通俗易懂：非線性與線性的區(qū)別

通俗易懂：非線性與線性的區(qū)別非線性是自然界復(fù)雜性的典型性質(zhì)之一，那么你對非線性了解多少呢？以下可見一斑：什么是非線性非線性(non-linear)，即變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，不是直線而是曲線、曲面、或不確定的屬性，叫非線性。非線性是自然界復(fù)雜性的典型性質(zhì)之一；與線性相比，非線性更接近客觀事物性質(zhì)本身，是量化研究認(rèn)識復(fù)雜知識的重要方法之一；凡是能用非線性描述的關(guān)系，通稱非線性關(guān)系。狹義的非線性是指不按比例、不成直線的數(shù)量關(guān)系，無法用線性形式表現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系，如曲線、曲面等。而廣義上看，是自變量以特殊的形式變化而產(chǎn)生的不同于傳統(tǒng)的映射關(guān)系，如迭代關(guān)系的函數(shù)，上一次演算的映射為下一次演算的自變量，顯然這是無法用通常的線性函數(shù)描繪和形容的。很顯然，自然界事物的變化規(guī)律不是像簡單的函數(shù)圖像，他們當(dāng)中存在著并非一一對應(yīng)的關(guān)系。如果說線性關(guān)系是互不相干的獨(dú)立關(guān)系，那么非線性則是體現(xiàn)相互作用的關(guān)系，正是這種相互作用，使得整體不再是簡單地全部等于部分之和，而可能出現(xiàn)不同于"線性疊加"的增益或虧損。線性與非線性的區(qū)別非線性是相對于線性而言的，是對線性的否定，線性是非線性的特例，所以要弄清非線性的概念，明確什么是非線性，首先必須明確什么是線性，其次對非線性的界定必須從數(shù)學(xué)表述和物理意義兩個(gè)方面闡述，才能較完整地理解非1線性對線性的界定，一般是從相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)角度來進(jìn)行的：其一，疊加原理成立：“如果ψl，ψ2是方程的兩個(gè)解，那么aψl+bψ2也是它的一個(gè)解，換言之，兩個(gè)態(tài)的疊加仍然是一個(gè)態(tài)。”疊加原理成立意味著所考察系統(tǒng)的子系統(tǒng)間沒有非線性相互作用。其二，物理變量間的函數(shù)關(guān)系是直線，變量間的變化率是恒量，這意味著函數(shù)的斜率在其定義域內(nèi)處處存在且相等，變量間的比例關(guān)系在變量的整個(gè)定義域內(nèi)是對稱的。2非線性在明確了線性的含義后，相應(yīng)地非線性概念就易于界定：其—，“定義非線性算符N(φ)為對一些a、b或φ、ψ不滿足L(aφ+bψ)=aL(φ)+bL(ψ)的算符”，即疊加原理不成立，這意味著φ與ψ間存在著耦合，對(aφ+bψ)的操作，等于分別對φ和ψ操作外，再加上對φ與ψ的交叉項(xiàng)(耦合項(xiàng))的操作，或者φ、ψ是不連續(xù)(有突變或斷裂)、不可微(有折點(diǎn))的。其二，作為等價(jià)的另—種表述，我們可以從另一個(gè)角度來理解非線性：在用于描述—個(gè)系統(tǒng)的一套確定的物理變量中，一個(gè)系統(tǒng)的—個(gè)變量最初的變化所造成的此變量或其它變量的相應(yīng)變化是不成比例的，換言之，變量間的變化率不是恒量，函數(shù)的斜率在其定義域中有不存在或不相等的地方，概括地說，就是物理變量間的一級增量關(guān)系在變量的定義域內(nèi)是不對稱的。可以說，這種對稱破缺是非線性關(guān)系的最基本的體現(xiàn)，也是非線性系統(tǒng)復(fù)雜性的根源。對非線性概念的這兩種表述實(shí)際上是等價(jià)的，其—疊加原理不成立必將導(dǎo)致，其二物理變量關(guān)系不對稱；反之，如果物理變量關(guān)系不對稱，那么疊加原理將不成立。之所以采用了兩種表述，是因?yàn)樵诓煌膱龊希瑢τ诓煌膶ο?，兩種表述有各自的方便之處，如前者對于考察系統(tǒng)中整體與部分的關(guān)系、微分方程的性質(zhì)是方便的，后者對于考察特定的變量間的關(guān)系(包括變量的時(shí)間行為)將是方便的。關(guān)于非線性概念需要強(qiáng)調(diào)的是，線性或非線性的提法是相對于物理變量而言的，也就是說，只有物理變量的關(guān)系才是判斷是否是非線性的根據(jù)，而非物理變量的關(guān)系不能成為非線性與否的判據(jù)。這里所說的物理變量是指那些可以觀測的、人們感興趣的、對人類有意義的變量。例如分形理論中，簡單分形的分維D是恒量，在無標(biāo)度區(qū)間內(nèi)lnN=DlnL，lnN與lnL是線性關(guān)系，但是顯然不能籍此得出簡單分形是線性的結(jié)論。