2023-2024學年七年級數(shù)學下冊單元速記·巧練（湘教版）第四章 相交線與平行線（壓軸題專練）（解析版）

第四章相交線與平行線（壓軸題專練）一、選擇題1．（21-22七年級下·浙江溫州·期末）如圖，在科學《光的反射》活動課中，小麥同學將支架平面鏡放置在水平桌面MN上，鏡面AB的調節(jié)角的調節(jié)范圍為12°~69°，激光筆發(fā)出的光束DG射到平面鏡上，若激光筆與水平天花板（直線EF）的夾角，則反射光束GH與天花板所形成的角不可能取到的度數(shù)為（

）A．129° B．72° C．51° D．18°【答案】C【分析】分當時，如圖1所示，當時，如圖2所示，兩種情況，利用平行線的性質求解即可．【詳解】解：當時，如圖1所示，過點G作，∵，∴，∴∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM，由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM，∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM，∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM，∴當時，如圖2所示，過點G作，同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ，∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM，∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM，∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°，∴∠PHG=150°-2∠ABM，∴，綜上所述，或，故選C．2．（21-22七年級下·湖北武漢·期中）如圖，E在線段BA的延長線上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點，連CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK內部有射線GM，GM平分∠FGC．則下列結論：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正確結論的個數(shù)有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理得到，故①正確；由平行線的性質得到∠AGK=∠CKG，等量代換得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正確；根據(jù)平行線同旁內角互補得，再根據(jù)題目已知∠CKG＝∠CGK，得，又根據(jù)，得，但根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明GD=GC，故③錯誤；設∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根據(jù)角平分線的性質即可得到結論．【詳解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴，故①正確；∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正確；∵，∴，∵∠CKG＝∠CGK，∴，∴，又∵，∴，∴，要使，就要使且，∴就要GD=GC，但題目沒給出這個條件且利用現(xiàn)有條件也無法證明GD=GC，∴故③錯誤；設∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④錯誤，故選：C．3．（21-22七年級下·浙江溫州·期中）如圖，已知長方形紙片ABCD，點E和點F分別在邊AD和BC上，且∠EFC=37°，點H和點G分別是邊AD和BC上的動點，現(xiàn)將點A，B，C，D分別沿EF，GH折疊至點N，M，P，K，若MNPK，則∠KHD的度數(shù)為（）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°【答案】D【分析】分兩種情況討論，①當在上方時，延長、相交于點，根據(jù)，推出，得到，求出的度數(shù)，再根據(jù)即可求解；②當在下方時，延長、相交于點，根據(jù)，推出，得到，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：①當在上方時，延長、相交于點，如圖所示∵∴∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴②當在下方時，延長、相交于點，如圖所示∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴故選D．4．（20-21七年級下·河北滄州·期中）為了亮化某景點，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉至AN便立即回轉，B燈發(fā)出的光束自BP逆時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉動30°，B燈每秒轉動10°，B燈先轉動2秒，A燈才開始轉動，當B燈光束第一次到達BQ之前，兩燈的光束互相平行時A燈旋轉的時間是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【答案】C【分析】設燈旋轉的時間為秒，求出的取值范圍為，再分①，②和③三種情況，先分別求出和的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質可得，由此建立方程，解方程即可得．【詳解】解：設燈旋轉的時間為秒，燈光束第一次到達所需時間為秒，燈光束第一次到達所需時間為秒，燈先轉動2秒，燈才開始轉動，，即，由題意，分以下三種情況：①如圖，當時，，，，，，即，解得，符合題設；②如圖，當時，，，，，，即，解得符合題設；③如圖，當時，，，同理可得：，即，解得，不符題設，舍去；綜上，燈旋轉的時間為1秒或秒，故選：C．5．（20-21七年級下·重慶北碚·期末）如圖，AB∥CD，點E，P在直線AB上（P在E的右側），點G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動點，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點Q，且點Q在直線AB，CD之間的區(qū)域，下列結論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】①過點F作FH∥AB，利用平行線的性質以及已知即可證明；②利用角平分線的性質以及平行線的性質得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，結合①的結論即可證明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，結合①的結論即可證明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，結合①的結論即可證明．【詳解】解：①過點F作FH∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正確；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)=360°-(180°-∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正確；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=390°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正確；④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正確．綜上，①②③④都正確，共4個，故選：A．6．（23-24八年級上·浙江寧波·期中）如圖，點為長方形邊上的一點，連接，，與分別交于點和點，四邊形的面積為，的面積為，的面積為，圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了平行線間距問題，三角形的面積等，根據(jù)平行線間間距處處相等結合三角形面積公式證明是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴．故選：．7．（23-24七年級上·四川宜賓·階段練習）如圖，已知：，，平分，，有下列結論：①；②；③；④.結論正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①根據(jù)平行線的傳遞性可以判斷出來；②所以，然后根據(jù)兩直線平行同旁內角互補可得，即，聯(lián)立可求得結果；③根據(jù)以及，可求得結果；④根據(jù)即以及，可求得結果．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，即，①∵，，∴，故①正確；②∵，∴，∴，即，∵，∴，即，故②正確；③由①可得，∴，∴，即，又，∴，即，將代入，化簡可得：，故③正確；④∵，，∴，∵，∴，故④正確；正確的個數(shù)共有4個，故選：D．8．（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習）如圖，直線，．其中，，則的最大整數(shù)值是（）

