2023-2024學(xué)年河南省信陽市息縣息縣一中高三復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年河南省信陽市息縣息縣一中高三復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．2．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若為線段中點(diǎn)且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A． B．3 C． D．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的值為（）A．0 B．1 C． D．5．空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù)，指數(shù)值趨小，表明空氣質(zhì)量越好，下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢，下列敘述錯誤的是（）A．這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B．這20天中的中度污染及以上（指數(shù)）的天數(shù)占C．該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來越好D．總體來說，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好6．金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié)，“……洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有幾般變化，我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉，任何兩種（含兩種）以上的肉混合后的滋味都不一樣，則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（）A．20 B．24 C．25 D．267．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對二人進(jìn)行了測驗(yàn)，根據(jù)測驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖（如圖，每項(xiàng)指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），則下面敘述正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B．甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C．乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D．乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲8．如圖所示，直三棱柱的高為4，底面邊長分別是5，12，13，當(dāng)球與上底面三條棱都相切時(shí)球心到下底面距離為8，則球的體積為()A．1605π3 B．6429．已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為()A．5 B．6 C．7 D．810．已知函數(shù)，則（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知等差數(shù)列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．2412．如圖所示，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋（球體）離蛋巢底面的最短距離為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則展開式的系數(shù)為__________．14．設(shè)，滿足約束條件，若的最大值是10，則________.15．設(shè)為互不相等的正實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量和的分布列如下表，若記，分別為的方差，則_____．（填>，<，=）16．若函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)，滿足約束條件，則實(shí)數(shù)的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列中，，數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求；（2）若，求的前項(xiàng)和.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為、,且點(diǎn)、與橢圓的上頂點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的等邊三角形．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓相切于點(diǎn),且分別與直線和直線相交于點(diǎn)、．試判斷是否為定值,并說明理由．19．（12分）某市調(diào)硏機(jī)構(gòu)對該市工薪階層對“樓市限購令”態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，抽調(diào)了50名市民，他們月收入頻數(shù)分布表和對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表：月收入（單位：百元）頻數(shù)51055頻率0.10.20.10.1贊成人數(shù)4812521（1）若所抽調(diào)的50名市民中，收入在的有15名，求，，的值，并完成頻率分布直方圖．（2）若從收入（單位：百元）在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，選中的2人中恰有人贊成“樓市限購令”，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．（3）從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機(jī)抽取3名市民，恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，判斷這3名市民來自哪組的可能性最大？請直接寫出你的判斷結(jié)果．20．（12分）唐詩是中國文學(xué)的瑰寶.為了研究計(jì)算機(jī)上唐詩分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取，某研究人員將唐詩分成7大類別，并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機(jī)抽取了500篇，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù)，得到下表：愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計(jì)篇數(shù)100645599917318500含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160（1）根據(jù)上表判斷，若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機(jī)抽取一篇，則它屬于哪個(gè)類別的可能性最大，屬于哪個(gè)類別的可能性最小，并分別估計(jì)該唐詩屬于這兩個(gè)類別的概率；（2）已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為：①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系，則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字；②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字，則由其對應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測值越大，排名就越靠前；設(shè)“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對應(yīng)的觀測值分別為，，.已知，，請完成下面列聯(lián)表，并從上述三個(gè)字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計(jì)含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計(jì)附：，其中.0.050.0250.0103.8415.0246.63521．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）若數(shù)列為等比數(shù)列，求數(shù)列的公比的值；（2）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且.①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②求證：.22．（10分）已知，，.（1）求的最小值；（2）若對任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出.【詳解】,,故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計(jì)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.2．B【解析】

對分類討論，當(dāng)，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，求出單調(diào)遞增區(qū)間，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，的遞增區(qū)間是，所以，即.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性，熟練掌握簡單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3．B【解析】

設(shè)，代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而得到的等式，求出離心率．【詳解】，設(shè)，則，兩式相減得，∴，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題方法是點(diǎn)差法，即出現(xiàn)雙曲線的弦中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．4．A【解析】

根據(jù)輸入的值大小關(guān)系，代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入，，因?yàn)?，所以由程序框圖知，輸出的值為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)式大小比較，條件程序框圖的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5．C【解析】

結(jié)合題意，根據(jù)題目中的天的指數(shù)值，判斷選項(xiàng)中的命題是否正確.【詳解】對于，由圖可知天的指數(shù)值中有個(gè)低于，個(gè)高于，其中第個(gè)接近，第個(gè)高于，所以中位數(shù)略高于，故正確.對于，由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為，即占總天數(shù)的，故正確.對于，由圖可知該市月的前天的空氣質(zhì)量越來越好，從第天到第天空氣質(zhì)量越來越差，故錯誤.對于，由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下，中旬大部分指數(shù)在以上，所以該市月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好，故正確.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了對折線圖數(shù)據(jù)的分析，讀懂題意是解題關(guān)鍵，并能運(yùn)用所學(xué)知識對命題進(jìn)行判斷，本題較為基礎(chǔ).6．D【解析】

利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為，再利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（種），故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用，此類問題注意實(shí)際問題的合理轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.7．D【解析】

根據(jù)雷達(dá)圖對選項(xiàng)逐一分析，由此確定敘述正確的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，甲的數(shù)據(jù)分析分，乙的數(shù)據(jù)分析分，甲低于乙，故A選項(xiàng)錯誤.對于B選項(xiàng)，甲的建模素養(yǎng)分，乙的建模素養(yǎng)分，甲低于乙，故B選項(xiàng)錯誤.對于C選項(xiàng)，乙的六大素養(yǎng)中，邏輯推理分，不是最差，故C選項(xiàng)錯誤.對于D選項(xiàng)，甲的總得分分，乙的總得分分，所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲，故D選項(xiàng)正確.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理，屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】

