《混凝土結(jié)構(gòu)基本原理》受彎構(gòu)件正截面承載力計(jì)算

第五章受彎構(gòu)件正截面承載力計(jì)算主要內(nèi)容5.1

概述5.2受彎構(gòu)件的一般構(gòu)造5.3

受彎構(gòu)件的正截面的受力分析正截面受彎構(gòu)件承載力計(jì)算的基本假定與應(yīng)用

5.4

5.5單筋矩形截面受彎構(gòu)件的正截面承載力計(jì)算

5.6雙筋矩形截面受彎構(gòu)件的正截面承載力計(jì)算

5.7

5.8T形截面受彎構(gòu)件的正截面承載力計(jì)算深受彎構(gòu)件的正截面承載力計(jì)算5.1概述受彎構(gòu)件是指截面上通常有彎矩和剪力共同作用而軸力可以忽略不計(jì)的構(gòu)件。梁和板是典型的受彎構(gòu)件。它們是土木工程中使用面最廣的一類構(gòu)件。梁和板的區(qū)別在于：梁的截面高度一般大于其寬度，而板的截面高度則遠(yuǎn)小于其寬度。

結(jié)構(gòu)和構(gòu)件要滿足承載能力極限狀態(tài)和正常使用極限狀態(tài)的要求。梁、板正截面受彎承載力計(jì)算就是從滿足承載能力極限狀態(tài)出發(fā)的，即要求滿足

M≤Mu(5-1)式中的M是受彎構(gòu)件正截面的彎矩設(shè)計(jì)值，它是由結(jié)構(gòu)上的作用所產(chǎn)生的內(nèi)力設(shè)計(jì)值；Mu是受彎構(gòu)件正截面受彎承載力的設(shè)計(jì)值，它是由正截面上材料所產(chǎn)生的抗力。（1）截面形狀

梁、板常用矩形、T形、I字形、槽形、空心板和倒L形梁等對(duì)稱和不對(duì)稱截面

5.2受彎構(gòu)件的一般構(gòu)造(2)梁、板的截面尺寸

1)矩形截面梁的高寬比h/b一般取2.0～2.5；T形截面梁的h/b一般取2.5～4.0(此處b為梁肋寬)。矩形截面的寬度或T形截面的肋寬b一般取為100、120、150、(180)、200、(220)、250和300mm，300mm以下的級(jí)差為50mm；括號(hào)中的數(shù)值僅用于木模。

2)梁的高度采用h＝250、300、350、750、800、900、1000mm等尺寸。800mm以下的級(jí)差為50mm，以上的為l00mm。

3)現(xiàn)澆板的寬度一般較大，設(shè)計(jì)時(shí)可取單位寬度(b=1000mm)進(jìn)行計(jì)算。5.2受彎構(gòu)件的一般構(gòu)造（3）材料選擇

1）混凝土強(qiáng)度等級(jí)：梁、板常用的混凝土強(qiáng)度等級(jí)是C20、C30、C40。

2）鋼筋強(qiáng)度等級(jí)及常用直徑：梁中縱向受力鋼筋宜采用HRB400級(jí)、HRB500級(jí)、HRBF400級(jí)和HRBF500級(jí)，也可采用HPB300、HRB335、RRB400級(jí)鋼筋，常用直徑為12mm、14mm、16mm、18mm、20mm、22mm和25mm。根數(shù)不得少于2根。

3）梁的箍筋宜采用HRB400級(jí)、HRBF400級(jí)、HPB300級(jí)、HRB500級(jí)和HRBF500級(jí)的鋼筋，也可采用HRB335鋼筋。梁的高度在300mm及以上，箍筋直徑不應(yīng)小于10mm，梁的高度小于300mm，箍筋直徑不應(yīng)小于8mm。

4）板的分布鋼筋，當(dāng)按單向板設(shè)計(jì)時(shí)，除沿受力方向布置受力鋼筋外，還應(yīng)在垂直受力方向布置分布鋼筋。分布鋼筋宜采用HPB300級(jí)(Ⅰ級(jí))和HRB335級(jí)(Ⅱ級(jí))級(jí)鋼筋，常用直徑是6mm和8mm。