A．109° B．110° C． D．【答案】A【分析】先添加輔助線，再根據(jù)平行線的性質和三角形外角性質，求出與的關系式，最后由，即可求出范圍，得出答案．【詳解】如圖，延長，分別交和于點，，

∵，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，整理得：，∴，解得：，∴的最大整數(shù)值是．故選：．9．（21-22七年級下·江蘇南通·階段練習）方形紙帶中∠DEF=25°，將紙帶沿EF折疊成圖2，再沿BF折疊成圖3，則圖3中∠CFE度數(shù)是（

）A．105° B．120° C．130° D．145°【答案】A【分析】由矩形的性質可知，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根據(jù)翻折的性質可知每翻折一次減少一個∠BFE的度數(shù)，由此即可算出∠CFE度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD為長方形，∴，∴∠BFE＝∠DEF＝25°．由翻折的性質可知：圖2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，∴圖3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．故選：A．二、填空題10．（2024七年級·全國·競賽）如圖，已知，，，則．

【答案】/360度【分析】本題考查了平行公理的推理，平行線的性質等知識．過作，再證明，先證明，，再證明，，分別代入原式即可得到一個周角，問題得解．【詳解】解：如圖，過作．

∵，∴．∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴．故答案為：．11．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，已知，點是上方一點，點分別在直線、上，連結、，平分，交的反向延長線于點，若，且，則度數(shù)為．

【答案】/52度【分析】本題考查了平行線的性質與判定的綜合運用，過點作，過作，設，，利用平行線的性質以及角平分線的定義即可得出結論，解題的關鍵是作輔助線構造內錯角，利用平行線的性質以及角的和差關系進行推算．【詳解】如圖，過點作，過作，

設，，∵，交于，平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，平分，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．12．（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習）如圖，，點，在直線上（在的左側），點在直線上，，垂足為，為線段上的一動點，連接，，與的角平分線交于點，且點在直線，之間的區(qū)域，下列結論：①；

②；③若，則；④若，則，其中為正整數(shù)．上述說法正確的是（寫出所有正確結論的序號）．

【答案】①③④【分析】過點H作，利用平行線的性質可得，即可判斷①；根據(jù)角平分的定義可得，，再根據(jù)三角形內角和定理，根據(jù)，利用平行線的性質即可判斷②；設，則，利用①的結論即可判斷③，同上可判斷④．【詳解】解：如圖，過點H作，

