）先證∠F=∠ACB，結(jié)合∠AEB=∠ACB，可得AE∥DF，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AD∥BE，∴∠ADB=∠DBE，又∵∠ADB=∠ACB，∴∠DBE=∠ACB，∵∠BDC=∠BAC，∴，∵AB＝AC，∴DB＝DF；（2）∵DB＝DF，AB＝AC，，∠F=∠ACB，∵∠AEB=∠ACB，∴∠F=∠AEB，∴AE∥DF，又∵BE∥AD，∴四邊形AEFD是平行四邊形．【點睛】本題主要考查圓周角定理的推論，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定定理，掌握弧，弦，圓周角之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．21．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的角平分線交⊙O于點D，DE⊥AC于E．（1）如圖（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）如圖（1）若AB＝10，AC＝6，求ED的長；（3）如圖（2）過點B作⊙O的切線，交AD延長線于F，若ED＝DF