5.2受彎構(gòu)件的一般構(gòu)造4）縱向受拉鋼筋的配筋百分率設(shè)正截面上所有縱向受拉鋼筋的合力點(diǎn)至截面受拉邊緣的豎向距離為as，則合力點(diǎn)至截面受壓區(qū)邊緣的豎向距離h0＝h－as。這里，h是截面高度，下面將講到對(duì)正截面受彎承載力起作用的是h0，而不是h，所以稱h0為截面的有效高度，稱bh0為截面的有效面積，b是截面寬度?？v向受拉鋼筋的總截面面積用As表示，單位為mm2?？v向受拉鋼筋總截面面積As與正截面的有效面積bh0的比值，稱為縱向受拉鋼筋的配筋百分率，用ρ表示，或簡稱配筋率，用百分?jǐn)?shù)來計(jì)量，即

(％)(5-2)

縱向受拉鋼筋的配筋率ρ在一定程度上標(biāo)志了正截面上縱向受拉鋼筋與混凝土之間的面積比率，它是對(duì)梁的受力性能有很大影響的一個(gè)重要指標(biāo)。

5.2受彎構(gòu)件的一般構(gòu)造5）混凝土保護(hù)層厚度

縱向受力鋼筋的外表面到截面邊緣的垂直距離，稱為混凝土保護(hù)層厚度，用c表示。

混凝土保護(hù)層有三個(gè)作用：保護(hù)縱向鋼筋不被銹蝕；在火災(zāi)等情況下，使鋼筋的溫度上升緩慢；使縱向鋼筋與混凝土有較好的粘結(jié)。

5.2受彎構(gòu)件的一般構(gòu)造受彎5.3.1

受彎構(gòu)件正截面受彎的受力過程hasbAsh0xnecesf5.3受彎構(gòu)件的正截面的受力分析hasbAsh0xnecesfxnecesfMAshasbh0hasbAsh0exncesfMcrMfthasbAsh0xnecesfMyfybhasAsh0ecxnesfMfyhasbAsh0xnecesfMufy彈性受力階段（Ⅰ階段）:混凝土開裂前的未裂階段

從開始加荷到受拉區(qū)混凝土開裂，梁的整個(gè)截面均參加受力，由于彎矩很小，應(yīng)變沿梁截面高度為直線變化。雖然受拉區(qū)混凝土在開裂以前有一定的塑性變形，但整個(gè)截面的受力基本接近線彈性，荷載-撓度曲線或彎矩-曲率曲線基本接近直線。截面抗彎剛度較大，撓度和截面曲率很小，鋼筋的應(yīng)力也很小，且都與彎矩近似成正比。在彎矩增加到Mcr時(shí)，受拉區(qū)邊緣纖維的應(yīng)變值即將到達(dá)混凝土受彎時(shí)的極限拉應(yīng)變實(shí)驗(yàn)值εtu0，截面處于即將開裂狀態(tài)，稱為第I階段末，用Ia表示。5.3受彎構(gòu)件的正截面的受力分析5.3.2適筋梁正截面受力的三個(gè)階段帶裂縫工作階段（Ⅱ階段）：混凝土開裂后至鋼筋屈服前的裂縫階段在開裂瞬間，開裂截面受拉區(qū)混凝土退出工作，其開裂前承擔(dān)的拉力將轉(zhuǎn)移給鋼筋承擔(dān)，導(dǎo)致鋼筋應(yīng)力有一突然增加（應(yīng)力重分布），這使中和軸比開裂前有較大上移。

M0=Mcr0時(shí)，在純彎段抗拉能力最薄弱的某一截面處，當(dāng)受拉區(qū)邊緣纖維的拉應(yīng)變值到達(dá)混凝土極限拉應(yīng)變實(shí)驗(yàn)值εtu0時(shí)，將首先出現(xiàn)第一條裂縫，一旦開裂，梁即由第I階段轉(zhuǎn)入為第Ⅱ階段工作。