，，，，，，，故①正確；與的角平分線交于點，，，根據(jù)①中的結論，可得,，，，，，，故②錯誤；設，則，，根據(jù)①中結論可得，，故③正確；設，則，，，根據(jù)①中結論可得，故④正確．故答案為：①③④．13．（22-23七年級下·福建寧德·期中）如圖，，E為上一點，且垂足為F，，平分，且，則下列結論：①；②平分；③；④；其中正確的有．（請?zhí)顚懶蛱枺敬鸢浮竣佗冖邰堋痉治觥扛鶕?jù)平行線的性質，角平分線和垂線的定義逐個分析計算即可．【詳解】∵，，∴，∴，∵平分，∴，故①正確；∵，∴，∴，即平分，故②正確；∵，，∴,∴，∴，∵，∴，故③正確；∵，，∴，故④正確；綜上所述，正確的有①②③④，故答案為：①②③④．14．（20-21七年級下·貴州銅仁·期末）如圖①，已知，，的交點為，現(xiàn)作如下操作：第一次操作，分別作和的平分線，交點為；第二次操作，分別作和的平分線，交點為；第三次操作，分別作和的平分線，交點為第次操作，分別作和的平分線，交點為．如圖②，若，則的度數(shù)是．【答案】【分析】先過作，根據(jù)，得出，再根據(jù)平行線的性質，得出，進而得到；先根據(jù)和的平分線交點為，運用（1）中的結論，得出；同理可得；根據(jù)和的平分線，交點為，得出；據(jù)此得到規(guī)律，最后求得的度數(shù)．【詳解】解：如圖①，過作，，，，，，；如圖②，和的平分線交點為，．和的平分線交點為，；如圖②，和的平分線，交點為，；以此類推，，當時，等于．故答案為：15．（22-23七年級下·浙江杭州·階段練習）已知直線，點、分別在、上，如圖所示，射線按順時針方向以每秒的速度旋轉至便立即回轉，并不斷往返旋轉；射線按順時針方向每秒旋轉至停止．此時射線也停止旋轉，若射線先轉秒，射線才開始轉動，當射線旋轉的時間為秒時，．

【答案】或或【分析】分三種情況：①當時，②當時，③當時，根據(jù)平行線的性質，得出角的關系，列出的方程便可求得旋轉時間．【詳解】解：①當時，如圖，則，∵，∴，即，解得，（）；

②當時，如圖，則，∵，∴，即，解得，（）；

③當時，如圖，則，

∵，∴，即，解得，（）；綜上，當射線旋轉的時間為秒或秒或秒時，．故答案為：或或．16．（22-23七年級下·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，直線，點E，F(xiàn)分別在直線，上，點P為直線與間一動點，連接，，且，的平分線與的平分線交于點Q，則的度數(shù)為．

【答案】或【分析】分兩種情況討論，當點，在同側或異側時，利用角平分線的定義和平行線的性質，分別求解即可．【詳解】解：分兩種情況討論：①如圖1，過點，分別作，，，．，．．的平分線與的平分線交于點，，．，，同理可得；②如圖2，過點，分別作，，，．，．，．的平分線與的平分線交于點，，．．，同①可得．

綜上所述，的度數(shù)為或．故答案為：或17．（22-23七年級下·浙江寧波·期末）如圖，直線，一副三角板按如圖1擺放，其中，，．保持三角板不動，現(xiàn)將三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉，如圖2，設旋轉時間為t秒，且，則經過秒邊與三角板的一條直角邊（邊，）平行．

【答案】或或或【分析】延長交于點，可求，進行分類討論，畫圖可得在各個不同位置或時，所旋轉的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：如圖，延長交于點，

，，，，，①如圖，

當時，，此時旋轉的度數(shù)為，()；②如圖

當時，，，此時旋轉的度數(shù)為，()；③如圖

當時，，，此時旋轉的度數(shù)為，()；④如圖

當時，，，此時旋轉的度數(shù)為，()；綜上所述：或或或．三、解答題18．（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習）將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖1放置，已知，，，，．

(1)若三角板如圖1擺放時，則__________，__________(2)現(xiàn)固定位置不變，將沿方向平移至點正好落在上，如圖2所示，作和的角平分線交于點，求的度數(shù)；(3)將（2）中的固定，在繞點以每秒的速度順時針旋轉至與直線首次重合的過程中，請畫出當和時的圖形，并求此時的值．【答案】(1)15，150(2)(3)8，11【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，解題的關鍵是作出正確的輔助線，熟練掌握平行線的性質，拐點模型．（1）過E作，證明，進而求解即可；（2）根據(jù)（1）證明，利用角平分線的定義求出，，可得結論；（3）當時，由平行的性質得，進而求解即可；當時，，進而求解即可．【詳解】（1）解：過E作，如圖1，