設(shè)球心為O，三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內(nèi)切圓的圓心為O1，該圓與邊B【詳解】如圖，設(shè)三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設(shè)球心為O，則由球的幾何知識得ΔOO1M所以O(shè)M=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A．【點(diǎn)睛】本題考查與球有關(guān)的組合體的問題，解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：（1）構(gòu)造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形，并在此三角形內(nèi)求出球的半徑，這是解決與球有關(guān)的問題時(shí)常用的方法．（2）若直角三角形的兩直角邊為a,b，斜邊為c，則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=a+b-c9．B【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式，再將的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式，利用基本不等式求得最小值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)，，且，由于，所以..所以，即..當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)由得，當(dāng)時(shí)，有最小值為，即，，解得.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最小值為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模，考查基本不等式的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.10．C【解析】

結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進(jìn)而可求出.【詳解】由題意可得，則.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11．C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，再計(jì)算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的常考題型.12．D【解析】因?yàn)榈俺驳牡酌媸沁呴L為的正方形，所以過四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為，又因?yàn)殡u蛋的體積為，所以球的半徑為，所以球心到截面的距離，而截面到球體最低點(diǎn)距離為，而蛋巢的高度為，故球體到蛋巢底面的最短距離為.點(diǎn)睛:本題主要考查折疊問題，考查球體有關(guān)的知識.在解答過程中，如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問題時(shí)，可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點(diǎn)的截面，然后利用弦長和勾股定理來解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先根據(jù)定積分求出的值，再用二項(xiàng)展開式公式即可求解.【詳解】因?yàn)樗缘耐?xiàng)公式為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故展開式中的系數(shù)為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查定積分公式，二項(xiàng)展開式公式等知識點(diǎn)，屬于簡單題目.14．【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示：目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為與直線平行，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)，取得最大值，故可得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.15．>【解析】

根據(jù)方差計(jì)算公式，計(jì)算出的表達(dá)式，由此利用差比較法，比較出兩者的大小關(guān)系.【詳解】，故.，.要比較的大小，只需比較與，兩者作差并化簡得①，由于為互不相等的正實(shí)數(shù)，故，也即，也即.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)變量期望和方差的計(jì)算，考查差比較法比較大小，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.16．1【解析】由題知x>0，且滿足約束條件的圖象為由圖可知當(dāng)與交于點(diǎn)B(2,1)，當(dāng)直線過B點(diǎn)時(shí)，m取得最大值為1.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一、準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二、畫標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；三、一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），；（2）.【解析】

（1）由條件得出方程組，可求得的通項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，得出是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，可求得的通項(xiàng)；（2）由（1）可知，，分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)分別求得.【詳解】（1）由條件知，，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）可知，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，綜上，【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)的求得，以及其前n項(xiàng)和，注意分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況分別求得其數(shù)列的和，屬于中檔題.18．（1）（2）為定值．【解析】

（1）根據(jù)題意,得出,從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）根據(jù)題意設(shè)直線方程：,因?yàn)橹本€與橢圓相切,這有一個(gè)交點(diǎn),聯(lián)立直線與橢圓方程得,則,解得①把和代入,得和,,的表達(dá)式,比即可得出為定值．【詳解】解：（1）依題意,,,．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）為定值.①因?yàn)橹本€分別與直線和直線相交,所以,直線一定存在斜率．②設(shè)直線：,由得,由,得．①把代入,得,把代入,得,又因?yàn)?所以,,②由①式,得,③把③式代入②式,得,,即為定值．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義、方程、和性質(zhì),主要考查橢圓方程的運(yùn)用,考查橢圓的定值問題,考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.19．（1），頻率分布直方圖見解析；（2）分布列見解析，；（3）來自的可能性最大．【解析】

（1）由頻率和為可知，根據(jù)求得，從而計(jì)算得到頻數(shù)，補(bǔ)全頻率分布表后可畫出頻率分布直方圖；（2）首先確定的所有可能取值，由超幾何分布概率公式可計(jì)算求得每個(gè)取值對應(yīng)的概率，由此得到分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可求得期望；（3）根據(jù)中不贊成比例最大可知來自的可能性最大.【詳解】（1）由頻率分布表得：，即．收入在的有名，，，，則頻率分布直方圖如下：（2）收入在中贊成人數(shù)為，不贊成人數(shù)為，可能取值為，則；；，的分布列為：．（3）來自的可能性更大．【點(diǎn)睛】本題考查概率與統(tǒng)計(jì)部分知識的綜合應(yīng)用，涉及到頻數(shù)、頻率的計(jì)算、頻率分布直方圖的繪制、服從于超幾何分布的隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解、統(tǒng)計(jì)估計(jì)等知識；考查學(xué)生的運(yùn)算和求解能力.20．（1）該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大，屬于“其他”類別的可能性最小；屬于“山水田園”類別的概率約為；屬于“其他”類別的概率約為（2）填表見解析；選擇“花”，“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字，且排序?yàn)椤盎ā?，“簾”【解析?/p>

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表算出頻率，比較大小即可判斷；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表完成列聯(lián)表，算出觀測值，查表判斷.【詳解】（1）由上表可知，該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大，屬于“其他”類別的可能性最小屬于“山水田園”類別的概率約為；屬于“其他”類別的概率約為；（2）列聯(lián)表如下：屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類共計(jì)含“花”的篇數(shù)60100160不含“花”的篇數(shù)40300340共計(jì)100400500計(jì)算得：；因?yàn)?，，所以有超過95%的把握判斷“花”字和“簾”字均與“愛情婚姻”有關(guān)系，故“花”和“簾”是“愛情婚姻”的關(guān)鍵字，而“山”不是；又因?yàn)?，故選擇“花”，“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字，且排序?yàn)椤盎ā?，?/p>