彎矩再增大，截面曲率加大，同時(shí)主裂縫開展越來越寬。由于受壓區(qū)混凝土應(yīng)變不斷增大，受壓區(qū)混凝土應(yīng)變?cè)鲩L速度比應(yīng)力增長速度快，塑性性質(zhì)表現(xiàn)得越來越明顯，受壓區(qū)應(yīng)力圖形呈曲線變化。當(dāng)彎矩繼續(xù)增大到受拉鋼筋應(yīng)力即將到達(dá)屈服強(qiáng)度fy0時(shí)，稱為第Ⅱ階段末，用Ⅱa表示。5.3受彎構(gòu)件的正截面的受力分析

第Ⅱ階段是截面混凝土裂縫發(fā)生、開展的階段，在此階段中梁是帶裂縫工作的。其受力特點(diǎn)是：1)在裂縫截面處，受拉區(qū)大部分混凝土退出工作，拉力主要由縱向受拉鋼筋承擔(dān)，但鋼筋沒有屈服；2)受壓區(qū)混凝土已有塑性變形，但不充分，壓應(yīng)力圖形為只有上升段的曲線；3)彎矩與截面曲率是曲線關(guān)系，截面曲率與撓度的增長加快了。

5.3受彎構(gòu)件的正截面的受力分析屈服階段（Ⅲ階段）：鋼筋開始屈服至截面破壞的

破壞階段

縱向受力鋼筋屈服后，正截面就進(jìn)入第Ⅲ階段工作。

鋼筋屈服。截面曲率和梁的撓度也突然增大，裂縫寬度隨之?dāng)U展并沿梁高向上延伸，中和軸繼續(xù)上移，受壓區(qū)高度進(jìn)一步減小。彎矩再增大直至極限彎矩值Mu0時(shí)，稱為第Ⅲ階段末，用Ⅲa表示。

在第Ⅲ階段整個(gè)過程中，鋼筋所承受的總拉力大致保持不變，但由于中和軸逐步上移，內(nèi)力臂z略有增加，故截面極限彎矩Mu0略大于屈服彎矩My0,可見第Ⅲ階段是截面的破壞階段，破壞始于縱向受拉鋼筋屈服，終結(jié)于受壓區(qū)混凝土壓碎。

5.3受彎構(gòu)件的正截面的受力分析

其特點(diǎn)是：

1)縱向受拉鋼筋屈服，拉力保持為常值；裂縫截面處，受拉區(qū)大部分混凝土已退出工作，受壓區(qū)混凝土壓應(yīng)力曲線圖形比較豐滿，有上升段曲線，也有下降段曲線；

2)彎矩還略有增加；

3)受壓區(qū)邊緣混凝土壓應(yīng)變達(dá)到其極限壓應(yīng)變實(shí)驗(yàn)值εcu時(shí)，混凝土被壓碎，截面破壞；

4)彎矩—曲率關(guān)系為接近水平的曲線。5.3受彎構(gòu)件的正截面的受力分析Ⅲa狀態(tài)：計(jì)算Mu的依據(jù)。Ⅰa狀態(tài)：計(jì)算Mcr的依據(jù);Ⅱ階段：計(jì)算裂縫、剛度的依據(jù);ⅠaⅡaⅢaⅠⅡⅢMcrMyMu0

fM/Mu5.3受彎構(gòu)件的正截面的受力分析受力階段主要特點(diǎn)

第Ⅰ階段

第Ⅱ階段第Ⅲ階段習(xí)稱

未裂階段帶裂縫工作階段

破壞階段外觀特征沒有裂縫，撓度很小有裂縫，撓度還不明顯鋼筋屈服，裂縫寬，撓度大彎矩—截面曲率大致成直線

曲線接近水平的曲線

混凝土應(yīng)力圖形受壓區(qū)直線受壓區(qū)高度減小，混凝土壓應(yīng)力圖形為上升段的曲線，應(yīng)力峰值在受壓區(qū)邊緣受壓區(qū)高度進(jìn)一步減小，混凝土壓應(yīng)力圖形為較豐滿的曲線；后期為有上升段與下降段的曲線，應(yīng)力峰值不在受壓區(qū)邊緣而在邊緣的內(nèi)側(cè)受拉區(qū)前期為直線，后期為有上升段的曲線，應(yīng)力峰值不在受拉區(qū)邊緣大部分退出工作絕大部分退出工作縱向受拉鋼筋應(yīng)力σs≤20～30kN/mm2