，，，，，，，故答案為：15；150．（2）利用（1）可證，，，，，，，分別平分和，，．（3）當時，如圖2，

延長，交于點J，，，，，，過點A作，則，，，，，；當時，如圖3，

，，，，，綜上所述，當時，，當時，．19．（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習）已知：如圖1，直線、被直線所截，；(1)求證：(2)如圖2，點E在直線上，且在直線、之間，P、Q分別在直線、上，且均在直線右側，連接、，平分，平分，則和之間有什么數(shù)量關系，請直接寫出你的結論(3)如圖3，在（2）的條件下，過P點作交于點H，連接．若平分，，求的度數(shù)【答案】(1)證明見解析(2)，證明見解析；(3)【分析】本題考查了平行線的判定與性質，平行公理的應用，角平分線的定義等知識．能正確作出輔助線，找到角度之間的關系是解題的關鍵．（1）首先證明，易證得；（2）如圖，作．利用平行線的性質即可證明；（3）如圖，設，．，則，想辦法構建方程即可解決問題；【詳解】（1）解：如圖，∵，，∴，∴．（2）結論：如圖，．理由：作．∵，，∴，∴，，∴，∴，同法可證：，∵平分，平分，∴，，∵，，∴，即，∴．（3）如圖，∵設，．，則，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，∴．20．（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習）已知，點M，N分別為和上兩點，點E在直線和之間．(1)點G為延長線上一點，平分平分．①如圖1，當點E在線段上時，試判斷與的位置關系，并說明理由；②當點E不在線段上時，直線，交于點P．直接寫出與的數(shù)量關系為；(2)如圖2，以每秒30°的速度繞E點逆時針方向旋轉到，同時以每秒20°的速度繞N點順時針方向旋轉到，經過多少秒，？（旋轉360°時，和同時停止）【答案】(1)①，理由見詳解；②(2)；；【分析】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質與判定，平行線探究角的關系，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）根據(jù)平行線的性質以及角平分線的定義、即可作答．（2）先由角平分線的定義得，結合平行線的性質，得，結合三角形的外角性質，得，再進行角的等量代換，即可作答．（3）先表示，，再分別作圖，運用數(shù)形結合思想，結合平行線的性質，列式計算，即可作答．【詳解】（1）解：①，理由如下：如圖：∵∴∵平分平分∴∴∴；②如圖：過點作直線∵平分平分∴∵，∴∴即∵∴則∴則（2）解：過點E作∵∴∵∴如圖：設時間為，則，當時，如圖∴即解得；如圖：∵，∴解得如圖：∵，∴解得如圖：∵，∴解得，故舍去綜上：；；21．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·開學考試）已知，如圖，平分，平分，(1)如圖1，探究與的數(shù)量關系并證明．(2)如圖2，在（1）的條件下，過A作交于點H，平分，延長交于G，，求的度數(shù)．【答案】(1)，見解析(2)40°【分析】本題考查平行線的判定和性質，角平分線的定義等知識，熟練掌握基本知識是解題的關鍵．（1）過點F作，過點E作，根據(jù)角平分線的定義結合，計算即可求解；（2）設，，求得，推出，利用平行線的性質列方程，即可求解．【詳解】（1）解：過點F作，過點E作，∵，∴，∴，，，，∵平分，平分，∴，，∴∴∴；（2）解：∵，∴設，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，解得，∴．22．（23-24七年級上·四川眉山·期末）（1）【問題解決】如圖1，已知，，，求的度數(shù)；（2）【問題遷移】如圖2，若，點P在的上方，則，，之間有何數(shù)量關系？并說明理由；（3）【聯(lián)想拓展】如圖3，在（2）的條件下，已知，的平分線和的平分線交于點G，求的度數(shù)（結果用含的式子表示）．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）過點作，根據(jù)平行線的性質可得，，進而可求解；（2）過點作，則，根據(jù)平行線的性質可得，即可得，結合可求解；（3）過點作．由平行線的性質可得，，結合角平分線的定義，利用角的和差可求解．【詳解】解：（1）如圖1，過點作，∵，∴，∵，∴．，而，∴，，（2），理由：如圖2，過點作，∵，，∴，，，，∵，，；（3）如圖3，過點作．∵，，∴，，，又的平分線和的平分線交于點，，，由（2）得，，∵，，．23．（23-24七年級上·湖南長沙·期末）如圖1，，為之間任意一點．(1)若平分平分．求證：；(2)如圖2，若，且的延長線交的角平分線于點的延長線交的角平分線于點，猜想的運算結果并且證明你的結論；(3)如圖3，若點是射線之間一動點，平分平分，過點作于點，請猜想與的關系，并證明你的結論．【答案】(1)證明見解析；(2)，理由見解析；(3)，理由見解析．【分析】（）根據(jù)平行線的性質可得，再利用角平分線的定義可求解，進而證明結論；（）分別過,作，，根據(jù)平行線的性質可得，再根據(jù)角平分線的性質和，即可求解；（）根據(jù)垂線的定義可求得，再根據(jù)角平分線的定義可求解；本題主要考查平行線的性質，角平分線的定義，垂線的定義，靈活運用平行線的性質及角平分線的定義是解題的關鍵．【詳解】（1）∵，∴，∵平分,平分，∴，，∴，即；（2）如圖，分別過,作，，∵，∴，∴，，，，∴，，同理：，∴，∵平分，平分，∴，，∴∵，∴，（3），理由：∵，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴．24．（23-24八年級下·江西九江·期末）如圖1，直線，將一把直角三角尺的直角頂點P放在兩平行線之間，兩直角邊分別交于點E，F(xiàn)．(1)請你判斷與之間的數(shù)量關系，并說明理由；(2)如圖2，若和的平分線相交于點G，求的度數(shù)；(3)如圖2，若，請用含n的式子表示∠G．【答案】(1)，理由見詳解；(2)(3)【分析】(1)過P點作，利用平行線的性質定理可得結論；(2)由(1)的計算可得出(2)的結論；(3)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．【詳解】（1）解：，理由：過點P作，如圖所示：，，，，，，故答案為：；（2）解：如下圖中，和的平分線相交于點G，，，∴同理可得．（3）解：，，由（2）可知，25．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）已知：直線平行直線，點N、點E在直線上，點H、點M在直線上，，直線交直線于點P．(1)如圖，求證：．