這里的物理變量是N和L，而不是經(jīng)過對數(shù)變換的nN與lnL，即人們可觀測的、感興趣的、對人們有意義的是N和L，而不是lnN和lnL，N與L的關(guān)系N=LD是非線性的，所以可得出分形是非線性的結(jié)論。再如，物價(jià)對時(shí)間的直接關(guān)系(而不足Mandbrolt所統(tǒng)計(jì)的棉花價(jià)格指數(shù)的無標(biāo)度性)正是人們感興趣的、對人們有意義的，而且兩者的關(guān)系是非線性的，所以物價(jià)隨時(shí)間的變化是一種非線性現(xiàn)象。非線性的性質(zhì)非線性科學(xué)正處于發(fā)展過程之中，它所研究的各門具體科學(xué)中的非線性普適類，有已經(jīng)形成的(如混沌、分形、孤子)，有正在形成的(如適應(yīng)性與自涌行為)，還會(huì)有將要形成的，所以非線性的性質(zhì)還沒有完全呈現(xiàn)出來，這里也就不可能全面地討論非線性的性質(zhì)。下面僅從“非線性與線性的關(guān)系”、“非線性的物理機(jī)制”和“非線性與穩(wěn)定性”三個(gè)方面作非線性與線性是相對而言的，兩者是一對矛盾的概念，一方面兩者在一定程度上可以相互轉(zhuǎn)化，另一方面兩者又存在本質(zhì)區(qū)別，再者兩者同時(shí)存在于—個(gè)系統(tǒng)中，規(guī)定著系統(tǒng)相應(yīng)方面的性質(zhì)。(1)非線性與線性的密切聯(lián)系首先，在數(shù)學(xué)上一些線性方程可轉(zhuǎn)化為非線性方程來解。物理上的一些非線性問題，也可以通過數(shù)學(xué)變換而轉(zhuǎn)化為線性方程來研究。如非線性的KdV方程通過散射反演方法化為線性的可積方程，從而求出了精確的解析解；一些非線性不強(qiáng)的問題，可用線性逼近方法將其轉(zhuǎn)化為若干線性問題來求近似解，這是已在各門學(xué)科中廣泛采用并相當(dāng)有效的的其次，在某些情況下，由方程得到的解析解并不能提供更多的信息，無助于更好地理解系統(tǒng)的行為，而從解的非線性形式中，我們卻可以方便地得到所研究系統(tǒng)的重要性質(zhì)。如：考慮這樣一個(gè)簡單方程：d2X/dt2+X=0，它的解是X=Acos(t)+Bsin(t)，從這個(gè)非線性形式中，我們?nèi)菀字浪莻€(gè)周期函數(shù)，滿足cos(t+2π)=cos(t)，sin(t+2π)=sin(t)。而從cos(t)和sin(t)的解析形式中，極難證明其具有相應(yīng)的周期性這一重要性質(zhì)。所以，認(rèn)為線性方程可以得到解析解，非線性方程難以得到解析解，因而線性能給出比非線性更多的有用信息是不確切的。這意味著，對某些問題從非線性的角度考察不僅是可能的，而且有時(shí)也是必要的。所以，線性與非線性在一定程度上是可以相互轉(zhuǎn)化的，這表明了線性與非線性之間有密切的聯(lián)系。(2)非線性與線性的本質(zhì)區(qū)別非線性與線性雖然可以通過數(shù)學(xué)變換而相互轉(zhuǎn)化，在數(shù)學(xué)上有一定的聯(lián)系，但是在同一視角、同一層次、同一參照系在數(shù)學(xué)上，線性函數(shù)關(guān)系是直線，而非線性函數(shù)關(guān)系是非直線，包括各種曲線、折線、不連續(xù)的線等；線性方程滿足疊加原理，非線性方程不滿足疊加原理；線性方程易于求出解析解，而非線性方程一般不能得出解析解。在物理上，近線性問題(它不是我們所說的非線性問題)可用線性逼近方法求出一定精確度的解，即依據(jù)具體問題對精確度的要求，逐次解出若干個(gè)線性問題，把它們疊加起來，就能得到很好的近似解。但是對于非線性問題，由于存有小參數(shù)發(fā)散及收斂慢等問題，線性逼近方法將失效，特別是對于高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、強(qiáng)烈的相互作用、長時(shí)間的動(dòng)態(tài)行為等非線性很強(qiáng)的情況，線性方法將完全無能為力。線性逼近方法這些局限性，導(dǎo)致非線性方法的不可替代，在無法用線性方法處理的強(qiáng)非線性的地方，只能用非線性方法。線性逼近方法并非經(jīng)常能奏效，這不光是方法論問題，也是自然觀問題，自然界既有量變又有質(zhì)變，在質(zhì)變中，自然界要經(jīng)歷躍變或轉(zhuǎn)折，這是線性所不能包容的。(3)非線性與線性在同一系統(tǒng)中的作用非線性與線性有一定的聯(lián)系又有本質(zhì)區(qū)別，它們常同