20～30kN/mm2<σs<fy0σs＝fy0與設(shè)計(jì)計(jì)算的聯(lián)系Ia階段用于抗裂驗(yàn)算用于裂縫寬度及變形驗(yàn)算Ⅲa階段用于正截面受彎承載力計(jì)算適筋梁正截面受彎三個(gè)受力階段的主要特點(diǎn)

1）第Ι階段：從加載至混凝土開裂，彎矩從零增至開裂彎矩Mcr，該階段結(jié)束的標(biāo)志是混凝土拉應(yīng)變?cè)鲋粱炷翗O限拉應(yīng)變，而并非混凝土應(yīng)力增至ft。第Ι階段末是混凝土構(gòu)件抗裂驗(yàn)算的依據(jù)。

2）第Ⅱ階段：彎矩由Mcr增至鋼筋屈服時(shí)的彎矩My，該階段結(jié)束的標(biāo)志是鋼筋應(yīng)力達(dá)到屈服強(qiáng)度,該階段混凝土帶裂縫工作，第Ⅱ階段末是混凝土構(gòu)件裂縫寬度驗(yàn)算和變形驗(yàn)算的依據(jù)。

3）第Ⅲ階段：彎矩由My增至極限彎矩Mu，該階段結(jié)束的標(biāo)志是混凝土壓應(yīng)變達(dá)到其非均勻受壓時(shí)的極限壓應(yīng)變，而并非混凝土的應(yīng)力達(dá)到其極限壓應(yīng)力。第Ⅲ階段末是混凝土構(gòu)件極限承載力設(shè)計(jì)的依據(jù)。

正截面工作的三個(gè)階段：5.3受彎構(gòu)件的正截面的受力分析

1）延性破壞：配筋合適的構(gòu)件，具有一定的承載力，同時(shí)破壞時(shí)具有一定的延性，如適筋梁ρminh/h0≤ρ≤ρb

。（鋼筋的抗拉強(qiáng)度和混凝土的抗壓強(qiáng)度都得到發(fā)揮）

2）受拉脆性破壞：承載力很小，取決于混凝土的抗拉強(qiáng)度，破壞特征與素混凝土構(gòu)件類似。雖然由于配筋使構(gòu)件在破壞階段表現(xiàn)出很長的破壞過程，但這種破壞是在混凝土一開裂就產(chǎn)生，沒有預(yù)兆，也沒有第二階段，如少筋梁ρ<ρmin

h/h0、少筋軸拉構(gòu)件；（混凝土的抗壓強(qiáng)度未得到發(fā)揮）

3）受壓脆性破壞：具有較大的承載力，取決于混凝土受壓強(qiáng)度，延性能力較差，如超筋梁ρ>ρb和軸壓構(gòu)件。（鋼筋的受拉強(qiáng)度沒有發(fā)揮）5.3受彎構(gòu)件的正截面的受力分析5.3.3

正截面受彎的三種破壞形態(tài)（1）正截面承載力計(jì)算的基本假定1)截面應(yīng)變保持平面；2)不考慮混凝土的抗拉強(qiáng)度；3)縱向鋼筋的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系方程為:縱向鋼筋的極限拉應(yīng)變?nèi)?.01。4)混凝土受壓的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系曲線方程按規(guī)范規(guī)定取用。5.4正截面受彎構(gòu)件計(jì)算的基本假定及應(yīng)用◆《規(guī)范》應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系上升段：水平段：5.3受彎構(gòu)件的正截面的受力分析(2)適筋梁與超筋梁的界限及界限配筋率5.3受彎構(gòu)件的正截面的受力分析適筋梁與超筋梁的界限為“平衡配筋梁”，即在受拉縱筋屈服的同時(shí)，混凝土受壓邊緣纖維也達(dá)到其極限壓應(yīng)變值，截面破壞。設(shè)鋼筋開始屈服時(shí)的應(yīng)變?yōu)?，則