(2)如圖，以點N為圓心順時針旋轉直線交直線于點G，以點M為圓心順時針旋轉直線交直線于點F，，當時，求的度數(shù)．

(3)在（2）的條件下，如圖，直線交直線于點R，直線交直線于點S，的平分線所在直線與的平分線所在直線交于點K，若，當點N在線段上移動時，求的度數(shù)．

【答案】(1)見解析(2)30°(3)或【分析】（1）過點作，得到，根據(jù)平行線的性質，結合，即可得出結論；（2），得到，推出，，得到，推出，設，推出，，根據(jù)，求解即可；（3）分點在直線的上方和下方，兩種情況進行討論求解．【詳解】（1）證明：過點作，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，由（1）知：，又，∴，∵，∴，∴，設：，則：，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴；（3）①當點在下方時，如圖：

∵，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，過點作，則：，∴，∴；②當點在上方時，如圖：

同理可得：，過點作，則：，∴，∴，∴；綜上：或．26．（22-23七年級下·貴州遵義·階段練習）“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見，在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉探照燈，如圖，燈A射線自開始順時針旋轉至便立即回轉，燈射線自順時針旋轉至便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視.若轉動的速度是/秒，轉動的速度是/秒，且、滿足，假定主道路是平行的，即，且．

(1)求和的值，并求的度數(shù)．(2)若燈先轉動30秒，燈A才開始轉動，在燈到達之前，燈A轉動幾秒，兩燈的光束第一次互相平行？(3)如圖，兩燈同時轉動，在燈A到達之前，若射出的光束交于點，過作交于點，則在轉動過程中，與的數(shù)量關系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關系；若改變，請說明理由．【答案】(1)，，(2)秒時，兩燈的光束互相平行(3)和關系不會變化，理由見解析【分析】（1）根據(jù)的非負性求a，b；根據(jù)，，即可得到的度數(shù)；（2）設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，易證，即可列出，可得；（3）設燈A射線轉動時間為t秒，根據(jù)，，即可得出，據(jù)此可得和關系不會變