專題2.10第二章一元二次函數(shù)方程和不等式（思維導(dǎo)圖知識清單）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)舉一反三（人教A版2019）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式（思維導(dǎo)圖+知識清單）【人教A版（2019）】2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【知識點1不等關(guān)系】1．不等關(guān)系的建立在用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系時，先通過審題，設(shè)出未知量，找出其中的不等關(guān)系，再將不等關(guān)系用不等式表示出來，即得不等式或不等式組．【知識點2比較大小】1．兩個實數(shù)大小的比較如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b.反過來也對．這個基本事實可以表示為：a>b?a－b>0，a＝b?a－b＝0，a<b?a－b<0.從上述基本事實可知，要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小．2．比較大小的基本方法關(guān)系方法作差法與0比較作商法與1比較或或【知識點3等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)】1．等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性質(zhì)(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【方法技巧與總結(jié)】1．應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率.2.2基本不等式【知識點1兩個不等式】1.兩個不等式不等式內(nèi)容等號成立條件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立”是指若a≠b，則a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).【知識點2基本不等式與最值】1．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．2．利用基本不等式求最值的幾種方法(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值.(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【知識點1一元二次不等式】1．一元二次不等式一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.2．一元二次不等式的解法(1)解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；②計算對應(yīng)方程的判別式；③求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；④根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0、等于0與小于0進行討論；②若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式Δ進行討論；③若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進行討論．3．分式、高次、絕對值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步驟：①對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．②對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步驟：高次不等式的解法：如果將分式不等式轉(zhuǎn)化為正式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2，一般采用“穿針引線法”，步驟如下：①標(biāo)準(zhǔn)化；②分解因式；③求根；④穿線；⑤得解集.(3)解絕對值不等式的一般步驟：對于絕對值不等式，可以分類討論然后去括號求解；還可以借助數(shù)軸來求解.【知識點2二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系】1．二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．【注】：(1)二次函數(shù)的零點不是點，是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)．(2)一元二次方程的根是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點．2．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系△>0△=0△<0y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象ax2+bx+c=0

(a>0)的根有兩個不相等

的實數(shù)根

x1,x2（x1<x2）有兩個相等

的實數(shù)根

沒有實數(shù)根ax2+bx+c>0

(a>0)的解集或Rax2+bx+c<