此處為鋼筋的彈性模量。設(shè)界限破壞時(shí)中和軸高度為xcb，則有設(shè)，稱為界限相對(duì)受壓區(qū)高度5.3受彎構(gòu)件的正截面的受力分析式中h0——截面有效高度；

xb——界限受壓區(qū)高度；

fy——縱向鋼筋的抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；

——非均勻受壓時(shí)混凝土極限壓應(yīng)變值。當(dāng)相等時(shí)，屬于界限情況，與此對(duì)應(yīng)的縱向受拉鋼筋的配筋率，稱為界限配筋率，記作ρb，此時(shí)考慮截面上力的平衡條件，在式(5—20)中，以xb代替x，則有 故其中，中的下角b表示界限。

當(dāng)相對(duì)受壓區(qū)高度時(shí)，屬于超筋梁。

5.3受彎構(gòu)件的正截面的受力分析（3）適筋梁與少筋梁的界限及最小配筋率少筋破壞的特點(diǎn)是一裂就壞，所以從理論上講，縱向受拉鋼筋的最小配筋率應(yīng)是這樣確定的：按Ⅲa階段計(jì)算鋼筋混凝土受彎構(gòu)件正截面受彎承載力與按Ia階段計(jì)算的素混凝土受彎構(gòu)件正截面受彎承載力兩者相等。但是，考慮到混凝土抗拉強(qiáng)度的離散性，以及收縮等因素的影響，所以在實(shí)用上，最小配筋率往往是根據(jù)傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)得出的。為了防止梁“一裂即壞”，適筋梁的配筋率應(yīng)大于。

我國《混凝土設(shè)計(jì)規(guī)范》規(guī)定：

1)受彎構(gòu)件、偏心受拉、軸心受拉構(gòu)件，其一側(cè)縱向受拉鋼筋的配筋率不應(yīng)小于0.2%和45ft/fy(%)中的較大值；

2)臥置于地基上的混凝土板，板的受拉鋼筋的最小配筋率可適當(dāng)降低，但不應(yīng)小于0.15％。5.3受彎構(gòu)件的正截面的受力分析◆基本公式C=a1fcbxTs=fyAssM

a1

fcx=bxn5.5單筋矩形截面受彎構(gòu)件的正截面受彎承載力計(jì)算◆適用條件防止超筋脆性破壞防止少筋脆性破壞

◆受彎構(gòu)件正截面受彎承載力計(jì)算包括截面設(shè)計(jì)、截面復(fù)核兩類問題。

5.5單筋矩形截面受彎構(gòu)件的正截面受彎承載力計(jì)算★截面設(shè)計(jì)已知：彎矩設(shè)計(jì)值M求：截面尺寸b，h(h0)、截面配筋A(yù)s，以及材料強(qiáng)度fy、fc未知數(shù)：受壓區(qū)高度x、b，h(h0)、As、fy、fc基本公式：兩個(gè)

根據(jù)環(huán)境類別及混凝土強(qiáng)度等級(jí)，確定混凝土保護(hù)層最小厚度，再假定as，得h0，并按混凝土強(qiáng)度等級(jí)確定α1，解二次聯(lián)立方程式。然后分別驗(yàn)算適用條件和ρminh/h0≤ρ

當(dāng)環(huán)境類別為一類時(shí)(即室內(nèi)環(huán)境)一般?。毫簝?nèi)一層鋼筋時(shí)，as=35mm；梁內(nèi)兩層鋼筋時(shí)，as=60~65mm；對(duì)于板as=20mm?！锝孛鎻?fù)核已知：截面尺寸b，h(h0)、截面配筋A(yù)s，以及材料強(qiáng)度fy、fc求：截面的受彎承載力Mu>M未知數(shù)：受壓區(qū)高度x和受彎承載力Mu基本公式：x≥xbh0時(shí)，Mu=？As<rminbh

？如果滿足，兩個(gè)適用條件，則有

或

當(dāng)Mu≥M時(shí)，認(rèn)為截面受彎承載力滿足要求，否則為不安全。當(dāng)Mu大于M過多時(shí)，該截面設(shè)計(jì)不經(jīng)濟(jì)。其中ξ的物理意義：①由知，ξ稱為相對(duì)受壓區(qū)高度；②由知，ξ與縱向受拉鋼筋配筋百分率ρ相比，不僅考慮了縱向受拉鋼筋截面面積As與混凝土有效面積的比值，也考慮了兩種材料力學(xué)性能指標(biāo)的比值，能更全面地反映縱向受拉鋼筋與混凝土有效面積的匹配關(guān)系，因此又稱ξ為配筋系數(shù)。由于縱向受拉鋼筋配筋百分率ρ比較直觀，故通常還用ρ作為縱向受拉鋼筋與混凝土兩種材料匹配的標(biāo)志。

雙筋截面是指同時(shí)配置受拉和受壓鋼筋的情況。A

s'A

s受壓鋼筋受拉鋼筋5.6雙筋矩形截面受彎構(gòu)件的正截面的受彎承載力計(jì)算

彎矩很大，按單筋矩矩形截面計(jì)算所得的ξ又大于ξb，而梁截面尺寸受到限制，混凝土強(qiáng)度等級(jí)又不能提高時(shí)；即在受壓區(qū)配置鋼筋以補(bǔ)充混凝土受壓能力的不足。

在不同荷載組合情況下，其中在某一組合情況下截面承受正彎矩，另一種組合情況下承受負(fù)彎矩，即梁截面承受異號(hào)彎矩，這時(shí)也出現(xiàn)雙筋截面。

此外，由于受壓鋼筋可以提高截面的延性，因此，在抗震結(jié)構(gòu)中要求框架梁必須配置一定比例的受壓鋼筋。一般來說在正截面受彎中，采用縱向受壓鋼筋協(xié)助混凝土承受壓力是不經(jīng)濟(jì)的，工程中從承載力計(jì)算角度出發(fā)通常僅在以下情況下采用：5.6雙筋矩形截面受彎構(gòu)件的正截面的受彎承載力計(jì)算◆基本公式Cs=ss'As'Cc=afcbxT=fyAsh0asas'A

s'A

sMxecu>eyse

5.6雙筋矩形截面受彎構(gòu)件的正截面的受彎承載力計(jì)算◆基本公式單筋部分As1純鋼筋部分As2受壓鋼筋與其余部分受拉鋼筋A(yù)s2組成的“純鋼筋截面”的受彎承載力與混凝土無關(guān)。因此，截面破壞形態(tài)不受As2配筋量的影響，理論上這部分配筋可以很大，如形成鋼骨混凝土構(gòu)件?！艋竟健暨m用條件防止超筋脆性破壞保證受壓鋼筋強(qiáng)度充分利用注意：雙筋截面一般不會(huì)出現(xiàn)少筋破壞情況，故可不必驗(yàn)算最小配筋率?！锝孛嬖O(shè)計(jì)已知：彎矩設(shè)計(jì)值M，截面b、h、a和a

，材料強(qiáng)度fy、fy

、fc。求：截面配筋未知數(shù)：x、As、

As

基本公式：力、力矩的平衡條件否是按單筋計(jì)算取x=xb即★

截面復(fù)核當(dāng)x<2a

s時(shí)，Mu按x＝2a

s計(jì)算:已知：b、h、as、as

、As、As

、fy、fy

、fc求：Mu≥M未知數(shù)：受壓區(qū)高度x和受彎承載力Mu兩個(gè)未知數(shù)，有唯一解。問題：當(dāng)x>xb時(shí)，Mu=?3）T形截面受拉鋼筋較多，可將截面底部寬度適當(dāng)增大，形成工形截面。工形截面的受彎承載力的計(jì)算與T形截面相同。挖去中和軸受彎構(gòu)件在破壞時(shí)，大部分受拉區(qū)混凝土早已退出工作，故將受拉區(qū)混凝土的一部分去掉。只要把原